Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss elas 30 April 1777 23 February 1855. Ta oli Saksa matemaatik ja teadlane. Ta aitas oluliselt kaasa paljudes valdkondades, sealhulgas arvutiteooria, statistika, anals, geomeetria, geodeesia, elektrostaatika, astronoomia ja optika. Ta nitas les eeldusi matemaatikaga tegelemiseks juba varajases nooruses. Kolmandal eluaastal parandas ta isa arvutusi kui viimane arvutas tliste ndalapalga suurust. Koolis avastas ta 9-aastaselt iseseisvalt aritmeetilise jada summa valemi
1. Matemaatika on teaduste kuninganna“- kes on selle ütluse autor ning mida see tähendab? 2. Kes on suured matemaatikud? Kirjuta nende täisnimed, eluaastad ja tegevusvaldkonnad. Lisa link! Palun lisa ka link kust on see info võetud. Palun kirjuta pikemalt (Min 0,5 lehte A4 formaadis trükiteksti) . 1) Johann Carl Friedrich Gauss.Matemaatika liitub kõik teadusalad Carl Friedrich Gauss Johann Carl Friedrich Gauss (30. aprill 1777 Braunschweig – 23. veebruar 1855 Göttingen) oli saksa matemaatik, astronoom ja füüsik. Gauss on olulise panuse andnud paljudesse teaduse valdkondadesse, sealhulgas arvuteooria, statistika, matemaatiline analüüs, diferentsiaalgeomeetria, geodeesia, geofüüsika, elektrostaatika, astronoomia ja optika. Gauss oli imelaps. Ta tegi oma esimesed suuremad matemaatilised avastused teismelisena. Teose Disquisitiones Arithmeticae sai ta valmis 1798
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ...
Gaussi_tabel z x y x1 x2 -4 -5 -9 -11 0 0 1 1 1 1 1 0 3 5 10 15 1 1 Page 1 Gaussi_tabel x3 0 15 109 Page 2
Determinant võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga. 6)Maatriksid. Tehted maatriksitega. Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . 7) Gaussi meetod. Gaussi meetod (saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss 1777-1855) on üks enamlevinud meetodeid lineaarvõrrandite süsteemide lahendamiseks ja on rakendatav ka juhul, kui süsteemi kordajate maatriksi determinant võrdub nulliga või kui süsteemi tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute võrrandite arvust. Põhimõtteliselt on Gaussi meetod liitmisvõtte edasiarendus. Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest. (A/B)
1)Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele ve...
Antsla Gümnaasium 8B klass CARL FRIEDRICH GAUSS Referaat Juhendaja: õpetaja 2008 Sisukord Sissejuhatus 3 Carl fr. Gauss 4 Kokkuvõte 7 Kasutatud allikad 8 Lisad 9 Sissejuhatus Valisime Carl Friedrich Gaussi sellepärast et ta tundus meile kõige sobivam matemaatik.Raamatust vaadates tundus just tema jutt ja nimi huvitavam kui teised. Gauss olevat ilmutanud oma matemaatilisi võimeid juba siis kui ta oli kolme aastane. Ta oli väga tark laps.Ta arvutas alati isaga koos arveid ja oli omapärane poiss. Gaussi aju kaalus kolm naela ehk 1492 grammi. Carl fr. Gauss Matemaatikute vürsti gaussi sugupuu oli kõike muud kui vürstilik. Ta sündis armetus hütis vaeste vanemate lapsena 30. aprill 1777 Braunschweigis. Isapoolne vanaisa Jürgen Gooss (1712-1774),
Jääkstandardhälve e. prognoosiviga iseloomustab funktsioontunnuse erinevust regressioonijoonest. 33. Milleks kasutatakse dispersioonanalüüsi? Analüüsi lugemisoskus. 34. Mis on funktsioontunnus? 35. Mis on argumenttunnus? 36. Ronald Fisher oli inglise matemaatik ja evolutsiooniteoreetik. Ta formaliseeris loodusliku valiku teooria ja formuleeris loodusliku valiku teoreemid. Ta tegeles statistiliste meetoditega ning arendas katse planeerimise teooriat. Carl Friedrich Gauss oli saksa matemaatik, astronoom, polühistor ja füüsik. Gaussi peetakse oma varajase matemaatilise võimekuse tõttu imelapseks. Gauss on olulise panuse andnud paljudesse teaduse valdkondadesse, sealhulgas arvuteooria, statistika, matemaatiline analüüs, diferentsiaalgeomeetria, geodeesia, geofüüsika, elektrostaatika, astronoomia ja optika. Gauss oli imelaps. Sir Francis Galton oli inglise viktoriaanlik psühholoog, polühistor, antropoloog, eugeenik,
VALEMID Geomeetriline jada Aritmeetiline jada üldliikme valem üldliikme valem an=a1qn-1 an= a1+( n-1)d Summa valem Sn=a1(qn1): (q -1) Summa valem (legend malelauast) Sn= (a1+an)n :2 (Viide C.Fr.Gaussile) Carl Friedrich Gauss Saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss 1777 1855 Lugu 9-aastasest koolipoisist Gaussist, kes õpetaja korralduse: leida kõikide naturaal-arvude summa, täitis silmapilkselt. Legend malelauast Teatavasti leiutati male 1 2 4 8 16 32 64 Indias. Legend: rikas vürst lubas täita mängu leiutaja soovi anda talle malelaua
Mercatori projektsioon on konformne ehk õigenurkne. Silindri laotamisel tasandile on meridiaanid kujutatud vertikaalsete sirgetena ja paralleelid nendega risti. Meridiaanide vahekaugused on kogu kaardi ulatuses samad, paralleelide vahed on pooluste suunas välja venitatud. Mercatori projektsiooni kasutatakse ekvatoriaalvööndi kaardistamistel ja navigatsioonikaartide koostamiseks. UTM põiksilindriline konformne projektsioon Täiendanud saksa matemaatikud/geodeedid Gauss ja Krüger Tuntud ka Gauss-Krügeri projektsioonina Maakera on paigutatud silindrisse, mis puutub maakera mööda Greenwitchi meridiaani ja silindri telg ühtib ekvaatori teljega. Kogu maakera jagatakse meridiaanidega 6°või 3°tsoonideks. Tsoonide eristamiseks antakse neile numbrid. Iga tsoon projekteeritakse oma silindri pinnale, mis puutub kera mööda tsooni keskmeridiaani. Keskmeridiaan võetakse tasandilise projektsiooni x-teljeks.
regressioonhajuvus 32. Mida iseloomustab jääkstandardhälve? Jääkstandardhälve e. prognoosiviga iseloomustab funktsioontunnuse erinevust regressioonijoonest. 33. Milleks kasutatakse dispersioonanalüüsi? Analüüsi lugemisoskus. Dispersioonanalüüsi eesmärk on kontrollida gruppidevaheliste erinevuste statistilist olulisust. 34. Mis on funktsioontunnus? Y=b0+b1*x 35. Mis on argumenttunnus? Y=b0+b1*x 36. Ronald Fisher, Carl Friedrich Gauss, Sir Francis Galton, Ernst Hjalmar Waloddi Weibull. Ronald Aylmer Fisher (17. veebruar 1890 29. juuli 1962) oli inglise matemaatik ja evolutsiooniteoreetik. Ta formaliseeris loodusliku valiku teooria ja formuleeris loodusliku valiku teoreemid. Ta tegeles statistiliste meetoditega ning arendas katse planeerimise teooriat. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) · Saksa matemaatik, astronoom ja füüsik · Normaaljaotus ehk Gaussi kõver · Mõõtmisvigade kirjeldamine Sir Francis Galton (16
Elektriväli tekitab magnetvälja ja magnetväli tekitab elektrivälja Muutuv elektriväli tekitab muutuva magnetvälja ja muutuv magnetväli tekitab muutuva elektrivälja. Elektriväku tekitab voolu ja vool tekitab magnetvälja 6. Liikuvale laengule mõjub magnetväljas jõud, mis on risti liikumissuunaga on kiirusega vastassuunaline on kiirusega samasuunaline 7. Magnetinduktsiooni ühikuks SI süsteemis on Tesla Örsted Gauss 8. Magnetjõud võivad olla Ainult tõmbejõud Ainult tõukejõud nii tõmbe- kui tõukejõud. 9. Milliste objektide ümber on magnetväli? a. Liikuvad laetud kehad b. Vooluga juht c. Liikuva vooluga juht d. Laetud kehad 10. Magnetvälja jõujooned Algavad ja lõppevad magnetlaengutel Algavad ja lõpevad magnetpoolustel on kinnised kõverad. 11. Magnetvälja jõujooned Väljuvad lõunapooluselt ja sisenevad põhjapoolusele
,,Jä ha J ür i a loogi Pü ,,Neli mono er" ,,Väike Vipp Pulmareis" Luule ,,Söerikastaja" (1958) ,,Kivist viiulid" (1964) ,,Lauljad laevavööridel" (1966) ,,Vihm teeb toredaid asju" (1969) ,,Voog ja kolmpii" (1971) ,,Põhjatud silmapilgud" (1990) ,,Maailma avastamine" (2005) uustrükk Eitede tarkus Eitede tarkus (1965) Kord Veenuse faase oma emale teleskoobiga näitas Gauss. Eit vaatas. Täht paistis sealt temale kui uurakil nikkelkauss. Ja professorist poeg ühes jorus see talle rääkis, mis asi on faas... Eit kuulas. Ja pööras torusse oma vileda pilgu taas: "Palju maksma see värk küll pidi sul, sest tähe ta ligi toob, jah. Aga miks ta valepidi sul selle tähe keerab? Ah? Jaan krossi mõtteteri Aga siiski, missugune te olete, Jaan Kross? "Skeptik, aga ma usun, et küllaltki helge skeptik. Huumor pole mulle võõras
The invention of the telephone The invention of the telephone is the culmination of work done by many individuals. The presumption for the development of the telephone goes back to the year 1833 were Carl Friedrich Gauss and Wilhelm Eduard Weber invented the electric transmission of signals in Göttingen which set the fundamental basis for the technology. This invention is recognized to be the first electromagnetic telegraph of the world. (The development of the modern telephone involved an array of lawsuits founded upon the patent claims of several individuals.) Some of the inventors who gave their contribution for inventing the telephone are:
et sellest laanest tagasi ei tulda. Me läksime ja oksad läksid koos ning värskes õhus lõhnas sooja mulda. Kas tõesti kord saab tõde muinasloost? Ehk küll me ümber kivist linn on taas, me kõnnime, kui kõnniks me legendis. Neist õitest algas imeline aas, nüüd kõik need õied õitsevad meis endis ehk küll me ümber kivist linn on taas. Eitede tarkus (1965) Kord Veenuse faase oma emale teleskoobiga näitas Gauss. Eit vaatas. Täht paistis sealt temale kui uurakil nikkelkauss. Ja professorist poeg ühes jorus see talle rääkis, mis asi on faas... Eit kuulas. Ja pööras torusse oma vileda pilgu taas: "Palju maksma see värk küll pidi sul, sest tähe ta ligi toob, jah. Aga miks ta valepidi sul selle tähe keerab? Ah?
1. Kahe muutuja funktsioon ja selle osatuletise rakendused: ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal, näiteid Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2)...
●Õppis Westholmi gümnaasiumis ja Tartu ülikooli õigusteaduskonnas ●1944–1946 töötas Tartu ülikoolis õppejõuna. ●1954. aastast kutseline kirjanik. ●Jaan Kross on ka viljakas esseist, kriitik ja tõlkija. Jaan Krossi luule ● "Söerikastaja" ● "Tuule-Juku" ● "Kivist viiulid" ● "Lauljad laevavööridel" ● "Vihm teeb toredaid asju" ●"Põhjatud silmapilgud" Jaan Kross "Eitede tarkus" Kord Veenuse faase oma emale teleskoobiga näitas Gauss. Eit vaatas. Täht paistis sealt temale kui uurakil nikkelkauss. Ja professorist poeg ühes jorus see talle rääkis, mis asi on faas... Eit kuulas. Ja pööras torusse oma vileda pilgu taas: Palju maksma see värk küll pidi sul, sest tähe ta ligi toob, jah. Aga miks ta valepidi sul selle tähe keerab? Ah?
XIX sajandi esimesel kolmel aastakümnel toimus matemaatikas oluline muutus, võrreldes Newtoni - järgse heroilise perioodiga XVIII sajandil. Pärast laiaulatuslikku avardumist ja avastamisvabadust saabus tõestuselt suurema ranguse nõudmise aeg. Midagi taolist võib märgata ka tänapäeval. Oleks aga ennatlik püüda ennustada, missugune saab matemaatika olema järgmisel sajandil. Umbes 200 aastat tagasi aimas ainult Gauss, millise kuju matemaatika peatselt omandab. Nagu Newtongi oli ta aga liiga tagasihoidlik, et oma mõtteid Lagrange'ile, Laplace'ile ja Legendre'ile teatavaks teha. Enamik nende suurte prantsuse matemaatikute töödest oli ainult ettevalmistus, mille kasutasid ära hilisemad matemaatikud. Nii näitas Lagrange oma võrranditeteooriaga teed Abelile ja Galois'le ; Newtoni taevamehaanika diferentsiaalvõrrandite,
Crameri peajuhtumi korral Maatriksite jagamisest ei saa on suunatud lõik. Tehted avalduvad lin. Võrrandi süsteemi rääkida! vektoritega: Summa, vahe, tundmatud murdudena, mille 1. Maatriksi astak, selle korrutamine skalaariga (arvuga) nimetajates on süsteemi maatriks leidmine. Näide Koordinaatidega antud vektorid, determinant , lugejas maatriks kus Kui maatriksis leidub vähemalt tehted nendega Olgu antud tundmatute veerg on asendatud üks nullist erinev r –järku miinor, vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vabaliikmetega, determinant. kuid mitte ühtegi nullist Erinevat vektorit b kujul b _ a1a1 _ a2a2 Determinantide omadused, kõrgemat järku miinorit, siis _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on determinandi arendus rea (veeru) ...
SISSEJUHATUS GEODEESIASSE. Geoidi pind on ka nullnivooks, mille suhtes määratakse maapinna absoluutsed kõrgused. Ortogonaalproj mingi lähtepunkti ümbruses tuleb asendada maakera kumerpind horisontaalse tasandiga. Sellele projekteeruvad kõik vahelduvad punktid ja reljeefi elemendid. Horisontaalproj suhtarv, mis iseloomustab maapinna mõttelise osa kõrguse ja pikkuse suhtes. Horisontaalnurka on vaja teada geodeetiliste ja maastikupunktide plaanilise asendi määramisel. Neid mõõdetakse plaanil malliga, maastikul aga teodoliidi/bussooliga. Vertikaalnurk on maastiku kaldejoone ja horisontaaljoone vaheline nurk. Geodeetiliseks võrguks nim maastikul kindlustatud ja ühtses koordinaatide süsteemis olevat geodeetiliste punktide kogumit, millest lähtutakse geodeetilistel ja topograafilistel mõõdistamistel. Liigid: *Plaaniline geodeetiline võrk punktide asend on määratud geograafiliste ...
uuritud kosmoselennu ohte ning on väga oluline aru saada, kuidas sellised protsessid toimuvad, et oleks võimalik kosmose laevade projekteerijatel kasutada teaduslike uuringute tulemusi tulevaste kosmoseuurijate kaitsmiseks. Päris negatiivset hoiakut aga kuu-uurijatel Maa magnetvälja suhtes arendama hakata küll ei tasu - mine tea, äkki üks päev meil seda enam ei ole? Tänasel päeval on Maa magnetväli umbes 10% nõrgem, kui see oli 1845. aasta, mil Carl Friedrich Gauss hakkas esimesena arvet pidama tema tugevuse kohta. Tuginedes tardunud laava uurimistele üle maailma on pakutud, et Maa magnetväli vahetab oma pooluseid intervalliga, mis ulatub kümnetest tuhandetest kuni mitmete miljonite aastateni (keskmiselt 250 tuhat aastat). Viimane selline sündmus, antud nimega Brunhes- Matuyama reversal, leidis teoorias aset 780 tuhat aastat tagasi. Kui osa vedelast rauast tardub sisetuuma külge vabanevad kergemad metallid
*1801: Johann Wilhelm Ritter avastab hõbenitraadi valgustundlikkuse *1802: Thomas Wedgwood teeb hõbenitraadi abil valgustundlikuks muudetud paberiga putukate ja taimede siluettpilte *1807: William Hyde Wollaston konstrueerib joonistamisseadme, kaasaskantava, peegliga varustatud "camera lucida" *1816: Joseph Niecephore Niepce teeb esimesed fotokujutised camera obscura abil valgustundlikule paberile *1817: Carl Friedrich Gauss konstrueerib liitobjektiivi, mis koosneb kokkukititud optilistest elementidest *1824: J. N. Niepce teeb Camera Obscura abil asfaltplaadile 16,2cm x 20cm suuruse foto oma töötoa aknast avanevast õuevaatest *1835: William Henry Fox Talbot teeb valgustundlikule paberile foto oma elukoha aknast avanevast vaatest *1838: Louis Mande Daguerre trükib lendlehe, milles teatab, et on leiutanud mooduse, kuidas valguse abil hõbeplaadile kujutist tekitada *1839: 19
kasutavad Maa magnetvälja navigeerimisel Nagu kõik väljad, levib ka magnetväli lõpmatuseni kaotades jõudu distantsi pikenedes Veel ka kümnete tuhandete kilomeetrite kaugusele kosmosesse jäävat välja osa kutsume me magnetosfääriks. Seal kaitseb väli meid päikesetuule eest suunates osakesi maa pooluste suunas Tänasel päeval on Maa magnetväli umbes 10% nõrgem, kui see oli 1845. aasta, mil Carl Friedrich Gauss hakkas esimesena arvet pidama tema tugevuse kohta Maakera põhjapoolkeral asub Maa magnetiline lõunapoolus Maakera lõunapoolkeral asub Maa magnetiline põhjapoolus Pooluste sellised nimetused on tingitud sellest, et magnetnõela põhjapooluseks nimetati poolust, mis pöördub põhja suunas Kuna magnetite vastaspoolused tõmbuvad tuligi Maa magnetpoolused nimetada vastupidi Maa magnetiline lõuna poolus ei asu, aga geo
1.Mida uurib klassikaline füüsika ja millistest osadest ta koosneb? Mis on täiendusprintsiip? Mis on mudel füüsikas? Tooge kaks näidet kursusest. Uurib aine ja välja kõige olulisemaid omadusi ja liikumise seadusi. Füüsikaline seos, katse, hüpotees, mudel. Klassikaline füüsika koosneb staatikast, kinemaatikast ja dünaamikast. Niels Henrik David Bohr (1885 -1962, Taani, Nobeli preemia 1922): Ükski uus teooria ei saa tekkida täiesti tühjale kohale. Vana teooria on uue teooria piirjuhtum. Nii on omavahel seotud erinevad valdkonnad. Puudub kindel piir valdkondade vahel. Mudel on keha või nähtuse kirjeldamise lihtsustatud vahend, mis on varustatud matemaatilis...
Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant- Determinant: Ru...
Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (r...
võitnud MM-i hõbeda, kuuenda koha saanud Susanne Ljungskogil on kodus kas mailmameistrivõistluste kulda ning seitsmendaks tulnud Judith Arndt on maailmameister ja tal on ka kaks hõbedat ja üks pronks, meie Grete Treieril pole neile midagi vastu panna. MM- il Stuttgardis Treieril gruppisõit ebaõnnestus. Ta sai neljakümnenda koha ja elas üle kukkumise, mis jättis võistlusele tugeva pitser. Oktoobris sõlmis ta lepingu Itaalia profiklubiga Gauss RDZ. Töötasu tõusis tal kaks korda. Mitte just suure üllatusene valiti ta Eesti aasta parimaks naiajalgratturiks, meestset oli parim Rene Mandri. Eesti parim naisjalgrattur Grete Treier sai hooaja esimesel võistlusel Sveitsis Brissagos UCI teise kategoori GP-sõidul viienda koha. Oma hooaja esimesl MK etapil sai Treier 13.koha. Kaksikvõidu said hollandlased Chantal Beltman ja Marianne Vos. Juulis tuli tede, et Grete Treier on ainuke Eesti naisrattur, kes pääseb Pekingi olümpiale
Land der Dichter und Denker (poeetide ja mõtlejate maa). · Heliloojad: Bach, Beethoven, Brahms, Händel, Mendelssohn, Schumann, Wagner. · Kirjanikud: Böll, Goethe, Grass, Heine, Hesse, Mann, May, Schiller, Schweitzer. · Kunstnikud: Altdorfer, Dürer, Ernst, Baselitz, Beuys. · Filosoofid: Engels, Habermas, Hegel, Heidegger, Kant, Leibniz, Marx, Nietzsche, Schopenhauer. · Teadlased: Born, Bunsen, Einstein, Gauss, Heisenberg, Hertz, Hilbert, Kepler, Ohm, Planck, Röntgen. · Leiutajad: Benz, Diesel, Gutenberg, Lilienthal, Linde, Otto, Siemens, Zuse. Saksamaa lipp Saksamaa vapp 9
vähem uuritud kosmoselennu ohte ning on väga oluline aru saada, kuidas sellised protsessid toimuvad, et oleks võimalik kosmose laevade projekteerijatel kasutada teaduslike uuringute tulemusi tulevaste kosmoseuurijate kaitsmiseks. Päris negatiivset hoiakut aga kuu-uurijatel Maa magnetvälja suhtes arendama hakata küll ei tasu - mine tea, äkki üks päev meil seda enam ei ole? Tänasel päeval on Maa magnetväli umbes 10% nõrgem, kui see oli 1845. aasta, mil Carl Friedrich Gauss hakkas esimesena arvet pidama tema tugevuse kohta. Tuginedes tardunud laava uurimistele üle maailma on pakutud, et Maa magnetväli vahetab oma pooluseid intervalliga, mis ulatub kümnetest tuhandetest kuni mitmete miljonite aastateni (keskmiselt 250 tuhat aastat). Viimane selline sündmus, antud nimega Brunhes-Matuyama reversal, leidis teoorias aset 780 tuhat aastat tagasi. Kui osa vedelast rauast tardub sisetuuma külge vabanevad kergemad metallid
LABORATOORNE TÖÖ NR. 2 Mõõtmised topograafilisel kaardil II Punkti geodeetiliste ja ristkoordinaatide määramine Ülesanne 1. Määrata laboratoorses töös nr. 1 märgitud kolme punkti geodeetilised ja ristkoordinaadid ja kanda need tabelisse 2.1. Tabel 2.1. Punktide geodeetilised ja ristkoordinaadid Punkt B L X Y 1 59 11' 53" 24 59' 22" 6562,5 556,550 2 59 12' 58" 25 01' 16" 6564,55 558,4 3 59 11' 16" 25 00' 35" 6561,4 557,7 Maapinna punktide asukoht plaanidel ja kaartidel määratakse kindlaks koordinaatide abil. Põhilised kasutatavad koordinaatide süsteemid on järgmised. 1. Geodeetilised koordinaadid on punkti laius B ja pikkus L. Maa kuju määravaks matemaatiliseks pinnaks võetakse pöördellipsoid. Nivoopinnaks nimetatakse...
Kordamisküsimused : TEST: Loeng 11 Elektriväli ja magnetväli. Suurused: · Elektrilaeng - q (C) · elektrivälja tugevus E-vektor (1N / C) · elektrivälja potentsiaal = töö, mida tuleb teha (positiivse) ühiklaengu viimiseks antud väljapunktist sinna, kus väli ei mõju. (J) · magnetiline induktsioon B-vektor · Coulomb'i seadus kui pöördruutsõltuvus - Kaks punktlaengut mõjutavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende kehade laengutega ning pöördvõrdeline nende vahelise kauguse ruuduga. · Elektrivälja tugevuse valem ja väljatugevuste liitumine (vektorkujul!). Elektrivälja tugevus = sellesse punkti asetatud positiivsele ühiklaengule (+1C) mõjuv jõud. · Juhi potentsiaali ja mahtuvuse vaheline seos. Mahtuvus - juhile antud laeng jagatud juhi potentsiaaliga. Farad (F) - juhi mahtuvus, kui laeng 1 C tõstab tema potentsiaali 1 V võrra. Loeng 1...
pikendati 2008. aastal, et uurida Saturni süsteemi kevadise-sügisese pööripäeva ümber. Päike oli Saturni ekvaatori ja ühtlasi rõnga tasandis augustis 2009, mis tähendas Saturni põhjapoolkerale kevade ja lõunapoolkerale sügise saabumist. Missiooni lõpuosas loodetakse saada täiendavat infot Saturni sisemise struktuuri, magnetosfääri ja rõnga massi kohta. Saturnil on olemuslik magnetväli. Tal on lihtne, sümmeetriline kuju-magnetiline dipool. Tema tugevus on ekvaatoril-0,2 Gauss (20 T)-on ligikaudu üks kahekümnendik, mis on väli ümber Jupiteri ja veidi nõrgem kui Maa magnetväli. Selle tulemusena Saturni magnetosfäär on palju väiksem kui. Tõenäoliselt magnetväli on loodud sarnaselt Jupiterile. Hoovused on metallik- vesiniku kihist, mida nimetatakse metallik-vesinik dünamoks. Rühm Ameerika ja Inglise astronoome 2006. aastal teatas ajakirja Nature 30. märtsi numbris,
osakeste voog ei ole alati kindla tugevusega ning väli nõrgeneb ja tugevneb 18 aastase perioodiga. Hapgood selgitab, et staatiline elekter on üks vähem uuritud kosmoselennu ohte ning on väga oluline aru saada, kuidas sellised protsessid toimuvad, et oleks võimalik kosmose laevade projekteerijatel kasutada teaduslike uuringute tulemusi tulevaste kosmoseuurijate kaitsmiseks. Tänasel päeval on Maa magnetväli umbes 10% nõrgem, kui see oli 1845. aasta, mil Carl Friedrich Gauss hakkas esimesena arvet pidama tema tugevuse kohta. Tuginedes tardunud laava uurimistele üle maailma on pakutud, et Maa magnetväli vahetab oma pooluseid intervalliga, mis ulatub kümnetest tuhandetest kuni mitmete miljonite aastateni (keskmiselt 250 tuhat aastat). Viimane selline sündmus, antud nimega Brunhes- Matuyama reversal, leidis teoorias aset 780 tuhat aastat tagasi. Kui osa vedelast rauast tardub sisetuuma külge vabanevad kergemad metallid ning seda
1. Ökonomeetria mõiste ja ülesanded. Ökonomeetria komponendid. MÕISTE: Ökonomeetria on teadus ja kunst kasutada statistilisi tehnikaid ja majandusteooriaid majanduslike andmete analüüsimisel. ÜLESANDED: 1) Majanduslike nähtuste vaheliste seoste kvantitatiivne kirjeldamine 2) Majandusteoreetiliste hüpoteeside kontrollimine 3) Majandusnäitajate ja majandusarengu prognoosimine KOMPONENDID: · Majandusteooria · Andmed · Statistilised ja matemaatilised meetodid 2. Ökonomeetrilise mudeli olemus, mudeli komponendid. Ökonomeetrilise modelleerimise etapid. MUDELI OLEMUS: · Mudel on lihtsustatud ettekujutus reaalsest objektist, protsessist või nähtusest · Mudel on tegelikkuse abstraktsioon, üldistus · Mudel peab peegeldama ainult olulist, jätma teatud probleemi käsitlemisel kõrvale mitteolulise ÖKONOMEETRILISE MUDELI OLEMUS: Ökonomeetriline mudel on matemaatilise mudeli eriliik, mis koosneb üldjuhul alge...
Külma pihku toetab kuuma põske. Hullud alles udusulised. Ehk küll silm sul neeldud nutust rõske, pilgud on sul imetulised. Pikki tunde trelle pigistamast on su ahtakene käsi must. Kuid su süda juues ikka samast allikast ei tunne väsimust. Siin on habemikke hulgakaupa, kellel mures ankrust ära hing. Aga sinu selget lapselaupa ehib veendumuse säraring. (Kross, 2005) ,,Eitede tarkus" (1965) Kord Veenuse faase oma emale teleskoobiga näitas Gauss. Eit vaatas. Täht paistis sealt temale kui uurakil nikkelkauss. Ja professorist poeg ühes jorus see talle rääkis, mis asi on faas... Eit kuulas. Ja pööras torusse oma vileda pilgu taas: 10 "Palju maksma see värk küll pidi sul, sest tähe ta ligi toob, jah. Aga miks ta valepidi sul selle tähe keerab? Ah? ,,Luiteliivadel joostes" (1971) Luiteliivadel joostes tuli sinine meretuul ja ütles mulle: Tõeline armastus on olemas.
KVANDI EKSAM Lineaarsed planeerimisülesanded: Mõisted: · Matemaatilised meetodid võimaldavad majandusprobleeme formaliseerida ja neid lahendada. Tegelevad optimaalsete lahendite väljatöötamisega · Lineaarne planeerimisülesanne ülesanne leida tundmatutele sellised mittenegatiivsed väärtused mis kajastaksid sihifunktsiooni optimaalset väärtust, rahuldades kõiki kitsendusi. · Lubatav lahend ehk plaan - sellised lahendid, mis rahuldavad kõiki kitsendusi ja tingimussüsteemi mittenegatiivsuse nõuet · Optimaalne lahend tundmatute väärtused, mis muudavad sihifunktsiooni kas maksimaalseks või minimaalseks · Optimaalsuskriteerium juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang( sihifunktsioon ) · Optimeerimine vastavalt sihifunktsioonile ja kitsendustele parima lahendi leidmine Max põhikujuline ülesanne: Ülesanne on max põhikujuline, kui sihifunktsioonile otsitakse ...
5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk 8.klass Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk. kolmas täht vahele) ja tõmmatakse kohale joonestada kõõlude otspunktidesse raadiused kaareke; mõõdetakse kaarekraadides; kõõl: tekivad kaks võrdkülgset kolmnurka ringjoone kaht punkti ühendav lõik, kõige iga nurk on 60° pikem kõõl on ringjoone diameeter kõõlude vahele jääb kaks sellist nurka seega kõõlude vaheline nurk on 2 60°=120° NB kesknurk suurusega 1° toetub kaarele, mis moodustab ringjoonest 2.Kesknurk - ring...
Loenguplaan · Seos kahe tunnuse vahel kovariatsioon korrelatsioon Harilik lineaarne · Harilik lineaarne regressioonmudel Vähimruutude meetod parameetrite hinnangute leidmiseks regressioonmudel ...
1793 Lagrange, Laplace, Lavoiser ja teised määratakse Suure Prantsuse Revolutsiooni juhtide poolt välja töötama uut kaalude ja mõõtude süsteemi. 1793 Eli Whitney leiutab masina puuvilla puhastamiseks. 1794 Lavoiser giljontineeritakse Suure Prantsuse Revolutsiooni käigus. 1795 Lagrange, Laplace ja teised ellujäänud kuulutavad välja meetermõõdustiku kui kehtiva mõõdusüsteemi. 1795 Teismeline matemaatik Carl Friedrich Gauss leiutab vähimruutude meetodi. 1797 Andre Jacques Garnerin demonstreerib esmakordselt langevarju. 1798 Cavendish mõõdab gravitatsioonikonstandi väärtuse. 1798 Rumford näitab, et mehaanilist energiat saab soojusenergiaks muundada. 1798 Whitney soovitab hakata tootma vintpüsse konveiermeetodil. 1799 Laplace alustab "Taevamehaanika" väljaandmist, lõpetab selle 1825. aastal. 1800 Alessandro Volta leiutab patarei.
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüü...
1 T (tesla) on sellise homogeense magnetvälja induktsioon B, mis mõjub jõuga 1N temaga risti asetseva sirgjuhi igale jooksvale meetrile kui seda juhti läbib 1 A. 1 Wb (veeber) on selline magnetvoog , mis läbib 1m2 tasapinda, mis on risti homogeense magnetväljaga, mille induktsioon on 1 T. Absoluutne elektromagnetiline mõõtühikute süsteemis: Voolutugevus - 1 CGSMI = 10A; 6 Magnetiline induktsioon - 1 gauss (1Gs = 10-4T) Magnetvoog 1 maxwell (1Mx = 10-8Wb) Gaussi süsteem kõik CGSE, CGSM 1.7. Magnetvälja põhiseadus 1.7.1. Gaussi teoreem vektori B jaoks B dS = 0 S - vektori B jooned on alati kinnised jooned 1.7.2. Vektori B tsirkulatsiooniteoreem Bdl = µ0 I I = I k
Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Ajaloost Tekkinud 17. saj. seoses hasartmängudes (kaardid, täringud) tekkinud probleemidega kuidas jaotada panuseid, kui mäng juhtuks mingil põhjusel pooleli jääma, milliste kaartide korral on mõtet edasi mängida jms Tuntumad teadlased, kellel on suuri teeneid tõenäosusteooria arendamisel: De Fermat, Pascal, Huygens, Bernoulli, Gauss, Laplace, Kolmogorov jt Tänapäeval on tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika paljude ülikoolide mitmete erialade õppekavas. Põhimõisted katse põhimõtteliselt lõpmatult palju kordi teostatav toiming, mille korraldamise protseduur on fikseeritud; katse käigus jälgitakse, kas teatud sündmused toimuvad või mitte sündmus katse tulemus või erinevate tulemuste ühendamisel saadav tulemus Näit. Katseks on täringu viskamine, sündmusteks võivad olla järgmised:
teine enimõpitud võõrkeel. Saksa kultuur on väga rikas, riiki tuntakse kui das Land der Dichter und Denker (poeetide ja mõtlejate maa). · Heliloojad: Bach, Beethoven, Brahms, Händel, Mendelssohn, Schumann, Wagner · Kirjanikud: Böll, Goethe, Grass, Heine, Hesse, Mann, May, Schiller, Schweitzer · Filosoofid: Engels, Habermas, Hegel, Heidegger, Kant, Leibniz, Marx, Nietzsche, Schopenhauer · Teadlased: Born, Bunsen, Einstein, Gauss, Heisenberg, Hertz, Hilbert, Kepler, Ohm, Planck, Röntgen · Leiutajad: Benz, Diesel, Gutenberg, Lilienthal, Linde, Otto, Siemens, Zuse
Võimed Võimed on isiksuse omadus, millest sõltub tegevuse edukus. Võimed on sünnipäraste algmetega. Võimed arenevad ja avalduvad tegevuses. Võimetest räägitakse kolmel tasandil : · Andekus · Talent · Geniaalsus Võimeid omavate inimeste erakordsed tulemused on väga suure töö tulemus. Edissoni järgi koosneb geenius 1% inspiratsioonist ja 99% ,,higist". Väga varakult ilmnevad võimed imelapsed. (Karl Fr. Gauss oli 19a. kuulus matemaatik). · Üksikvõimed : silmamõõdu täpsus, taju kiirus. · Erivõimed : matemaatika, muusika, kunst. · Üldvõimed : kuulub ja intelligentsus e. arukus. Intelligentsus on üldine võimekus käituda eesmärgipäraselt, mõelda ratsionaalselt ja tulla keskkonnas edukalt toime. See tähendab võimet asjadest aru saada, arutleda, lahendada probleeme, planeerida, näha toimuva mõtet ja taibata sündmuste põhjuslikke seoseid.
rajajaid. Boltzmann arendas edasi Maxwelli elektromagnetväljateooriat ja aitas seda populariseerida. Ta kaitses kirglikult molekulaarkineetilist teooriat ning kandis peamist koormat võitluses molekulide olemasolu eitavate teadlaste seisukohtadega. Tema auks on nimetatud Boltzmanni konstant k. Elektromagnetismi areng Millised katsed mõjutasid elektromagnetismi ja elektri õpetuse arengut kõige enam. Johann Carl Friedrich Gauss (30 April 1777 23 February 1855) was a German mathematician and scientist who contributed significantly to many fields, including number theory, statistics, analysis, differential geometry, geodesy, electrostatics, astronomy, and optics. Wilhelm Eduard Weber (24 October 1804 23 June 1891) was a German physicist. * Saksa füüsik, kes koostas absoluutse mõõtühikute süsteemi. Ta ehitas Saksamaale esimese elektromagnetilise telegraafi * Tema nime kannab magnetvoo mõõtühik.
saj.) Erasmus 1528.a. dialoog Ciceronianus. Encomium moriae, Adagia, Colloquia familiaria. Tõlked rahvuskeeltesse ja nendest ladina keelde. Sebastian Brandt Narrenschiff 1494, `Stultifera navis' 1497; I. Kant Opera ad philosophiam criticam 1796-1798. Barbaarse ja kultuurse keele probleem Saksamaa. Philipp Melanchthon (Schwarzerd, 1497-1560) .Ladinakool, kooliteater. Jesuiidid ja ratio studiorum. Propaganda fidei Ladina keel kui filosoofia ja teaduse keel. Isaac Newton, Karl Linné, Carl Fr. Gauss .Kuid: Galileo Galilei (Dialogi dei massimi sistemi 1632) Uushumanistlik renessanss: formaalne ladina keele õpetus (grammatika ja mõistuse treenimine). Elav keel: 1889 L'Aquilas Alaudae 20. saj. lõpus, 21. saj. alguses ladina keele klubid, Academia Latinitati Fovendae Pronuntiatio restituta antiikne hääldus. Ajakirjad Melissa, Vox Latina,; http:// pagina.de/lupa. Retiarius internetis Ladina keele roll tänapäeval 1) romaani keelte baas; 2) katoliku kiriku keel (Vatikan)
Lahendus: Süsteemi determinant det A = 4 1 ; 1 -3 2 1 det x1 = = 1 - (-27) = 28, det x 2 = = 18 - 4 = 14. 9 1 4 9 det x1 28 x1 = = = 2, det A 14 det x 2 14 x2 = = = 1. Siis det A 14 Kontoll oli tehtud eelmises punktis, nii et siin saab seda ära jätta. Vastus: x1 = 2, x2 = 1. III. Gauss Jordani meetod Antud meetod kasutab maatriksi elementaarteisendusi ridadega: 33. maatriksi kahe rea vastastikune ümbervahetamine; 34. rea korrutamine nullist erineva arvuga; 35. reale liitmine mingi teine rida kordne arvuga. Maatriksi ridade elementaarteisendused ei muuda maatriksile vastava lineaarvõrrandite süsteemi lahendite hulka. Meetodi algoritm: 36. Kirjutada välja LVS (1) laiendatud maatriks, 37
9 1 4 9 - 36 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina det x1 28 x1 = = = 2, det A 14 Siis det x 2 14 x2 = = = 1. det A 14 Kontoll oli tehtud eelmises punktis, nii et siin saab seda ära jätta. Vastus: x1 = 2, x2 = 1. III. Gauss Jordani meetod Antud meetod kasutab maatriksi elementaarteisendusi ridadega: 1. maatriksi kahe rea vastastikune ümbervahetamine; 2. rea korrutamine nullist erineva arvuga; 3. reale liitmine mingi teine rida kordne arvuga. Maatriksi ridade elementaarteisendused ei muuda maatriksile vastava lineaarvõrrandite süsteemi lahendite hulka. Meetodi algoritm: 1. Kirjutada välja LVS (1) laiendatud maatriks, 2
1. Topograafiliste kaartide iseloomustus. Topograafiline kaart ehk topokaart on maapinna füüsilisi omadusi peegeldav suuremõõtkavaline kaart. Topokaardi iseloomulikuks omaduseks on reljeefi kujutamine. Tavaliselt tehakse seda samakõrgusjoonte abil. Siiski ei tee reljeefi kujutamine kaardist veel kindlasti topokaarti. Topokaart on suuremõõtkavaline, nii et sellel saaks kujutada ka asulaid, vetevõrku, teid, taimkatet jms. Topograafiliseks kaardiks on näiteks Eesti põhikaart, mille mõõtkava on paberkaardil 1:20 000. 2. Eesti põhikaardi projektsioon. Iseloomustus ja valiku põhjendus. Selle kaardi tegemise eesmärgiks oli anda suverräänsele riigile oma kaardisüsteem. Eesti põhikaardi koostamisele eelnes suur projekteerimistöö ja põhikaardi programm valmis 1990.aastal. - Projektsioonid Põhikaardi projektsiooni valikul lähtuti järgmistest kriteeriumitest: 1) Moonutuste lubatav suurus 2) Eesti peab olema ühel projektsiooni pinnal 3) Ühtse ristko...
Rene Descartes 1637.a. või null (s.t. D = b2 - 4ac 0). Esimesel juhul on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist 2Sõna "kompleksne" tähendab eesti keeles "liitne"; selle nimetuse andis arvudele lahendit, teisel juhul on lahendid võrdsed. a + bi esmakordselt saksa matemaatik Gauss (1777-1855). Missugused on aga ruutvõrrandi lahendid siis, kui võrrandi diskriminant on Kompleksarvude korrutamine ja jagamine negatiivne ? Vaatleme mõnda näidet. Korrutame arvud a + bi ja c + di. Kaksliikmete korrutamise reegli järgi 2 2 4 2 Näide 4. Lahendame võrrandid x + 16 = 0, x - 2x + 10 = 0 ja x - 3x - 4 = 0
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
