People who are irreligious are looked upon rather suspiciously A person's name, occupation, style of dress, marriage partner and diet are all largely based on religion NB! Religion for Hindus is: A way of life A heritage A tradition A way of thinking A way to live in this life which insures the new incarnation. Culturally Rich Inventions Did you know..? · The digit zero and the numbering system ( Aryabhatta) · Chess · Algebra, Trigonometry, and Calculus · The decimal system · The game of Snakes and Ladders · The value of How to eat Indian food · Indian food is often eaten with the hands · considered impolite to allow the food to pass the first joint of the fingers · fingers should never touch the mouth directly · only the right hand may be used in eating · spoon is provided for soup, but the bread may even be used to eat that ·
Too much love of living, from hope and fear set free, and thank, with brief thanksgiving, whatever gods may be, that no life lives forever, that dead men rise up never, that even the weariest river winds somewhere safe to sea... http://arhiiv.err.ee/vaata/viker http://arhiiv.err.ee/vaata/vaike Arvamus DK luulest ,,Virtuoossete kõlamängude, riimipeegelduste ja häälikulise algebra abil loob Kareva tekst mulje, nagu oleks keeleline määramatus siin üldse taandunud. Ükski sõna, ükski silp ei näi oma kohale langevat juhuslikult, neid juhib mingi keeleülene tõmbejõud, ,,varjatud valem". Selline ülima määratuse efekt kontrasteerub tugevasti eesti luule praeguste põhisuundadega, nii sotsiaalse ,,eluläheduse" kui määramatust rõhutava keeleluulega." (Hasso Krull Sõnatalisman Sirp 14.03.2003) Kuid ma tundsin: sääl all keegi on,
teises kohas. Mida kujutab endast reduktiivne ehk ruumiline põhjuslik seos? Reduktiivseks ehk ruumiliseks nimetataksesellist põhjuslikkust, mille korral põhjuslikult seotud sündmused on korraga vaadeldavad. Ruumiline põhjuslikkus avaldub ühe füüsikalise objekti koosnemises teistest objektidest nt Liivahunnik koosneb liivateradest. Liivaterade olemasolu on liivahunniku olemasolu põhjus. Matemaatikas tegelevad reduktiivse põhjuslikkusega geomeetria ja algebra. Mida kujutab endast kronoloogiline ehk ajaline põhjuslik seos? Too näide. nimetatakse sellist põhjuslikkust, mille korral põhjuslikult seotud sündmused ei ole korraga vaadeldavad. Ajaline põhjuslikkus avaldub ühe sündmuse järgnevuses teisele. Nt: raamat paikneb laua kohal õhus ja talle mõjub raskusjõud (sündmus 1, põhjus); raamat on jõudnud laua pinnale (sündmus 2, tagajärg). Matemaatikas tegelevad kronoloogilise põhjuslikkusega
Leida P1 · P2 ja P1 + P2 · Hulga A võimsus on n. Leida kõikvõimalike antirefleksiivsete suhete arv; kõikvõimalike sümmeetriliste suhete arv. · Antud kõigi sõnade hulk S tähestikus A. Sõna v on sõna w prefiks, kui eksisteerib sõna uS nii, et w = vu. Näidata, et suhe ,,sõna v on sõna w prefiks" on osalise järjestuse suhe hulgal S. ALGEBRAD JA ALGEBRALISED SÜSTEEMID. Algebra on süsteem A = < M,S >, kus M on algebra alushulk (objektide hulk) ja S on algebra signatuur (operatsioonide hulk). Näiteks < 2 A , , , ) on algebra, mille alushulgaks on hulga A astmehulk ning signatuuriks tuntud hulgateoreetilised tehted (täiend, ühend ja ühisosa). Vastavalt tehetes osalevate operandide arvule määratakse signatuuri tüüp, mis on antud näites määratud vektoriga (1,2,2). Põhimõisted · Grupoid - lihtsaim algebra < M, · >, kus · on 2-kohaline operatsioon. · Parempoolne ühikelement e : mM (m · e = m).
Hulga A võimsus on n. Leida kõikvõimalike antirefleksiivsete suhete arv; kõikvõimalike sümmeetriliste suhete arv. 6 Antud kõigi sõnade hulk S tähestikus A. Sõna v on sõna w prefiks, kui eksisteerib sõna uS nii, et w = vu. Näidata, et suhe „sõna v on sõna w prefiks“ on osalise järjestuse suhe hulgal S. ALGEBRAD JA ALGEBRALISED SÜSTEEMID. Algebra on süsteem A = < M,S >, kus M on algebra alushulk (objektide hulk) ja S on algebra signatuur (operatsioonide hulk). Näiteks < 2 A , ,, ) on algebra, mille alushulgaks on hulga A astmehulk ning signatuuriks tuntud hulgateoreetilised tehted (täiend, ühend ja ühisosa). Vastavalt tehetes osalevate operandide arvule määratakse signatuuri tüüp, mis on antud näites määratud vektoriga (1,2,2). Põhimõisted Grupoid - lihtsaim algebra < M, >, kus on 2-kohaline operatsioon.
üksteisest vaid nimetuse või paigutse poolest. Pöördgraaf sisaldab kaari seal, kus graafil neid pole. Puu on sidu tsükliteta orienteerimata graaf. Puul on n tippu ja n-1 kaart. Kromaatiline arv on minimaalne arv millega saab kõik graafi tipud ära varvida nii, et naabertipud oleksid erivärvi. Graafe saab esitada naabrusmaatriksiga, intsidentsusmaatriksiga. Algebrad: Algebra koosneb alushulgast ja defineeritud tehetest. Tehe on alushulgal kinnine siis, kui rakendada tehet kahe elemendi peale, siis vastus on samuti selle hulga element. Ühe binaarse tehteda algebralist süsteemi nimetatakse grupoidiks. Ühikelement on selline element, millele rakendades tehet suvalise elemendiga, saab vastuses selle sama elemendi. Pöördelement on selline element, mis tehte rakendamisel elemendiga annab vastuseks ühikelemendi
indulgents - patulunastuskiri renessanss - taassünd. Hakati uurima Vana-Rooma ja Vana-Kreeka teoseid, kunsti ja arhdektuuri. humanism - maailmavaade, kus võetakse inimest tema vooruste ja puudustega manufaktuur - käsitöö ettevõte raad - keskaegne linnavalitsus tsunft - keskaegne käsitööliste ühing, kuhu kuulusid ühe valdkonna käsitöölised 5.Kirjuta pikemalt. Araabia kultuuri mõju Euroopale - kompass, püssirohi, , numbrid. Sõnad: sofa, siirup, suhkur, madrats, alkohol, algebra. feodaalne killustatus - kuningas jaotas maa feodaalidele. Need said temast tugevamaks ning ei allunud kuningale. Kodusõjad. tarastamine - Inglismaal võtsid mõisnikud talupoegadelt maa, ehitasid sinna tarasi, et kasva- tada lambaid, vill müüdi manufaktuuridele. pankade tekkimine - rikkad laenasid soovijatele raha, tagasi küsisid intressiga. 6.Kriipsuta maha need teaduskonnad, mida keskaegses ülikoolis ei olnud.
1837 Morse elektritelegraaf. 1847-1854 George Boole, de Morgan. 1857 perfolint(Wheatstone).1867 "Type writer" sholes,glidden,soule.1879 Kaasaegse loogika alus: Gottlob Frege(öloob kaasaegse predikaatarvutuse). 1890 - Hollerith'i perfokaardid->sellest firmast tekkis IBM.1845-1918 elas, Hulgateooria: Georg Cantor.1920...Enigma kodeerimiseks Saksa lennu-,merevägi.1935-1937 Turingi masin1936: Churchi lambda-arvutus.1930-1935-1937 Vannevar Bush MIT:dif. Võrrandite lahendamiseks(100t,tuhanded releed,150 mootorit,2000lampi). 1889-1951Ludwig Wittgenstein. 1938, Shannon'i magistritöö sidus: Boole algebra. Elektrilülitid ja -skeemid. Bitid ja info kodeerimise. Info otsimise algoritmid.1939-1942 Atanasoff. esimene elektronarvuti?1939-44 Mark I (Aiken) IBMi elektriline(releed)digitaalne arvuti(5t).1941-1944:Konrad Zuse. Z3, Z4. Releedega digitaalarvuti.1948 I transistor(Shockley)- müüma hakkas Bell Corp.1949 - Maurice Wilkes koostas EDSAC, the...
võib olla ainult Muhamedi ja Ali järeltulija. Kuigi Muhamedi järglaskond lõppes, usuvad siidid, et üks Ali järglastest ei surnud ja tuleb viimsel kohtupäeval peidust, et täita maailm õiglusega. Nad on valmis ka sõjakalt välja astuma. 15. Kuidas suhtusid araablased antiigipärandisse? Nad talletasid seda ja arendasid loominguliselt edasi. 16. Nimeta mõni mõiste, mis on eesti keelde tulnud araabia keelest? Algebra, alkeemia, tariif, magasin 17. Kes olid Avicenna ja Averroes? Avicenna e. Ibn Sina pärsia-tadziki arst, flosoof ja poeet. Averroes e. Ibn Rusd flosoof, arst ja kohtunik 18. Mida on araablased suutnud anda Euroopa kultuurile? India arvusüsteem- nn. Araabia numbrid; Vana-Kreeka flosoofde tekstid tõlgituna Mõisted: Beduiin- rändavad või poolpaiksed kaamelikasvatajad Veritasu Kui hõimuliige sureb, tuleb tappa teisest hõimust samal seisusel liige
Aastal 1820 suri Abeli isa.Nüüd langes ema ja kuue õe-venna ülalpidamine 18.aastase Niels Henriku õlule.Ta võttis kogu vastutuse enda kätte ning oli optimistlik ja rõõmus.Kuid igapäevase elu mured olid suuremaks takistuseks Abeli kui matemaatikateadlese arengule.Holmboe oli kindel,et Abelist saab kuulus matemaatik ning ta püüdis leida vahendeid Abeli pere toetuseks. Abeli esimene auahne üritus oli katse lahendada üldist viienda astme võrrandit.Kõik tema eelkäijad algebra alal olid näinud selle kallal asjatult vaeva.Ta oli väga rõõmus kui arvas,et ta on leidnud lahenduse.Ei tema matemaatka õpetaja ega ülikooli matemaatikaprofessor ei leidnud Abeli arvutustes vigu ega tema arutlustes ebatäpsusi.Kuna teadustöö avaldamine polnud Oslos võimalik,soovitati saata oma tööd Taani matemaatikule Ferdinand Degenile palvega soovitada see avaldada Taani Teaduste Akadeemia väljaannetes.Degen oli hea matemaatik ning ka tema ei leidnud Niels Henriku töös vigu.
saa olla endaga vastuolus Välistatud kolmanda seadus iga lause on kas tõene või väär, kolmandat võimalust ei ole Küllaldase aluse seadus ühtli lauset ei saa pidada tõeseks või vääraks ilma küllaldase aluseta. Näide Maril on täna hea tuju Kui Maril on hea tuju, siis on Jüri õnnelik ------------------------- Jüri on täna õnnelik Lauseid.... Elu on elu Tööpäev kestab reedel kella poole viieni Jüri on ja ei ole mees Lausearvutus Boole algebra Jagamine lauseteks ja osalauseteks Lausearvutus on klassikalise loogika lihtsaim osa, mis tegeleb lihtlausete vaheliste seoste uurimisega ning mille abil on võimalik välja selgitada, kuidas liitlause tõeväärtus sõltub osalausete tõeväärtustest. Lausearvutust kasutatakse väga paljudes valdkondades, rakendusalad ulatuvad arutluste analüüsist filosoofias liittingimuste konstrueerimiseni programmeerimises. Konjunktsioon &, , AND Konjunktsioon kahe lause vahel on
Jerry and the anonymous man have a brief back and forth, ending with the man calling Jerry a "square boy." This resonates with Jerry, as he thinks of the people who do not do much with their lives. The school must sell 20,000 boxes this year, each boy must sell fifty boxes. twice that were for sale last year. Leon knows that Archie has influence in the secret group that rules the school. Archie pushes back, but Leon levels his gaze at him and Archie remembers that Leon could ruin his grade in algebra. Archie finaly says that The Vigils will help. A pale, sniveling sort of man, Brother Leon nevertheless is a bully. He takes great pleasure in making students fear him. The black box is a mechanism to keep the leader of The Vigils in check. Inside the black box there are six marbles--five white and one black. If Archie draws the black marble, he must do the assignment himself. Ten minutes before the end of class, Leon calls on Bailey. Leon accuses Bailey of cheating
Õppimine oli koolis algul hea, hiljem läks Õppimine oli algul halb, oli klassis halvemaks, kuna pidi hoolt kandma nii õppimise poolest kõige viimane. Hiljem väikeõe kui ka ema eest. Sellepärast jäi läks paremaks, sest tädi Elsa aitas talle liiga vähe aega endaga koolitööga ning Kadri oli ise tegelemiseks. enesekindlam. Õppimises aitas teda samuti Urmas, sest algebra valmistas Kas veel midagi? Kadrile raskusi. Raskustest vene keelega aitab Kadril hakkama saada sanatooriumis ravil oldud aeg. Siis sai ta tuttavaks vene rahvusest sõbratariga, kes ei osanud eesti keelt. Kadril tuli
Beckmanniga ajendas meest teadusega tegelema; Aasta 1619 Ulmi lähistel unenäod, mis annavad mõista, et tema kutsumus on teadlane olla. Elu ja looming Õpetus ideedest on olemas kolm rühma ideid; Esiteks sünnipärased ideed; Teiseks tajumiste kaudu omandatud ideed; Ja kolmandaks meie endi poolt moodustatud ideed. Elu ja looming Aastatel 1625-1628 elas Pariisis ning puutus kokku matemaatik Marin Mersenne'i ja tema ringkonnaga; Sel ajal tegeles optika, algebra ja tajuteooriaga; 1628.aastal emigreeris Hollandisse, kus töötas oma teoste kallal; Elu ja looming Esimene avaldatud teos, 1637, "Arutlus meetodist mõistuse õigeks kasutamiseks ja tõe otsimiseks teadustes"; Aastal 1641 järgnes tema peateos "Meditatsioonid esimesest filosoofiast"; Kolm aastat hiljem avaldas ta filosoofia printsiibid. Elu ja looming Elu lõpul kolis Stockholmi, et õpetada Rootsi kuningannale filosoofiat; Haigestus kopsupõletikku ja suri 1650.aasta talvel 54-aastasena.
kes võisid olla mitmes kohas korraga või võisid mitmed olla ühes kohas korraga. Millised nad on? Milleks nad on? Kontaktid Araabia maailmaga tõid kaasa euroopaliku mõttemaailma muutused ja aitasid kaasa teaduse arengule. Moslemid olid teaduses eurooplastest paremad, nende õpingud erinesid eurooplaste omast ja tekitasid hämmastust keskaegsetes intelektuaalides. Teaduslikku keelde ilmusid uued sõnad: alkohol, algebra, alkeemia. Võeti kasutusele araabia numbrid. Eurooplaste teadmised arenesid võibolla tuhat aastat ühe sajandiga. Oli seatud valmis lava mehe jaoks, keda kutsutakse tänapäeva teaduse isaks, Roger Bacon. Inspireeritud moslemite filosoofiast, taipas mees katsete ja kogemuste olulisust. Ka tugevaimad argumendid ei tõesta midagi, kui neid ei toeta kogemused. Bacon oli eriti huvitatud valgusest. Ta esitas küsimuse, miks küünal pööratakse tagurpidi, kui seda läbi vee vaadelda
Pedagoogiline psühholoogia Ajalugu Eve Kikas Mis on pedagoogiline (haridus)psühholoogia? · Psühholoogiaharu, mis rakendab psühholoogia teadmisi hariduse sfääris · Erinevus koolipsühholoogiast Sisuline Terminid · Rõhuasetus on õppimise ja õpetamise protsesside uurimisel. Teadmised õppimise ja arengu seaduspärasustest · Otsitakse võimalusi, kuidas õpilasi efektiivsemalt õpetada. Ajalugu · Teadusliku pedagoogilise psühholoogia algusajaks loetaks 19.saj lõppu · William James (1842-1910) oli funktsionalist, kes uuris ka praktilisi probleeme. Raamat "Talks to Teachers" (1899) · PP seisab teooria ja praktika vahepeal: psühholoogia teadus, haridus kunst, PP ühendab neid, ülesandeks teooria praktikasse rakendamine · Õpetas õpetajatele psühholoogia aluseid, rõhuasetusega tegevusel, kohanemisel, kirjutas mälust ja tahtest · Rõhutas eeskuju ja ...
..9) ning mäluelement ehk triger (10). Keerukamaid loogikalülitusi, mis koosnevad paljudest loogikaelementidest ning on ette nähtud kindlate funktsioonide täitmiseks, nimetatakse funktsionaalseteks loogikalülitusteks. Kõiki loogikalülitusi liigitatatkse mäluta kombinatsioonloogikalülitusteks ja mäluga järjendloogikalülitusteks. 3.3 Loogikafunktsioonid ja elemendid 3.4 Loogikaseadused Loogikaseadusteks nimetatakse tavaliselt binaarloogika algebra ehk Boole' i algebra seadusi. (George Boole [2.11.1815-8.12.1864], inglise matemaatik ja loogik oli üks matemaatilise loogika rajajaid.) Algebraks nimetatakse üldjuhul elementide hulka, millega tehakse tehteid, kusjuures nende tehete aluseks on kindlad reeglid ehk aksioomid. Aksioomid määravad ära algebra põhitehete omadused ja seosed. Kuna nüüdismatemaatikas on palju algebra like (universaalalgebra, hulgaalgebra, loogikaalgebra), siis kehtivad neis ka erinevad tehted ja aksioomid. Boole'i algebra
nõnda, nagu poleks ta üksnes lõpetatud, vaid ka lõplik; iga viimane rida mitte lihtsalt (selle luuletuse) viimane, vaid "kõigi luuletuste" viimane, kõigeviimane rida üleüldse. Kareva senise luule võiks nende järgi jaotada kolme perioodi: (1) varane enesejaatus, alternatiivsus, kommunikatiivsus; (2) peavoolu kehastamine, jäljendamatus omas ajas; (3) sõltumatus, püsivus, lakkamatu tagasitulek algse taotluse juurde. Virtuoossete kõlamängude, riimipeegelduste ja häälikulise algebra abil loob Kareva tekst mulje, nagu oleks keeleline määramatus siin üldse taandunud. Ükski sõna, ükski silp ei näi oma kohale langevat juhuslikult, neid juhib mingi keeleülene tõmbejõud (http://www.sirp.ee/2003/14.03.03/Kirjand/kirjand1-2.html) Looming · 19744. aastal debüteeris luuletustega ajakirjas Noorus · "Päevapildid" (1978) · "Ööpildid" (1980) · "Puudutus" (1981) · "Salateadvus" (1983) · "Vari ja viiv" (1986)
Loogikaalgebra, Põhiseosed, loogikafunktsioonid Mis on loogikaalgebra? Loogikaalgebra on Boole algebra lihtsaim erijuht, kus alushulgaks on kõigest kaheelemendiline hulk {0,1}. Millest loogikaalgebra koosneb? Koosneb loogikaväärtustest 0 ja 1 ning võretehetest konjuktsioon ja disjunktsioon. Mis on loogikamuutuja? Muutuja x on loogikamuutuja, kui ta saab omandada väärtusi ainult hulgast {0,1} Kuidas nimetatakse numbrimärkidega 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi? Nimetatakse konstant 1 ja konstant 0 Mis on loogikaavaldis? Loogikaavaldise definitsioon
1957 Noyce ja Moore - Fairchild Semiconductor 1968 Noyce ja Moore - Intel 1969 Jerry Sanders - AMD 1968 Moore'i(Intel Corp) seadus ütleb, et transistoride arvu kahekordistumine toimub iga kahe aasta tagant FORTRAN on vanim assemblerist kõrgema taseme kohustusliku süntaksiga programmeerimiskeel, mis on eriti sobiv matemaatilisteks arvutusteks, mida loodi 1957.aastal. John Backus. 1938. Shannon’i magistritöö sidus: Boole algebra Elektrilülitid ja -skeemid Bitid ja info kodeerimine Info otsimise algoritmid Pascal 1640: aritmeetiline masin, mis ainult liitis ja lahutas. Leibniz 1671: arvuti liitis, lahutas, korrutas, jagas. Babbage 19. sajand – esimene projekt programmeeritav arvuti Esimene programmeerija: Ada Lovelace Induktsioon on filosoofias arutlemise viis, mille puhul sellest, et ühtedel asjadel on teatav omadus, järeldatakse, et see
A k ={ a1 , a2 ,..., ak } |P (A k )|= 2 k Tões ta me, et kehtin n= k+ 1 korral A = {a, b, c, d } lis as ime d A k + 1 = { a1 , a2 ,..., ak , ak +1 } H ulgale A k + 1 vas tava as tmehu lga s aamis eks võtame hulgale A k vas tava as tmehulga ja lis a me s ellele paarid mis s aame A k as tmehulga hulkade ja lis atava uue elemend i abil moodus tad a S eega : |P (A k + 1 )|= |P (A k )|+ |P (A k )|= 2 k +2 k = 2*2 k =2 k + 1 tõestatud Booli algebra B ool i algebraks nime tame mit tetühj a hulka S koos kahe operats iooniga ja mis rahuldavad järgmis i tingimus i : Et j ärgnev liiga abs traktne j a keeruline ei tunduks võite es ialgu kuj utada ette H ulga S rollis reaalarvude hulka j a tehete rollis liitmis e ning korrutamis e tehet. V iimas el j uhul on tege mis t küll Booli algebra ühe erij uhuga, kuid kõik omadus ed on s el juhul väga lihts ad ja s elged. kui a,b S , s iis a b S j a a b S
Kontrolltöö nr 2. 11. Feodaalsuhete kujunemine. Lk 82. Konspekt 13.-14. Skandinaavia ühiskond ja viikingite retked. Skandinaavlaste maailmapilt ja mütoloogia. Suurbritannia rahvaste kujunemine. Konspekt. 7-9. Araabia ja muhameedlik kultuur. 1.Miks kujunesid feodaalsuhted? (2) Karl Martelli sõjaväereform -> uut tüüpi sõjaväesüsteem, tekkis vajadus stabiilse võimusüsteemi järel. 2. Mida tähendab ``minu vasalli vasall ei ole minu vasall? (1) Seda, et feodaali ei huvitanud mida tema vasalli vasalli käekäik, sest tema vasalli vasall ei ole tema vasall. 3.Mis on benefiits? (1) uspärandamisõiguseta maavaldus 4.Mis on allood? (1) täielikkus omades olev valdus 5.Mis on domeen? kuninga valdus 6.Mis on feood? pärandatav maavaldus 7.Mis on immuniteedikiri? kuninga jagatud kiri, millega läks muist riigivõimu funktisoone vasallile üle. 8.Mis on investituur? (1) vasallisuhete sõlmimise sümboolne akt 9.Mis on sunnismaisus? (1) talupojad, kellel oli ke...
Aristotelese puhul alati kaks kategoorilist eeldust, üks kategooriline järeldus. Stoikud uurisid, kuidas saab loogiliste sidesõnade (ja, ei, või, kui...siis) abil lihtsamatest lausetest keerulisemaid kokku panna ja kuidas näidata selliselt moodustatud lausete õigsust. Charles Babbage 1822: Difference Engine, jäi pooleli Idee: Analytical Engine esimene programmeerija: Ada Lovelace George Boole, de Morgan Loogika (lausearvutuse) alused 1847-1854 Matemaatilise algebra ideede kasutamine loogika jaoks: Loogika algebra: 1A = A, 0A = 0, A+0 = A, A+1 = 1 A+B = B+A, AB = BA, AA = A Kaasaegse loogika alus: Gottlob Frege 1879: Kontseptuaalne notatsioon ("Begriffsschrift") loob kaasaegse predikaatarvutuse: Näide: Isa(Jaan,Mihkel). Isa(Jaan,Ants). Isa(Ants,Peeter). Iga x, y, z jaoks: Isa(x,y) & Isa(y,z) => Vanaisa(x,z). Tõesta, et eksisteerivad z, u nii et Vanaisa(z,u) "Hilberti programm" matemaatikale kindlate aluste rajamiseks:
Hindamine. Ülevaade ainest. Sissejuhatav 2. 04. 09. 06 Kordamine Kontrolltöö ja tunnikontroll. Vestlus. kordamine. Algebra. Tarkvara vihik. Tehted ratsionaalarvudega. 3. 05. 09. 06 Kordamine Harjutamine 4) 102 124 (paarilised) Avaldise väärtuse arvutamine.
programmeerimine on põnev;2. ehk polegi meil speech).1990-lõpuaastatel kiirendas interneti muutumine Inseneriasjandus: teha kõike nii palju kallilt makstud programmiste vaja? 1938, Shannon'i magistritöö sidus: Boole algebra. lihtsamalt;Kommertsrakendused: kliendile Elektrilülitid ja -skeemid. Bitid ja info kodeerimise. mainstream-tehnoloogiaks eriti järsult aktsiahindade meelepäraseid asju. Arvutiteadus - Matemaatiline Info otsimise algoritmid. tõusu.Tekkis palju firmasid, kes ei andnud üldse arvutiteadus(Algebra eriharud, Arvutatavus,
fn lst) erisused: kolm põhiasja:Süntaks (kuidas Eestis, wolfenstein 3d,gsm mobiil(esimene (if (pair? lst) kirjutatakse näiteks if .. then .. else ühes või teises 1938, Shannon’i magistritöö sidus: Boole algebra. operaator Radiolinja Soomes). (if (fn (car lst)) keeles);Semantika ehk tähendus (mida õigesti kirjutatud programm tegelikult siis teeb);Teegid Elektrilülitid ja -skeemid. Bitid ja info kodeerimise
EXIT PROGRAM, nimeleenust I LISP HTML: Teksti paigutamise / lehe kujundamise keel l93lt shilntror'i nugistritd6 sidus: Booie algebra. Eleklilliilirid.ia -skcemid. Bitid.ja info kodcerirnise. Info otsin (defun sumlo (n) XHTML: Praktiliselt sesama. mis HTML (samad tagid jne), Tagid peavad olema vaikeste tahtedega, peab otffa algoritrnid
Meie arvamuste erinevus aga pärineb meie erinevaid teid mööda käivast mõistusest ning erinevate asjade vaatlemisest. Seisukoht on ratsionalistlik kuna autor on tuginenud sellele, et meieni jõudvad teadmiste allikad on eelkõige meie enese mõistus ja võimekus loogiliselt mõelda. 2) Autor põhjendab vajadust uue meetodi järele sellega, et loogika süllogismid ja osa muid juhiseid selgitavad tuntuid asju, vana analüüs ei suuda harjutada mõistust ja algebra on segane ning vaimu koormav kunst. „Uus meetod sisaldaks nende kolme paremusi ja oleks vaba nende puudusist“, kirjutas Descartes. Uue meetodi esimeseks reegliks oli, et ei tohi üleliia rutata ja eelarvamuste alusel otsuseid teha, vaid ainult siis, kui need on hoolikalt läbi mõeldud. Teiseks tuleb jagada uuritavad probleemid nii mitmetesse osadesse kui võib ning seejärel tuleb uurida neid raskusastmete järgi lihtsaimatest raskemateni
1.Kristluse tekkimine:poliitiline olukord Palestiinas:Palestiina allus Rooma võimule.Selle elanike juutide usk oli juba sajandeid olnud monoteistlik.Rooma võimud suhtusid juutidesse erandlikult ega nõudnud neilt pikka aega religioosseid auavaldusi.Rooma jumalatele ja keisritele.Augustus määras siiski ametisse roomlasest asevalitseja-Juudamaa prokuraatori.Paljude juutide seas püsis rahulolematus võõramaise ülemvõimuga ja ootus,et messias toob õnneajastu ja taastab Iisraeli muistse hiilguse. Jeesuse elu ja õpetus:Jeesus oli juudi soost puusepa poeg,kes maal ringi rännates kuulutas jumalariigi peatset saabumist.Jeesuse kuulutuse kohaselt võisid saabuvasse taevariiki pääseda ainult need,kes temasse ja tema sõnumisse usuvad ning meelt parandavad:ütlevad lahti isekusest,usuvad kindlalt jumalariigi saabumisse,armastavad siiralt jumalat ja oma ligimesi.Rikkus on takistuseks taevariiki pääsemisel.Jumalariik on avatud eeskätt viletsaile ja põlatu...
Peale lõpetamist tegi ohtralt reise üle terve Euroopa. Hollandis viibides astus sealsesse armeesse, hiljem Baieri armees elukutseline sõdur. Kohtumine arsti ja loodusteadlase Beckmanniga ajendas hakkama tegelema teadusega. 1619 näeb Ulmi lähistel kolm unenägu, mis olevat andnud mõista, et hakka ometi teadlaseks- nii on maailmal sinust rohkem kasu!!! D. Loobubki sõdurielust, kuid mitte reisimisest. 1625-28 tegeleb Prantsusmaal optika, algebra ja tajuteooriatega 1628 emigreerub Hollandisse (tollane vabamõtlemise kants), kus järgneva 20. aasta jooksul elab tagasitõmbunult kord suurlinnades, kord maal (seal eriti). D. oli soojalemb- olevat olnud kõige meeldivam paik ahjus, pikutanud ja mõelnud seal, armastas üksindust ja vältis seltskonda- sestap muutis pidevalt ka aadressi ja sõpradega suhtles enamasti vaid kirja teel. ,,Magan siin suurlinnas10 tundi, kus kõik peale minu tegelevad äriga-peavad oma kasu silmas
Ajalugu. Araabia ja muhamedlik kultuur. Dateeri e määra aeg ja iseloomusta. Islamimaade ajaarvamises algu 622 - Muhamed põgenes Mekast Mediinasse tagakiusu tõttu. Araabia riigi tekkimise algus 630.a. I valitseja Muhamed. Õige moslemi kohustused Usutunnistus, Palvus, Annetamine, Palverännak, Paast . Moslemitel on kohustus palvetada viis korda ööpäevas. Defineeri e seleta mõiste Beduiin - Beduiinid on nomaadse eluviisiga araabia hõimud e. Rändkarjajasvatajad. Nad samastavad end konkreetse hõimuga, mitte rahvaga, ja nimetavad end `arab. Allah Jumal islamis. Islam Maailmausund, mille rajas Muhamed 7.saj. Koraan islami pühakiri e püha raamat. Kaliif prohvet Muhamedi järglane ja asemik, araabia riigi valitseja. Moshee islami pühakoda. Minaret moshee kõrgeim torn. Kes ta on ja millega sai tuntuks. Muhamed Meka kaupmees Muhames, uskus, et ta on Jumala prohvet, kes kuulutab ainujumalat Allahit. Pani aluse Araabia riigi tek...
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) Kasutusel on ka alternatiivseid tehtemärke: & ~ + Ü George Boole (1815 — 1864) Inversiooni esitatakse mõnes allikas ka ülakomaga: ¯ x'
Education and learning Task 1. Underline the most suitable word or phrase. a) Jack decided to take a course/lesson in hotel management. b) Sheila always got good marks/points in algebra. c) After leaving school, Ann studied/trained as a teacher. d) Peter decided not to go in/enter for the examination. e) My sister learned/taught me how to draw. f) I can't come to the cinema. I have to read/study for a test. g) In history we had to learn a lot of dates by hand/heart. h) I hope your work will improve by the end of course/term. i) Martin failed/missed his maths exam and had to sit it again. j) If you have any questions, raise/rise your hand. Task 2
Pascal: filosoof, 17. Saj(1640), masin mis liitis ja lahutas Leibniz: filosoof, 17.saj (1671), masin mis liitis lahutas korrutas jagas Perfokaardid: 1800, Jacquard, programmeeritavad kangasteljed Babbage: 1800, üritas teha esimest arvutit. Hollerith: 1890, perfokaartidega masin, rahvaloendus, ta firmast tekkis IBM Colossus: 1943 enigma dekrüpteerimiseks Turing: 1936, Turingi masinm Shannon: 1938, ta magistritöö sidus Boole algebra, Elektrilülitid ja -skeemid,Bitid ja info kodeerimine, Info otsimise algoritmid Zuse: 1940, programmeeritavad arvutid Turvateater: näiliselt millegi turvaliseks tegemine kuid tegelikult ei aita see midagi Malware: tarkvara mis kahjustab arvutit vms Cookie: info veebis mis salvestatakse inimese arvutile Phishing: passwordide ja isiklike andmete välja petmine Social engineering: psühholoogiliselt inimese mõjutamine et ta salastatud infot väljastaks 3
Majandusmatemaatika teooria 1.Mis on funktsioon? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon. Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Elementi x nimetatakse sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks, elementi y sõltuvaks muutujaks ehk (elemendi x) kujutiseks. Sõltumatu muutuja - algebra: Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. statistika: Muutuja, mida eksperimentide seeria käigus muudetakse. Sõltuv muutuja - algebra: Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. statistika: Mõõdetav suurus, mis näitab kohtlemise efektiivsust. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, määramispiirkond on funktsiooni argumendi nende väärtuste hulk,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Astendamine. Polünoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gödeli ümber lükatud püüdlus tuletada kogu matemaatika otse loogikast niisugusel ühemõttelisel kujul sõnastas logitsismi teesi esimesena Russell. Matemaatika tuletamist loogikast alustasid Russell ja Whitehead täisarvude teooriast ehk aritmeetikast. 19. sajandi lõpus postuleeris Guiseppe Peano järgmised aritmeetika baastõed, millest loodeti tuletada aritmeetika ning seejärel ehitada sinna peale matemaatiline analüüs, algebra ja muud matemaatikaharud: ' 1. 0 on täisarv 2. kui x on täisarv, siis x-le järgnev arv (x+1)on samuti täisarv. 3. Kahel erineval täisarvul x ja y on erinevad järgnevad arvud 4. 0 ei järgne ühelegi arvule 5. Matemaatilise induktsiooni printsiip. Eeldame, et mingi väide A kehtib arvu 0 kohta. Kui asjaolust, et väide A kehtib täisarvu x kohta, saab tuletada, et A kehtib ka arvu x+1 kohta, siis kehtib A kõigi täisarvude kohta. (Tamme, Tammet, Prank
1.1 Funktsioon DEF 1. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon f, tähistatakse y=f(x) DEF 2. Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y c R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühemuutuja funktsioon f. [(x, y) I xX ja y=f(x)] DEF 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud vähemalt üks hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud mitmene funktsioon f. DEF 4. Funktsioonide y=f(x) (xX) ja z=g(y) (yY ja f(X) c Y) liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z=g(f(x)). DEF 5. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x) DEF 6. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarituks funktsiooniks, kui f...
TALLINNA TÖÖSTUSHARIDUSKESKUS ANDURITE SIGNAALID Tallinn 2018 Sisukord Sissejuhatus........................................................................................................... 3 Tööstusautomaatika areng on seotud erinevate tehnoloogiliste protsesside ja masinate automaatjuhtimissüsteemide arenemisega. Andureid kasutatakse juhitavatelt objektidelt seisundiinfo saamiseks. Seega nad on juhtsüsteemide elemendid, mis muundavad juhitavaid suurusi (temperatuur, rõhk, niiskus, vooluhulk jne) mugavalt mõõdetavaks, talletatavaks ja töödeldavaks signaaliks.Andmetöötlustehnoloogia ning info- ja arvutitehnika kiire areng määravad andurite intensiivse arendamise............................................................3 Kaasaegsed mõõte- ja juhtimissüsteemid põhinevad arvutitehnikal. Kuna nende süsteemide võimalused kasvavad, siis infot esmaselt vastuvõtvate andurite roll tõuseb oluliselt. Andurid muutuvad olu...
töötamisviisi oma Jaquard'i kangasteljega. CHARLES BABBAGE 1822 1822: Difference Engine, jäi pooleli Idee: Analytical Engine Esimene programmeerija: Ada Lovelace Inglise matemaatik, filosoof, leiutaja ja mehaanikainsener, kellelt pärineb programmeeritava arvuti mõiste. On esimese mehaanilise automaatkalkulaatori (arvuti) loojaks ja seega pani ta aluse arvutite arenguloole. GEORGE BOOL DE MORGAN Loogika (lausearvutuse) alused 1847-1854 Matemaatilise algebra ideede kasutamine loogika jaoks: Loogika algebra: 1A = A, 0A = 0, A+0 = A, A+1 = 1 A+B = B+A, AB = BA, AA = A Enimkasutatud tehted on & (ja e. konjunktsioon) V (või e. disjunktsioon) - (ei e. eitus) => (järeldus e. implikatsioon) == (samasus e. ekvivalents) GOTTLOB FREGE 1879 loob kaasaegse predikaatarvutuse Näide: Isa(Jaan,Mihkel). Isa(Jaan,Ants). Isa(Ants,Peeter). Iga x, y, z jaoks: Isa(x,y) & Isa(y,z) => Vanaisa(x,z). Tõesta, et eksisteerivad z, u nii et Vanaisa(z,u).
arvutusmasina jaoks programmi. Oleks täisautomaatne arvutusmasin valmis ehitatud, siis tema programm oleks oleks olnud võimeline arvutama Bernoulli numbrite järjestust/jada. Tänu sellele tööle on Lovelace'le kingitud esimese arvutiprogrammeerija tiitel. 1979ndal aastal anti kaasaegsele programmkeelele tema auks nimi Ada. Morse 1837: elektritelegraaf, Wheatstone 1857: perfolint George Boole, de Morgan Loogika (lausearvutuse) alused 1847-1854 Matemaatilise algebra ideede kasutamine loogika jaoks: Loogika algebra:1*A = A, 0*A = 0, A+0 = A, A+1 = 1,A+B = B+A, A*B = B*A, A*A = A Enimkasutatud tehted on: & (ja e. konjunktsioon) V (või e. disjunktsioon) - (ei e. eitus) => (järeldus e. implikatsioon) == (samasus e. ekvivalents) A& B AV B -A A => B -------- -------- ---- -------- TTT TTT VT TTT
Reaalarvu a absoluutväärtuseks nim mittenegatiivset reaalarvu IaI, mis on defin seosega IaI=a, kui a0,,-a, kui a0 Arvu a ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka U(a)={xIa-x} Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka [a; a + ) = {xIax+a} Suuruse + M-ümbruseks, kus M > 0, nimetatakse vahemikku (M;+). Kui M > 0, siis M-ümbruseks nim ühendit (-;-M) ja(M) Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M0, et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist x M väärtusest, täidavad tingimust - M x M , s.t. . FUNKTSIOON:. . Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Esitusviisid: Tabel, Analüütilisel kujul esitatud funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi väärtuste hulka, mille korral see valem on määratud.; F.gaafik...
Islami kultuur Raamatukultuur. Kalligraafia. Armastusluule. Elusolendeid kunstis väga ei kujutatud. Mošee - hoone palvetamiseks. Medrese - mošee + õppeasutus Islam - antiikkultuuri talletaja ja vahendaja Araablased vaimustusid kreeka kultuurist, õppisid keelt, filosoofiat, matat jpm. tõlkisid araabia keelde. Hiljem eurooplas tutvusidki kreeka autoritega tänu araabia tõlgetele. Araabia mõju eu kultuurile on suur, nt keeltes sõnad alkeemia, algebra. Ibn Sina - tuntuim islami õpetlane Keskaegse Euroopa sünd Rooma tsivilisatsiooni hääbumine Miks (Lääne-)Rooma tsivilisatsioon hääbus? Lääne-Roomas oli juba poliitiline ja majanduslik kriis + germaanlased ründasid + katk. Rahvaarv vähenes. Põllumajandus ja kaubandussüsteem + käsitöö varisesid kokku, levis naturaalmajandus e saaduseid ei müüdud enam, vaid kasutati enda tarbeks = raharinglus on halb. Kuldraha kaob käibelt
kirjandust. Uue väljaande avastasid peagi füüsikud ja biomeditsiini uurijad. 7. Millise ka kaasajal olulise teooria esitas George Boole oma uurimuses An Investigation into Law of Thought? George Boole (1815 1864) oli inglise matemaatik ja loogik. Ta oli matemaatilise loogika rajajaid. 1854. aastal avaldas George Boole oma raamatu, ,,An Investigation into Laws of Thought" mis pani aluse nn Boole'i algebrale väites , et see on lihtne algebra. Boole´i algebra põhimõtet kasutatakse praegu laialdaselt infootsingus. 8. 19201930ndatel hakkasid infoprotsesse uurima erinevate erialadega seotud isikud, nende hulgas H.Nyquist, R.V.L.Hartley, J.Bernal, S.C.Bradford, A.J.Lotka, H.Bliss, G.Zipf. Milliste uurimisteemadega nimetatud isikud tegelesid? Harry Nyquist'i (1889 1976) 1924.a ilmunud artiklis Certain factors affecting telegraph speed antud teoreetiline käsitlus informatsiooni edastamisest
ainult siis, kui iga kahe erinevate punktide x1 , x 2 K ( x1 x 2 ) jaoks leidub selline funktsioon f A , et f ( x1 ) f ( x 2 ) . Definitsioon 7 Olgu A funktsioonide hulgast K n ruumi hulk. Öeldakse, et A ei saa nulliks mitte ükski hulga K punktidest siis ja ainult siis, kui iga punkti x K jaoks leidub selline funktsioon f A , et f ( x) 0 . Nüüd formuleerime Stone-Weierstrassi teoreemi. Teoreem 2 (Stone-Weierstrassi) Olgu A selline pidevate funktsioonide algebra kompaktsest hulgast K n ruumi , et A eraldab hulga K punkte ja A ei saa nulliks mitte ükski hulga A punktidest. Siis hulga A sulund B koosneb kõikidest pidevatest funktsioonidest hulgast K ruumi . Stone-Weierstrassi teoreem on üks olulisemaid teoreeme aproksimeerimise teoorias. Närvivõrk realiseerib kujutust (2.1). Vaadeldes iga närvivõrgu väljundit eraldi saame m kujutust f (i ) : K R, i = 1,K, m (2.3)
ainult siis, kui iga kahe erinevate punktide x1 , x 2 K ( x1 x 2 ) jaoks leidub selline funktsioon f A , et f ( x1 ) f ( x 2 ) . Definitsioon 7 Olgu A funktsioonide hulgast K n ruumi hulk. Öeldakse, et A ei saa nulliks mitte ükski hulga K punktidest siis ja ainult siis, kui iga punkti x K jaoks leidub selline funktsioon f A , et f ( x) 0 . Nüüd formuleerime Stone-Weierstrassi teoreemi. Teoreem 2 (Stone-Weierstrassi) Olgu A selline pidevate funktsioonide algebra kompaktsest hulgast K n ruumi , et A eraldab hulga K punkte ja A ei saa nulliks mitte ükski hulga A punktidest. Siis hulga A sulund B koosneb kõikidest pidevatest funktsioonidest hulgast K ruumi . Stone-Weierstrassi teoreem on üks olulisemaid teoreeme aproksimeerimise teoorias. Närvivõrk realiseerib kujutust (2.1). Vaadeldes iga närvivõrgu väljundit eraldi saame m kujutust f (i ) : K R, i = 1,K, m (2.3)
Lause eeldused on rahuldatud, kui rangelt monotoone ja differentseeruv funktsioon. Tähistame g(t): = f( Olgu G funktsiooni g algfunktsiooniks. dG( (x))= g( = f( . Integreerides asendusega t = saamegi jällegi 5.Polünoomide jagamine. Horneri skeem. Olgu Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an n-astme polünoom, kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 0. Vastavalt algebra põhiteoreemile on polünoomil Pn(x) kompleksarvude hulgal täpselt n nullkohta, arvestades nullkohtade kordsust. Kui neiks nullkohtadeks on x1, x2, . . . , xr, vastavalt kordsustega k1, k2, . . . , kr, siis pol¨unoom Pn(x) avaldub kujul Pn(x) = a0 (x - x1)k1 (x - x2)k2 · · · (x - xr)kr , kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n. Horneri skeem. Polünoomi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn korral, kus a0, ..., an on arvud, tahame
Sellega lõppes mitmete teemade (tuletis, integraal, kombinatoorika) õpetamine. Seevastu sisaldasid üleliidulised õpikud V klassis ülemäära keerulisi (enam kui 10 tehtega) aritmeetikaülesandeid. Geomeetria süstemaatiline kursus algas juba VI klassis ja oli õpilaste vanuse kohta raske. Matemaatika ühtne kursus oli nüüd jaotatud erinevateks osadeks, sisuliselt tegelikult erinevateks õppeaineteks: aritmeetika, geomeetria, algebra ja trigonomeetria. Mõnes klassis oli seetõttu kasutusel 6 erinevat raamatut, sest eraldi olid veel igas aines teooria raamat ja ülesannetekogu. 1957. a loodi Haridusministeeriumi juurde matemaatika aine- komisjon, keda asus juhtima Elmar Etverk. See komisjon asus ette valmistama oma ettepanekuid matemaatika õpetamise kohta. Need ettepanekud olid järgmised: 1. Süstemaatiline deduktsioonil põhinev geomeetriakursus ei tohiks alata
Filosoofia olemus: Rene Descartes oli loodusteadlane ja matemaatik, kelle arvates sarnanes filosoofia puuga: juured on metafüüsika, tüvi füüsika ning puuoksad rakendusteadused. (Nagu ka õunapuu vilju korjatakse okste, mitte tüve või juurte küljest, nii ilmneb ka filosoofia kasulikkus rakenduslike teaduste juures). Ta rajas uue matemaatikaharu, mille tuumaks oli algebra kasutuselevõtt geomeetrias. Ühtlasi leiutas ta graafiku (x ja y telge nimetatakse tema järgi kartesiaanlikeks koordinaatideks). Ta mõtles, et see, mis annab matemaatikale tema tõsikindluse, on ehk üle võetav ning rakendatav ka teistes teadmisvaldkondades. Rene Descartest peetakse ratsionalismi (ehk arusaama, et tõsikindel teadmine pärineb mõistusest enesest, olles sünnipärane) rajajaks.
Muidugi võis katoliiklasest kaupmees ise süümepiinu tunda oma tegude õigsuse suhte, kuid ma kahtlen selles. Pigem oldi väljas võimalikult suure kasumi teenimisel ja seda ka teiste arvelt. Itaalia kaupmehed õppisid antud perioodil matemaatikat nt Araabia kaupmeestelt araabia numbritega ja nulliga muutus arveldamine hoopis hõlpsamaks, kui see oli olnud rooma numbritega. Koos uute numbritega levis ka araablaste uus, suur avastus algebra. Kui varasemalt arvati, et heaolu ja rikkus ei käi käsikäes, siis nüüdseks oli taoline mõttekäik unustatud. Isegi teoloogid ei olnud enam sellele vastu. Taoline muutus, renessansi ühiskonna aluseks sai raha, tähendas aga ka seda, et see andis suure tõuke suurtele maadeavastustele. Nii kaupmeeste kui teiste "uue klassi" kujude mitmetahulisus vajutas sügava jälje
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
