10,45 Err:508 Err:508 Err:508 Err:508 10,6 Err:508 Err:508 Err:508 Err:508 10,75 Err:508 Err:508 Err:508 Err:508 10,9 Err:508 Err:508 Err:508 Err:508 11,05 Err:508 Err:508 Err:508 Err:508 11,2 Err:508 Err:508 Err:508 Err:508 11,35 Err:508 Err:508 Err:508 Err:508 11,5 Err:508 Err:508 Err:508 Err:508 Variant Ülesanne Keskmine 8 F1 kesk, F3 negkesk Integraal, pindala 5 F1 pind, F1 integ Max või min 3 F3 max ja selle asukoht F1 kesk F3 negkesk F1 pind F1 integ F3 max Err:508 #DIV/0! #VALUE! #VALUE! Err:508 Asukoht Err:508 F1 12 10 8 F1 6 4 2 0
niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega- Integreerimine on tuletise vastandtehe, seega kui tuletis 2x2-2x on 4x-2 , siis integraal 4x-2 on 2x2-2x+c. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava. [ f ( x) dx ] = f ( x ) Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant. F ( x ) dx = F ( x ) +C Mõnede (xa, sin x, 1/x) integreerimisvalemite tuletamine- Tuletamine: 6 dx
struktuuri indeks 1,07 ja struktuurinihete indeks 0,97. Milline järgmistest väidest on õige? Vali üks vastus. a. Tööviljakuse suurenemise tõttu suurenes keskmine tööviljakus 7% b. Tööviljakuse suurenemise tõttu suurenes keskmine tööviljakus 3,8% c. Tööviljakuse vähenemise tõttu vähenes keskmine tööviljakus 3% Vale Selle esituse hinded: 0/1. Question 8 Hinded: 1 Jaotustihedus on Vali üks vastus. a. integraal jaotusfunktsioonist b. jaotusfunktsiooni kõvera alla jääv pindala c. jaotusfunktsiooni tuletis Õige Selle esituse hinded: 1/1. Question 9 Hinded: 1 Kui variatsioonreas esinevad väikesed ekstremaalsed väärtused, siis Vali üks vastus. a. mood < mediaan < aritmeetiline keskmine b. aritmeetiline keskmine < mediaan < mood c. mood < aritmeetiline keskmine < mediaan Vale Selle esituse hinded: 0/1. Question 10 Hinded: 1
ja x0 on koordinadi väärtusega ajahetkel t=0. b) kui j]ud on konstantne (raskujõud: F=mg, hõõrdejõud: F=P), on võrrandi lahendiks polünoom x= x0 + vox*t + ax/2 *t²; ax=1/m *Fx Töö: skalaarkorrutis ja joonintegraal A=Fs=Fscos((Fs)), kus s=r=r2-r1 ning ((Fs)) tähistab vektorite vahelist nurka. Sirgliikumise ninh muutumatu jõu korral saab tööd arvutada vektorite skalaarkorrutisena: A=F*s= Fxdx + Fydy + Fzdz Pikema liikumise korral tuleb töö leidmiseks võtta integraal A=F(t,r)dr=(Fxdx+Fydy+Fzdz) Kineetiline energia kulgliikumisel v=at=1/m *F*t s=1/2 *at²= 1/2m *Ft² ja töö A=1/2m *Ft² *F=1/2m *F²t² suuruse Ft leiame kiiruse valemist: v=1/m *Ft Ft=mv ja asendame töö valemisse: A=1/2m *(mv)²= mv²/2 E= mv²/2= Ekin Potentsiaalne energia raskusjõu väljas ja elastse keha venitusel P=mg ning tehtav töö on A=Ph=-mgh, kuna raskusjõud P ning vertikaalnihe h on vastassuunalised. A=F0=dl(-ld)dl= -(ld²)/2 Energia jäävuse seadus Ekin=(mv²/2)=A1
Funktsioonide variandid valida lehelt Funktsioonid Karakteristikute variandid valida lehelt Karakteristikud : F1, F2 eida se ad a 2003-s). Funktsioonide variandid (valida õppemärkmiku viimase numbri järgi) numbri järgi) Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri summ integraal või a keskmine b c pindala 0 F1 abskesk, F3 kesk 0 F2 integ, F3 pind 0 1 F2 poskesk, F3 kesk 1 F1 pind, F2 integ 1 2 F2 abskesk, F3 kesk 2 F1 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 negkesk 3 F3 integ, F3 pind 3 4 F1 abskesk, F3 kesk 4 F2 integ, F2 pind 4
kui leiduvad niisugused ühepoolsed ümbrused (a - , a ) ja (a, a + ) , et ühes neist on joon rangelt kumer ja teises rangelt nõgus. Järeldus: Tuletisel on käänupunktis lokaalne ekstreemum (lõplik või lõpmatu). 26 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a IV INTEGRAAL Määramata integraal Algfunktsioon ja määramata integraali mõiste Definitsioon: Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks piirkonnas X, kui selles piirkonnas F ( x ) = f ( x ) . Sama tingimuse võib esitada ka kujul F ( x ) = f ( x ) ehk dF ( x ) = f ( x )dx . d dx
Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid 1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist eri...
Definitsioon: Kõvera käänupunktiks nimetatakse punkti, millest ühel pool on joon rangelt kumer, ja teiselt poolt rangelt nõgus. Leidmine: 1) kui teine tuletis on väiksem nullist piirkonnas X, siis joon on kumer selles piirkonnas 2)kui teine tulestis on suurem nullist piikronnas X, siis joon on nõgus selles piirkonnas 3)käänupunkt on kohas, kus kumerus läheb üle nõgususeks või vastupidi 24. Algfunktsioon ja määramata integraal (definitsioonid). Näiteid. Teoreemid algfunktsiooni kohta. Definitsioon: funktsioon F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F’(x)=f(x) piirkonnas X Teoreem: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t F’(x)=f(x), siis seda on ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant Definitsioon: Avaldsit F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x)
Pöördkehade ruumala arvutamine · Pöördehade ruumala arvutamisel kasutatakse pöördkeha poolküljeristlõike funktsioonivalemit ja määratud integraali. 1) On vaja funktsioonivalemit, millest pöördkeha moodustada. Olgu selleks y = f ( x) 2) Et leida ruumala, tuleb funktsioon võtta ruutu, selle ruutu integreerida ja korrutada - h ( f ( x) ) dx , kus integraali rajad määravad pöördkeha kõrguse x-teljel. 2 ga: V = 0 · Näide KOONUSE moodustumisest: x 1) Võtame näiteks funktsiooni y = ja määramispiirkonnaks X = [ 0; 4] 4 2) Järgmiseks leiame ruumala: 2 4 x 4 4 2 x x3 43 03 4 V = dx = dx = = - = 4 0 0 1...
tinglik hind, struktuurinihete indeks tööviljakus fisheri indeks, laspeyres indeks, paasche indeks test 5 vastandsündmuse tõenäosus sõltumatud statistiline tõenäosus, klassikaline tõenäosus, täielik süsteem teoreetiline tõenäosus, tinglik tõenäosus välistavad juhuslik suurus, jaotusfunktsioon pidev juhuslik suurus, jaotusseadus, jaotusfunktsioon keskväärtus diskreetne juhuslik suurus, dispersioon, integraal, mediaan, ülemine rada 19. 15, binoomjaotus, parameetrid, parameeter Test 6 pidev, diskreetne, poissoni jaotus, jaotusseadus jaotusseadus, eksponentjaotus normaaljaotus, normaaljaotus normaaljaotus negatiivne väärtus poissoni jaotus Test 7 kogum, klastervalik, kihtvalik, lihtne juhuvalik, süstemaatiline valik tõenäosuslik valikumeetod, empiiriline valik fikseeritud samm, süstemaatiline valik, punkthinnang nihketa, efektiivne, optimaalne
Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx TÕESTUSED 1. [ f ( x) dx ] = f ( x ) . Definitsiooni järgi f ( x ) dx = F ( x ) +C , kus F ( x ) = f ( x ) [ f ( x )dx] = [ F ( x ) +C ] = F ( x ) = f ( x ) m.o.t.t
. . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus, n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . . 92 4.5 Joone as¨ umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5
. . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus, n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . . 92 4.5 Joone as¨ umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5
10 8 F1 6 F2 4 F3 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 x_asukoht Funktsioonide variandid (valida õppemärkmiku viimase numbri järgi) numbri järgi) Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri summ integraal või a keskmine b c pindala 0 F1 abskesk, F3 kesk 0 F2 integ, F3 pind 0 1 F2 poskesk, F3 kesk 1 F1 pind, F2 integ 1 2 F2 abskesk, F3 kesk 2 F1 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 negkesk 3 F3 integ, F3 pind 3 4 F1 abskesk, F3 kesk 4 F2 integ, F2 pind 4
1) un > un+1 > 0 lim u ( n )=0 2) n , siis vahelduvate märkidega rida koondub Integraaltunnus Kui f on pidev monotoonselt kahanev funktsioon piirkonnas [a, ¿ ja un=f(n), siis positiivne rida u ( n) ja päratu integraal f ( x ) dx n=0 a koonduvad (hajuvad) samaaegselt Astmerida Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f n(x)=anxn, kujul a ( n ) ( x-c )n=a ( 0 ) + a ( 1 ) ( x-c)+a ( 2 ) (x-c)2+ ...+a ( m ) (x-c ) m+... n=0
Err:508 Err:508 Err:508 Err:508 Funktsioonide variandid (valida õppemärkmiku viimase numbri järgi) numbri järgi) F1 IF(abs(x)=>d;2*sin((PI()*x)/3)+3*cos((PI()*x)/4);3*sin((2*PI()*x)/5)+2*(cos(PI()*x)) F2 3*LN(x^2+x+3)*SIN(2*x)+COS(PI()*x)/(x^2+3) 2*PI()*x)/5)+2*(cos(PI()*x))^2) Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri summ integraal või a keskmine b c pindala 0 F1 abskesk, F3 kesk 0 F2 integ, F3 pind 0 1 F2 poskesk, F3 kesk 1 F1 pind, F2 integ 1 2 F2 abskesk, F3 kesk 2 F1 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 negkesk 3 F3 integ, F3 pind 3 4 F1 abskesk, F3 kesk 4 F2 integ, F2 pind 4
erinevad teineteisest mitte rohkem kui konstandi võrra. 80.Määramata integraali mõiste Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, siis avaldist F(x) + C, kus C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. 81.Määramata integraali omadused [f(x)+g(x)]dx =f(x)dx + g(x)dx, st kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kui a on konstant, siis af(x)dx = af(x)dx, st konstantse teguri saab tuua integraali märgi ette. [f(x)-g(x)]dx = f(x)dx - g(x)dx, st kahe funktsiooni vahe määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide vahega. 82. Ositi integreerimise valem Viimasest võrdusest saame ositi integreerimise valemi udv = uv - vdu. 83
välja. Elektrostaatikas vaatleme statsionaarset välja. Elektrivälja olemasolu selgub jõust, mis mõjub välja paigutatud laengule. Samal ajal, selgub ka asjaolu, et välja paigutatud keha omab laengut. Elektriväljatugevus on välja jõukarakteristik. 4. Punktlaengu elektrivälja tugevuse valemi tuletus lähtudes Coulomb' seadusest. 5. Elektriväljatugevuse vektori voog. Joonis, valem. 6. Gauss'i teoreemi tuletus. Kui on suvaline pind, siis integraal. Gauss'i teoreem määrab E vektori voo läbi suvalise kujuga kinnise pinna, mis ümbritseb laenguid. Vaatame ühte laengut, mille ümber kujutame kinnise pinna. Korrastasime suvalise pinnatüki kerapinna osana, mis toetub ruuminurga elemendile d. Leiame voo läbi kogu suletud pinna. 7. Lõpmatu laetud tasandi elektriväljatugevus.Joonis ja tuletus. Lähtudes ühiklaengu käitumisest pinna juures ja sümmeetria
=0 B C Tinglik ekstreemum z= f (x,y), kus lisatingimus (x,y) = 0 F (x,y,) = f (x,y) + (x,y) z z + = 0 ja + = 0 ning (x,y) = 0 x x y y Määratud integraal b b b ositi udv = uv a vdu b b f ( x)dx = F ( x) a = F (b) F ( a )
Kui D = DI DII ja DI DII koosneb vaid DI ja DII ühistest rajapunktidest, ning eksisteerivad integraalid Df(P)dS, x=x(s) DIf(P)dS ja DIIf(P)dS, siis Df(P)dS = DIf(P)dS + DIIf(P)dS. y=y(s) Kui eksisteerivad integraalid f(P)dS ja g(P)dS ning f(P) <= g(P), P c D, siis f(P)dS <= g(P)dS. z=z(s) Kui eksisteerib integraal f(P)dS ning leiduvad konstandid m ja M, nii et m<= f(P) <= M, P c D, siis mS D <= f(P)dS s c [a,b], ning X, Y ja Z on pidevad funktsioonid, siis Xdx + Ydy + Zdz = ab(Xcos 1 + Ycos 2 + Zcos 3)ds kus cos 1, cos 2 ja <= MSD. cos 3 on vektori dr = (dx,dy,dz) suunakoosinused.
Diferentsiaalvõrrandite lahendamine. (Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob omavahel muutuja x, √𝑛 , 𝑘 = 0, 𝒂𝟏 , 𝒇(𝟐) = 𝒂𝟐 , 𝒇(𝟑) = 𝒂𝟑 , … . Siis kehtivad järgmised kaks väidet: *Kui päratu integraal ∫𝟏 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 koondub, siis koondub ka otsitava funktsiooni y(x) ja selle tuletised y´, y´´, . . . , y(n), st. kui F on mingi n + 2–muutuja funktsioon, siis seos F(x, y, y´, 𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑠
Funktsioonide variandid valida lehelt Karakteristikute variandid valida lehelt Funktsioonid Karakteristikud Funktsioonide variandid (valida õppemärkmiku viimase numbri järgi) mbri järgi) Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri sum integraal või a keskmine b c pindala 0 F1 abskesk, F3 kesk 0 F2 integ, F3 pind 0 1 F2 poskesk, F3 kesk 1 F1 pind, F2 integ 1 2 F2 abskesk, F3 kesk 2 F1 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 negkesk 3 F3 integ, F3 pind 3 4 F1 abskesk, F3 kesk 4 F2 integ, F2 pind 4
Üleminek polaarkoordinaatidele(millal kasutada, üleminekuvalemid) Kasutada siis, kui piirkond D on ringjoon x=r∗cosθ , y=r∗sinθ , r2=x2+y2 18.Kolmekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kolmekordset integraali? Lineaarsus Adiktiivsus. Kui piirkond V on jaotatud kaheks piirkonnaks V1 ja V2, millel pole ühiseid seesmiseid punkte Monotoonsus. kui f on suurem kui g igas piirkonna V punktis Kõigepealt sisemine integraal, siis keksmine ja siis välimine 19.Üleminek silinderkoordinaatidele(millal kasutada, üleminekuvalemid) Üleminek, kui tegemist on silindri ruumala leidmisega x=ρ∗cosφ , y=ρ∗sinφ, z=z 20.Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, üleminekuvalemid) Kui tegemist on sfääri(kera) ruumala leidmisega x=r∗cosφ∗sinθ , y=r∗sinφ∗sinθ , z=r∗cosθ 21.Kolmekordse integraali rakendusi Kujundi ruumala leidmine
Konstruktsioonide elemendid taluvad töös mitmesuguseid koormusi ja siit tulenevad nõuded: 1. olema tugevad taluma purunemata koormusi; 2. olema jäigad töötama liigselt deformeerumata; 3. olema stabiilsed töötama stabiilses tasakaalus olevana; 4. olema ökonoomsed küllaldase tugevuse, jäikuse ja stabiilsuse korral väike materjali kulu. Selliste vastuoluliste nõuete täitmiseks tehakse arvutusi, mille metoodikat esitab tugevusõpetus. Tugevusõpetuse objektiks on välisjõudude rakendamisel tekkivad lisajõud, mis põhjustavad konstruktsiooni kuju ja mõõtmete muutuse ning ka purunemise. Kuna me kasutame pidevuse hüpoteesi (kontiinium), siis loobume iga osakese poolt arendatavate jõudude individuaalsest uurimisest ja loeme konstruktsiooni elemendi suvalises lõikes mõjuvad lisajõud pidevalt jaotatuks. Välisjõudude rakendamisel konstruktsiooni mis tahes mõtteliste osade vahel tekkiva jõu jaotuse intensiivsust nimetatakse pingeks, kogu eraldu...
riputusvahendit. 18.Tuletage valem keha kaalu arvutamiseks, kui keha kiireneb vertikaalsihis. Tehke joonis koos selgitustega. 19.Defineerige impulss, kirjutage vastav valem. Keha impulsiks ehk liikumishulgaks nimetatakse tema massi ja kiiruse korrutist. 20.Tuletage valem keha lõppimpulsi arvutamiseks, kui kehale mõjub konstantne ja kui kehale mõjub mittekonstantne jõud. 21.Defineerige jõuimpulss. Jõuimpulss kehale mõjuva resultantjõu kui aja funktsiooni integraal üle tema mõjumisaja. 22.Sõnastage Newtoni II seadus üldjuhul, kirjutage vastav valem. Newtoni II seadus üldisel kujul kehale mõjuv resultantjõud võrdub tema impulsi muutumise kiirusega. 23.Defineerige suletud süsteem. Suletud süsteemiks nimetatakse süsteemi, millele ei mõju välised jõud või nende mõjud tasakaalustuvad. 24.Tuletage impulsi jäävuse seadus kahe keha vastasmõju korral. 25.Sõnastage impulsi jäävuse seadus, kirjutage vastav valem. 26
F ( b )=F ( a ) +P( a< X ≤ b) ning kuna tõenäosus on alati mittenegatiivne, siis saamegi
F(b) ≥ F(a).
Vahetult eelnevast tõestusest saame avaldada ka vahemikku langemise tõenäosuse
P ( a< X ≤ b )=F ( b )−F ( a ) , kui a
Teine tuletis, kolmas tuletis jne .................... 331 põhiseosed ...............................................212 Hoo pealt veepommi viskamine* ................. 333 Siinusteoreem .............................................222 Koosinusteoreem ........................................224 integraal ............................................ 340 Trigonomeetria kosmoses: robotkäsi ........... 227 Integreerimine ............................................. 341 Integraal ja üldisemad pindalad ................... 347 trigonomeetria ja perioodilised Kuidas integreerib arvuti? ............................349
4,6 -1,470915 Err:509 Err:509 Err:509 4,8 -1,233175 Err:509 Err:509 Err:509 5 -0,984427 Err:509 Err:509 Err:509 F1 F2 4,2 -3,4 -2,6 -1,8 -1 -0,2 0,6 1,4 2,2 3 3,8 4,6 F3 Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri sum integraal või a keskmine b c pindala 0 F1 abskesk, F3 kesk 0 F2 integ, F3 pind 0 1 F2 poskesk, F3 kesk 1 F1 pind, F2 integ 1 2 F2 abskesk, F3 kesk 2 F1 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 negkesk 3 F3 integ, F3 pind 3 4 F1 abskesk, F3 kesk 4 F2 integ, F2 pind 4
MHX0065 Mehhatroonikasüsteemide komponendid Praktikum Alalisvoolu mootor aruanne Kuupäev: 6.12.12 Meeskonnaliikmed: 1. Ove Hillep 2. Joosep Andrespuk 3. Ragnar Jaanov Aruande täitis ja esitas: Ove Hillep Labori eeltöö ULN2003 on kõrgpingeline ja kõrge vooluga darlingtontransistor, mis koosneb seitsmest emitteriga darling- toni paarist. Transistori nimivoolu tugevus on 500 mA, kuid see suudab taluda kaa 600 mA voolu. Darlingtontransistor koosneb kahest bipolaarsest transistorist, mis on ühendatud sedasi, et esimesest tran- sistorist tulev vool võimendatakse veelgi enam teise transistori poolt. Püsimagnetiga alalisvoolumootorid on laialt levinud erinevates rakendustes, kus olulised on väikesed mõõt- med, suur võimsus ja madal hind. Nende suhteliselt suure pöörlemiskiiruse tõttu kasutatakse neid tihti koos ülekandega (reduktoriga) madalama kiiruse ja suurema pöördemomendi saavu...
Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. 29. ALGFUNKTSIOONI DEFINITSIOON. Sõnastada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta (tõestust ei kusi). FUNKTSIOONI MÄÄRAMATA INTEGRAAL ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Teoreem Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx
2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Integraaltunnus: Olgu positiivsete liikmetega rida, kusjuures Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida . Funktsiooni nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga , kehtib mitterange võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)0 (x[1,lõpmatus))
2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Integraaltunnus: Olgu positiivsete liikmetega rida, kusjuures Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida . Funktsiooni nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga , kehtib mitterange võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)0 (x[1,lõpmatus))
Lihula Gümnaasium Leonhard Euler Referaat Õpilane:Maarja Kumm Juhendaja:Andres Arumäe 1 Sisukord Noorus...........................................................................................................................3 Euleri teadustööd...........................................................................................................4 Lisa................................................................................................................................6 Kasutatud kirjandus.......................................................................................................7 2 Noorus Euler sündis 15.aprillil 1707.aastal Paselis(Sweits).Tema esimene õpetaja oli isa,kalvi...
..................................... (juhendaja allkiri) Töö eesmärk Õppida tundma numbrilist multimeetrit. Kasutatavad seadmed 1) Multimeeter HP34401A 2) Alalispinge allikas 5-44 3) Signaaligeneraator 6-37 4) Ühendusjuhtmed Teoreetiline osa Multimeeter HP 34401A mõõdab alalispinget kahekordse integreerimise põhimõttel. Mõõdetavat alalispinget Ux integreeritakse teadaoleva aja Ti vältel, integraal annab sisendpingega võrdelise suuruse. Üldjuhul, kui integraatori sisendis on pinge u1(t), on väljundpinge 1 t u 2 (t ) = u1 (t )dt . (1) 0 Kui t = T ja u (t)= U , siis i 1 x u 2 (T i ) = . (2)
D D D Adatiivsus: kui D = D1 D2 ; D1 , D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis f ( x, y)dxdy = f ( x, y)dxdy + f ( x, y)dxdy D D1 D2 Monotoonsus: kui f(x,y) g(x,y) igas piirkonna D punktis, siis f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy D D Kui funktsioon on positiivne, on ka integraal positiivne: f(x,y) 0 , P( x, y ) D f ( x, y )dxdy 0 D Kahekordse integraali geomeetriline tõlgendus Antud kahe muutuja funktsioon w=f(x,y), integreeruv piikonnas D. Def: funk. on pos vaadeldavas piikonnas, siis keha, mis on piiratud pealt antud funktsiooni graafikuga, alt selle piirkonnaga D ja silindriga, mille moodustajad on paral w teljega ja juhtjooneks on piikonna D rajajoon, niisugust keha nim. kõversilindriks.
ja märgitakse ∫ f (x) dx. Teisisõnu, ∫ f (x) dx = F (x) + C, kus F′ (x) = f (x) iga x ∈ D puhul. Integreerimise põhivalemid: 32. Integreerimisreeglid (*) Tõestada integreeruvate funktsioonide f ja g summa f + g ja kordse λf integreerimise reeglid (lause 8.1 ja 8.2): Kui intervallis D määratud funktsioonidel f ja g eksisteerivad selles intervallis määramata integraalid ∫f (x) dx ning ∫ g (x) dx, siis eksisteerib ka määramata integraal ∫ (f (x) + g (x)) dx ja kehtib seos Eeldatavasti eksisteerivad ∫f (x) dx = F (x)+C1 ning ∫g (x) dx = G(x)+C2, mistõttu (F + G)′ (x) = F′ (x) + G′ (x) = f (x) + g (x) = (f + g) (x) , s.t. F + G on funktsiooni f + g algfunktsioon intervallis D. Seega Seejuures olgu märgitud, et fikseeritud konstandi C puhul saame valida konstandid C1 ning C2, et C = C1 +C2, ja vastupidi, fikseeritud arvude C1 ja C2 korral võtame C := C1+C2.
1.3. Rõngasskeemid 5.2. Alampinge- ja ülempingejaotlate elektriskeemid 5.3. Ülempingejaotlate lihtsustatud elektriskeemid 5.4. Sõlmalajaamade elektriskeemid 5.5. Elektrijaamade jaotlate elektriskeemid 6. Voolujuhtivate osade arvutus 6.1. Voolujuht kestval voolul 6.1.1. Voolujuhi kuumenemine kestval voolul 6.1.2. Voolujuhi valik kestva voolu järgi 6.2. Voolujuht lühisel 6.2.1. Voolujuhi temperatuuri tõus lühisel 6.2.2. Lühisvoolu Joule'i integraal 6.2.2.1. Joule'i integraali definitsioon 6.2.2.2. Lühisvoolu perioodilise komponendi Joule'i integraal 6.2.2.3. Lühisvoolu aperioodilise komponendi Joule'i integraal 6.2.2.4. Lühisvoolu Joule'i integraali lihtsustatud arvutus 6.2.2.5. Aparaatide termilise taluvuse kontroll 6.3. Lühisvoolu elektrodünaamiline toime 6.3.1. Elektrodünaamilised jõud voolujuhtivate osade vahel 6.3.2
F2 6,000 F3 4,000 2,000 0,000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Funktsioonide variandid (valida õppemärkmiku viimase numbri järgi) mbri järgi) Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri sum integraal või a keskmine b c pindala 0 F1 abskesk, F3 kesk 0 F2 integ, F3 pind 0 1 F2 poskesk, F3 kesk 1 F1 pind, F2 integ 1 2 F2 abskesk, F3 kesk 2 F1 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 negkesk 3 F3 integ, F3 pind 3 4 F1 abskesk, F3 kesk 4 F2 integ, F2 pind 4
Sissejuhatus,lausearvutus,loogikaseadused Milliste matemaatikavaldkondadega Diskreetne Matemaatika ei tegele? Diskreetne matemaatika ei tegele pideva matemaatika valdkondadega, ehk nendega, kus tegeletakse pidevate funktsioonidega. Näiteks matemaatiline analüüs, integraal- ja differentsiaalaarvutused. Milliste arvudega diskreetne matemaatika ei tegele? Diskreetne matemaatika ei tegele reaalarvudega. Mis on verbaalne esitus? Mistahes info esitamine lingvistilise keele abil, nii suulisel kui kirjalikul kujul. Näiteks ajaloo ja filosoofia puhul on tegemsit aladega, kus kogu info on verbaalsel kujul. Mis on formaalne esitus? Mistahes info esitamine, reeglina kirjalik info,ilma lingvistilise keele abita, ehk esitus kokkulepitud sümbolite abil. Näiteks matemaatika, füüsika, keemia, kus infot esitakse nii formaalselt kui verbaalselt. Milline omadus peab olema formaalsetel esitlustel? Mistahes formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav...
fasikordajaks. Kui meid huvitavad ainult tõenäosuste suhted q eri väärtustel, võime olekufunktisooni korrutada veel mõnesuguse teguriga k (normeerimistegur), ilma et need suhted sellest muutuksid. Järelikult kirjeldavad olekufunktsioonid ja ' = ke i ühte ja sama olekut., st olekufunktsioon on määratud normeerimisteguri ja faasikordaja täpsuseni. 3. Vastavalt eelmises punktis kasutatud interpretatsioonile on integraal üle q määramispiirkonna . Kuivõrd osake eksisteerib, on alati võimalik leida mingisugust q väärtust (mis igas üksikkatses võib olla erinev). Seega peab olema N 2 0 . Niisiis: olekufunktsiooni norm peab nullist erinema. Kui N on lõplik, võime k alati nii valida, et funktsioon oleks normeeritud: (q ) dq = 1; (q )
Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''x2 , z''y2 , z''xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised vôrdsed. 1) Leida statsionaarsed kohad süsteem: z'x(x0;y0) = 0 ja z'y(x0;y0) = 0; 2) Leida (x0;y0) = Z''x2*Z''y2 (Z''xy)2. 3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z''x2 < 0, siis max koht; kui (x0;y0) > 0 ja Z''x2 > 0, siis min koht; kui (x0;y0) < 0, siis ektreemumkoht puudub; kui i (x0;y0) = 0, siis tuleb edasi uurida. 35. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon funktsiooni y = F(x) nim. funktsiooni y=f(x) algfunktsiooniks kui f(x) = F'(x). Kui y=F(x) on y=f(x) algfunkts., siis on seda y=F(x) + C. Määramata integraal määramata integraaliks funktsioonist y=f(x) nim. kôikide algfunktsioonide hulka e. f(x)dx = F(x) + C. Määramata integraali omadused: 1) [f(x)dx]' = f(x); 2) d[f(x)dx] = f(x)dx; 3) dF(x)=F(x)+C; 4) af(x)dx = af(x)dx; 5) [f(x) +- g(x)]dx = f(x)dx +- g(x)dx. 36
- Osutub, et n2 on minimaalne, kui n ( x ) = S n ( x ) , kus S n ( x ) on funktsiooni f Fourier' rea a0 osasumma, st. kui 0 = , n = a n , n = bn . 2 30 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §7. FOURIER' INTEGRAAL Def. Öeldakse, et funktsioon f on absoluutselt integreeruv kogu arvsirgel, kui päratu integraal f (x ) dx on koonduv. - Def. Kui funktsioon f on absoluutselt integreeruv kogu arvsirgel, siis integraali [a( y )cos yx + b( y )sin yx]dy , 0
pidevad osatuletised f1,...,fm sõltumatute muutujate järgi. Fun on ilmutamata kui muutujate omavaheline sõltuvus on kirjeldatud vaaldisega 2-st(või enamast) muutujast, mis võrdub konstandiga: F(x,y)=C. Konst võib olla ka viidud avaldisega samale poole, sellisel juhul on teisel pool = märki C. Valem: dy/dx= -Fx /Fy ilmutatud fun.-üks muutuja on võrdne mingi avaldisega teis(t)est muutuja(te)st nt. y=f(x) 7) integraal -Integreerimine on fun.tuletise võtmise vastandtehe. Integreerimine võimaldab tuletada piirfunktsioonist kogufunktsiooni e.lähtefunktsiooni. määratud integraali väärtuse määravad muuhulgas rajad. MI korral asetatakse integraali sümbolist alla ja üles vastavalt integraali alumine ja ülemine raja- selle lõigu alg- ja lõppväärtus, kus integraali arvutatakse. Võimaldab selgitada kogufun ning piirfun seost.Kasutatakse heaolu hindamisel
18. Milliseid võimalusi teate Mohr'i integraali väärtuste arvutamiseks? *katkevate funktsioonidega integreerimisvahemik 0 ... l jagatakse pidevate funktsioonidega vahemikeks: x = l1 ... l2, kus M = M2(x) ja m = m1(x) jne. * vahemiku integraal on osavahemike integraalide summa: Näitab kui palju mingis punktis on varras väändes 11. PAINDEDEFORMATSIOON 11.19. Kuidas on detaili paindejäikus seotud materjali tugevusega? 11.1. Mis on varda elastne joon? 11.20. Kuidas arvutada paindesiirdeid ruumilise painde korral? = painutatud varda telje (ehk neutraalkihi) kujutis peatasandil
ÄÄSMÄE PÕHIKOOL Isaac Newton ja tema 3 seadust Referaat Simone Sui 8.klass 05.02.13 ÄÄSMÄE 2013 Sissejuhatus Selles referaadis räägin ma Isaac Newtoni kolmest seadusest, tema elust, perekonnast, kooliaastatest, tööst ning tema viimastest eluaastatest ja surmast. Isaac Newton Kes oli Isaac Newton? Isaac Newtoni oli inglise füüsik, matemaatik, astronoom, teoloog ja alkeemik. Sir Isaac Newton sündis 4. jaanuaril 1643. aastal Woolstrophe'is, Lincolnshire'i krahvkonnas.Woolsthrope´i härrastemaja, kus Newton sündis on hästi säilinud ja...
Tallinna Nõmme Gümnaasium Kätriin Vossi Füüsika seos teiste teadusharudega ja tuntuimad füüsikud Referaat Juhendaja: Evelin Vanaselja Tallinn 2012 SISUKORD SISSEJUHATUS..................................................................................................................... 3 1.FÜÜSIKA JAGUNEMINE..................................................................................................... 4 2.FÜÜSIKA OLULISUS........................................................................................................... 5 3.SEOS TEISTE TEADUSHARUDEGA.................................................................................. 5 4.TUNTUIMAD FÜÜSIKUD..................................
1. leida funktsiooni määramispiirkond X 2. leida funktsiooni nullkohad X0 3. leida funktsiooni negatiivsuspiirkond X- ja positiivsuspiirkond X+ 4. leida funktsiooni ekstreemumkohad Xe ja ekstreemumid 5. leida kasvamispiirkond X ja kahanemispiirkond X 6. leida funktsiooni käänukohad Xk 7. leida kumeruspiirkond ja nõgususpiirkond 8. toetudes leitud andmetele, skitseerida funktsiooni graafik 15. Algfunktsioon ja määramata integraal 16. Määramata integraali omadused 17. Asendusvõte määramata integrali puhul. 18. Ositi integreerimine 19. Määratud integrali mõiste 20. Newton-Leibnizi valem 21. Määratud integrali omadused 22.Asendusvõte ja ositi integreerimine määratud integraali korral. 23. määratud integraali rakendusi: tasandilise kujundi pindala arvutamine, keha ruumala arvutamine. 24. differentsiaalvõrrandid. (DV). Lahendid, lahendite geomeetriline tõlgendus esimest
Kuidas määrata kiirus- ja kiirendusvektori asendi põhjal, kas on tegemist kiireneva või aeglustuva liikumisega? 6 Kui kiirus ja tangentsiaalkiirendus on samasuunalised, toimub kiirenev liikumine, kui erisuundades, siis aeglustuv. · Kuidas arvutada kiirust ja läbitud kaarepikkust punkti ühtlaselt kiireneva kõverjoonelise liikumise korral, kui sealjuures s0 = 0 ? Integraal kiirendusest ja integraal kiirusest. · Mida nimetatakse jäiga keha translatoorseks ehk rööpliikumiseks? Jäiga keha translatoorseks liikumiseks nimetatakse sellist liikumist mille puhul jäiga kehaga muutumatult seotud sirged jäävad paralleelseks oma algasendiga. · Sõnastada teoreem kiiruste ja kiirenduste kohta jäiga keha translatoorsel liikumisel. Jäiga keha translatoorsel liikumisel on keha kiirused ja kiirendused võrdsed nii suuruselt kui suunalt. Ka
2) Kui f’’(x) > 0 kõikide x korral piirkonnast X, siis funktsiooni graafik (ehk joon) on nõgus selles piirkonnas. Kõvera käänupunktiks nimetatakse punkti, millest ühel pool on joon rangelt kumer ja teisel pool rangelt nõgus. Joone käänupunktideks saavad olla vaid funktsiooni f 0 (x) kriitilised punktid, st punktid, kus f’’(x) = 0; f’’(x) ei eksisteeri, f’’(x) on lõpmatu. 30. Algfunktsioon ja määramata integraal (definitsioonid). Näiteid. Teoreemid algfunktsiooni kohta (lk 20). Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F’(x) = f(x) piirkonnas X. Näide: Olgu f(x) = 3x 2 . Siis tema algfunktsiooniks on F(x) = x3 + C, kus C on suvaline konstant. Avaldist F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni
12,8 Err:509 Err:509 Err:509 Err:509 Err:509 13 Err:509 Err:509 Err:509 Err:509 Err:509 Karakteristikud: F1pind #VALUE! F1integ Err:509 F2kesk Err:509 F3poskesk #DIV/0! F3absmax Err:509 F3 absmax asukoht Err:509 Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri sum integraal või a keskmine b c pindala 0 F1 abskesk, F3 kesk 0 F2 integ, F3 pind 0 1 F2 poskesk, F3 kesk 1 F1 pind, F2 integ 1 2 F2 abskesk, F3 kesk 2 F1 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 negkesk 3 F3 integ, F3 pind 3 4 F1 abskesk, F3 kesk 4 F2 integ, F2 pind 4
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
