Nõtketegur ϕ: 1λE2 Kui λ ≥ λE , siis φ = n2λ2 1 λ2 kui λ < λE , siis φ = (1 − ) n 2λE2 𝜆 – varda saledus vastava kinnituse korral λE – Euleri piirsaledus Varras 1: 69.45 < 108 5 3 * 69.45 69.453 n= 3 + 8 * 108 − 8 * 1083 ≈ 1.87 φ1 = 1 1.87 (1 − 69.452 2 * 1082 ) ≈ 0.42 Varras 2: 138.88 > 108 n = 1.92 1 * 1082 φ2 = 1.92 * 2 * 138.882 ≈ 0.16
anti 15-aastasele Eulerile aktusel bakalaureusekraad. 23. oktoobril 1723 astus Euler vastavalt isa soovile usuteaduskonda. Peale usuteaduslike ainete õppis ta veel kreeka, ladina ja heebrea keelt. Huvi klassikalise kirjanduse vastu säilis tal kõrge vanuseni. 8. juulil 1724 pidas Euler ülikooli aktusel ladina keeles kõne Descartese ja Newtoni filosoofiast ning sai magistrikraadi. Samaaegselt sai sellesama kraadi tema sõber Johann II Bernoulli, kes oli temast kolm aastat noorem. Euleri matemaatikuks saamise juures oli Johan Bernoulli'l, Paseli ülikooli matemaatikakateedri juhatajal, veel üks oluline teene. Ta aitas veenda oma andeka õpilase isa, et to lubaks pojal vaimuliku kutse asemel valida endale teadlase ameti.Lõpetanud 1726. a. ülikooli, ei tahtnud Euler tegevusetult istuda, vaid otsustas kandideerida vabanenud füüsika 3 õppetoolile Baseli ülikoolis. Et pääseda kandideerima, esitas Euler uurimuse ,,Heli
kohta materjale ka mujalt: küsitlesin oma isa, testisin veel kord Aaroni teadmisi ning loomulikult sai ka Google´i arvamust küsitud. Kokkuvõtteks tegin avastuse, et e-arv on üsna tavapärane termin matemaatikas ning ei ole ta midagi nii maagilist ja salapärast, lihtsalt üks lõputu arv nagu pii. Kasutada saan ma teda eksponentvõrrandites ning iial ei puutu ta kokku x-teljega, läheneb talle vaid. Siiski üks põnev avastus oli, e-arvul on ka pikem nimi – Euleri arv. E-arv ehk Euleri arv on lõputu arv väärtusega ~2,71821824. Sellel on palju kasutusalasid ning neid leiab füüsika valemites kui kirjeldatakse järjest kasvavaid või kahanevaid suuruseid nagu näiteks eksponentsiaalselt kasva spiraali või radioaktiivse lagunemise kirjelduses. Matemaatikas on e oluline osade liitintresside ja tõenäosuste kirjelduses. Bernoulli oli e algse väärtuse leidjaks ja selle väärtuse nime andja Šveitsi matemaatik Leonhard Euler polnud siis veel sündinudki
dr Siis dw 1 u + w- 2 = 0 dr r r Saame kaks esimese astme differentsiaali du = w, dr dw w u =- + 2 dr r r Võtame algselt diferentsiaali väärtuseks sisemisel raadiusel w(5) = du (5) u (8) - u (5) = -0.00026540 dr 8-5 Et üles seada esmase väärtuse probleem kasutame Euleri meetodit = w = f1 (r , u , w) du dr (5) = 0.0038371' ' u = f 2 (r , u, w), dw w u =- + dr r r2 w(5) = -0.00026540 Euleri meetodit on protseduur esmase väärtuse probleemide arvutamiseks, kus iga järgneva väärtuse arvutamiseks kasutatakse eelneva arvutuse väärtust
Ruudukujulise nelikantristlõike mõõtmed (H x B x T) valida vastavalt üliõpilaskoodi viimasele numbrile A. Varda pikkus L valida vastavalt üliõpilaskoodi eelviimasele numbrile B. Ruudukujulise nelikanttoru ristlõike andmed võtta juuresolevast Ruukki tootekataloogi väljavõttest. Vajalikud etapid: 1. Tuvastage tootetabelist nelikanttoru ristlõike vajalikud parameetrid; 2. Arvutage antud materjalile Euleri piirsaledus E; 3. Arvutage ohtlik saledus varda iga kinnitusviisi jaoks; 4. Arvutage nõtketegur varda iga kinnitusviisi jaoks; 5. Arvutage koormuse F suurim lubatud väärtus (0,1 kN täpsusega) varda iga kinnitusviisi jaoks; 6. Võrrelge ja analüüsige saadud tulemusi ning soovitage varda otstarbekaim kinnitusviis. Ristlõike kuju vastavalt üliõpilaskoodi viimasele numbrile A
Lihtahel on ahel, mis ei sisalda korduvaid kaari. Elementaarahel ei sisalda ühtegi tippu üle ühe korra. Suletud tee on tee orienteeritud graafil, mis lõppeb alguspunktis. Kontuur on tee mis lõppeb oma alguspunktis ning ei läbi ühtegi tippu korduvalt. Hamiltoni kontuur läbib igat tippu 1 kord orienteeritud graafil. Hamiltoni tsükkel läib kõik tipud 1 kord orienteerimata graafil. Euleri kontuur on suletud lihttee, mis läbib igat kaart üks kord orienteeritud graafil. Euleri tsükkel on suletud ahel, mis läbib igat kaart üks kord orienteerimata graafil. Euleri graaf omab euleri tsüklit. Orienteerimata graafi Euleri tunnuseks on sidusa graafi paarisarvuline tippude aste. Orienteeritud graafi Euleri tunnuseks on sisend ja väljunastmete võrdsus. Hamiltoni graaf omab hamiltoni tsüklit.
jääkgraaf Baas: selline minimaalne tippude osahulk, kus selle osahulga tippudest leidub tee selle graafi mistahes tippu (orienteeritud graafis) Elementaarahel: elementaartee orienteerimata graafis Elementaartee: tee, mis ei läbi ühtki graafi tippu üle ühe korra Euleri ahel: läbib täpselt 1 kord kõik orienteerimata graafi kaared, aga ei lõpe oma algustipus. Euleri graaf: (orienteerimata) graaf, mis omab Euleri tsüklit. Euleri kontuur: suletud lihttee Euleri tsükkel: suletud lihtahel Hamiltoni graaf: (orienteerimata) graaf, mis omab Hamiltoni tsüklit Hamiltoni kontuur: läbib täpselt 1 kord kõik orienteeritud graafi tipud ja lõpeb oma algustipus Hamiltoni tsükkel: läbib täpselt 1 kord kõik orienteerimata graafi tipud ja lõpeb oma algustipus Isomorfsus: 2 graafi on isomorfsed, kui neil on sama tippude ja kaarte arv ning need on
Asendades ex Maclaureni reas oleva muutuja x imaginaararvuga iφ , saab kompleksarvude summa: 1 1 1 1 1 e iφ=1+ iφ+ (iφ)2 + (iφ )3+ (iφ)4 + (iφ)5 +… 1! 2! 3! 4! 5! Teisendades parem pool oleva kompleksarvu algebralisele kujule: 1 2 1 4 1 1 e iφ=(1− φ + φ −…)+i(φ− φ 3+ φ5−…) Euleri valem e iφ=cosφ +isinφ 2! 4! 3! 5! cos φ sin φ Kasutades trigonomeetrilist kuju ja Euleri valemit: z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρ e iφ iφ Kompleksarvu eksponentkuju z=ρ e TEHTED EKSPONENTKUJUL Kompleksarvud z 1=ρ 1 ei φ 1
Varuteguri nõutav väärtus on [S] = 2. Ruudukujulise nelikantristlõike mõõtmed (H x B x T) valida vastavalt üliõpilaskoodi viimasele numbrile A. Varda pikkus L valida vastavalt üliõpilaskoodi eelviimasele numbrile B. Ruudukujulise nelikanttoru ristlõike andmed võtta juuresolevast Ruukki tootekataloogi väljavõttest. Vajalikud etapid: 1. Tuvastage tootetabelist nelikanttoru ristlõike vajalikud parameetrid; 2. Arvutage antud materjalile Euleri piirsaledus E; 3. Arvutage ohtlik saledus varda iga kinnitusviisi jaoks; 4. Arvutage nõtketegur varda iga kinnitusviisi jaoks; 5. Arvutage koormuse F suurim lubatud väärtus (0,1 kN täpsusega) varda iga kinnitusviisi jaoks; 6. Võrrelge ja analüüsige saadud tulemusi ning soovitage varda otstarbekaim kinnitusviis. Ristlõike kuju vastavalt üliõpilaskoodi viimasele numbrile A
teljesihilise survekoormuse arvutus (kui koormuse siht ei suhteliselt pikk ja muutu) peenike varras 13.2.1. Liigendkinnitustega varras Sirgele ja mõlemast otsast liigendiga (sarniirselt) toetatud ümarvardale mõjub kriitilise väärtusega suruv telgkoormus FCR (Joon. 13.2). Vastavalt Euleri algoritmile mõjugu siis vardale (antud peatasandis) ka põiksuunaline juhuslik häiring FH: · tekib väike ja püsiv läbipaine (kui läbipaine häiringu kadudes püsib, kuid ei suurene, ongi rakendatud koormus kriitilise väärtusega FCR); · vardas mõjuvad sisejõud: pikijõud N ja paindemoment M; · varda iga ristlõike paindemoment M sõltub sealselt
kui 3 8 λE 8 λE Nõtketegur ϕ: 2 1 λE Kui λ ≥ λ E , siis φ= 2 n2 λ 2 1 λ λ<λ E , siis φ= (1− 2 ) kui n 2 λE � – varda saledus vastava kinnituse korral λE – Euleri piirsaledus Varras 1 (68,18 < 108) 5 3∗68,18 68,18 3 n= + − ≈ 1,87 3 8∗108 8∗1083 68,18 2 φ1 = 1 1,87(1− 2 ¿ 1082 ) ≈ 0,43 Varras 2 (136,36 > 108) n=1,92 2 1∗108 φ2 = 2 ≈ 0,16 1,92∗2∗136,36 Varras 3 (34,09 < 108) 5 3∗34,09 34,093 n= + − ≈ 1,78
Ahela pikkus on k kui selles on k+1 tippu. Ahel võib läbida mõnda tippu mitu korda. Lihtahel kõik tipud läbitakse üks kord. Tippude u ja v vaheline kaugus - tippude u ja v vahelise lihtahela pikkus Tsükkel ahel mis lõpeb samas tipus kus algab. Sidus graaf iga kahe tipu vahel leidub ahel. Euleri tsükkel tsükkel mis läbib kõik graafi servad täpselt üks kord. (graaf euleri graaf). Teoreem: Graafis leidub Euleri tsükkel parajasti siis, kui graaf on sidus ja tema iga tipu aste on paarisarv. Hamiltoni tsükkel- tsükkel mis läbib graafi iga tippu täpselt üks kord (Hamiltoni graaf). Mitteorienteeritud graaf: NB: Tippude ja kaarte paigutus ja kuju joonisel pole oluline. D B Tipud: A, D, B, C, E Kaared: (AD),(AC),(DB),(BC),(CE) A C E
Teatud kindlal ajahetkel võib kiirust igas punktis kujutada vastava kiirusvektorina. Sellist vektorite süsteemi nimetatakse kiiruste väljaks. Voolujooneks nimetatakse sellist kõverat kiirusteväljas, kus kiirusvektor on igas punktis kõverale puutujaks. 36. Potentsiaalne liikumine Potentsiaalne liikumine on selline liikumine, mille puhul vedeliku kiirused vastavad tingimustele ; . 37. Vedeliku liikumise diferentsiaalvõrrandid ja Euleri võrrand. Euleri võrrandid 38. Bernoulli võrrand voolujoonele hõõrdevaba vedeliku statsionaarsel liikumisel? Pidevuse võrrand diferentsiaalvõrrandi kujul. 5 39. Reaalvedeliku voolamise põhivõrrand Navier-Stokes'i võrrand 40. Keerisvoolamise põhimõisted
[23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood. Märgendatud puude loendamine. Cayley teoreem. [37]. Märgendamata puude arv. [38]. Kooskõlad graafis. Berge'i teoreem. [39]. Kooskõlad kahealuselises graafis. Halli teoreem. [40]. Tasandiline graaf. Euleri valem: seos tasandilise graafi tippude, servade ja tahkude arvude vahel. Eulri valemi rakendusi. [41]
http://www.greengate.ee/print.php?page=4&id=13340 HULKTAHUKAS Hulktahukaks ehk polüdeedriks nimetatakse hulknurkadega piiratud geomeetrilist keha. Tahudhulktahku piiravad hulknurgad Servadhulknurkade küljed Diagonaallõik, mis ühendab kahte erineval tahul 3 paiknevat hulktahuka tippu Kumer hulktahukaskui kogu see hulktahukas jääb oma iga tahu tasapinnast ühele poole Euleri teoreem: Kui kumeral hulktahukal on T tippu, S serva ja R tahku, siis T+RS=2 4 Korrapärane hulktahukas ehk platooniline keha kumer hulktahukas, mille kõik tahud on omavahel võrdsed korrapärased hulknurgad ja kõik mitmetahulised nurgad on samuti võrdsed. Nimi filosoof Platoni järgi 5 Korrapärane tetraeeder 4 võrdkülgset kolmnurkset tahku Kuup ehk korrapärane heksaeeder 6
Mis on tsükkel? Suletud tee on tee orienteeritud graafil, mis lõppeb oma algustipus. Kontuur on suletud elementaartee orienteeritud graafil. Tsükkel on orienteerimata graafi suletud elementaarahel. 12. Mis on Hamiltoni kontuur? Mis on Hamiltoni tsükkel? Hamiltoni kontuur läbib täpselt 1 kord kõik orienteeritud graafi tipud ja lõppeb oma algustipus. Hamiltorni tsükkel läbib täpselt 1 kord kõik orienteerimata graafi tipud ja lõppeb oma algustipus. 13. Mis on Euleri kontuur? Mis on Euleri tsükkel? Euleri kontuur on suletud lihttee ehk kaartejärjestus, mis läbib täpselt 1 kord kõik orienteeritud graafi kaared ja lõppeb oma algustipus. Euleri tsükkel on suletud lihtahel ehk kaartejärjestus, mis läbib täpselt 1 kord kõik orienteerimata graafi kaared ja lõppeb oma algustipus. 14. Milline on Euleri graafi tunnus orienteerimata graafi korral? Orienteerimata graaf on Euleri graaf, kui
Seega kannab voolujoon informatsiooni voolu suuna, mitte aga selle kiiruse kohta. Samakiirusjoonteks ehk isotahhideks nimetatakse jooni, mis ühendavad punkte, kus voolukiirus omab sama väärtust. isotahhid ei anna informatsiooni kiiruse suuna kohta Gaasi voolamise kirjeldamiseks on vaja kaks eeltingimust: 1. Gaas on mitte kokkusurtav 2. Voolamisel puudub takistusjõud - p - - l nimetatakse üldjuhul rõhu gradiendiks. - grad p = p*a EULERI VÕRRAND Pidevuse võrrand: BERNOULLI VÕRRAND - dünaamiline rõhk Ja bernoulli võrrand - Kui voolamine toimub nii, et voolava keskkonna kihid omavahel ei segune, nimetatakse taolist voolamist laminaarseks. turbulentse voolamisega, kus tekkinud keeriste tõttu leiab aset erinevate vooluse paralleelsete kihtide intensiivne segunemine Üldine seaduspärasus on, et väiksemate voolukiiruste juures on voolamine
· Servad- hulknurkade küljed · Tipud- hulknurkade tipud · Diagonaal- lõik, mis ühendab kaht mitte ühel tahul asetsevat hulktahuka tippu · Diagonaaltasand- tasand, mis läbib hulktahuka kahte mitte ühele tahule kuuluvat serva · Diagonaallõige- hulktahuka ja tema diagonaaltasandi ühisosa Kumerad hulktahukad · Kogu hulktahukas jääb oma iga tahu tasapinnast ühele poole · Iga kahte punkti ühendav lõik jääb hulktahuka sisse · EULERI teoreem: Kui kumeral hulktahukal on T tippu, S serva ja R tahku, siis T+R-S=2 Korrapärased hulktahukad · Platoonilised kehad · Kumer hulktahukas, mille kõik tahud on omavahel võrdsed korrapärased hulknurgad ja kõik mitmetahulised nurgad on samuti võrdsed · Korrapärane tetraeeder, oktaeeder, ikosaeeder, dodekaeeder ja kuup PRISMA Kaks tahku on vastavalt võrdsete ning paralleelsete V=Sph külgedega hulknurgad ja kõik teised tahud on rööpkülikud
2005 3) mõiste, mis on piiritlemata mahuga, mille tõttu ei ole võimalik määratleda antud mõiste klassikuuluvust; loogikas on sellist mõistet nimetatud null-mõisteks. Saksa füüsik ja matemaatik L.Euler (1707-1783) on võtnud mõistete mahuliste iseärasuste võrdlemiseks kasutusele ringid, hiljem loogikas tuntud nimetusena Euleri ring. Mahuliste iseärasuste võrdlemiseks mõistete jada: ü a l h d 1. Organism e i 2. Taim n s 3. Puu d t 4. Kuusk a a m m i
Varuteguri nõutav väärtus on [S] = 2. Ruudukujulise nelikantristlõike mõõtmed (H x B x T) valida vastavalt üliõpilaskoodi viimasele numbrile A. Varda pikkus L valida vastavalt üliõpilaskoodi eelviimasele numbrile B. Ruudukujulise nelikanttoru ristlõike andmed võtta juuresolevast Ruukki tootekataloogi väljavõttest. Vajalikud etapid: 1. Tuvastage tootetabelist nelikanttoru ristlõike vajalikud parameetrid; 2. Arvutage antud materjalile Euleri piirsaledus E; 3. Arvutage ohtlik saledus varda iga kinnitusviisi jaoks; 4. Arvutage nõtketegur varda iga kinnitusviisi jaoks; 5. Arvutage koormuse F suurim lubatud väärtus (0,1 kN täpsusega) varda iga kinnitusviisi jaoks; 6. Võrrelge ja analüüsige saadud tulemusi ning soovitage varda otstarbekaim kinnitusviis. Ristlõike kuju vastavalt üliõpilaskoodi viimasele numbrile A
1. Algandmed Materjal: S355J2H Varda pikkus: L = 900 mm Mõõtmed: 50 x 50 x 5 Voolepiir tõmbel: σy=355 Mpa Materjali elastsusmoodul E = 210 GPa Varuteguri väärtus: [S]=2 Varraste redutseerimistegurid: μ1=1 ; μ2=2 ; μ3=0,5 ; μ4 =0,7 LE 1 =μ 1∗L=900=0,9 m LE 2 =μ 2∗L=1,8 m LE 3 =μ3∗L=0,45 m LE 4=μ 4∗L=0,63 m B = H = 50 mm T = 5 mm 4 I x =I y =25,69 cm i x =i y =1,78 cm A=8,14 cm2 Euleri piirsaledus arvutamine λ E= √ 2 π2 E σy λ E= √ 2 π 2 210∗10 9 355∗10 6 ≈ 108 Ohtliku saleduse tuvastamine LE1 0,9 λ1= = =50,6 imin 1,78∗10−2 LE2 1,8 λ2= = =101,1 i min 1,78∗10−2 LE3 0,45 λ3 = = =25,3 i min 1,78∗10−2 LE 4 0,63 λ 4= = ...
39. Sidususteoreem. [2] o Teoreem. Kui n-tipulisel graafil on m serva ja k sidusat komponenti, siis kehtivad võrratused o Tõestus. 1) induktsiooniga m järgi, 2) mitu serva saab olla k komponendi ja n tipu korral? o Järeldus. Kui n-tipulisel graafil on vähem kui n-1 serva, siis see graaf on mittesidus. o Järeldus. Kui n-tipulisel graafil on rohkem kui (n-1)(n-2)/2 serva, siis see graaf on sidus. 35 40. Euleri tsükkel ja Euleri graaf. Näited. Euleri tsükli leidumise kriteerium. [2] Euleri tsükkel o DEF: Tsüklit, mis läbib graafi kõik servad täpselt üks kord, nimetatakse Euleri tsükliks. Euleri graaf o DEF: Graafi, kus leidub Euleri tsükkel, nimetatakse Euleri graafiks. Euleri tsükli kriteerium o Teoreem. (Euler, 1736). Sidusas graafis leidub Euleri tsükkel parajasti siis, kui graafi iga tipu aste on paarisarv. o Tarvilikkus
matemaatika haruks, millel oli palju erinevaid rakendusi. Trigonomeetria oli populaarne samuti 17. sajandil, kuid kõik erines sellest, mida me õpime tänapäeval. Siinus oli ikka veel kindla pikkusega lõik kindla raadiusega ringjoones, mitte suhe ja keegi ei olnud veel mõelnud siinusest kui funktsioonist selle tänapäevases mõttes. Kõik see juhtus peale matemaatilise analüüsi leiutamist ning pandi lõplikult paika Leonhard Euleri (1707–1783) poolt 18. sajandil. Tänu tema töödele läheneme me trigonomeetriale nii nagu me teeme seda tänapäeval. Kuni XVI sajandini oli osa matemaatikast, mida me tänapäeval kutsume trigonomeetriaks, osake astronoomiast. Alates XVI sajandist muutus trigonomeetria iseseisvaks uurimisobjektiks. Selle perioodi tähtsamaks trigonomeetriliseks tööks sai Johannes „Regiomontanus“ Mülleri (1436–1476) raamat „Igasugustest kolmnurkadest“. Raamat ise
Siinuse spekter e j (ω c t +ϕ ) + e − j (ω c t +ϕ ) Euleri valem: cos(ω c t + ϕ) = 2 ∞ ∞ 1 ( ) ∫ cos(ω c t + ϕ)e − jωt dt = 2 ∫ e j(ω c t +ϕ ) + e − j (ω c t +ϕ ) e − jωt dt −∞ −∞ 1€∞ j (ω c t +ϕ ) − jωt 1 ∞ − j (ω c t +ϕ ) − jωt = ∫e e dt + ∫ e e dt 2 −∞ 2 −∞ 1 jϕ ∞ j 2πf c t − j 2πft 1 − jϕ ∞ − j 2πf c t − jωt = e ∫e e dt + e ∫ e e dt 2 −∞ 2 −∞ 1 jϕ ∞ − j 2π ( f − f c ) t 1 − jϕ ∞ − j 2π ( f + f ...
korrapäratus, määramatuse (korralageduse) sünonüüm. Bifurkatsioon Näide 19. Verhulsti mudel- Modelleerib populatsiooni kasvu suletud piirkonnas) Lihtsaim mudel populatsiooni arvukuse kirjeldamiseks (kaos ökoloogias): x n+1=r*xn(1-xn) seda valemit nim. ka logistiliseks võrrandiks. Siin xn on arvukus hetkel T ja xn+1 arvukus hetkel T+DT. Kasutatakse taandatud populatsiooni, jagatakse maksimaalse populatsiooniga, ehk x on nn dimensioonita populatsioon lõigus 0st 1-ni. Meetodiks Euleri meetod, samm DT=1. Simulatsiooni pikkus algul 50 või 100. Andes ette x0 ja r saame arvutada populatsiooni igal järgneval ajahetkel. Kui r on küllalt väike sureb populatsioon välja. Kui r on pisut suurem, aga < 3, siis toimub koondumine nullist erineva populatsiooni arvu juures. Kui aga 3 < r < 3.45, siis toimub võnkumine kahe tasakaalupunkti vahel: punktis r=3 toimus bifurkatsioon (diagrammi kvalitatiivne muutus parameetri r väikesel muutmisel). Väärtuse r=3
35. Homogeense diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine. 36. Murdlineaarset avaldist sisaldava diferentsiaalvõrrandi taandamine homogeenseks võrrandiks. 37. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine muutuja vahetusega ja konstantide varieerimise meetodil. Bernoulli diferentsiaalvõrrandi kuju, teisendamine lineaarseks võrrandiks. 38. Eksaktse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, eksaktsuse tingimus, lahendusmeetod. 39. Euleri ligikaudse lahendusmeetodi arvutusvalem. 40. Lineaarsed konstantsete kordajatega homogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Võrrandi üldkuju, lahendusvalemid kõigil juhtudel. 41. Lineaarsed konstantsete kordajatega mittehomogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Erilahendi leidmine. 42. Lineaarsed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Homogeense ja mittehomogeense võrrandi kuju, üldlahend mõlemal juhul. 43
Hüdrosilindrid Labortöö nr 4 Kasutusala: Hüdrosilinder on hüdrosüsteemis asendamatu komponent, mille abil muudetaksee hüdroenergia mehaaniliseks energiaks. Erinevalt hüdro-mootorist, mille väljundiks on pöörlev liikumine, kasutatakse hüdrosilindreid kulgliikumise realiseerimiseks. Hüdrosilindrite tähtsamateks kasutus valdkondadeks on koormuste tõstmine ja langetamine, lukustus ja nihutus. Tüübid: 1) ÜHEPOOLSE TOIMEGA SILINDRID Vedruta ühepoolse toimega silinder - Vedruta ühepoolse toimega silindris toimub kolvi liikumine ühes suunas hüdroenergia toimel, vastassuunas aga välise jõu mõjul. Ühepoolse toimega silindri korral räägitakse ühest kolvi ...
temaga intsidentsete servadega graafi sidusate komponentide arv kasvab. e. Tarvilik ja piisav tingimus silla jaoks, https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php? id=107318 lk 54. 37) a. Sidususteoreem. Kui n-tipulisel graafil on m serva ja k sidusat komponenti, siis kehtivad võrratused b. Tõestus. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=107318 lk 54 55 38) a. Tsüklit, mis läbib graafi kõik servad täpselt üks kord, nimetatakse Euleri tsükliks. b. Graafi, kus leidub Euleri tsükkel, nimetatakse Euleri graafiks. c. Nt, postiljoni marsruudi valimine, et ühtegi tänavat mitu korda ei läbiks. d. Euleri graafi leidumise kriteerium. Sidusas graafis leidub Euleri tsükkel parajasti siis, kui graafi iga tipu aste on paarisarv. d.i. Tõestus. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=107318 lk 56. d.ii. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=113195 lk 28. 39) a
siis, kui graafis G1 on serv tippude f(u) ja f(v) vahel o Näitamaks, et kaks graafi ei ole isomorfsed: näitame, et kas tippude arv, servade arv, tipuastmete järjend, lühima tsükli pikkus või erinevate lihtahelate arv kahe tipu vahel on erinevad o Neid suurusi nimetatakse invariantideks Tsüklit, mis sisaldab kõiki graafi tippe ja läbib graafi kõik servad täpselt üks kord, nimetatakse Euleri tsükliks Graafi, kus leidub Euleri tsükkel, nimetatakse Euleri graafiks (nt ümbriku joonistamine ühe joonega) Euleri tsükli leidumise kriteerium: graafis leidub Euleri tsükkel parajasti siis, kui graaf on sidus ja tema iga tipu aste on paarisarv Ahelat, mis läbib graafi kõik tipud täpselt üks kord, nimetatakse Hamiltoni ahelaks Tsüklit, mis läbib graafi kõik tipud täpselt üks kord, nimetatakse Hamiltoni tsükliks Graafi, kus leidub Hamiltoni tsükkel, nimetatakse Hamiltoni graafiks (nt
kahe tipu a/b korral leidub tee kas tipust a tippu b või vastupidi. Orienteerimata graafi korral on teele vastav kaartejärjestus ahel. Suletud tee on tee orienteeritud graafil, mis lõppeb oma algustipus. Kontuur on suletud elementaartee orienteeritud graafil. Hamiltoni kontuur läbib (täpselt 1 kord) kõik orienteeritud graafi tipud (ja lõpeb algustipus). Orienteerimata graafi suletud elementaarahel on tsükkel. Hamiltoni tsükkel läbib (täpselt 1 kord) kõik orienteerimata graafi tipud. Euleri kontuur on suletud lihttee, mis läbib (1 kord) kõik orienteeritud graafi kaared. Euleri tsükkel on suletud lihtahel, mis läbib (1 kord) kõik orienteerimata graafi kaared. Euleri ahel läbib ka 1 kord kõik orienteerimata graafi kaared, kuid ei lõpe oma algustipus. Sidus graaf on Euleri graaf, kui tema kõikide tippude aste on paarisarvuline. Graafi 𝐺 = (𝑇, 𝐾) jääkgraaf on graaf 𝑄 = (𝑇, 𝐵), kus 𝐵 ⊂ 𝐾. Seega saadakse jääkgraaf osade kaarte
Nimimõõde-arvutuste tulemusena saadud või ristlõike kuju järgi. …………… ++ kosntruktiivselt valitud mõõde Tegelik mõõde-valmise Lamerihmad(nahk, puuvill), mitmikrihmad, ümarrihmad eseme ülemõõtmise tulemusena saadud mõõde 29 Rihmülekande töötamise põhimõte. Euleri valem. 8 Mis on tolerants ja millest oleneb tema arvuline ……………………………. +++ suurus? …………………….. ++ Koormust kantakse üle hõõrdejõuga rihma ja ratta Tolerants-suurima ja vähima piirmõõtme vahe. Suurus kokkupuutepinnas.Rihm on ratastel pingutatult.Jõudude jaotust oleneb tolerantsi järgust ja nimimõõdu suurusest
19. sajandi teisel poolel. Täpsemalt 1880. aastal John Venn populariseeris selle kasutamist oma raamatus pealkirjaga „On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings.” Kuid juba 13. sajandil kasutasid filosoofid ja matemaatikud sarnast diagrammi, nii võib oletada, et Venni diagramm on olemas olnud juba palju kauem. (A history…, 2013) Venni diagramm on sarnane Euler´i diagrammiga, mis loodi Leonhard Euleri poolt 18. sajandil. (The history…, 2013) Sellest võib järeldada, et paljud teadlased, filosoofid ja matemaatikud on sarnaseid diagramme kasutanud ka varemalt ning mida aeg edasi, seda enam arendatakse Venni diagrammi edasi ja leitakse sellele erinevaid kasutusvõimalusi. 1.2. Venni diagrammi olemus Venni diagrammiga on diagramm hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks. Venni diagramm on efektiivne moodus saada kiiret ja selget ülevaadet mingist avaldisest (Täht, 2016, lk 5)
Kompleksarv võrdub nulliga siis, kui x 0 ja iy 0, kus n = rn (cos n + sin n) x reaalosa yi immaginaarosa Juurimine: n z= nr (cos (+2k)/n+ i sin (+2k)/n) Komplesarvude liitmine: 1 Z2 x1 iy1 x2 iy2 Euleri valem: = r(cos + isin) = rei Kompleksarvude lahutamine: 1 2 x1 iy1) x2 iy2 ) Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Kompleksarvude kordamine: Liitmine:
numbrid). Need numbrid graveeriti tema hauakivile, mis 19. sajandil kaduma läks. Aastal 2000 valmistati uus ja see asub Hollandis Leidenis Peetri kirikus. William Shanks, Briti harrastusmatemaatik (1812-1882) arvutas välja arvu π 707 esimest numbrit. See tähendas 15 aastat käsitsi arvutamist. Kahjuks tegi ta vea peale 527 numbrit ja järelikult kõik järgmised numbrid olid valed. Piiblis on arvu π väärtuseks öeldud 3. Ülemaailmselt võeti täht π kasutusele alles peale Leonhard Euleri töid 1737. aastal. Huvitavaid fakte π kohta 4 Augustis 2010 anti teada, et π väärtustest on kindlaks tehtud 5 triljonit komakohta. 2011 aastal arvutati üle 10 triljoni π komakoha. Teaduslikes arvutustes ei kasutata tavaliselt rohkem kui 40 komakohta. 1768. aastal tõestas Johann Lambert, et arvus pii ei saa leida ühtegi korduvat arvuperioodi. Igal aastal tähistatakse arvu π päeva 14
· Kehtivad omadused (1-7) · Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada ja tõlgendada punktidena tasandil, kus on fikseeritud ristkoordinaadistik (Cartesiuse koordinaadistik) · Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele vastava kompleksarvu kaugusena koordinaat telgede alguspunktist. · Suurust fii nim kompleksarvu argumendiks. · 1. algebralinekuju 2.maatrikskuju 3. vektor kuju 4. trigonomeetrilinekuju 5. eksponentkuju · Euleri valem: · Moivre valem: Algebralised süsteemid · algebralise süsteemi mõiste koosneb hulgamõistest ja algebralise tehte ehk arvutusoperatsiooni mõistest. · Olgu hulk M selline, mis koosneb näiteks arvudest, funktsioonidest, vektoritest, maatriksitest, sõnadest, sündmustest jne või ükskõik millistest ühelaadsetest objektidest. Edaspidi nim hulka M elementideks. M= {a,b,c,....} · Edasises loeme kehtivaks järgmised 3 omadust: (1-3) 1
Seega kannab voolujoon informatsiooni voolu suuna, mitte aga selle kiiruse kohta. Samakiirusjoonteks ehk isotahhideks nimetatakse jooni, mis ühendavad punkte, kus voolukiirus omab sama väärtust. isotahhid ei anna informatsiooni kiiruse suuna kohta Gaasi voolamise kirjeldamiseks on vaja kaks eeltingimust: 1. Gaas on mitte kokkusurtav 2. Voolamisel puudub takistusjõud - p - - l nimetatakse üldjuhul rõhu gradiendiks. - grad p = p*a EULERI VÕRRAND Pidevuse võrrand: BERNOULLI VÕRRAND - dünaamiline rõhk Ja bernoulli võrrand - Kui voolamine toimub nii, et voolava keskkonna kihid omavahel ei segune, nimetatakse taolist voolamist laminaarseks. turbulentse voolamisega, kus tekkinud keeriste tõttu leiab aset erinevate vooluse paralleelsete kihtide intensiivne segunemine Üldine seaduspärasus on, et väiksemate voolukiiruste juures on voolamine
Re= µ , kus ρ- vee tihedus, temp 21,5 kraadi; µ- vee viskoossus= 0,0011 Pa*s Re kriteeriumi väärtused on toodud tabelis 2. 3) Arvutame rõhukao ∆ p, Pa (katse käigus mõõdetud rõhulangu ∆ H põhjal); ∆ p= ρ*g* ∆ H, kus g=9,81m/s2 Arvutatud rõhukao väärtused on tabelis 2. ▲p 4) Arvutame Eu kriteeriumi väärtuse valemiga (1.5) Eu= ρω2 . Euleri kriteeriumi väärtuste valemid on tabelis 2. 7 5) Arvutame sirge toru hõõrdekoefitsendi ƛ väärtused erinevatele torudele. Hõõrdekoefitsendi saame hõõrdekao valemist (valem 1.1) l ∗ω 2∗ρ ∆ p =ƛ* d ∆ pd 2 h ≫ ƛ= 2 lρω 2
Staatikaga määratavates konstruktsioonides termopinges temperatuuri ühtlasest muutusest ei teki, sest nendes süsteemides on konstruktsioonielemendil võimalus vabalt deformeeruda. Tavaliselt püütakse termopinge taset alandada mitmesuguste konstruktiivsete võtetega. Näiteks torustikes moodustatakse painduvad kompensaatorid. 12. Surutud sale varras (põhiseosed, sirge varda stabiilsus ja kriitiline koormus, tugede mõju sellele; Euleri valemi kasutatavuse piir; varda arvutus survele). Nõtke ja kriitiline koormus: Mõlemast otsast liigenditele toetatud vardale mõjub tsentriliselt rakendatud jõud F. a. Tugevustingimuste rahuldamiseks peab olema tagatud b. Jäikustingimuse rahuldamiseks peab olema tagatud Isegi siis, kui koormus F on tugevustingimust kohaselt lubatav, võib varras kaotada stabiilsuse ja seega ka kandevõime
Eksponentfunktsiooni määramispiirkond on kõik reaalarvud. Muutumispiirkond on ]0;[, nullkohad puuduvad. Kui funktsiooni alus on a>1, siis on funktsioon alati kasvav, kui a<1, siis kahanev. Logaritmfunktsioon Logaritmi definitsioon on järgmine: ab=c -> b=logac Logaritmi alus ei tohi olla kunagi negatiivne või 1! Kõige tavalisemad logaritmi alused on 10, 2 ja e, mis on Euleri arv. Logaritmi alusel Euleri arv nimetakse naturaallogaritmiks ja tähistatakse ln. Logaritmi omadused: Logaritm korrutisest ja jagatisest: Logaritm astmest: Logaritmi astme vahetamine: Eksponentvõrrand Eksponentvõrranditel on mitu erinevat lahendusvõtet: 1) Samale alusele viimine
Determinandid DEF 1: Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nim kujutuseks hulgast V hulka W ning märgitakse üles järgmiselt: f:VWvõi V (f)W või xy või y=f(x) DEF 2: Kui iga x korral hugast V on eeskirja f abil vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et tegemist on ühese kujutamisega hulgast V hulka W Determinant reaalarv, millele on vastavusse seatud ruutmatriks. DEF 3: Determinandi arvutuseeskiri: Determinantide omadusi 1) Det väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada (transponeeritud maatriks) 2) Kui det teatavad 2 rida/veergu omavahel ümber paigutada, siis muutub det märk vastupidiseks 3) Det mingi rea/veeru kõigi elementide läbi korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu det läbi sama arvuga 4) Kui det on teatavad kakse rida/veergu kas võrdsed või võrdelised, siis võrdub ko...
a) Vaba keha diagrammi pole vaja b) Konservatiivsete süsteemide puhul on kogu dünaamika koondatud ühteainsasse funktsiooni c) Reaktsioonjõude pole vaja d) Liikumisvõrrandid saadakse kiiremini Lagrange'i teist liiki võrrandite puudused: a) Reaktsioonjõudusid ei saa arvutada, kui selleks vajadus tekib b) Aluseks olev teooria on matemaatiliselt suhteliselt keeruline 29) Sfääriliselt liikuva keha asendi määramiseks on otstarbekas kasutada nn. Euleri nurki. Vaatleme paigalseisvat teljestikku xyz ja kehaga jäigalt seotud liikuvat teljestikku . M~olema teljestiku alguspunktid olgu kinnispunktis O. Tasandite xy ja lõikejoont ON nimetatakse sõlmjooneks. Positiivne suund sõlmjoonel määratakse kruvireegliga: kui pöörata parema käe kruvi z telje poolt telje poole vähimat nurka mööda, siis määrab kruvi liikumise suund sõlmjoone positiivse suuna.
Voolukiirus on vastavalt pidevuse võrrandile pöördvõrdeline ristlõikepindalaga. Kuna aga dünaamiline rõhk on võrdeline kiiruse ruuduga, siis järelikult on dünaamiline rõhk pöördvõrdeline toru läbimõõdu neljanda astmega. Õige vastus on: suureneb pöördvõrdeliselt toru läbimõõdu neljanada astmega. Kui voolus voolab torus hõõrdumisvabalt, siis kuidas jaotub rõhk piki toru? Hõõrdumisvaba vooluse voolamist torus kirjeldasime Euleri võrrandiga, mis sisaldas rõhu gradienti ja kiirendust erineval pool võrdusmärki. Kui kiirendus õrdub nulliga, siis võrdub nulliga ka rõhu gradient, st. rõhk on ühtlaselt jaotunud. Kui aga pump tekitab kiirenduse, tekib rõhu jaotus, mida kirjeldatakse rõhu radiendi abil. Seega, kui ei tea, kas voolamine toimub kiirendusega või ilma, ei saa küsimusele vastata. Õige vastus on: ei saa vastata, sest ei tea, kas voolus voolab kiirendusega või ilma. Millal
1) Mis on füüsikalise suuruse nagu Jõud mõõtühik, ning kuidas esitada see suurus hüdromehaanika põhiühikute kaudu? (hüdromehaanika põhiühikud on: pikkuse, massi, aja ja temperatuuri mõõtühikud)! Jõu mõõtühik SI süsteemis on Njuuton (N). Jõud 1N annab kehale, mille mass on 1kg, kiirenduse 1m/s 2 1N= 1kg*m/s2 2) Mis on füüsikalise suuruse nagu Rõhk mõõtühik, ning kuidas esitada see suurus hüdromehaanika põhiühikute kaudu? Rõhu põhiühik SI süsteemis on Pascal. 1 paskal (Pa) = 1 N/m2 = 1 J/m3 = 1 kg·m–1·s–2 3) Mis on füüsikalise suuruse nagu Energia mõõtühik, ning kuidas esitada see suurus hüdromehaanika põhiühikute kaudu? Energia mõõtühik on Joule(džaul) J. 1J on energia hulk, mis kulub keha liigutamiseks ühe meetri võrra, rakendades sellele jõudu 1 njuuton (N) 1J=1N*m=1kg*m2/s2 4) Mis on füüsikalise suuruse nagu Võimsus mõõtühik, ning kuidas esitada see suurus hüdromehaanika põhiühikute kaudu? Võimsuse mõõtühik on Watt(vatt) (1W). ...
üheksaks jaotatud. Kuigi numbrid 1-9 paiknesid sellegipoolest nii, nagu nad paikneksid, kui ruut oleks üheksaks jaotatud. Sellised mõistatused esinesid prantsuse ajalehtedes vaid kümnendi vältel. Esimeseks maailmasõjaks olid need lehtedest läinud. Meile teada-tuntud sudoku on koostatud Howard Garnsi poolt, kes oli pensionil arhitekt ja vabakutseline mõistatustekoostaja. Oma esimese mõistatuse avaldas ta 1979. aastal. Inspireerituna Leonhard Euleri „Ladina ruudustiku“ leiutisest, lisas Garns asjale kolmanda dimensiooni (suurema ruudu sisse väiksemad ruudud) ja esitles seda moodustist mõistatusena, andes lahendajale ette pooleldi-valmis ruudustiku ja lastes tal täita ülejäänud ruudud. Esmakordselt avaldati selline mõistatus New Yorgis ajakirjas „Dell Pencil Puzzles and Word Games“ nime all „Number Place“ („Numbrite paigutamine“). Sudokut tutvustati Jaapanis esmakordselt Nikoli poolt ajalehes „Monthly
Iga lahendi integraaljoon läbib suunavälja nii, et igas punktis puudutab ta vektorvälja vektorit . erilahend, mis rahuldab algtingimust läbib punkti P( x0 , y0 ). Selline geomeetriline tõlgendus võimaldab dif.võr ligikaudselt lahendada. Algpunktis P( x0 , y0 ) leitakse tõus ja liigutatakse sirgjoont mööda punktini P1( x1 , y1 ), kus . Seejärel leitakse tõus ja jätkatakse mööda sirget kuni punktini P2( x2 , y2) . Saadud murdjoont nim Euleri murdjooneks. 3. Eralduvate muutujatega võrrand Esimest järku dif.võr (3.1) On eralduvate muutujatega võrrand, kui avaldised A(x,y) ja B(x,y) tegurduvad nii, et iga tegur sõltub vaid ühest muutujast. , Sel juhul saame üldlahend 4. Homogeenne esimest järgu võrrand Def 4.1 Funktsioon f(x,y) on s-järku homogeenne funktsioon, kui kehtib võrdus (4.1) Kui s=0, siis on see nulljärku homogeenne funktsioon ehk lihtsalt homogeenne funktsioon. (4.1)'
R1 = u1 ja R 2 = u2 ) . Asendades valemis M = Q ( c2 R2 cos 2 - c 1R 1 cos 1) R1 = u1 ja R2 = u2, saame tsentrifugaalpumba teoreetiliseks survekõrguseks: Hteor. = Q ( c2 u2 cos 2 c1u1cos 1) / g Q , ehk (c 2 u 2 cos 2 - c 1 u 1 cos 1 ) H teor = g (Euleri võrrand) See on tsentrifugaalpumba põhivõrrandi üldkuju ehk Euleri võrrand. Nüüdisaegsed pumbad on ehitatud nii, et vedelik voolab töörattasse raadiuse suunas . Seega 1 = 90 o ja cos 1 = 0 ja võrrandi võib kirjutada 38 c 2 u 2 cos 2 H teor = g Vastavalt Euleri võrrandile on tsentrifugaalpumba rõhk H võrdeline vedeliku osakeste liikumise absoluutkiiruse, joonkiirusega (ringkiirusega) ja
(f+g)()=f()+g(); (*f) ()=f(*) Kõik kujutused, mis rahuldavad eelpool mainitud 2. Kui determinandis 2 rida/veergu 3. Trigonomeetriline: =r*(+i*) ; Euleri valem: tingimusi nim. lineaarkujutuste vektorruumiks ja märgime L. Nullvektorist erinevat vektorit, mis teatava lineaarteisenduse f
· Isikunime täpsustav täiendosa kirjutatakse suure algustähega ning ta liitub põhisõnaga sidekriipsu abil: Kaval-Ants, Räpsi-Rein, Kniks-Mariihen, Pläralära-Leenu, Pime-Kaarli. · Isikunime juhuslik täiend säilitab oma algustähe ja kirjutatakse nimest lahku: keele Veski, matemaatika Kull, proosa Kangro ja luule Kangro, lava Pearu, balleti Toots, Pinna Napoleon. · Isikunimi kirjutatakse suure algustähega ka isikunimelise täiendiga ühendites: Euleri teoreem, Avogadro arv, Volta element, Botkini tõbi, Corti elund, Berthollet' sool, Engelmanni kuusk. · Isikunimi kirjutatakse erandlikult väikese algustähega usundinimetustes, nt luteri usk. Perioodikaväljaanded: · Perioodikaväljaannete nimed kirjutatakse läbiva suurtähega: ajalehed Rahva Hääl, Oma Saar, Eesti Ekspress, Õpetajate Leht, Pärnu Postimees, ajakirjad Keel ja Kirjandus, Eesti Loodus, Teater. Muusika. Kino., Eesti Arst, Elu Pilt,
André-Marie Ampère Referaat 12 klass 2010 Sisukord 1. Sissejuhatus Teen referaadi prantsuse füüsikust ja matemaatikust André-Marie Ampére'ist. Valisin selle teema, sest valikute seas oli see üks tuttavaid nimesid, kuna tema järgi on saanud nimetuse ka elektrivoolu tugevuse ühik. Töö eesmärk on rohkem tema kohta teada saada ja enda silmaringi avardada, esmavaatlusel tundub, et tegu oli väga targa mehega juba lapsest saati. Kuna eesti keeles pole tema eluloo kohta internetis midagi leida, on referaat inglise keelest tõlgitud. 2. Elulugu André-Marie Ampére sündis Hill Valley's Prantsusmaal 20. jaanuaril 1775. aastal. Ta isa Jean-Jacues oli edukas mees, omades maja Lyonis ning suvilat Poleymieuxis. Kuni André-Marie seitsmeseks saamiseni veetis pere enamuse aastast Lyonis, väljaarvatud suvekuud, mis veedeti Poleymieuxis. 1782. aastal sai suvilast Poleymieuxis pere peamine residents, kuna isa soo...
Lahendus a = 18 (81 + 78 + 85 + 83 + 79 + 82 + 84 + 80) = 81,5mm = 0,0815m m b l 6 13,5 7,5 GM = = = 1,863m a 4000 0,0815 3.3. PÜSTUVUS SUURTEL KREENINURKADEL 3.3.1. Püstuvuse õlg ja Reed'i diagramm 34 3. Laeva püstuvus Laeva põiki kallutamisel suure kreeninurgani ei saa Euleri teoreemi rakendada, sest kalde keskpunkt ja algveejoone tasandi keskpunkt ei lange enam kokku. z M BM GM WL G Z W B B1 K E N CL y Joon. 8
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
