docstxt/13646421495899.txt
MATEMAATIKA 8. KLASS GEOMEETRILISED KUJUNDID Kesknurgaks nimetatakse ringi kahe raadiuse vahelist nurka. Sektori kaare AB kohta öeldakse, et kesknurk toetub sellele kaarele. Kaarekraad Ringjoone kaht punkti ühendavat lõiku nimetatakse kõõluks. Pikim kõõl on ringjoone diameeter. Ringjoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka nimetataks piirdenurgaks. Kõõlude teiste otspunktide vahelise kaare BC kohta öeldakse, et piirdenurk toetub sellele kaarele. TEOPiirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. TTKõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Poolringjoonele (või diameetrile) toetuv piirdenurk on täisnurk. Kaks täisnurkset kolmnurka on võrdsed, kui ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on vastavalt võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga. Sirget, millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutuja ja ringjoone ühist punkti nimetatakse puutepunktiks. TEOR...
Joone puutuja tõus ja võrrand Olgu kõverale y = f(x) tõmmatud puutuja punktis A. Olulised mõisted: A(x0, y0) puutepunkt x0 puutepunkti abstsiss ehk x-koordinaat y0 puutepunkti ordinaat ehk y-koordinaat - puutuja tõusunurk k puutuja tõus k = y ( x 0 ) Puutuja võrrand k = tan y - y 0 = k ( x - x0 ) Puutuja võrrandi väljakirjutamiseks peavad ...
Tuletis. Rakendused Puutuja tõus Funktsiooni uurimisel Funktsiooni uurimisel Funktsooni F'(x)=k ekstreeemumkohad kasvam ja kahanemine liikumise ' Puutuja võrrand F (x)=0 X F'(x)>0 ; XF'(x)<0 kiirus y-y0=k(x-x0) Min koht Max koht Kumerus Nõgusus F''(x)>0 F''(x)<0 F''(x)<0 F''(x)>0 Käänukoht F''(x)=0 1. Leia funktsioonide tuletised 2 - 3x 1) y=2x5-3,8x4+x2-2 2) y = x -1 3)y=(x+1)sinx-x cos x 4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx ...
Magneetumine-nähtus, kus keha omandab püsiva magnetvälja Demagneetimine-ferromagneetiku viimine omamagnetvälja täieliku puudumisse seisundissePüsimahnet-keha, mis omab püsivat stabiilset magnetväljaSpinn-osakeste olemusliku sisemine liikumineMagnetvälja suund-suund, mis näitab orienteerunud magnetnõela põhjapoolust Magnetvälja jõujoon-mõtteline joon, mille igas punktis on B-vektor puutujasuunalineSolenoid-pöörisväli, mis tekib spiraali keritud juhtme ümber alalisvoolu korralDomeen-iseenesliku magneetumise piirkond ferromagneetikusSamasuunaliste voolude korral juhtmed tõmbuvad, erisuunaliste korral tõukuvad.Ampere'i seadus-juhtmele mõjuv jõud sõltub voolutug, juhtme pikk, magvälja tug ja nurgast voolusuuna ning magvälja vahel.F=BILsin a B=maginduktsiooni vektorVasaku käe reegel- kui vasak käsi asetada nii, et väljasirutatud sõrmed näitavad el.voolu suunda, maginduktsiooni vektor B on suunatud peopessa, siis 90C nurga all väljasir pöial n...
Kordamisülesanded 11 klass 1. Kombinatoorika ja tõenäosus a) Ühes klassis õpitakse 14 õppeainet. Mitmel erineval viisil saan nendest koostada ühe päeva tunniplaani, kui selles peab olema 7 erinevat õppeainet? Vastus: 17297280 b) Martinil on taskus viis viiekroonist ja neli kümnekroonist rahatähte. Kui suur on tõenäosus, et kahe kupüüri juhuslikul võtmisel on mõlemad viiekroonised? Vastus: 20/72 c) Tõenäosus leida pliiats kirjutuslaua esimesest sahtlist on 0,5, teisest sahtlist 0,7 ja kolmandast 0,4. Kui suur on tõenäosus , et pliiats on olemas a) täpselt ühes sahtlis b) vähemalt ühes sahtlis c) mitte üheski saht...
FUNKTSIOONID. 1. (1997 A) Leidke funktsiooni y = 4x3 3x2 maksimum- ja miinimumkoht ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline ...
Töö eesmärk Määrata pindaktiivse aine vesilahuse pindpinevus sõltuvalt lahuse kontsentratsioonist. . Pindpinevuse isotermist leida adsorptsioni isoterm. Adsorptsiooni isotermist arvutada molekuli pindala ja pikkus monomolekulaarses kihis. Katsearvutused ja tulemused Uuritav aine propanool Võrdluslahuse tilkade arv I katse 39 tilka II katse 40 tilka III katse 40 tilka Keskmine 40 tilka Katse temperatuur 26 °C Vee pindpinevus 71,72 mJ/m2 (26 °C) 1) Arvutan pindpinevuse igale kontsentratsioonile Pindpinevus arvutatud valemiga Lahuse kontsent- Pind-pinevus ratsioon c Tilkade arv mol/L...
Kordamisülesandeid 12.klassile eksamiks valmistumisel 1. Leida funktsiooni y = -0,5x2 4x ekstreemum, kahanemispiirkond ja graafiku puutuja kohal x = -2 7 + 2x 2. Leida funktsiooni y log negatiivsuspiirkond x 3. Leida joone x- 1 puutuja, mis onparelleelne sirgega 8x 2y + 1 = 0 y x 4. Leida funktsiooni y = x3 2x + 4graafiku puutuja tõus kohal, kus graafik lõikub funktsiooni y = x3 graafikuga. 5. Ringi on joonestatud suurima pindalaga ristkülik ümbermõõduga 80 cm. Milline on selle ristküliku pindala ja ringi raadius? 3 6 a 3 a+9 - 6. Lihtsusta avaldis a+3 a-9 6 a 7. Leida täisnurkse kolnurga küljed, kui ta siseringjoone raadius on r = 6 cm ja ...
1.17. L'Hospitali reegel Reegel, abistamaks piirväärtuse leidmist. Lause 1. Kui ja eksisteerib ning , siiseksisteerib ka , kusjuures , st . Analoogiline v'ide peab paika ka vasakpoole piirväärtuse ja ka kahepoolse piirväärtuse korral. Tõestus. Eelduses, et eksisteerib sisaldub vaikimisi, et Olgu suurus selline, et . Vaatleme abifunktsioone: ja . Ning nendest järeldub, et , kusjuures . Et , siis funktsioonid F(x) ja G(x) rahuldavad Cauchy teoreemi eeldusi ning kehtib väide: . Vasakpoolse piirväärtusega analoogselt: (kirjutan ümber sama aint a-) Niiet kui on täidetud see sama tingimuste kompott ja kehtivad sellised piirväärtused ja eksisteerib , siis kehtib võrdus . N. N. 1.18.Taylori polünoom. Olgu y=Pn(x) n-järku vektorruum, kus baasiks on {1, x-a, (x-a)2,...,(x-a)n} . Leian kordajad Ck: Pn(a)=C0 . Diferentseerides mõlemaid pooli, saame, et . Analoogilist mõttekäiku jätkates jõuame tulemuseni: N. P2(x)=x2+x-7 [P2(x)=5+7/1!(x-3)+2/2!(x-...
Elektriväli on elektrilaengu poolt tekitatud ruumis leviv pidev väli, mis mõjutab teisi ruumis paiknevaid elektrilaenguid Elektrivälja tugevuseks nim elektriväljas pos. Laengule mõjuva jõu ja laengu suuruse suhet. Elektrivälja tugevus näitab, kui suur jõud mõjub selles väljas ühikulise positiivse laenguga kehale. Elektrivälja iseloomustavad omadused: ta on pidev ja katkematu,ta on lõpmatu,ta levib kiirusega 300 000 m/s, ta vahendab laengue vastastikmõju. Elektrivälja jõujooned algavad positiivselt laengult ja lõpevad negatiivsel laengul või suunduvad lõpmatusesse. Jõujoone puutuja näitab igas punktis elektrivälja tugevust. Kehade elektriseerimine on kehale elektrilaengu andmine. Elektrilaeng on mõnede kehade omadus mille kaudu väljendub nende kehade elektromagnetelist vastastikmõju. Elektrilaeng võib kanduda ühelt kehalt teisele. Samaliigiliste kehade vahel mõjub tõukejõud,eriliigilistel tõmbejõud. Coulombi seadus Kaks elektrilaengug...
Matemaatiline analüüs I (Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne g...
-1- - 1.Leia funktsiooni määramispiirkond. 3 x 3 x y y b) y 17 15 x 2 x log( 1 x ) 2 a) 4x 8 c) 2x 2 3 9 x y d) y = log( x2 + x -20 ) - 6x e) log 2 ( x 4) f) ...
1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. (tapsemini, mitte ulalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f(a)) funktsiooni graafikule. Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hu...
Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i. Reaalarvu a ümbruseks nim suvalist vahemikku (a-,a+), k...
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y'=f(x)*c'+f '(x)*c=0*f(x)+c*f '(x)=c*f '(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid, saame kolmandana saame aga, et 2).*Korrutise tuletise valemi tuletus: f(x) f'(x); f'(x): ning g'(x)= siis *Jagatise tuletis...
Kordamisküsimused 1) Funktsioon, tema esitusviisid. Funktsiooni võib esitatakse enamasti seose y f (x) abil, kuid mõnikord ka y y(x) . Funktsioon on antud, kui on teada: 1) funktsiooni määramispiirkond, 2) eeskiri, mis seab elemendile x vastavusse elemendi y. Analüütiline esitus ehk esitus valemi abil. Graafiline esitus ehk esitus graafiku abil. Tabelina esitus. 2) Nõudlus - ja pakkumisfunktsioonid. Turutaskaal. Hind ja toodete arv on omavahel sõltuvuses. Seda seost saab kirjeldada nõudlusfunktsiooniga p = f(x). Nõudlusfunktsioon on kahanev funktsioon. Pakkumisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni p =g(x), kus x ja p on suurem/võrdne nulliga, kus p on pakutava kauba ühikuhind ja x toote ühikute arv. Pakkumisfunktsioon on kasvavfunktsioon. Turutasakaalupunkt on see koht kus pakkumis ja nõudlus ristuva 3) Sirge võrrandi erinevad kujud. ...
Matemaatiline analüüs 1. Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Absoluutväärtuse mõiste reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunktivahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuste omadused: Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a ; a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a| < . Reaalarvu vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a-], kus >0. Arv x kuulub arvu ...
1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y. sõltumatu muutuja ehk argument, sõltuv muutuja ehk funktsiooni väärtus 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Määramispiirkond - argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Muutumispiirkond - muutumispiirkonna Y all mõeldakse funktsiooni kõikvõimalike väärtuste hulka. loomulik määramispiirkond - Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Graafikuna, tabelina, analüütiline 4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element....
1.funk mõiste Y=f(x) on eeskiri,mis seab ühe muutuja igale väärtusele vastavusse teise muutuja kindla väärtuse. 2.funk liigitus kui terves määramispiirkonnas kehtib funk f(x) jaox võrdlus f(-x)=f(x), siis on tegemist paarisfunktsiooniga. süm y- telje suhtes. F(x)=x2 , x4 .3.funk piirväärtus-vaatleme funk f(x).kui argumendi x väärtuste jada xn lähenemisel arvule a üxkõik kummalt poolt kas paremalt või vasakult funk väärtuste jada f(xn) läheneb kindlale arvule A siis see arv A on funk f(x) piirväärtus argumendi x lähenemisel arvule a lim f(x)=A 4.funk tuletis-funk tuletis on funk muudu ja argu muudu suhte piirväärtus argu muudu lähenemisel nullile.y=f(x) tuletiste tähised y`,f`(x),dy/dx,df/dy,yx funk tuletis sümb.- y`=lim(x0) y/x=lim(x0) f(x+x)- f(x) / x ..funk tuletise väärtus mingis puntkis näitab selle funk muutumiskiirust antud punktis. 5.joone puutuja-joonele mingis punktis tõmmatud puutuja on seda punkti läbivate lõlikajate p...
∆y f ( x+ ∆ x )−f (x) f’(x) = lim = lim Geomeetriline tõlgenus: tuletise f(x) väärtus argumendi x antud ∆ x→ 0 ∆x ∆ x→ 0 ∆x väärtusel = x-telje positiivse suuna ja funktsiooni f(x) graafikule punktis M 0(x,y) joonestatud puutuja vahelise nurga tangensiga. f’ on mingis punktis graafikule tõmmatud puutuja tõusunurga tangens. f’(x) = tan α. f ' ( x )−f ' (a) f ( n−1 ) ( x )−f ( n−1 ) (a) f’’(a) := [f’(a)]’x=α = lim f(n)(a) := [f(n-1)(a)]’x=a = lim x→ a x−a x→ a x−a dy Avaldis ...
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y f ' ( a )=lim =lim =lim x→ a x−a x→a ∆ x x→ 0 ∆ x 3. Sõnastada j...
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetat...
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetat...
Küsimus Vastus Mis on funktsioon? Kui hulga X igale elemendile x on seatud Mis on sõltumatu muutuja, vastavusse kindel element y hulgast Y, siis sõltuv muutuja? öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon, mida tähistatakse kujul y=f(x) või y=y(x) Sõltumatu – element x (argument) Sõltuv – element y Mis on funktsiooni Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul määramispiirkond, saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt muutumispiirkond? eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkonnaks. määramispiirkond? Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nime...
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 1. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 8 - x 12 x +2 1. (5p) Lihtsustage avaldist ning näidake, et selle väärtus ei sõltu x väärtusest. 6 2- x 18 x 21-x Lahendus: Valemid, mida lihtsustamisel kasutati: 1 a n ; ( ab ) = a n bn ; ( a n ) = a n m n m a - n = n ; a m+ n = a m a Vastus: Avaldise väärtus ei sõltu x väärtusest, lihtsustatud avaldises x puudub. Vastus on 2. 2. (10p) Ühistu maast 80% on põldude all ja 51 ha on ...
1Mis on üksliige? Üksliikmeks nimetatakse avaldist, kus on kasutatud ainult korrutustehet. 1Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat. 1Mis on tegurdamine? Tegurdamiseks nimetatakse avaldise teisendamist korrutiseks. 1Nimeta tegurdamise võtted 1)Teguri sulgudest välja toomine 2)Korrutise abivalemite kasutamine 3)Rühmitamisvõtte kasutamine 4)Ruutkaksliikme tegurdamine 1Mis on teoreem? Teoreem on lause, mida on vaja tõestada teada olevate tõdede põhjal. 1Mis on teoreemi eeldus? Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või teada. 1Mis on teoreemi väide? Teoreemi väide ütleb, mida saab eeldusest järeldada, ehk mida on vaja tõestada. 1Mis on kolmnurga kesklõik? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem kolmnurga kesklõigust. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab haarade keskpunkte ja on paralleelne kolmanda küljega. Teoreem: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võ...
1. Funktsioon: Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsioone tähistatakse tavaliselt tähtedega f; g; u; v; ; jne. Olgu antud funktsioon f mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust milleks funktsioon f kujutab argumendi x nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega, me võime kirjutada seose y = f(x) ; (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul seos (1.1) omab kuju y = y(x). ...
4. Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus Majandusanalüüsi korral uuritakse majandusalaste suuruste vahelisi seoseid, mis on kirjeldatud funktsionaalse sõltuvusena. Toome näiteks mõningad probleemid, mida võib uurida majandusanalüüs: · Kas toodangu hinna suurendamisel ettevõtte kasum suureneb või väheneb? · Millisel määral võivad kapitalimahutused asendada lisatööjõudu? · Millise tootmismahu juures on kulu tooteühiku kohta kõige väiksem? · Kui tundlik on hüvise nõudlus hinna muutustele? · Kuidas mõjutab maksude suurendamine laekumisi riigieelarvesse? Vastuste leidmiseks nendele küsimustele konstrueeritakse algul vastavad mudelid ja siis uuritakse neid diferentsiaalarvutuse meetodite abil. Ülesannete liigitus 1. Optimeerimisülesanded. Majandusalases tegevuses tuleb tihti analüüsida, millal on tootlikkus maksimaalne, kasum maksimaalne, kulud minimaalsed jne. Maksimumi ja miinimumi ...
5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk 8.klass Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk. kolmas täht vahele) ja tõmmatakse kohale joonestada kõõlude otspunktidesse raadiused kaareke; mõõdetakse kaarekraadides; kõõl: tekivad kaks võrdkülgset kolmnurka ringjoone kaht punkti ühendav lõik, kõige iga nurk on 60° pikem kõõl on ringjoone diameeter kõõlude vahele jääb kaks sellist nurka seega kõõlude vaheline nurk on 2 60°=120° NB kesknurk suurusega 1° toetub kaarele, mis moodustab ringjoonest 2.Kesknurk - ring...
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1. y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul n-1 ja näitame, et sel juhul kehtib ta Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on ka n korral. Seega kehtib: diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid,saame ...
1. Antud on funktsioonid f(x) = logx ja g(x) = -1 1.1. Skitseeri ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud; 1.2. Leia millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed; 1.3. Leia milliste argumendi x väärtuste korral on funktsiooni f(x) väärtused väiksemad funktsiooni g(x) väärtustest; 1.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graaf...
Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusüuhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvteljepunktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljelon arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui sel...
Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. V: Arvtelje mõiste: arvteljeks nim. sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus: reaalarvu a absoluutväärtuseks nim. järgmist mittenegatiivset reaalarvu. Reaalarvu a absoluutväärtust a võib tõlgendada k...
5 . TA R B I M I S VA L I K U T E M Õ J U R I D Lk 101 - 123 5.1 SISSETULEKU MUUTUSED JA SISSETULEKU-TARBIMISE KÕVER Lk 101 - 103 Sissetuleku-tarbimise kõver(income-consumtion curve) näitab tarbija sissetuleku muutuste mõju tarbimisvalikule, kusjuures hinnad on konstantsed. Sissetuleku muutuste mõju mingi hüvise tarbimisele kajastab Engeli kõver. Engeli kõver näitab hüvise optimaalseid koguseid sõltuvalt sissetuleku suurusest (ceteris paribus). Sissetuleku mõju hüvise nõutavale kogusele võib olla mitmesugune: 1) sissetulek ja nõutav kogus kasvavad samas proportsioonis(nõudlu...
Elektriväli laengute vahelise mõju vahendaja. Elektrivälja tugevus antud punktis võrdub sellesse puntki viidud proovi laengule mõjuva jõu ja laengu suuruse suhtega. Elektrivälja tugevus on vektor, mille suund ühtib positiivsele laengule mõjuva kehale. Elektrivälja jõu jooned on jooned mille puutuja siht, mis tahes puntkis üthib elektrivälja tugevuse Vektori sihiga antud punktis. Elektrivälja, mille väljuv tugevus on igas punktis samasuur ja suund samas suunas nim. homegeenseks elektriväljaks. Elektrivälja jõujoonte omadused: nad ei lõiku, mida tihedamalt paiknevad jõujooned seda tugevamad on elektriväli, ajas muutumatu elektrivälja korral saavad jõu jooned alguse kas pluss laengult või lõpmatustest ja lõpevad kas miinus laengult või lõpmatustest. Kehtib elektrivälja super positsiooni prindsiip. Sumaarne elektrivälja tugevus võrdub liituvate elektriväljade tugevuste summaga. Liita tuleb vektoreid. Potentsiaal sellised jõu väljad, mil...
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt ...
1. Defineerige ühe muutuja funktsiooni ning tooge näited. Intuitiivselt võib funktsiooni all mõista ,,eeskirja", mis seab igale antud sisendile vastavusse üheselt määratud väljundi. Ringi pindala sõltub ringjoone raadiusest, st ( ) Ühtlase kiirusega liikuva keha poolt läbitu teepikkus sõltub ajast, st ( ) Tagasisaadav summa hoiustamisele antud rahasummast sõltub hoiustamise perioodist ehk ajast 2. Mida nimetatakse funktsiooni graafikuks? Kas ringjoon sobib mingi funktsiooni graafikus? Kui reaalarvude hulga X igale elemendile on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud ainult üks reaalarv y, siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon f, ja kirjutatakse ( ) Funktsiooni ( )graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {( )} ( ) xy-tasandil. Funktsiooni graafik on joon võrrandiga ( ). Ringjoon ei saa olla mingi funktsiooni graa...
20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKST...
Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse . Maa...
Funktsiooni tuletis Rühmatöö Sirgjoonelise liikumise teepikkus s (meetites) sõltub liikumise ajast t (sekundites) järgmiselt: s = 0,3t 2 + t Leida funktsiooni muut. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada ajavahemikul 3 t 5 läbitud teepikkus. Leida funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada keskmine kiirus lõigus 3 t 5 s Leida piirväärtus lim Mida võimaldab see valem arvutada? t 0 t Leitud valemi abil arvutada hetkeline kiirus momendil t = 5 2 Diferentsiaalarvutuse rajajad Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz 1643-1727 1646-1716 3 Liikumise kiirus Punkti liikumise seadus: s = f (t) 0 (t = 0) Ajamo...
ELEKTRIÕPETUS Elektrivool- vabade laengukandjate suunatud liikumine Laeng- näitab, kui tugevasti keha osaleb elektromagnetilises töös Punktlaeng- selline keha, mille mõõtmeid ei arvestata ja elektrilaeng loetakse koondunuks ühte punkti Aine dielektriline läbitavus- näitab, kui mitu korda on jõud vaakumis suurem antud aines E=Fo/F Välja mõiste- kätkeb endas jõu tekkimise võimalikkust Eritüübilised väljad- üksteist ei sega ega mõjuta. Mateeria võib olla kahel moel, ainena või väljana Elektrostaatiline väli- väli, mille tekitab paigalseisev elektrilaeng Elektromagnetlaine- valgus, mikrolained, raadio, televisioon, infrapuna jne Elekrtivälja tugevus- näitab, kui suur jõud mõjub sellel väljal ühikulisele elektrilaengule E=F/q Elektrivälja jõujoon- mõtteline joon, mille igas punktis e-vektor on puutuja suunaline Puutuja- ringjoon, mis puutub geomeetrilist kujundit täpselt ühest punktist Homogeenne elektri...
Joonte orienteerimine. Nurga mõõtmine. Maastiku reljeef ja kõrgussüsteemid Joonte orienteerimine Orienteerimiseks nimetatakse plaanil olevate joonte asendi määramist ilmakaarte suhtes. Ilmakaared määratakse seisupunkti meridiaani järgi. Jooni võib orienteerida: 1. geograafilise meridiaani ehk tõelise meridiaani suhtes 2. magnetilise meridiaani ehk põhja-lõuna suuna suhtes 3. ristkoordinaadistiku X-telje suhtes Topograafia ülesannete lahendamisel toimub orienteerimine geograafilise meridiaani järgi Lähtesuunaks punktis on sellisel juhul meridiaanikaare puutuja K, T punktid maaellipsoidil PP’ maaellipsoidi pöörlemistelg N geograafilise meridiaani põhjasuund S geograafilise meridiaani lõunasuund NS meridiaanikaare puutuja punktides K ja T Maastikul saadakse kompassi magnetnõela abil magnetiline põhja-lõuna suund. Kuna magnetpoolused ei ühti geograafiliste poolustega, siis magnetiline põhja-lõuna suund ja geograafilise meridiaani suund...
ELEKTRIÕPETUS Elektrivool- vabade laengukandjate suunatud liikumine Laeng- näitab, kui tugevasti keha osaleb elektromagnetilises töös Punktlaeng- selline keha, mille mõõtmeid ei arvestata ja elektrilaeng loetakse koondunuks ühte punkti Aine dielektriline läbitavus- näitab, kui mitu korda on jõud vaakumis suurem antud aines E=Fo/F Välja mõiste- kätkeb endas jõu tekkimise võimalikkust Eritüübilised väljad- üksteist ei sega ega mõjuta. Mateeria võib olla kahel moel, ainena või väljana Elektrostaatiline väli- väli, mille tekitab paigalseisev elektrilaeng Elektromagnetlaine- valgus, mikrolained, raadio, televisioon, infrapuna jne Elekrtivälja tugevus- näitab, kui suur jõud mõjub sellel väljal ühikulisele elektrilaengule E=F/q Elektrivälja jõujoon- mõtteline joon, mille igas punktis e-vektor on puutuja suunaline Puutuja- ringjoon, mis puutub geomeetrilist kujundit täpselt ühest punktist Homogeenne elektri...
Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Absoluutväärtuste omadused: · |-a|=|a| · |ab|=|a||b| · |a+b||a|+|b| · |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Def. Rea...
Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Absoluutväärtuste omadused: · |-a|=|a| · |ab|=|a||b| · |a+b||a|+|b| · |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Def. Rea...
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse * Hulkade A ja B ühisosaks ehk korrutiseks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik üheaegselt nii hulka A kui ka hulka B kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse * Hulkade A ja B vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid ei...
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks kutsume sirget, millel on positiivne suund, määratud nullpunkt ja pikkusühik. Arvteljega on võimalik seada vastavusse kõik reaalarvud, kus ühele reaalarvule vastab ainult üks arvtelje punkt. · Reaalarvu absoluutväärtus · Absoluutväärtuse omadused · Reaalarvu lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a+), kus >0 on ümbruse raadius · Reaalarvu vasakpoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a], kus >0 · Reaalarvu parempoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku [a, a+), kus >0 · Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetame hulka (M,), kus M>0 · Suuruse miinus lõpmatus ümbruses nimetame hulka (-,-M), kus M>0 · Hulka A nimetame tõkestatud hulgaks, kui A on määratud lõplikus vahemikus (a,b) 2. · Jääv suurus on suurus mille väärtus ei muutu · Muutuv suurus on suurus, millele võib omastada erinevaid väärtuseid ...
32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0...
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . ...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
