Tallinna Tehnikaülikool Automaatikainstituut Mõõtmine Labor 5 aruanne Maria Kohtla 103548IAPB 14.05.2011 Tallinn 2011 Töö käik V1 multimeeter B7-37 V2 multimeeter B7-40 G - generaator G3-112 Siinuseline signaal f = 1000Hz, U=3V U1 = 3,000 V; U2 = 3,010 V 20 U 1=±1,50,2 -1 %= ±2,63 %= ±0,0789V 3,000 20 U 2=± 0,60,1 -1 %= ±1,15 %= ±0,0346V 3,010 U1 = 3,000 ± 0,079 V U2 = 3,010 ± 0,035 V Mõõtetäpsuse piires langevad tulemused kokku. Nelinurksignaal f = 1000Hz, U=3V V1 mõõdab signaali mooduli keskväärtust V2 mõõdab signaali efektiivväärtust U1 =3.950 V U2 =3.568 V Um = Ue 2 Ukesk = Um * 2 / Ue = K * Ukesk K = Ue / Ukesk = (Um / 2 ) / (Um * 2 / ) = / 2 2 = 1,1107 Nelinurksignaali ...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHHATROONIKAINSTITUUT MHE0061 MASINATEHNIKA KODUTÖÖ NR 1 ÜLIÕPILANE:- KOOD: - RÜHM: KAOB JUHENDAJA: A.Sivitski Töö esitatud: 06.10.2009 Arvestatud: TALLINN 2008 Lähteandmed: F1=16 kN F2=28 kN F3=59 kN = 75° = 85° = 65° Materjal: S355J2H Reh= 355 MPa (Voolavuspiir) [S] = 1,5...3 []= Reh/[S] []=355/ 1,5 = 237 MPa Lahendus: 1.Koostan tasakaaluvõrrandid: Fx=0 F2+F3*cos N2*cos N1 F1*cos = 0 28+29*cos75 N2*cos85 N1 + 16*cos65 = 0 0,98N2 N1 = -91,38 (kN) Fy=0 -F1*cos(90- ) + N2*sin + F3*sin = 0 -16*cos25 + N2*sin85 + 59*sin75 = 0 N2 = -38,9 (kN) Seega: N1=54,4 kN N2= -38,9 kN Järeldus: Varras 1 on tõmmatud, sest N1 suund on ristlõikest väljapoole. Varras 2 on surutatud, seega joonisel N2 suund vastupidine (tähistatud pun...
Tähistame = PQ = d (P, Q ) . f (P ) f (Q ) - f (P ) r Def. Piirväärtust r = lim nimetatakse funktsiooni f tuletiseks vektori s s 0 suunas punktis P . Teoreem 2: Kui funktsioon f ( x, y ) on diferentseeruv punktis P , siis leidub f (P ) r r = f x (P ) cos + f y (P ) cos , kus s e = (cos , cos ) on vektori s suunaline ühikvektor. s Tõestus. Kuna f on diferentseeruv, siis (p. 8 põhjal). f (Q ) - f (P ) f x (P )x + f y (P )y + 1 x + 2 y 1 x 2 y = = f x (P ) cos + f y (P ) cos + +
19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42
, u u u . ., . - (Z)-I<. f ( x, y )dxdy = f ( cos C-: 1) . . . (S ) (G )
x y See ongi muudu z esitus kujul (4.1), kus z z A= , B= ja ( ) = ( x ) x + ( y ) y + ( y ) x x y Leiame piirväärtuse ( ) x y lim = lim [ ( x ) + ( x ) ] + ( y ) =0 0 0 0 0 x = cos 1 y = sin 1 M.O.T.T. Diferentsiaali geomeetriline tähendus Funktsiooni z = f ( x, y ) diferentsiaal on geomeetriliselt võrdne z-muutuja muuduga puutujatasandil, mis vastab argumentide muudule x ja y. Teoreemi 4.1 kohaselt z z dz = x + y x y z z Võtame z = x , siis = 1, =0 x y dz = dx = 1x + 0y = x dx = x z z
sin α = a/c sin β = b/c cos α = b/c cos β = a/c cos α = sin(90o-α) tan α = a/b tan β = b/a tan α = 1/tan(90o- α)
Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y = f (x). Kuidas leida sellist funktsiooni y = F (x), mille tuletiseks oleks antud funktsioon y = f (x), st kuidas leida funktsiooni y = F (x), kui on teada, et F (x) = f (x)? Funktsioon f (x) = 2x osutub näiteks funktsiooni F (x) = x2 tuletiseks, funktsioon f (x) = sin x on aga funktsiooni F (x) = - cos x tuletiseks. Sel juhul öeldakse, et funktsioon F (x) = x2 on funktsiooni f (x) = 2x algfunktsioon
positiivne osa. 28. Arcsina- Siinuse poordfunktsioon, leiab nurga, mille siinus on antud. x=(-1)narcsinx+k 29. Arccosa- x= +,- arccosx+2k 30. Arctana- x= arctanx+k 31. Perioodiline funktsioon- · Funktsiooni y=f(x) , mis rahuldab tingimust f(x+p)=f(x), kus p0 iga x korral määramispiirkonnas X nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks. Arvu p nimetatakse seejuures funktsiooni perioodiks. · Trigonomeetriliste funktsioonide perioodid · Sinx ja cos x ---- 2 tanx ja cotx ---- · Perioodi leidmiseks tuleb võrdusest f(x+p)=f(x) määrata p, st lahendada vastav võrrand p suhtes · Leiame funktsiooni y=sin3x perioodi. 6x + 3 p 3p 2 cos sin =0 · 2 2 sin3(x+p)=sin3x; sin3(x+p)-sin3x =0 32. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse tarvilikkuse ja piisavuse seos, näide · Ühe omaduse eksisteerimine või puudumine toob kaasa teise omaduse
ENERGIA Mehaaniline töö Jõu f mõju pikkusega s teel iseloomustatakse suurusega, mida nimetatakse tööks. Töö on skalaarne suurus, mis on võrdne rakenduspunkti poolt läbitud teepikkuse s korrutisega selle jõu liikumissuunalise projektsiooniga fs: A=fs s. Avaldis kehtib tingimusel, et fs jääb muutumatuks; see peab paika ka siis, kui keha liigub mööda sirget ning jõud moodustab selle sirgega püsiva nurga . Et fs = cos, saame, et A=f s cos. Kui jõud ja liikumise suund moodustavad teravnurga, on töö positiivne; kui nürinurga, on töö negatiivne. Kui = , on töö võrdne nulliga. Kui jõu liikumissuunaline projektsioon ei jää konstantseks, tuleb tee jagada elementaarlõikudeks ning seejärel kogu teel s tehtud töö leiame kui elementaartööde summa A=Ai fsi si . Kui kõik si lähenevad nullile, saab ligikaudsest võrdusest range: A= limsi ->0 fsi si = fsds .
.., 1*p arg z = Skalaarkorrutis: arg z = arg z + 2*k 2*1, 2*1, ..., 2*p * = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn (kus k on täisarv) .... Kompleksarvu trigonomeetriline kuju x r cos, y r sin n*1, n*2, ..., n*p x iy r cosir sin r cosi sin Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete = x iy trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse ning korrutamise vahel on kompleksarvu mooduliks ja suurust selle kompleksarvu järgmised:
Kui on antud w=(x; y; z) siis s°=(cos;cos;cos) ja s s 0 s w/s=w/xcos+w/ycos+w/zcos Gradient w=(x; y; z) skalaarväli (määrab ära) gradw=(w/x; w/y; w/z) gradient määrab vektorvälja. Gradientvektor e gradient. gradz s Z=(x; y) grad z=(z/x; z/y) ja s°=(cos; cos) ning z/s=grad zs° (joon) cos = gradz s gradz s cos = grad zs°=grad zcos z/s=grad zcos. Kahe muutuja f-ni z tuletis vektori s suunas on gradz võrdne selle f-ni grad-vektori projektsiooniga vektorile s. Kahe muutuja f-ni tuletis suunas mis on risti grad-ga, võrdub nulliga. (Kui =0 siis cos=1)
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Automaatikainstituut Töö nr. 2 nimetusega Signaalide mõõteseadmed Õppeaine ISS0050 Mõõtmine ARUANNE Üliõpilane: Aruanne esitatud: .................................... Aruanne kaitstud: .................................... Käesolevaga kinnitan, et töö on tehtud minu poolt ning selle aruande kirjutamisel ei ole kasutatud kõrvalist abi. .................................. (allkiri) 1. Voltmeetrite vearajad B7-37 ...
3126m 312mm * [ ] 0,0006 * 180 * 10 6 3. Keevisõmbluste pikkuste arvutamine Võtan laupõmbluse pikkuseks vahelehe laiusele võrdse pikkuse ehk ll = b = 312 mm ning keevituskaateti võtan lehe paksuse järgi ehk z = b = 6 mm. Eeldades et külg- ja laupõmblused on võrdtugevad (lk ~= 0,5 ll) ning kombineerides laupõmbluse ning lühikeste õmbluste valemeid, saame keevisõmbluste nihkpingemomendist valemi: T , kus a = cos 45º z ning T on õlg*jõud. T = M = l2 a * lk * ll + a * l 6 Leian külgõmbluse lk pikkuse, võttes arvesse vaid keevisõmbluseid väänavat koormust T. Tugevustingimus: T T = [ ] k ,õmblus l l2 a * l k * ll + a * 6 Arvutan 0,4 * 4400
Kui on olemas l~oplik piirv¨aa¨rtus lim[g(x) ln f (x)] = A, siis lim u(x) = lim eg(x) ln f (x) = eA . Niisiis ln(cos 2x) 2 (cos 2x)1/ sin x =e sin2 x . Arvestame, et cos 2x = cos2 x - sin2 x ja sin2 x + cos2 x = 1, siis ln(cos 2x) ln(cos2 x - sin2 x) 1 - 2 sin2 x = = . sin2 x sin2 x sin2 x Kuna (-2 sin2 x) 0 (x 0), siis ln(1 - 2 sin2 x) -2 sin2 x. J¨arelikult ln(cos 2x) -2 sin2 x lim = lim = -2.
ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 = sin cos Seega f ( x, y )dxdy = f ( cos + a, sin + b) dd D D' 10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine ruumitiheduse kaudu Vaatleme tasandilist piirkonda D, mis on kaetud mingi ainega nii, et piirkonna iga pindalaühiku kohta tuleb teatud hulk seda ainet. Valime piirkonnas D suvalise osapiirkonna S
· Siinusteoreemi põhjal: = = ; sin BCA sin CAB sin ABC 1,86 sin 53 1,86 sin 25 BC = 1,519 km; AC = 0,804 km. sin 102 sin 102 2 2 · Koosinusteoreemi põhjal: CD = BC + BD - 2 BC BD cos ABC ja 1 BD = AD = AB ; 2 CD = 1,519 2 + 0,93 2 - 2 1,519 0,93 cos 25 0,782 km. · Teekond postkontorisse C pikenes: Talust A: AD + DC - AC 0,93 + 0,782 - 0,804 0,91 km võrra. Talust B: BD + DC - BC 0,93 + 0,782 - 1,519 0,19 km võrra. Kommentaarid. Ülesandega kontrolliti kolmnurga lahendamise oskust. Eksaminandilt oodati
6 10 7 9 8 . i1 = I m sin(t1 + ) i2 = I m sin(t 2 + ) , . 29. . 30. . , , . . Im Um I= U = R : , . 2 2 . m u = U cos t , m i = I cos t . ( ), : 1 P= I mU m = IU = I 2 R . 2 31. . . L Um U Im = , I = . XL XL m cos t i = I , u = U m cost + = -U m sin t . 2 L = L X . 32. . . C
liitmist. Analoogiliselt saab näidata, et kompleksarvude lahutamine kujutub geomeetriliselt kohavektorite lahutamist. 17. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Vaatleme komplekstasandil nullist erinevat kompleksarvu z = a + ib vektorina. Selle vektori pikkust tähistatakse r =|z| ja nimetatakse kompleksarvu mooduliks. Nurka kompleksarvu tähistava vektori ja reaaltelje positiivse suuna vahel tähistame = arg z ja nimetame kompleksarvu argumendiks. Siis a = r cos ; b = r sin : Saame kompleksarvule z= a + bi kuju (1) kus r =|z| ja tan , arctan , 0 2. Valem (1) on tuntud kompleksarvu trigonomeetrilise kuju all. Näide. Esitame kompleksarvu 1 3 trigonomeetrilisel kujul: |z| r 1 3 4 2, 1 1 3 3
r r u v Nurk vektorite vahel cos = r r, uv r r r r Vektorite ristseisu tunnus u v u v = 0 r r r r Kahe vektori skalaarkorrutis u v = u v cos X1 Y1 Z1 Vektorid on komplanaarsed X 2 Y2 Z 2 = 0 X 3 Y3 Z3 Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = =k . X 2 Y2 Z 2 r uuur Vektori pikkus: v = AB = X 2 + Y 2 + Z 2 . uuur Vektori koordinaat AB = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z 2 - z1 ) r r
S pr , r siseringjo one raadius Siinusteor eem a b c 2 R, R on ümberringjoone raadius sin sin sin Koo sin usteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos Täisnurkne kolmnurk Pythagorase teoreem a 2 b 2 c 2 Eukleidese teoreem a 2 fc, b 2 gc Teoreem kõrgusest h 2 fc
x x ln a c = 0 ( ln x ) = 1 x = 1 x ( x ) = 2x 2 ( log a x ) = 1 x ln a ( x ) = 3x 3 2 (sin x ) = cos x 1 1 =- 2 (cos x ) = -sin x x x ( x ) = 2 1 x ( tan x ) = 1 cos 2 x (x ) = nx n n -1 [ u ( x ) + v( x ) ] = u ( x ) + v ( x ) [ u ( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [c u ( x )] = c u ( x ) ( uv ) = u v + vu u u v - uv = v v2
x2+px+q=0; x1+x2= - p; x1x2=q -a : b = a : (-b) = - a : b b d y=ax2 + c a>0 -a : (-b) = a : b ad=bc Trigonomeetria Romb P = 4a S = ah 30° 45° 60° sin= cos = cos(90o - ) d2 d d a h d1 S= 1 2 sin 1 2
Fe3+ - kollane Ni2+ - roheline Mn2+ - kahvaturoosa, peaaegu värvitu Cr3+ - roheline, violetne Al3+ ja Zn2+ - värvitu Sadestamisel eraldatakse kõigepealt lahustumatud hüdroksiidid, mille sademed värvuvad erinevalt: Fe2+ + 2NH3 H2O→ Fe(OH)2 – määrdunudvalge, rohkeas, seismisel pruunistub Fe3+ + 3NH3 H2O→ Fe(OH)3 – punakaspruun Cr3+ + 3NH3 H2O→ Cr(OH)3 – määrunudroheline Al3+ + 3NH3 H2O→ Al(OH)3 – valge Seejärel sadestatakse TAA-ga sulfiidid. Sadenevad CoS, NiS, FeS, MnS ja ZnS. Hüdrolüüsi tõttu ei sadene Al2S3 ja Cr2S3, vaid jäävad sademesse hüdroksiididena: CoS, NiS, FeS – mustad MnS – roosakasvalge ZnS – valge TAA hüdrolüüsub kõrgemal temperatuuril ning tekkinud H 2S regeerib kohe NH3 H2O-ga. CH3CSNH2 + H2O → CH3CONH2 + H2S 2NH3 H2O + H2S → (NH4)2S + 2H2O Sulfiidide sademele lisatakse sademega võrdne maht 2M HCl lahust ja segatakse. Sademes: NiS ja CoS Lahuses: Fe2+, Mn2+, Cr3+, Al3+ ja Zn2+
Loeme, et laev õõtsub siinuslainel. Seejuures tekkivad kiirendused muutuvad siinuse seaduspärasusega jõ jmax sin õ t , kus ω on laine nurkkiirus ja j –kiirenduse suurim väärtus. õ max Joon 31 j j j Lahutame kiirenduse õ komponentideks x ja y tundliku elemendi telgedele x-x ja j x jõ cos K õ sin õ t jmax sin õ t cos K õ j y jõ sin K õ sin õ t jmax sin õ t sin K õ y-y. j j kiirendused x ja y tekitavad inertsjõud F x mjx mjmax sin õ t cos K õ F y mj y mjmax sin õ t sin K õ kus m – tundliku elemendi mass Joon 32 Inertsjõud Fx ja F y rakenduvad tundliku elemendi raskuskeskmesse. Jõud
Trigonomeetria tan=sin/cos sin(90°-)=cos II veerand 90°<<180° 180°- 2 2 Sin+cos=1 cos(90°-)=sin III veerand 180°<<270° 180°+ 2 1+tan=1/cos tan(90°-)=cot IV veerand 270°<<360° 360°- sin2=2sincos 2 2 cos2=cos-sin cot=1/tan=cos/sin sin ++-- cos +--+ tan/cot +-+- Siinusfunktsioon y=sinx SINUSOID [0;2] X=R Y=[-1;1] -1sinx1 sin(-x)=-sinx paaritufunktsioon-graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunktide suhtes Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2=360° koosinusfunktsioon y=cos X=R Y=[-1;1] -1cosx1 cos(-x)=cosx paarisfunktsioon-graafik on sümmeetriline y-telje suhtes koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2 Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270°
11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tšebõšovi polünoomide näitel. Definitsioon: (1-liiki) Tšebõšovi polünoomideks nimetatakse funktsioone, mis x ϵ [-1,1] korral on defineeritud kujul (k = 0, 1, 2, …) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) – Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k € N) Tšebõšovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause: (1-liiki) Tšebõtšovi polünoomid {Tk}∞k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [-1, 1] kaalufunktsiooniga Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: 12
3. , , , , . n n n M iA = 0; i =1 M iB = 0; i =1 F i =1 ix =0 4. . . . , ,. . . Sergei Ovsjanski 1/16/2008 1 n Fx = F cos ; Fy = F cos ; Fz = F cos ; F = Fi i =1 . n n n F x = Fix , F y = Fiy , F z = Fiz , i =1 i =1 i =1 . Fx2 + Fy2 + Fz2 = F 2 (cos 2 + cos 2 + cos 2 ) F = Fx2 + Fy2 + Fz2 5. . . , , , , , , . AC F2 AC BC AB R = F1 + F2 , = , = = BC F1 F2 F1 R
dB= 3 = 2 r r ds sin α = ⇒ dl∗sin α=ds dl R R cos β= ⇒ r= ds=r∗dβ r cos β μ0∗I μ0∗I ∗r∗dβ ∗cos β∗dβ 4π 4π dB= = r2 R π μ0∗I 2 μ ∗I μ ∗I cosβ∗dB=¿ ∗sin β = 0 ( 1+1 )=2 0 4 π∗R −π 4 π∗R 4 π∗R 2
KOMPLEKSARVU JUURIMINE Kompleksarvu z n -astme juureks (n ∈ N ) nimetatakse kompleksarvu ω , mille korral ω n=z , s.o. √n z=w ⟺ w n=z cos φ 1+isin φ 1 Olgu z=ρ ( cosφ+isinφ ) ω=ρ1 ¿ z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρn1 ( cos ( n φ1 ) +isin ( n φ 1) )=ωn Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui kompleksarvude moodulid on võrdsed ρn1= ρ , n φ1−φ=2 kπ , kus k ∈Z n φ+ 2 kπ
Teravnurkade ja summa + = 90°. b Teravnurga siinuseks nimetatakse selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhet (jagatist). Nurga siinust tähistatakse sümboliga sin . a b sin = sin = c c Teravnurga koosiniseks nimetatakse selle nurga lähiskaatei ja hüpotenuusi suhet. Nurga koosinust tähistatakse sümboliga cos b a cos = cos = c c Teravnurga tangensiks nimetatakse selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhet. Nurga tangensit tähistatakse sümboliga tan a b tan = tan = b a
.-^{) u -ta ={-: "a )--) SlnA = -. = cos,6' * fi) = eosex ft'=fr h'=Gr- (, sira(900 t2 n=TO . b eos(900 -s) = sins
3. Ühenduse vastavad arvutuslikud kandevõimed arvutada EVS-EN 1995-1-1 kohaselt Tingimused: o Kasutusklass I o Koormuse kestusklass – lühiajaline o Puidu tugevusklass C24 kmod = 0,9 γM = 1,3 fc,0,k = 21 MPa fc,90,k = 2,5 MPa fv,k = 2,5 MPa ft,0,k = 14 Mpa 3.1 Muljumisele f c ,α ,d∗b ef ∗t v 3,0∗32∗30 Fc , d= = =4,1 kN cos α cos 45 f c ,0, d 14,5 f c, α ,d = = =3,0 MPa f c ,0,d 14,5 ( ) k c ,90∗f c, 90, d 2
kopeeritud ridade arvust. Graafikute tegemiseks vajalik tabel luua List-objektina (Table-objektina 2007- s). Lõigu pikkus võiks tüüpiliselt olla 5-10 ühikut, samm - 0,1-0,2 ühikut. Funktsioonide variandid valida lehelt Karakteristikute variandid valida lehelt Funktsioonid Karakteristikud Funktsioonide variandid (valida õppemärkmiku viimase numbri 0 cos x 5 2 x x 2 sin( x + 1) 3 + cos a F1 = ln(x 2 + 3) + cos 2 x 2 F1 = 3 x +x +3 x 2 x 2 sin -3 sin x> a 3 cos2 2 x 2 sin x + 1 x
kiirusvektor: v = ( u , v, w) = ui + vj + wk . Olgu vektorid a = ( a x , a y , a z ) = a x i + a y j + a z k ja b = (b x , b y , bz ) = bx i + b y j + bz k ning nendevaheline nurk Skalaarkorrutis a b = a x bx +a y b y +a z b z = a b cos Kui vektorid on risti, siis skalaarkorrutis on null. Vektorkorrutis on vektor, mis on risti mõlema korrutatava vektoriga. Kui vektorid on kollineaarsed (vektorite sihid paralleelsed, = 0 ), siis vektorkorrutis on nullvektor. Kui vektorid ei ole kollineaarsed, siis vektorkorrutis on risti vektorite sihilise tasapinnaga. Vektorkorrutis moodustab teguritega parema käe kolmiku.
n n -1 (e ) = e x x 2 x (a ) = a x x ln a ( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 x x ln a ( sin x ) = cos x ( cos x ) = -sin x ( tan x ) = 12 cos x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid:
Algus Lõpp Jaotisi a b n 0 10 20 1. x 2 3 cos +5 cos x , x 0 3 x 2x 2 sin -3 sin , x> 0 2 5 ¿ F1=¿ {¿ ¿ ¿ ¿ X_1 Y_1 0 8 0,5 -0,349142 Y_1 1 -0,85317 10 1,5 -1,438956 2 -1,763356 8 2,5 -1,414214 6
Tuletis antud suunas. Granient Definitsioon: kui ühikvektori tähis n-mõõtmelises ruumis on l0, siis defineeritakse funktsiooni w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale. = | gradw | cos , (l0 gradw) l` Iseloomustab: funktsiooni muutumise kiirust määramispiirkonna punkti P liikumisel vektori l0 suunas. Märkus: Gradientvektor on funktsiooni nivoopinna normaaliks ja iseloomustab funktsiooni kiireima muutumise sihti. Definitsioonide kohaselt funktsiooni väärtus ei muutu nivoopinna w` puutuja t0 suunas: =0 t` Gradient: funktsiooni w = f (P ) gradient on n-mõõtmeline vektor, mille koordinaatideks on
s). Lõigu pikkus võiks tüüpiliselt olla 5-10 ühikut, samm - 0,1-0,2 ühikut. Funktsioonide variandid valida lehelt Karakteristikute variandid valida lehelt Funktsiooni d Karakteristiku d Funktsioonide variandid (valida õppemärkmiku viimase numbri 0 cos x 2 2sin( x + 1) + 5cos x x a F1 = ln( x 2 + 3) + cos 2 x 3 F1 = 3 x 2+x + 3 x 2 x 2sin -3 sin x> a 3 cos2 2 x 2sin x +1 x 2 5 - <
20. Avaldada m¨aa¨ramata integraal (4x3 - 23x2 + 14x + 8)dx . 4x + 1 21. Arvutada m¨aa¨ratud integraal 1 (2 - 3x)3 dx . 2 3 22. Arvutada m¨aa¨ratud integraal sin2 x cos xdx . 2 23. Arvutada m¨aa¨ratud integraal 4 x e dx . 0 x 24. Arvutada m¨aa¨ratud integraal
Liikumine kaldpinnal Liikumine r.jõu mõjul m a =m g + N + Fh 2h0 t= langemisaeg ma = mg sin - Fh g N = mg cos v0 t= tõusu aeg Fh = mgµ cos g a = g (sin - µ cos ) v02 h= tõusu kõrgus 2g Vektorid gt 2 h = v0t kõrgus b b c 2 c a a c = a+b c = a-b Keha liikumine h.jõu mõjul Ühtlane liikumine F v0 + v at 2
2 3 3 4 9 2 d 16 8 Vastus: Prisma ruumala on V = 3d 2 - ja see on maksimaalne, kui d = ehk V = 56 cm2. 4 3 9 7. (10p) On antud jooned y = sin x ja y = cos x. 1) Milliste x väärtuste korral lõigus - ; on nende joonte puutujad paralleelsed? 2 2 2) Leidke sirgetega x = 0 ja x = ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 2 Lahendus:
faasis maha, kuna nendeni jõuab keskkonnahäiritus hiljem, aja x v vältel, kus x on keskkonnaosakese kaugus laineallikast laine levimise sihis. Siis võngub nimetatud keskkonnaosake seaduspärasuse 1 x z (t ) = A( x) cos t - + 0 (8.1) v järgi, kus v on laine levimiskiirus, 0 laineallika algfaas, laine ringsagedus ja A laine amplituud, mis üldjuhul sõltub samuti kaugusest x laineallikani. Pikilainetuseks nimetatakse lainetust, kus keskkonnaosakesed võnguvad laine levimise sihis, näiteks heli. Lainet iseloomustatakse järgmiste suurustega. Laine võnkesagedus - ajaühikus sooritatud võngete arv.
11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel. Definitsioon: (1-liiki) Tsebõsovi polünoomideks nimetatakse funktsioone, mis x [-1,1] korral on defineeritud kujul (k = 0, 1, 2, ...) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k N) Tsebõsovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause: (1-liiki) Tsebõtsovi polünoomid {Tk}k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [- 1, 1] kaalufunktsiooniga Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi
11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel. Definitsioon: (1-liiki) Tsebõsovi polünoomideks nimetatakse funktsioone, mis x [-1,1] korral on defineeritud kujul (k = 0, 1, 2, ...) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k N) Tsebõsovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause: (1-liiki) Tsebõtsovi polünoomid {Tk}k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [- 1, 1] kaalufunktsiooniga Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi
Sagedus näitab võngete või pöörete arvu ajaühikus. Ühik 1 Hz. = n/t =1/T Ringsagedus () näitab ajaühikus läbitavat faasinurka radiaanides.Ühik rad/s. =2f Siinuse või koosinuse argumenti t nimetatakse faasiks. Faas näitab, millises seisundis võnkuv süsteem parajasti on. Faasi tähistatakse tähega ja väljendadakse radiaanides või nurgakraadides. Perioodiliselt muutuvaks suuruseks on voolutugevuse väärtus antud ajahetkel ehk hetkväärtus. i= Im cos t i=Im sin t e= Em cos t u=Um cos e= Em cos t Generaator on seade, mis muundab mingit teist energiat vahelduva elektromagnetvälja energiaks. Kaks põhiosa on paigalseisev osa ehk staator ja pöörlev osa ehk rootor. Generaatoris pöörleb elektromanget ja juhtmed suubuvad staatori uuretesse. Mehaanilise igas keerus tekib sinusoidaalselt muutuv elektromotoorjõud. e= Em cos t amplituudväärtus Em= BS B-magnetinduktsioon generaatoris S-mähisekeeru pindala - rootori pöörlemise nurksagedus
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED JA NENDEST TULETATUD VALEMID Teravnurga siinuseks nimetatakse vastaskaateti ja hüpotenuusi suhet. n m sin , sin p p Teravnurga koosinuseks nimetatakse lähiskaateti ja hüpotenuusi suhet. m n cos , cos p p Teravnurga tangensiks nimetatakse vastaskaateti ja lähiskaateti suhet. n m tan , tan m n Teravnurga kootangensiks nimetatakse lähiskaateti ja vastaskaateti suhet. m n cot , cot n m Trigonomeetriliste funktsioonide vahelised seosed, neid valemeid nimetatakse ka trigonomeetrilisteks põhiseosteks
1.ülesanne Arvuta kaldjoone aritmeetiline keskmine edasi-tagasi suunal Lõigud (SD): 1-2: 94.12m 2-1: 94.020m 2-3: 412.01m 3-2: 412.12m Lahendus: Lõik 1-2; 2-1 94.12+ 94.020 =94.07 m 2 Lõik 2-3; 3-2 412.01+412.12 =412.065 m 2 Vastus: Esimese kaldjoone aritmeetiline keskmine edasi-tagasi suunal on 94.07 m ning teisel 412.065m. 2.ülesanne Arvuta lõigu 1-2 horisontaalprojektsioon kaldenurga järgi Lahendus: Lõigu 1-2 kaldenurk (ν)=-2°30“ HD= SD*cos ν=94.12*cos(-2°30“)=94.06m Vastus: Lõigu 1-2 horisontaalprojektsioon kaldenurga järgi on 94.06m. 3.ülesanne Arvuta lõigu 2-3 horisontaalprojektsioon kõrguskasvu järgi Lahendus: Lõigu 2-3 kõrguskasv (dh): 11.8 m HD=√ SD 2−dh2=√ 412.012−11.8 2 =411.87m Vastus: Lõigu 2-3 HD kõrguskasvu järgi on 411.87m. 4.ülesanne Rehkenda lõigu 1-3 horisontaalprojektsioon Lahendus: HD=(94.12+412.01)...
Nõtkunud varda F v FCR differentsiaalvõrrand: v = - CR ehk v + k 2 v = 0 , k2 = ; EI EI · nõtke differentsiaalvõrrandi lahendiks on: v = C1 sin kx + C 2 cos kx , kus: C1, C2 integreerimiskonstandid; · integreerimiskonstandid avaldatakse x = 0 piiritingimustest: kui , siis v = 0 ; x = l C1 sin k 0 + C 2 cos k 0 = 0 C 2 = 0
' 1 1 =- 2 x x (x 2 ) ' = 2x x ' =1 c' = 0 [cf ( x)] ' = cf ' ( x ) ( x) ' = 1 2 x [ f ( x) ± g ( x)] ' = f ' ( x) ± g ' ( x) (x ) n ' = n x n -1 [ f ( x ) g ( x )] ' = f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x) ' f ( x) f ' ( x) g ( x ) - f ( x) g ' ( x) = g ( x) [ g ( x )] 2 ( ax +b) ' = a (sin x) ' = cos x (cos x) ' = -sin x 1 (tan x) ' = cos 2 x 1 (cot x) ' = - sin 2 x 1 (log a x) ' = x ln a 1 (ln x ) ' = x (a ) x ' = a x ln a (e ) x ' =ex
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
