paralleelseteks nimetatakse vektoreid, mis asetsevad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. Vektorid on võrdsed, siis kui nad on võrdsete pikkustega, kollineaarsed ja samasuunalised. Vastandvektorid on vektorid, mis on võrdse pikkusega, samasihilised kuid vastassuunalised. Vektorit tasandil saab esitada arvupaari abil, milles olevaid arve nimetatakse koordinaatideks. Esimene koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda x-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti. Teine koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda y-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti. Vektoreid saab liita algebraliselt ja geomeetriliselt. Kahe vektori liitmisel algebraliselt tuleb vektorite vastavad koordinaadid liita, tulemuseks saadakse vektor. a + b ( ax + bx ; ay + by ) Geomeetrilisel liitmisel kasutatakse kolmnurgareeglit ja rööpkülikureeglit. Rööpkülikureegel: Vektorid rakendatakse ühisesse alguspunkti. Ehitame rööpküliku mille
liidetavate vektorite pikkused. Liidetavad vektorid on o a) samasuunalised; liitmine nt a(2;3;4) + b(2;4;1) = c(4;7;5) o b) vastassuunalised; sama o c) üksteisega risti. 2. Kuidas peavad olema vektorid suunatud, et nende o a) skalaarkorrutis oleks 0; risti o b) vektorkorrutis oleks 0? Samas suunas/ vastassuunas 3. Mis on kohavektor? Mis on nihkevektor? Kuidas nad on omavahel seotud? Kohavektor on vektor, mis on tõmmatud koordinaadi alguspunktist etteantud punkti. Nihkevektor on vektor, mis on tõmmatud liikumise alguspunktist liikumise lõpp-punkti. Nihkevektor on kohavektorite muut, nihkevektor tähistab kohavektori juurdekasvu ajavahemikus delta-t 4. Mis on nihkevektor? Mis on trajektoor? Millal ühtib keha trajektoor nihkevektoriga? Nihkevektor on vektor, mis on tõmmatud liikumise alguspunktist liikumise lõpp-punkti. Trajektoor on tee, mida keha läbis liikudes alguspunktist lõpp-punkti.
Vektori koordinaatide leidmiseks lahutatakse lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vastandvektori koordinaadid erinevad märgi poolest. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega selle vektori koordinaatide ruutude summast. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille pikkus on üks. Vektorite summa. Kolmnurgareegel Rakendame liidetavad vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt on teisele vektorile alguspunktiks. Summavektor algab esimese vektori alguspunktist ja lõpeb teise vektori lõpp-punktis. Rööpkülikureegel Liidetavad vektorid on rakendatud ühisesse alguspunkti. Täiendame joonise rööpkülikuks nii, et antud vektorid on rööpküliku külgedeks. Summavektoriks on rööpküliku diagonaal, mis algab nende ühisest alguspunktist. Hulknurgareegel Selleks, et liita mitu vektorit, asetame nad nii, et esimese lõpp ühtib teise algusega, teise lõpp kolmanda algusega ja nii edasi. Summavektoriks on vektor, mis ühendab
0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1 cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0 tan 0 3 /3 1 3 6. 7. nurga sin nim nurga lõpphaara mistahes punkti ordinaadi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist s.t. sin=y/r 8. nurga cos nim nurga lõpphaara mistahes punkti abstsissi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist s.t. cos=x/r 9. nurga tan nim nurga lõpphaara mistahes punkti ordinaadi ja abstsissi suhet tan=y/x 10. Täispöörde eraldamine sin(360º+)=sin, cos(360º+)=cos, tan(360º+)=tan 11. Neg nurga trigon: sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan 12. II v taandamisvalemid: sin(1800-)=sin, cos(180º-)=-cos, tan(180º-)=-tan 13. III v taandamisv
mis saadakse ühe (täiendava) kaubaühiku tarbimisest 5. Kui tarbija on allpool oma eelarvejoont EJ, siis ta:a) ei kuluta kogu oma sissetulekut (eelarvet) kaupade ostmiseks 6. 7. Tüüpiline ükskõiksuskõver ÜKK on positiivse tõusuga ja kumer koordinaatide alguspunkti (origoni) suhtes; V.: Vale 7. 8. Hüvise hinna muutuse koguefekt kujuneb asendusefekti ja sissetulekuefekti koosmõjul; V.: Õige 8. 9. Mida kaugemal koordinaatide alguspunktist (kirdes) ükskõiksuskõver ÜKK asub, seda suuremat tarbija sissetulekute (tarbimiseelarve) suurust ta kajastab;V.: Vale 9. 10. Asendamise piirmäär MRSXY mõõdab tarbija valmisolekut asendada üht tarbitavat hüvist Y teisega (X-ga) selliselt, et kogukasulikkus TU ei muutu;V.: Õige 10. 11. Hinna-tarbimise kõver näitab tarbija optimaalseid hüviste kogumeid (tarbimise tasakaalu), kui ühe kauba hind muutub ja teise kauba hind ning eelarve jäävad konstanteks; 11
vanemahela pealt uus komplementaarne tütarahel. DNA replikatsiooniks on vaja DNA ahelad teineteisest lahutada: Kaheahelalise DNA lahtikeerdumine ja replikatsioon toimuvad samaaegselt. Kaksikahela lahtikeerdumisel tekib torsionaalne pingestumine. Lahtikeerdumise eest vastutavad helikaas valgud. Torsioonjõudude leevendamiseks on vaja DNA ahelal katkete tekitamine- seda teevad topoisomeraas valgud. DNA replikatsiooni alguspunkt ja replikon Kaheahelise DNA lahti harutamine toimub replikatsiooni alguspunktist (origin). Tekib replikatsioonisilm, mille mõlemasse otsa moodustub Y-kujuline struktuur, mida nimetatakse replikatsioonikahvliks. Replikon on replitseerunud DNA-segment, mis on lähtunud ühest alguspunktist. DNA replikatsioonikahvel liigub mõlemas suunas. Tekib 2 tütar-DNA molekuli. Eukarüootse raku kromosoomil on palju replikatsiooni alguspunkte ja replikone. Replikatsioonikahvli liikumine DNA süntees alati 5’-˃ 3’ suunaline. See tähendab, et:
Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal sirgel. Kollineaarsete vektorite definitsioonist järeldub et nad on kas sama- või vastassuunalised. Vektoreid nim komplanaarseteks kui pärast ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal tasandil. Vektorite summa ja vahe Vektorite summaks nim niisugust vektorit, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Mõnikord võib kasutada vektorite liitmisel ka kolmnurga reeglit et veektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Kui liidetavaid vektoreid on enam kui kaks siis kasutades liitmisprotsessis kolmnurga reeglit, et summa leidmiseks tarvitseb iga järgmise liidetava alguspunkt viia eelmise liidetava lõpp-punkti ning
y2 - y1 x2 - x1 Näide Sirge läbib punkte A(-6; 1) ja B(6; -1) Leida sirge võrrand. Lahendus Kasutades eespooltoodud valemit, saame sirge võrrandiks: y - 1 x - (-6) y -1 x + 6 x = = y=- . - 1 - 1 6 - (-6) -2 12 6 Näide 2 (I) Sirge läbib punkti A(-3; -1) ja lõikab ordinaattelge 2 ühiku kaugusel koordinaatide alguspunktist. Leida sirge võrrand. Lahendus Leiame esmalt sirge ja ordinaattelje (y-telje) lõikepunkti B(x2; y2) koordinaadid. Kuna otsitav punkt asub y-teljel, siis x2= 0. y Punkti B kaugus koordinaatide 2 B(0; y2) alguspunktist: 1 -3 ( 0 - 0 ) 2 + ( y 2 - 0 ) 2
FÜÜSIKA EKSAMIKÜSIMUSED JA VASTUSED 1. Kinemaatika põhimõisted: Punktmass- keha, mille mõõtmetega antud ülesandes võib jätta arvestamata. Jäik keha- keha, mis teiste kehadega vastasmõjus olles jätab oma mõõtmed muutmata. Taustsüsteem- kehade süsteem, mille suhtes liikumist vaadeldakse. Liikumisseadus- punktmassiga keha asukohta saab määrata kolme parameetri järgi (kiirus, aeg, läbitud teepikkus) Kohavektor- koordinaatide alguspunktist antud punkti tõmmatud vektor. Nihkevektor- vektor, mis on tõmmatud alguspunktist teise punkti. 2. Kiirus- on vektori suurus, mis isel. punktmassi asukoha muutust ajaliselt. Ühtlane liikumine- liikumine, mille kiiruse suurus ei muutu, ehkki suund võib muutuda. Ühtlaselt muutuv liikumine- liikumine, kus kiirenduse suurus ei muutu. 3. Kiirendus- on vektor, mis isel. seda, kuidas kiirus ajaliselt muutub. Tangentsiaalkiirendus- isel. kiiruse suuruse muutumist.
TASANDID Anna Karin Ericson 12.klass Tasand • - normaalvektor • a, b, c – telglõigud • A, B, C, D – kordajad tasandi üldvõrrandis • p – tasandi kaugus koordinaatide alguspunktist • d – punkti kaugus tasandist Tasandi võrrand • Üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 • Tasandi normaalvektor: = (A; B; C) • Punkt A(ihivektor: = (; ) Võrrand: = •Kui tasand lõikab koordinaattelgi punktides K(a; 0; 0), L(0; b; 0) ja M(0; 0; c), siis on tasandi võrrandiks + + 1 Tasandi võrrandi erinevad kujud • Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektoriga määratud tasandi võrrand: =0 • Kolme punktiga määratud tasandi võrrand
umbes 2300 aastat tagasi ja säilinud meie ajani. Fragment Eukleidese tööst. Leitud Oxyrhynchus´est 1896-1897. a. Säilitatakse Pennsylvania Ülikoolis. Nurk matemaatikas Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad Haar A kaks ühest ja samast + alguspunktist väljuvat kiirt. O + Kiiri OA ja OB nimetatakse Tipp B nurga haaradeks, punkti O nurga tipuks. Haar • Vaadeldavat nurka märgitakse kaarega nurga sees. • Nurka märgitakse lühidalt AOB, BOA või lihtsalt O. • Täht, mis tähistab nurga tippu, kirjutatakse nurga keskele. Nurkade võrdlemine • Silma järgi hindamine • Üksteise peale paigutamine – kopeerida üks
· Mis on kohavektor? Mis on nihkevektor? Kuidas nad on omavahel seotud? Kohavektor on tõmmatud koordinaatide alguspunktist antud punkti. Nihkevektor on liikumise alguspunktist lõpp-punkti tõmmatud vektor. (nihkevektor on kohavektorite muut, nihkevektor tähistab kohavektori juurdekasvu ajavahemikus delta-t) · Näidata, et konstantse kiirendusega liikudes avaldub kiirus ajahetkel t järgmise valemi kaudu v=v0+a*t, kus v0 on keha kiirus ajahetkel t=0, a on keha kiirendus. v= = a*t + c (integreerimiskonstant, antud juhul v0) = a*t + v0
TeoreetiIine mehaanika 1 arvestustöö 2. rida 1. Masspunktiks nim. Keha geomeetriline punkt, kuhu on koondunud ta mass ja mis asub antud keha raskuskeskmes. Selline materiaalne keha, mille mõõtmed jäetakse arvestamata selle liikumise uurimise juures. Keha masspunkt võib asetseda ka väljaspool keha nt. tühi silinder. 2. Mitme vektori summaks nimetatakse vektorit, mis algab esimese vektori alguspunktist ja lõppeb viimase liidetava vektori lõpppunktis kui liidetavad vektorid on rakendatud üksteise järgi nii et ühe vektori alguspunktiks on teise vektori lõpppunkt. Liitmisel kehtivad ümberpaigutatavuse seadus ja kombineeritavuse seadus. 3. Mitme vektori geomeetrilise summa projektsioon teljele on võrdne komponentvektorite projektsioonide algebralise summaga samale teljele. 4. Jõud on suurus, mis iseloomustab vastastikuse mõju suurust ja suunda. Teda
4 212,0 80,0 m -2,8 m 79,95 0,05 79,95 5 292,0 48,33 -5,3 m 48,04 0,29 48,04 m 6 340,30 =338,80 =338,82 340,36 340,33 Absoluutne viga: d=340,36 - 340,30=0,06 m Suhteline viga: 1. Kõigepealt arvutasin punkti nr. 6 joone keskmise pikkuse alguspunktist. 2. Järgmisena leidsin lõigu pikkused, lahutades järgmisest joone pikkusest eelmise. 3. Peale seda arvutasin välja I S horisontaalprojektsiooni. Kaldenurga olemasolul tegin seda järgmiselt: Korrutasin lõigu pikkuse cos kaldenurgaga. Kõrguskasvu olemasolul aga järgmiselt: Lõigu pikkus ruudus miinus kõrguskasv ruudus ning seejärel vastusest võtsin ruutjuure. 4. Nüüd leidsin kaldest tingitud parandi, mille leidsin kalde ja kõrguskasvu abil. Kalde
Ristkoordinaadid väljendavad punkti kaugust koordinaattelgedest. Ristkoordinaatide definitsioonist tuleneb, et koordinaatide teljed peavad üksteise suhtes risti olema ja nad lõikuvad ainult ühes punktis. Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone ning tasapinnal võetakse kasutusele ka ristkoordinaadid. Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites. X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas, y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas. Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui märgiga. Geodeesias (kartograafias) kasutatavad ristkoordinaatteljed on vastupidised matemaatikas kasutatavatele. Geodeesias suundub x-telg põhja ja y-telg itta. Seega on x-telg alati üldistatult põhjasuunaks (meridiaani suunaks) ning y-telg on selle suunaga risti. Polaarkoordinaadid
teineteist jõuga, mis on võrdeline nende laengute korrutisega ja pöördvõrdeline laengutevahelise kauguse ruuduga. Jõud on suunatud piki laenguid ühendavat sirget. Samanimeliste laengute korral tõuke-, erinimeliste laengute korral tõmbejõud. Elektriliseks pingeks nimetatakse elektrivälja kahe punkti potentsiaalide vahet ning see on füüsikaline suurus, mis näitab, kui palju tööd tuleb teha, et liigutada laengut ühest punktist teise või alguspunktist lõpp-punkti. Aine polariseerumine on elektrivälja mõjul toimunud seotud laengukandjate nihkumine oma tasakaaluasendi suhtes. Dielektrik on mittejuht, vabu laengukandjaid mittesisaldav aine (aatom või molekul moodustab elektriliselt neutraalse tervikliku süsteemi). Aine, milles elektrivälja mõjul toimub seotud laengukandjate nihkumine oma tasakaaluasendi suhtes. Elektrivälja puudumisel ümbritsevad välimised elektronid aatomi siseosa ühtlase kihina. Kui
S2=32,0-0,09=31,91m S3=29,0-0,11=28,89m S4=65,0-0,129=64,87m S5=61,0-0,06=60,94m S6=73,23-0,11=73,12m 5. Leida joone mõõtmise absoluutne ja suhteline viga: absoluutne viga: d=di-d2= 340,26-340,19=0,07m suhteline viga: = 6. Kõik eelnevad arvutuste tulemused on esitatud järgnevas tabelis (Error: Reference source not found-1). Tabel 1. Arvutustulemuste koondtabel Punkti Joone pikkus Lõigu Kaldenurk/ IS Kaldest II S numbe alguspunktist pikkus kõrguskasv horisontaal- tingitud horisontaal- r (m) (m) (,m) projektsioo parand projektsioon n (m) (m) (m) 0 0 80,0 -1,8 79,96 0,039 79,96 1 80,0 32,0 -4,4 31,91 0,09 31,91 2 112,0
a - b = a + (-b) . a Teiseks võime kasutada lahutamise rööpkülikureeglit. Kui vektorid väljuvad ühest punktist, siis a - b vektor ühendab teise vektori lõpp-punkti esimese vektori lõpp-punktiga. b a-b a Nurgaks kahe vektori vahel nimetatakse nurka, mis moodustub kahe vektori väljumisel ühisest alguspunktist. b a Ühe vektori projektsioon teise vektori sihil. C Vektorit AD nimetatakse vektori AC ristprojektsiooniks vektori AB sihil. A D B Vektori lahutamine komponentideks on selliste vektorite leidmine, millede summaks on esialgne vektor.
Laboratoorne töö nr. 1 Joone horisontaalprojektsiooni arvutus Lähteandmed: Punkti nr Joone pikkus alguspunktist Kõrguskasv h (m), kaldenurk (kraadi) 0 0 +2,5° 1 31,0 2 89,0 -3,3° 3 189,0 +2,1° 4 213,0 +7,4 m
lõpuga Vastandvektor v (a; b) v ( a;b) v v O Vektorite lahutamine Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektori liitmist Kui v ( a; b) u (c; d ) v u v (u ) (a; b) (c;d ) (a c; b d ) Selleks et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. Vektorite vahe vektor lähtub lahutatava vektori lõpp- punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti. Vektori korrutamine arvuga Kui v = (m;n) ja k on reaalarv, siis kv = (km;kn) k >0 k <0 k = –1 k =0 Vektorite skalaarkorrutis u · v = u · v · cos v u v cos 0° = 1 u =180° v v
lõpuga Vastandvektor v (a; b) v ( a;b) v v O Vektorite lahutamine Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektori liitmist Kui v ( a; b) u (c; d ) v u v (u ) (a; b) (c;d ) (a c; b d ) Selleks et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. Vektorite vahe vektor lähtub lahutatava vektori lõpp- punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti. Vektori korrutamine arvuga Kui v = (m;n) ja k on reaalarv, siis kv = (km;kn) k >0 k <0 k = –1 k =0 Vektorite skalaarkorrutis u · v = u · v · cos v u v cos 0° = 1 u =180° v v
Geograafilise laiuse ja pikkuse abil saab määrata mistahes punkti asukohta maakera pinnal või kaardil. Geograafiliste koordinaatide leidmiseks kasutatakse paralleele ja meridiaane ja neid esitatakse kraadides. Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone. Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites. X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas, y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas. Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui – märgiga. 14. Miks tekivad projektsioonide kasutamisel moonutused? Millised moonutused võivad tekkida? Millist tüüpi moondevabad kaardid millisteks ülesanneteks sobivad? Moonutused (joone pikkus, pindalad, nurgad, kuju) tekivad sellest, et maakera
kus X = x2 - x1 , Y = y2 - y1 , Z = z2 - z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur kaudu avaldub vektor v = AB = ( X ; Y ; Z ) järgmiselt: r uuur r r r v = AB = Xi + Yj + Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 = ( 0; 0; 0 ) . uuur uuur Vastandvektor: kui AB = ( X ; Y ; Z ) , siis BA = ( - X ; - Y ; - Z ) . r uuur Vektori pikkus: v = AB = X + Y + Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v° (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik).
projektsioonide algebraline summa kummalegi koordinaatteljele võrduks nulliga. 9. Kahe samasuunalise paralleeljõu resultant on suuruselt võrdne antud jõudude suuruste summaga ning on paralleelne ja samasuunaline antud jõududega. 2. variant 1. Masspunktiks nim. sellist materiaalset keha mille mõõtmed jäetakse arvestamata selle liikumise uurimise juures. 2. Mitme vektori summaks nimetatakse vektorit mis algab esimese vektori alguspunktist ja lõppeb viimase liidetava vektori lõpppunktis kui liidetavad vektorid on rakendatud üksteise järgi nii et ühe vektori alguspunktiks on teise vektori lõpppunkt. Liitmisel kehtivad ümberpaigutatavuse seadus ja kombineeritavuse seadus. 3. Mitme vektori geomeetrilise summa projektsioon teljele on võrdne komponentvektorite projektsioonide algebralise summaga samale teljele. 4. Jõud on suurus mis iseloomustab vastastikuse mõju suurust ja suunda. Teda iseloomustatakse
Antud rahalise sissetuleku korral toob ühe kauba hinna tõus ja teise kauba hinna langus kaasa uue eelarvejoone lõikumise esialgse eelarvejoonega. Vali üks: Tõene Väär Tagasiside Väide on õige, sarnast olukorda kirjeldab allolev joonis. Kui näiteks kauba N hind suureneb, siis saab tarbija osta seda nüüd sama rahasumma eest väiksemas koguses (eelarve joon nihkub vastava hüvise skaalal punktist d punkti b). Küsimus 14 Küsimuse tekst Mida kaugemal koordinaatide alguspunktist samaväärsuskõver asub, seda suuremat tarbija kogurahulolu see väljendab. Vali üks: Tõene Väär Tagasiside Mida kaugemal nullpunktist samasuskõver asub, seda suuremat kasulikkust see kõver väljendab. Küsimus 15 Küsimuse tekst Kui tarbimispunkt liigub mööda samasuskõverat allapoole, siis tarbija kogukasulikkus väheneb. Vali üks: Tõene Väär Tagasiside
Geotsentrilised koordinaadid * Koordinaatide alguspunkt asub Maa raskuskeskmes. Z-teljeks on Maa pöörlemistelg, X-teljeks on nullmeridiaani ja ekvaatori tasandi lõikejoon, Y-teljeks on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil. * Geotsentrilist koordinaatide süsteemi kasutatakse GPS mõõtmiste puhul, kus satelliitide asendid on määratud geotsentriliste koordinaatidega. Geotsentrilisi koordinaate väljendatakse meetrites. Ristkoordinaadid * X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas * Y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas * Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui – märgiga. * X-telg on alati üldistatult põhjasuunaks (meridiaani suunaks) ning Y-telg on selle suunaga risti * Tasapinnalised ristkoordinaadid X ja Y on kasutusel ainult tasandil, mida Maa ei ole * Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone * Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites
BCU3610 Mikroökonoomika (kaugõpe) Alustatud kolmapäev, 11. november 2015, 19:54 Olek Valmis Lõpetatud kolmapäev, 11. november 2015, 20:55 Aega kulus 1 tund 1 minut Punktid 17,0/21,0 Hinne 8,1, maksimaalne: 10,0 (81%) Küsimus 1 Kui piirkasulikkus väheneb, väheneb ka kogukasulikkus. Valmis Hinne 1,0 / 1,0 Vali üks: Tõene Väär Piirkasulikkus (MU — marginal utility) on täiendava hüviseühiku tarbimisel lisanduv kasulikkus (näiteks järgmisest klaasitäiest veest saadav kasulikkus). Konkreetse koguse kogukasulikkus võrdub kõigi seni tarbitud koguseühikute piirkasulikkuste summaga. Kardinaalne kasulikkusteooria väidab, et hüvise kogukasulikkus kasvab koguse suurenedes kuni küllastuspunktini, kuid järjest kahanevas tempos. Mõelge näiteks ...
Füüsika- loodusteadus, mis uurib täpisteaduslike meetoditega mateeria põhivormide liikumist ja vastastikmõju Mateeria põhivormid on aine ja väli Aine on mateeria vorm, mida iseloomustab nullist erinev sisumass Väli on mateeria vorm, mis vahendab vastastikmõjusid Mehaanika jaguneb: kinemaatika, dünaamika, staatika Kinemaatika- uurib kuidas keha liigub, ei uuri liikumise põhjuseid. Vastab küs. kuidas keha liigub? Dünaamika- uurib, miks keha liikuma hakkab, uurib liikumise põhjuseid (miks keha liigub?) Staatika- selgitab välja millised on tasakaalutingimused, uurib millal keha on paigal (millal keha on paigal?). Mehaanika seisneb kehade või nende osade ümberpaiknemise uurimises, kusjuures ümberpaiknemine toimub teiste kehade suhtes. Üks vanemaid teadusi. Mehaanika alusepanijad: G. Galilei (1564-1642) avastas mehaanika põhlised seaduspärasused. I. Newton (1642-1727) lõi ühtse seadusliku süsteemi. L.Euler (1707-1783) pani mehaanika kirja val...
c) (6 - 7i)(5 + i)(3 - 5i) d) 2i(7 + 10i)(2 - 4i) ja ainult üks tasandi punkt. e) (2 - 3i)(-1 - i)(3 + 4i) f) (5 + 4i)(-2 - i)(5 - 4i)(-2 + i) Tutvume veel ühe olulise mõistega. Selleks on kompleksarvu moodul. Paneme tähele, et lõik koordinaatide alguspunktist antud kompleksarvuni a + bi on täisnurkse 835. Leia jagatis. kolmnurga hüpotenuus. Selle kolmnurga kaatetite pikkused on a ja b. Seega 1 3+i 2i - 3 3 - 5i hüpotenuusi pikkus on: a) 1 + i b) 3 - i c) 1 - 3i d) 2 + 3i
t= = = 3 10 9 s 100 v m 50 s Vastus: Inimene tunneks põletust umbes 100 aasta pärast. 3. Punkt liigub mööda x-telge vastavalt seadusele x = 2 + 5t. x mõõdetakse siin meetrites ja t sekundites. Kui suur on selle punkti kiirus? Antud: x = 2 + 5t Leida: v=? Lahendus: Liikumisvõrrandi üldkuju ühtlasel liikumisel on x = x0 + v t , kus x0 on algkoordinaat, x on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist meetrites ja t on aeg sekundites ja v on kiirus. Aja t jooksul läbitud teepikkus avaldub x x0 = 5t Kiirus on aga Koostas Kristiina Paunel (Kasutatud kirjandus: B. Kogan. Ülesandeid füüsikast. Tln, 1976.) Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee Mehaanika. Sirgjoonelise liikumise kinemaatika. Ühtlane liikumine 2 x - x0 5t v= t , seega v = t . m
" Oma referaadiga ma üritan välja selgitada kui tõhus mõjutamisvõte veenmine on, kui positiivne ta on võrreldes teiste mõjutamismeetoditega ning millised on kõige olulisemad tegurid veenmise juures. Veenmine kui kunst Aristoteles täheldas, et sotsiaalsete olenditena tuli kõigil inimestel peaaegu igapäevaselt tegeleda kaaskodanike veenmisega. Kõik veenmisolukorrad taotlesid niisuguse eesmärgi saavutamist, kus kuulajaskond võeti alguspunktist, mida ta nimetas punktiks A, ja viidi edasi punktini B (eesmärgini). Niisugust suhtumiste ja hoiakute muutmist nimetaski ta veenmiseks. [J. Borg, Veenmine, Tänapäev, 2004] Veenmine on nii kunst kui ka teadus. Sa pead omandama erinevaid oskusi, sealhulgas tekitama usaldusväärsust, võitma enda poole teiste mõtted ja südame ning ületama vastuseisu oma ideedele. Kui sa neid oskusi täiustad, suurendad ka võimalust muuta oma suurepärased ideed väärtuslikuks tulemuseks. [H
kuna siis ei lähe arvesse mitte ükski võrrandi osa ning võrrand võrdub 0-ga. Suurim läbipaine on tugedevahelisel ala punktis x = 0,625 või sellest vasakul, seda aga selle võrrandiga kontrollida ei ole võimalik. Läbipaine vmax on samuti 0. Järeldused Tala otsa pöördenurk ja läbipaine on vastavalt -0,17 ja 7 mm. Suurim läbipaine tugedevahelisel alal tuli arvutuste kohaselt 0,625 m kaugusel koordinaatide alguspunktist või < kui 0,625 m, mida ei ole võimalik koostatud valemi järgi arvutada, kuna lähevad arvesse vaid koormused mille . Läbipaine antud punktis on 0.
N II sII ; n III ; v I IGA JÄRGMINE TÜKK ANNAB VÄHEM KASULIKKUST. Valitakse selle järgi, kui kasulik on ja kui palju on veel raha. Kui sokolaadi hind on ka 1, siis teine joon. Komm 2x odavamaks joon 3 Ema andis Jukule 10 kr. Tal on 2 valikut, on sokolaad (2 kr tk), pulgakumm (1 kr tk). Kolmnurga pindala on tarbimisruum tarbimisvõimaluste hulk. 1. Eelarve joone kalle sõltub hindade omavahelisest suhtest 2. Eelarve suurusest sõltub kui kaugel on eelarve joon kordinaatide alguspunktist. GOSSENi reegel MU/P q1p1 + q2p2= c (m;i) Teisel joonisel samakasulikkuse joon e. Ükskõiksuskõverik. Mv1/P1 ja MU2/P2 kõrgemal asuval samakasulikkuse joonel on rohkem tähtsust tarbijale. (samakasulikkuse joon mida kõrgemal, seda parem) Mida suurem on tüki nr seda suurem on tema piirkasulikkus. MRS(asendusnorm)= v/y= x/y EELARVE MUUTUS J4 Kui samakasulikkuse joon puudutab eelarve joont kõige kasulikum. Parim kombinatsioon. HINNA MUUTUS
kontrollproo 0,0658 0 0 v oma proov 1 0,1062 0,04 otsitav oma proov 2 0,1068 0,04 otsitav lahjendus 1 0,2451 0,48 0,25 lahjendus 2 0,1577 0,091 0,125 lahjendus 3 0,1133 0,18 0,062 Minu uuritava proovi korrigeeritud optiline tihedus oli 0,04. Nagu näha, siis joon ei alga koordinaatide alguspunktist, kuid sellegi poolest asetsevad kõik punktid ühel joonel. Oma proov1 =0,1062 Oma proov2 =0,0168 ykeskm= 0,1065 Võrrandi y= 0,714x+0,0675 põhjal arvutatud kontsentratsioon tuleb: X= 0,1065-0,0675 / 0,714 = 0,054 mg/ml Sidrunimahla tihedus = 1,026 g/cm3 (internetist) Glükoosisisaldus arvutatakse järgmise valemi järgi: 10-3*d*100, kus C- glükoosisisaldus uuritavas lahuses vastavalt kaliibrimisgraafikule (mg/ml) L- mahla lahjendustegur d- mahla tihedus (g/cm3)
.................................................................................. ......................................................................... (1 punkt) Kõverjooni nimetatakse (milleks?) ....................... ......................................................................... ja nende kaugus koordinaatide alguspunktist näitab (mida?) A ...................................................................... (2 punkti) B Sirgeid nimetatakse (milleks?) ............................. ......................................................................... ja nende
1)Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele ve...
FÜÜSIKA 1 Kodutöö Õppeaines: Füüsika Mehaanikateaduskond Õpperühm: KMI 11/21 Õppejõud: P. Otsnik Tallinn 2015 1 ÜLESANNE NR 1 Vabalt langev keha jõudis maapinnale langemise alguspunktist 10 s jooksul. Kui kõrgel oli keha maapinnast, kui langemise algusest oli möödunud 5 sekundit? m t1 = 5 s t2 = 10 s g = 9,807 s2 v0 = 0 x0 = 0 2 gt h1= , 2 gt2 h2=x 0 + v 0 t + , 2 10² h1=9,807× =490,35 m
· Tehetes kompleksarvudega peame meeles pidama järgmisi omadusi: · Suurust // nim kompleksarvu mooduliks ja teda arvutame valemiga: · Kehtivad omadused (1-7) · Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada ja tõlgendada punktidena tasandil, kus on fikseeritud ristkoordinaadistik (Cartesiuse koordinaadistik) · Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele vastava kompleksarvu kaugusena koordinaat telgede alguspunktist. · Suurust fii nim kompleksarvu argumendiks. · 1. algebralinekuju 2.maatrikskuju 3. vektor kuju 4. trigonomeetrilinekuju 5. eksponentkuju · Euleri valem: · Moivre valem: Algebralised süsteemid · algebralise süsteemi mõiste koosneb hulgamõistest ja algebralise tehte ehk arvutusoperatsiooni mõistest. · Olgu hulk M selline, mis koosneb näiteks arvudest, funktsioonidest, vektoritest,
GEODEESIA EKSAMI KOKKUVÕTE 1. Geodeesia on teadusharu, mis vaatluste ja mõõdistamiste tulemusena määrab terve maakera kuju ja suuruse, objektide täpsed asukohad ja ka raskusjõu väärtused ja selle muutused ajas. Teiste erialadega on seotud: füüsika, matemaatika, geograafia, geofüüsika, astronoomia, kartograafia jne. 2. Geoid- keha, mille pinnaks on merede ja ookeanide rahulikus olekus pind, mida on mõtteliselt laiendatud mandrite alla ning mille raskuskiirenduse väärtused on kõikides punktides ühesugused. Ekvaatoriaal-pooltelg 6 378 137m Polaartelg 6 356 752m Ekvatoriaal P 40 075 km Keskmine R 6 371 km 3. Laiuskoordinaat (j) on nurk ekvaatori ja antud punkti läbiva paralleeli vahel. Ekvaatorist põhja poole jäävad laiused on põhjalaiused (muutuvad ekvaatorilt 0° kuni põhjapooluseni 90°N) ja lõuna poole jäävad on lõunalaiused (0°...90° S). Pikkuskoordinaat (l) on kokkuleppelise nullmeridiaani ja...
Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist aga ordinaatteljeks ehk y-teljeks. Ristkoordinaadistik tasandil: Kaks ristuvat suunaga arvsirget Alguspunktid ühtivad Ühikud on võrdsed punkti ristkoordinaadid sirgel on selle punkti kaugus null/alguspunktist. Koordinaatteljel asuva punkti P asukoht määratakse üheselt kindlaks ühe reaalarvuga x (nn punkti P koordinaadiga), mis on võrdne punkti P kaugusega |OP| telje alguspunktist O, kas neg või pos suunal. punkti ristkoordinaadid tasandil on selle punkti ristprojektsioonid abstsiss- ja ordinaatteljel. P(x;y) Leiame punkti P ristprojektsioonid Px ja Py vastavalt x-teljel ja y-teljel. Olgu punkti Px koordinaat abstsissteljel xP ja punkti Py koordinaat ordinaatteljel yP. Selle järgi punkti koordinaadid on P(x;y). 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed.
4 ja lk 133 joonis 6.5. 6.4 Pika perioodi tootmisvõimalused. Mastaabiefekt Lk 124 137 Vt lk 134 joonis 6.6. Isokvantide tunnusjooned: 1) Isokvandid on negatiivse tõusuga seniakua, kuni mõlema sisendi piirproduktid on positiivsed. kui suurendada ühe sisendi kogust, peab samal ajal vähendama eise sisendi kogust, et kogutoodang jääks samaks; 2) Isokvandid, mis asuvad koordinaatide alguspunktist kaugemal, tähistavad suuremaid tootmiskoguseid; 3) Isokvandid ei lõiku kunagi; 4) Isokvandid on kumerad koordinaatide alguspunkti suhtes. Isokvandi tõusu absoluutväärtus mõõdab sisendite tehnilise asenduse piirmäära (marginal rate of technical substitution, MRTS). Sisendite tehnilise asenduse piirmäär kujutab enast ühe sisendi hulka, mida võib asendada teise sisendiga, ilma et tootmikogus muutuks. MRTS väheneb, liikudes mööda isokvanti alla poole.
• Ristkoordinaatide definitsioonist tuleneb, et koordinaatide teljed peavad üksteise suhtes risti olema ja nad lõikuvad ainult ühes punktis. • Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. • Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone ning tasapinnal võetakse kasutusele ka ristkoordinaadid. • Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites. • X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas, y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas. • Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui – märgiga. Polaarkoordinaadid esitatakse nurgaga koordinaattelje suhtes ja kaugusega telje alguspunktist. Nurki mõõdetakse kraadides (goonides), kaugusi meetrites. Geodeesia on teadus Maa ning selle pinna osade kuju ja suuruse määramisest, seejuures
Vektorid Vektorid Matemaatikas, füüsikas jt. loodusteadustes vaadeldavad suurused skalaarsed vektoriaalsed (neid iseloomustab (neid iseloomustab lisaks kindel arv) arvulisele väljendusele ka fikseeritud suund) pikkus kiirus vanus kiirendus mass jõud Vektorid Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba lõpp-punktiks. Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks. Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: a, b, AB Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori a pikkust märgit...
Vektorid Vektorid Matemaatikas, füüsikas jt. loodusteadustes vaadeldavad suurused skalaarsed vektoriaalsed (neid iseloomustab (neid iseloomustab lisaks kindel arv) arvulisele väljendusele ka fikseeritud suund) pikkus kiirus vanus kiirendus mass jõud Vektorid Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba lõpp-punktiks. Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks. Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: a, b, AB Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori a pikkust märgit...
Vektorid Vektorid Matemaatikas, füüsikas jt. loodusteadustes vaadeldavad suurused skalaarsed vektoriaalsed (neid iseloomustab (neid iseloomustab lisaks kindel arv) arvulisele väljendusele ka fikseeritud suund) pikkus kiirus vanus kiirendus mass jõud Vektorid Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba lõpp-punktiks. Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks. Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: a, b, AB Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori a pikkust märgit...
163 Tugevusanalüüsi alused 11. DETAILIDE PAINDEDEFORMATSIOONID 11. DETAILIDE PAINDEDEFORMATSIOONID 11.1. Varda elastne joon Elastne joon = painutatud varda telje (ehk Elastse joone igat punkti neutraalkihi) kujutis peatasandil iseloomustavad selle läbipaine ja puutuja pöördenurk (Joon. 11.1): Läbipaine = varda elastse joone Pöördenurk = elastse joone puutuja (telje) siire telje ristsihis (vB) tõusunurk (B) Painutatud konsool Konsooli ...
Kui keha kõik osad liiguvad ühtemoodi (igal hetkel on kõigil keha osadel ühesugune kiirus), siis sellist liikumist nimetatakse kulgliikumiseks. Ka kulgliikumise puhul võib keha liikumist vaadelda materiaalse punkti liikumisena, sest liikumise iseloom ei olene sellest, keha millise osa liikumist vaadeldakse. Matemaatiline kirjeldus Liikumist on hõlbus määratleda funktsiooni abil, mis kirjeldab keha asukoha sõltuvust ajast. Selleks vaadeldakse koordinaatide alguspunktist keha asukohta viiva kohavektori sõltuvust ajas. Seda sõltuvust võib ka kirjeldada kolme erineva funktsiooni abil, mis näitavad keha asukoha kolme koordinaadi x = x(t), y = y(t), z = z(t) sõltuvust ajast. Selle vektorfunktsiooni (või selle mõne ristprojektsiooni) esimene tuletis aja järgi on hetkkiirus, teine tuletis aja järgi on hetkkiirendus. Kui kiirusvektor ei muutu, siis on tegemist ühtlase sirgjoonelise liikumisega. Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirendus on null. Kui
Vektorit a, mis määrab täielikult nihke e lükke (sihi, suuna, pikkuse), nimetatakse lükkevektoriks. Kui mingi kujundi igat punkti nihutatakse antud vektoriga määratud sihis ja suunas selle vektori pikkuse võrra, siis on antud kujundi lüke e paralleellüke. Lükke tulemusena saadakse võrdne kujund. · Kui esimese vektori lõpppunktis asub teise vektori alguspunkt, siis nende vektorite summaks nimetatakse vektorit, mis on suunatud esimese vektori alguspunktist teise vektori lõpppunkti. Seda vektorite liitmise reeglit nimetatakse kolmnurgareegliks. · Liitmisel kehtib kommutatiivsuse seadus. · Võttes rööpküliku lähiskülgedeks ühise alguspunktiga liidetavad vektorid, on summaks rööpküliku diagonaal kui vektor, mille alguspunktiks on liidetavte vektorite ühine alguspunkti. · Vektori esitamist kahe erisihilise vektori summana nimetatakse vektori lahutamiseks komponentideks.
Suurem rohemass (tihedam võrasik, suurem lehemass) tähendab seda, et nende puude sademete kinnipidamisvõime on suurem. ÜLESANNE 6: LUMIKATTE TÜSEDUS METSAS JA LAGEDAL Rajati uurimistransekt, mis läbis erinevaid maastikuelemente (lagedad alad, puistud). Iga 10 meetri järel mõõdeti lumikatte tüsedust, maapinna külmumissügavust ja lume tihedust. Tabelis 6 esitatud andmete põhjal koostasin joonise 7, kuhu on märgitud kaugus alguspunktist (m), maastikuelement, lume tüsedus (cm), maapinna külmumissügavus (cm). Tabel 6. Uurimistransekti kogutud andmed maapinna kaugus lume lumikatte külmumis- algpunktist tüsedus (cm) sügavus (cm) tihedus t/m3
Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal sirgel. Kollineaarsete vektorite definitsioonist järeldub et nad on kas sama- või vastassuunalised. Vektoreid nim komplanaarseteks kui pärast ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal tasandil. Vektorite summa ja vahe Vektorite summaks nim niisugust vektorit, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Mõnikord võib kasutada vektorite liitmisel ka kolmnurga reeglit et veektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Kui liidetavaid vektoreid on enam kui kaks siis kasutades liitmisprotsessis kolmnurga reeglit, et summa leidmiseks tarvitseb iga järgmise liidetava alguspunkt viia eelmise liidetava lõpp-punkti ning summavektori määrab tekkinud murdjoone
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
