· Lemma- Lemma ehk abiteoreem on teoreem, millel pole küll iseseisvat tähtsust, kuid mis osutub vajalikuks vaadeldava matemaatilise teooria mõne teise teoreemi sõnastamisel. · Fundamentaaljada- Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse jada vn, mille elemendid teineteisele indeksi n kasvades lõputult lähenevad. · Hüpotenuus- Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas; ka selle külje pikkus · Sulund- Eukleidilise ruumi alamhulga sulundiks nimetatakse selle hulga kõigi puutepunktide hulka. Hulga sulund on kinnine hulk ning langeb kokku hulga kõikide selles ruumis sisalduvate kinniste ülemhulkade ühisosaga. · Catalani pind- Catalani pind on joonpind, mille moodustajad on paralleelsed fikseeritud tasandiga · Besseli võrrand- Besseli võrrandiks nimetatakse matemaatikas harilikku teist järku homogeenset diferentsiaalvõrrandit kus on kompleksarvuline parameeter
Topoloogiat Tl nimeta- takse l˜oplikuks topoloogiaks hulgal X. Saadud topoloogias on kinnisteks hulkadeks parajasti hulk X ise ja selle hulga k˜oik l˜oplikud alamhulgad. 1.3 N¨aidata teoreemi 1.1 t˜oestuses p˜ohjendamata j¨a¨anud v¨aide, mille kohaselt hulk T rahuldab topoloogiale esitatavat n˜ouet 30 . 1.4 T˜oestada teoreem 1.3. 1.5 Olgu X topoloogiline ruum l˜opliku topoloogiaga Tl (X – mis tahes l˜opmatu hulk). N¨aidata, et ruumi X iga kahe mittet¨ uhja lahtise alamhulga u ¨hisosa pole t¨ uhi. 1.6 T˜oestada, et B ⊂ P(X) on hulgal X m¨a¨aratud mingi topoloogia baasiks parajasti siis, kui B rahuldab tingimusi 12 1 TOPOLOOGILINE RUUM 10 ∅ ∈ B; 20 ∪ B = ∪B∈B B = X ; 30 kui B1 , B2 ∈ B, siis B1 ∩ B2 avaldub u ¨hendina hulka B kuuluvatest hulkadest. 1
A ja B elementide paaride kujundamisel ühisosa tehte tulemusel välja. - Väide $ $ $ on TÕENE Põhjendus: Eelnevas punktis sai näidatud, et parema ja vasaku poole vahele saab panna võrdusmärgi. Kuna antud võrduses ei seisa pärisalamhulga märk, siis pole väide alamhulga definitsiooniga vastuolus(Kõik hulga $ elemendid kuuluvad tõepoolest ka hulka $ $ vastavalt eelnevalt näidatule). Täpsemalt öeldes on parem ja vasak pool võrdsed, kuid ka märk rahuldab vajalikke tingimusi. 20 4. Selliseid naturaalarve on 9 Põhjendus: Esimese numbri valikuks on 9 võimalust, sest arv ei saa algada nulliga, seega sobivad numbrid 1...9 ehk 9 tükki
Võrk ehk kaalutud graaf on graaf, mille igale kaarele on seatud vastavusse mittenegatiivne arv ehk kaare kaal. Võrk võib olla orienteeritud või mitteorienteeri- tud. Näide: kaal on sihtpunktide vaheline teepikkus. Kaalutud graafis võib kaal sõltuda suunast. Lühim tee: tee, mille kaarte kogukaal on vähim. Puu (Tree) Puu koosneb lõplikust tippude (sõlmede) hulgast, mis on tühi või mille üks tipp juur on välja eraldatud ja ülejäänud tipud moodustavad mittelõikuva alamhulga, millest igaüks on omakorda puu. Puu on sobiv hierarhiliste andmestruktuuride kirjelda- miseks (näiteks Dos kataloogid). Rakendustes on enimlevinud kahendpuu ehk Bi-puu, kuna järjestatud kahendpuu võimaldab kiiret otsingut, lisamist, eemaldamist. Kahendpuu (Binary tree) Kahendpuu on puu, mille igast tipust (sõlmest) lähtub kuni kaks alampuud. 49 8 52
teabe säilitamiskestus (st kui kaua teave mälus püsib), millises vormis on see teave mälusüsteemis kodeeritud, st millist tüüpi on mälurepresentatsioon. Lähtuvalt sellest saab eristada järgmisi mälu alaliike. Sensoorne mälu. Sisuliselt on see objekti või stseeni või muu tajutava stimulatsiooni taju edasikestmine pärast seda taju põhjustanud mõju lõppemist. Sensoorsest mälust valib tunnetussüsteem tähelepanu abil välja alamhulga, mis lühimällu edastatakse. Klassikalised tööd sensoorse mälu omadustest on teinud George Sperling. Lühimällu sisestatakse informatsioon sensoorsest mälust ning lühimälus on see üldistatum, vähem detailne ning lisaks konkreetsele informatsioonile on lühimälus teave kodeeritud ka semantilisse abstraktsesse formaati. Nt kui sensoorses mälus oli üks puuvilju kehastavatest objektidest nähtav õun oma kuju ja rohepunase värviga, siis lühimälus talletub õuna skeem
· PolyBot on jagatud ämblik kirjutatud C++ ja Pythoniga, mis koosneb "ämbliku haldurist", ühest või rohkemast "tõmbajast" ja ühest või rohkemast "DNSi lahendajast". · RBSE oli esimene avaldatud veebiämblik. See põhines kahel programmil: esimene programm, "spider" haldas järjekorda suhtelises andmebaasis ja teine programm "mite", oli modifitseeritud www ASCII brauser, mis laadis veebist lehti. · WebCrawlerit kasutati, et luua esimene veebi alamhulga avalikult kasutatav täis- teksti indeks. · World Wide Web Worm oli esimene ämblik, mida kasutati lihtsa dokumendi nimede ja URL-ide nimekirja loomiseks. · WebRACE on Javas teostatud roomav ja salvestav moodul, mida kasutatakse osana üldisemast süsteemist eRACE Tavalise veebiämbliku kõrge-taseme arhitektuur.
{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}, {1,3,5},{1,4,5},{2,3,5}, {1,2,3,4},{1,3,4,5},{1,2,4,5}, {2,4,5},{1,2,4,5} {1,2,3,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5} Panen tähele, et W = W + W + W Eelnevas tabelis olen näidanud, et seos kehtib 1 3 J 3 5 korral. Nüüd näitan, et seos kehtib ükskõik missuguse n-i korral. Vaatan, missugused hulgad sisalduvad -s. Iga n-nda alamhulga puhul on 3 võimalust, kuidas tagada, et alamhulgas ei leiduks 3 järjestikust arvu, kusjuures iga n-i puhul peab vähemalt üks tingimus olema täidetud. Tähistan J-ga mingit -s sisalduvat alamhulka ja Mi-ga -i alamhulka, mis sisaldab ainult hulkasid, mis rahuldavad i-ndat tingimust. 1) Kui J ei sisalda n-i(st on {1,...,n-1} alamhulk), siis M1 = Sn-1, kus Sn-1 on hulga {1,...,n-1} alamhulk, milles ei leidu kolme järjestikust arvu.
hulga B võimsus ei ületa, hulga A võimsust, siis hulgad A ja B on sama võimsusega. Teoreemi teine sõnastusvariant. Kui A B C ja A C, siis A B C. Teoreem Naturaalarvude hulga alamhulkade hulk on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, st P(N) R. Tõestuse idee. Piisab tõestada, et P(N) [0, 1). a) Naturaalarvude hulga igale alamhulgale A seame vastavusse reaalarvu 0,i0i1i2 . . . , kus ik = 1 või ik = 0 vastavalt sellele, kas k A või k 6 A. b) Reaalarvule x [0, 1) seame vastavusse alamhulga, mis sisaldab / ei sisalda 5 elementi k vastavalt sellele, kas lõigu [0, 1) k-ndal pooleksjagamisel jääb arv x esimesse või teise poolde. Definitsioon Ütleme, et hulga A võimsus on väiksem hulga B võimsusest, kui A võimsus ei ületa B võimsust, aga A ja B ei ole ekvivalentsed. Teoreem Hulga P(A) võimsus on suurem kui hulga A võimsus. Tõestuse idee. Kui leiduks bijektsioon
x→ a x →a x →a x−a x→ a 4. Milline on diferentseeruvuse geomeetriline sisu? Diferentseeruvuse geomeetriliseks tähenduseks on pideva joone siledus. Punktis, kus funktsioon ei ole diferentseeruv, esineb tema graafikul murdepunkt. 5. Defineerida hulgas diferentseeruv funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f′(x). Seega on f′ funktsioon, mis on määratud hulgas D. 6. Panna kirja põhiliste elementaarfunktsioonide ja hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide tuletised. 7. Defineerida funktsiooni n-järku tuletis. Milline funktsioon on n korda diferentseeruv? Milline funktsioon on lõpmata arv kordi diferentseeruv
Rakendus Detail. Materjalid Materjali margid ja hinnad Mark Hind Kr/m3 Antud materjali (näit puit, betoon, plastik vmt) Ma_18 320 valmistatakse erinevate omadustega ja hindadega, mis Ma_02 250 sõltuvad materjali margist (klassist) Ma_04 320 Antud tabelit võib käsitleda kui väljavõted üldistes Ma_03 350 andmetest materjalide kohta, see sisaldab ainult marke ja hindu matejalide alamhulga jaoks Ma_06 500 Selleks, et saaks tabelis olevaid andmeid lihtsamini Ma_10 430 kasutada valideerimisel ja otsimisel, määrata tabeli Ma_09 440 tulpadele ja ka tervele tabelile unikaalsed (globaalsed) Ma_07 450 nimed, näiteks: Ma_08 480 M_mark, M_hind ja M_tabel NB! Nimed võiks määrata nii, et need hõlmaks ka tühja Ma_12 532 rida (sinine)
Matemaatiline analüüs I I KT 1. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on maaratud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid parameetreid saab punktidele teljel märkida kõik reaalarvud. Igale reaalarvule vastab arvteljel ainult üks koht ja vastupidi. Absoluutväärtus on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist. |a| =a kui a 0 -a kui a < 0 . Absoluutväärtuste omadused 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist lõiku (a-;a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub a ümbrusesse siis ja ainult siis, kui punkti x kaugus a- st on väiksem ümbruse raadiusest | x-a| < Suuruse lõpmatus ümbrust nimetatakse suvalist vahemikku (M; ), kus M>0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse kui x>M Suuruse miinus lõpmatus ümbrust nimetat...
pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus. J¨a¨ab veel n¨aidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb t~oestada, et lim xa f(x) eksisteerib ja v~ordub arvuga f(a). Kuid see j¨areldub j¨argmisest v~orduste reast: lim xa f(x) = lim xa [f(x) - f(a)] + f(a)= lim xa f(x) - f(a)/ x a * lim xa (x - a) + f(a) = f'(a) · 0 + f(a) = f(a). Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife- rentseeruv hulgas D. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1) C' = 0, C - konstant, 2) (xa)' = a x a-1 , 3) (ax)' = ax lna , sealhulgas (ex)' = ex , 4) (loga x)' = 1 /xlna , sealhulgas (lnx)' = 1 /x 5) (sinx)' = cosx, 6) (cosx)' = -sinx, 7) (tanx)' = 1 /cos2 x , 8) (cotx)' = - 1 /sin2 x 9) (arcsinx)' = 1/ 1 - x2 10) (arccosx)' = - 1 / 1 - x2 11) (arctanx)' = 1/ 1 + x2 12) (arccotx)' = - 1 /1 + x2 19
Tõestus: Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus Jääb veel näidatada 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st. tuleb tõestada, et limxa f(x) eksisteerib ja võrdub f(a). Valem · Tuletis kui funktsioon Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. · Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised TEAD PEAST 22) 23) · Funktsiooni diferentsiaali definitsioon Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nim. tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=xa korrutist ning tähistatakse dy või df. Seega def. kohaselt · Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena on 24) 25)
Tõestus: Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus Jääb veel näidatada 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st. tuleb tõestada, et limxa f(x) eksisteerib ja võrdub f(a). Valem · Tuletis kui funktsioon Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. · Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised TEAD PEAST 22) 23) · Funktsiooni diferentsiaali definitsioon Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nim. tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=xa korrutist ning tähistatakse dy või df. Seega def. kohaselt · Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena on 24) 25)
alternatiivide suhtes olemas mingi kogum või süsteem eelistusi, siis tegelikult peaks arvestama kõiki tulemusi. Sel samal põhjusel otsustusteoorias seda analüüsietappi otseselt välja ei tooda. · välja tuua alternatiivide kasulikkuse kompleksne võrdlev hinnang - Alternatiivide võrreldavate kasulikkusehinnangute alusel saadakse otsustusülesande lahend alternatiivide alamhulga X* kujul alternatiivide täiskogumist X (X* X), nii et kõik alamhulga X* elemendid oleks ekvivalentsed (x*i x*j , kui x*i ja x*j X*), kuid domineeriksid (oleks eelistatud) kõigi ülejäänud alternatiivide suhtes (x* > x iga x korral, kui x X*). 3. Selgitage alternatiivide kasulikkuse subjektiivse mõõtmise meetodite olemust. · järjestamine - alternatiivide kogumi korrastamise protseduur, mille tulemuseks on alternatiivide järjestus neid järjestava subjekti eelistuste alusel. Eelistuse arvuliseks
selles punktis pidev. Tõestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis (vt §2.9) toodud 1. tingimus. Jääb veel näidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb tõestada, et lim f(x)? Eksisteerib ja võrdub arvuga f(a). Kuid see järeldub järgmisest võrduste reast: Seega on teoreem tõestatud. Tuletis kui Funktsioon: Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon : Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena: lk 60 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: lk 61-62
Kui funktsioon omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. c. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu x=x-a argumendi muut kohal a y= f(x)-f(a) funktsiooni muut kohal a d. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev e. Tuletis kui funktsioon Kui funktsioon on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Olgu funktsioon diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f'(x). Seega f' on funktsioon, mis on määratud hulgas D. f. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised f.i. f.ii. f.iii. f.iv. ( f.v. f.vi. f.vii. f.viii. f.ix.
· Tuletise valem argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu argumendi muut kohal a funktsiooni muut kohal a Siis Teoreem Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev Tõestus Kuna punktsi a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a siis on täidetud pidevuse esimene tingimus. Tuleb veel tõestada, et eksisteerib ja võrdub -ga · Tuletis, kui funktsioon Kui funktsioon on diferentseeruv alamhulga D kõikides punktides on ta diferentseeruv hulgas D · Põhilised elementaarfunktsioonide tuletised 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 19. · Funktsiooni diferentsiaali mõiste Funktsiooni diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise ja argumendi muudu korrutist. Tähistatakse tähisega df või dy. Seega definitsiooni kohaselt
Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev Teoreem: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Tõestus: Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus. Tuleb näidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb tõestada, et eksisteerib ja võrdub arvuga f(a). See järeldub siit: Tuletis kui funktsioon Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f'(x). Seega on f' funktsioon, mis on määratud hulgas D. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised 1) , C konstant 2) 3) , sealhulgas 4) , sealhulgas 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 19. FUNKTSIOONI DIFERENTSIAALI DEFINITSIOON
Andmebaaside kodutöö 3 Reddit 1. Inimesed saavad teha endale kasutaja ja meelelahutus eesmärgil postitada erinevaid tekste, pilte, videoid jms. Teised saavad neid kommenteerida, upvoteda ja downvoteda. 2. User Kasutaja tabel, kus asuvad kasutajale vajalikud andmed nagu pildil näha. Post Postituse tabel, kus asuvad postituse jaoks vajalikud andmed. PostMedia Postituse media tabel, kus asuvad postituse meedia kirjeldamiseks vajalikud andmed. MediaType Meediatüübi tabel, kus asuvad meediatüübi id ja nimi. Comment Kommentaari tabel, kus asuvad postituse jaoks vajalikud andmed. Upvote Upvote'i tabel, kus asuvad upvotemiseks vajalikud andmed. Downvote Downvote'i tabel, kus asuvad downvotemiseks vajalikud andmed. 3. Tabelis olevate kirjete kogused: a. User 300 kirjet b. Post 600 kirjet c. Comment 1000 kirjet d. Upvote 900 kirjet e. Downvote 200 kirjet f...
MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-, a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a - , a] siis...
MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a ≥ 0 −a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse...
j.) y n , y n -1 ,..., y2, y1 ) d (Yi ,Y j ) = d (111001,100110 ) = 4 Koodi minimaalne kaudus on d min = mini, j d { y} = mini, j ( yi ,Y j ) Koodi kaal on ühtede arv koodsõnas. w(Yi)=w(11001)=3 dij Üldreegel koolide minimaalsele kaugusele: -vigasid avastavad koodid: dmin=q+1 -vigasid parandavad koodid: dmin=2q+1 -üldine: dmin=min(yi!=0)(wi) 31. Süstemaatiliste lineaarsete koodide koostamine. Lineaarsed on sellised koodid, mille lubatud koodsõnad moodustavad lineaarse alamhulga. -Kui kaks koodsõna on lubatud, siis on ka nende summa lubatud koodsõna. -ainult nullidest koosnev koodsõna on ka lubatud koodsõna. Süstemaatilised ehk eristatavad on sellised koodid, mille sõnades saab selgelt eristada informatiivseid ja liiaseid sümboleid. x1 x2 x3 x4 r1 r2 r3 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 Edastuskanalisse läheb esimesena sümbol indeksiga 1, edastuskanalis edastatakse sümbolid ajaliselt järjestatikku, iga sümboli signaali pikkus on . 32
1. Muutuvad suurused.
Def. 1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim
muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi
nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT
ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad
suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed
konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71
1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva
alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a
on iseendaga mitteduaalsed, siis muutub nõrgalt täielik süsteem (sisaldab mittelineaarset ja mittemonotoonset funktsiooni) täielikuks f0 ja f15 lisamisel. Baassüsteemid Vaatleme kõigi kahe muutuja funktsioonide hulga alamhulka: { f0, f1, f6, f7, f8, f12, f13, f14, f15 } . Toodud alamhulgas on esindatud kõik tähtsamad funktsioonid. Järgnevas toome välja kõik baassüsteemid, mis on võimalik moodustada nimetatud alamhulga funktsioonidest. Funktsioonid f8 (Pierce'i funktsioon) ja f14 (Shefferi funktsioon) ei kuulu ühtegi eelpool vaadeldud viiest funktsioonide klassist. Järelikult on võimalik moodustada kaks ühe funktsioonilist baassüsteemi: · Pierce'i baas B1 ={ f8 } · Shefferi baas B2 ={ f14 } Ülejäänud funktsioonide baasil on võimalik klassidesse mittekuuluvuse alusel moodustada veel seitse baassüsteemi. · Konjunktiivne baas B3 ={ f1 , f12 } · Disjunktiivne baas B4 ={ f7 , f12 }
Mitmese regressioonimudeli korral uuritakse seost endogeense (sõltuva) muutuja Y ning eksogeensete (sõltumatute) muutujate vahel. Eeldatakse, et sõltuvat muutujat Y mõjutavad mitu sõltumatut muutujat ning nende mõju sõltuvale muutujale on lineaarne. Selline olukord on majanduslike protsesside analüüsimisel tüüpiline, sest tegelikus elus mistahes majanduslik nähtus või protsess sõltub alati suurest hulgast teguritest i (sõltumatutest muutujatest). Parima alamhulga meetod Kriteerium korrigeeritud deterimantsioonikordaja · Mitmese regressioonimudeli konstrueerimine sõltumatute muutujate valik toimub mitmes etapis (etappide arv sõltub sõltumatute muutujate arvust) · Parimaks mudeliks osutub mudel, kus korrigeeritud determinatsioonikordaja omab kõige kõrgemat väärtust (parameetri hinnangud peavad olema selles mudelis statistiliselt olulised, võrrelda tstatistikuväärtust tkriitiliseväärtusega)
on iseendaga mitteduaalsed, siis muutub nõrgalt täielik süsteem (sisaldab mittelineaarset ja mittemonotoonset funktsiooni) täielikuks f0 ja f15 lisamisel. Baassüsteemid Vaatleme kõigi kahe muutuja funktsioonide hulga alamhulka: { f0, f1, f6, f7, f8, f12, f13, f14, f15 } . Toodud alamhulgas on esindatud kõik tähtsamad funktsioonid. Järgnevas toome välja kõik baassüsteemid, mis on võimalik moodustada nimetatud alamhulga funktsioonidest. Funktsioonid f8 (Pierce'i funktsioon) ja f14 (Shefferi funktsioon) ei kuulu ühtegi eelpool vaadeldud viiest funktsioonide klassist. Järelikult on võimalik moodustada kaks ühe funktsioonilist baassüsteemi: Pierce'i baas B1 ={ f8 } Shefferi baas B2 ={ f14 } Ülejäänud funktsioonide baasil on võimalik klassidesse mittekuuluvuse alusel moodustada veel seitse baassüsteemi. Konjunktiivne baas B3 ={ f1 , f12 } Disjunktiivne baas B4 ={ f7 , f12 }
Diskreetne matemaatika II Suulise eksami konspekt IABB 2011 [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. [2]. Hulga võimsus. Kontiinumhüpotees. [3]. Järjendid. Permutatsioonid. Kombinatsioonid. [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. [5]. Liitmis- ja korrutamisreegel kombinatoorikas. [6]. Kordustega permutatsioonid. Multinoomkordajad. [7]. Elimineerimismeetod (juurde- ja mahaarvamise valem). [8]. Korratused ja subfaktoriaalid. [9]. Dirichlet` printsiip. [10]. Arvujadade genereerivad funktsioonid. Jadade ja genereerivate funktsioonide teisendamine. [11]. n objekti jaotamine k gruppi. [12]. Rekurrentsed võrrandid. Rekurrentsi lahendamine ad hoc meetodil ja iteratsioonimeetodil. [13]. Tasandi tükeldamine n sirgega ja n nurgaga. [14]. Lineaarsed rekurrentsed võrrandid. [15]. Rekurrentsete võrrandite lahendamine genereerivate funktsioonide ...
xa Kuid see järeldub järgmisest võrduste reast: lim f(x) = lim[f(x) - f(a)] + f(a) = lim f(x) - f(a)/ x a lim(x - a) + f(a) = f(a) 0 + f(a) = f(a) . xa xa xa xa Seega on teoreem tõestatud. Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1) C= 0 , C - konstant , 2) (xa)= axa-1 , 3) (ax)= ax ln a , sealhulgas (ex)= ex , 4) (loga x)=1/x ln a , sealhulgas (ln x)=1/x, 5) (sin x)= cos x , 6) (cos x)= -sin x , 7) (tan x)=1/cos2 x 8) (cot x)= - 1/sin2 x, 9) (arcsin x)= 1/1 - x2, 10) (arccos x)= -1/1 - x2, 11) (arctan x)=1/1 + x2 , 12) (arccot x)= - 1/1 + x2 . 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon
on lõpmata palju ümbrusi ja nende ühisosaks on {a}. Olgu a mingi arv. Vahemikku (a − δ, a + δ) =: U δ (a) , kus δ on mingi positiivne arv, nimetatakse arvu (ehk punkti) a δ-ümbruseks. Arvu δ nimetatakse seejuures ümbruse Uδ (a) raadiuseks. Igal punktil a ∈ R on lõpmata palju ümbrusi, s.h. kuitahes väikese raadiusega. Sellest tuleneb, et , teisisõnu, kui mingi arv x kuulub punkti a igasse ümbrusse, siis x = a Defineerida alamhulga X ⊂ R sisepunkti mõiste, kirjeldada vahemikku, poollõigu ja lõigu sisepunktide hulka. Punkti a ∈ X nimetatakse hulga X ⊂ R sisepunktiks, kui leidub selline δ > 0, et Uδ (a) ⊂ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka tähistame Xo. Kõik vahemikud (a, b) ja tõkestamata intervallid (−∞, b), (a,∞) ja (−∞,∞) koosnevad ainult sisepunktidest, niisiis, X = Xo, kui X on üks neist intervallidest. Seevastu kõigi naturaalarvude hulgal N ei ole ühtegi sisepunkti, s.t. No = ∅.
Kui fikseerida apselt u u ¨ks siinusfunktsiooni v¨ artus y [-1; 1], siis see v¨a¨artus saavutatakse l~opmata paljude a¨ erinevate argumendi v¨ a¨ artuste x korral. Seda l~opmata mitmest funktsiooni t¨ahistatakse x =Arcsin y. R~ ohutame, et funktsioonidel y = sin x ja x =Arcsin y on u ¨hine graafik. Kui soovime u ¨ks¨ uhest vastavust, siis valime v¨alja hulga X sellise alamhulga X1 , et vas- tavus muutujate x ja y vahel oleks u ¨ks¨ uhene. Tavaliselt valitakse X1 = [-/2; /2] ja saadakse funktsioon x = arcsin y, mida nimetatakse arkussiinuseks ( t¨apsemini arkussi- inuse peav¨ artuseks). Kui teostada peegeldus x y, siis saadakse funktsioon a¨ y = arcsin x, kusjuures X = [ - 1; 1] Y = [-/2; /2]. M¨argime, et /2 1.57. N¨aide 8
Neid nelja hulka nimetame tõkestamata intervallideks, neile lisandub (−∞, ∞) := R. Definitsioon. Olgu ε > 0. Reaalarvu (ehk punkti) a ∈ R puhul nimetatakse tema ε-ümbruseks (ε-neighbourhood, ε-окрестность) alamhulka Uε (a) := {x ∈ R | |x − a| < ε} . Lause 1.27 põhjal Uε (a) = (a − ε, a + ε) (veenduda!)z. Definitsioon. Alamhulga X ⊆ R punkti x nimetatakse tema sisepunktiks (interior point, внутренная точка), kui leidub selline δ > 0, et ümbrus Uδ (x) sisaldub hulgas X, s.t. (x − δ, x + δ) ⊆ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka nimetame tema sisemuseks ning tähistame X o . 1.5.4 Hulga R mitteloenduvus Kõigepealt tõestame ühe tõkestatud intervallidega seotud väite. Lause 1.29 Kui [an , bn ], kus n ∈ N, on sellised lõigud, et
kvalitatiivuuring), peab uuringu teostaja otsustama, kas koguda andmeid uurimise all oleva üldkogumi igalt liikmelt või piirduda ainult osaga üldkogumist ehk valimiga. Üldkogumiks Üldisemalt võib vaadelda kolme erinevat meetodid: 1. Kõikne uuring. Kõikne uuring on üldkogumi kõigi elementide täielik statistiline loendus ehk tsensus. Näiteks on kõikse uuringuga tegemist rahvaloenduse puhul. 2. Valikuuring. Valikuuringuks nimetatakse üldkogumi teatud elementide alamhulga uurimist või osalist statistilist loendust. On hulk olukordi, kus kõikset uuringut ei ole võimalik läbi viia, või see on väga töömahukas ja kallis. Valimi kasutamisel on rida eeliseid ja puuduseid võrreldes kõikse uuringuga: 1. Valikuuringu eelised. a. Odavus. c. Täpsus. d. Sügavus. e. Toote säilivus. Turunduses on juhtumeid, kus toodete testimine seisneb nende tegelikus tarbimises või hävitamises
J¨arelikult on funktsiooni diferentseeruvus rangem tingimus kui pidevus. Pi- devate funktsioonide hulk on suurem kui diferentseeruvate funktsioonide hulk. Tuletame meelde, et funktsiooni pidevus t¨ahendab geoemeetriliselt joone (so funktsiooni graafiku) pidevust. Tekib k¨ usimus: milline on diferentseeruvuse geomeetriline sisu? Sellele saame vastuse §3.5. Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife- rentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab u ¨ks kindel reaalarv f (x). Seega on f funktsioon, mis on m¨a¨aratud hulgas D. Kirjutame funktsiooni f tuletise valemi v¨alja argumendi v¨a¨artusel x. Kui t¨ ahistada x-ga argumendi muutu punktis x, siis avaldub vastav funktsiooni muut j¨argmiselt: y = f (x+x)-f (x). Seega vastavalt tuletise definitsioonile saame
J¨arelikult on funktsiooni diferentseeruvus rangem tingimus kui pidevus. Pi- devate funktsioonide hulk on suurem kui diferentseeruvate funktsioonide hulk. Tuletame meelde, et funktsiooni pidevus t¨ahendab geoemeetriliselt joone (so funktsiooni graafiku) pidevust. Tekib k¨ usimus: milline on diferentseeruvuse geomeetriline sisu? Sellele saame vastuse §3.5. Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife- rentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab u ¨ks kindel reaalarv f (x). Seega on f funktsioon, mis on m¨a¨aratud hulgas D. Kirjutame funktsiooni f tuletise valemi v¨alja argumendi v¨a¨artusel x. Kui t¨ahistada x-ga argumendi muutu punktis x, siis avaldub vastav funktsiooni muut j¨argmiselt: y = f (x+x)-f (x). Seega vastavalt tuletise definitsioonile saame
£a ¢ 2 £b ¢ 3 4 5 Kanjigen 2 1 1 1 1 2 2 Toodud seostest k¨ usitavaim on paremalt teine (j¨amedakoeline ja iga- p¨aevane), aga u ¨ldjoontes moodustavad siin Halperni toodud t¨ahendused Kanjigen vastavate t¨ahenduste alamhulga. Edaspidises piirdun seega vaid Kanjigen numeratsiooniga. Vaadates eri t¨ahendusi, tuleb t~odeda, et `j¨argnumbri' ja `j¨amedakoelisuse' u ¨hendamine samasse m¨arki on k¨ ullaltki raskesti seletatav. Anal¨ uu ¨sides teisi t¨ahendusi v~oiks o¨elda, et 3, 4, 5, 9 on seotud kohanimedega ning ilmselt laent¨ahendused35 . 7 t¨ahendus on taas laen harvakasutatavast
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
