1. Uurimustöös esinevate mõistete ja tähistuste selgitused · Statistika teadus, mis käsitleb arvuandmete kogumist, töötlemist ja analüüsimist · Matemaatiline statistika matemaatika haru, mis uurib statistiliste andmete põhjal järelduste tegemise meetodeid Statistikas on oluline uurimise objekt ja üldkogum. · Üldkogum esemete hulk, mille kohta tahetakse teha teaduslikult põhjendatud järeldusi · Valim mõõtmiseks võetud üldkogumi osa · Tunnus omaduste seisukoht, mille kohaselt uuritakse objekti · Sagedus-jaotustabel tabel, mis näitab, mitmel korral on antud tunnus saanud
Statistika mõisted 1) Andmete esitamine Statistiline rida- uuritava kogumi objektide mõõtmisel saadud vaadeldava tunnuse väärtuste rida Variatsioonrida- väärtuse kasvamise või kahanemise järgi järjestatud valim Sagedustabel- võtab andmebaasist kokku mitmel objektil esineb antud väärtus ehk esitab vastava sageduse Diagramm- andmete esitamise graafiline viis 2) Asendit kirjeldavad Mood- tunnuse kõige enam esinev väärtus Mediaan- tunnuse väärtus, mille väiksemaid ja suuremaid väärtusi on võrdne arv Aritmeetiline keskmine- arvusuuruste summa jagatis nende suuruste koguarvuga 3) Hajuvust iseloomustavad Variatsiooni ulatus- tunnuse suurim ja vähim väärtus Kvartiilid- tunnuse väärtused variatsioonireas, mis jagavad variatsioonirea neljaks ligikaudseks võrdseks osaks Dispersioon- hälvete ruutude keskväärtus Standardhälve-iseloomustab tunnuse hajuvust. Mida suurem see on, seda suurem on hajuvus. Keskmine hälve- hälvete aritmeetiline keskmine Va...
Antud tabel näitab imikute suremust sünni ja sünnijärgsel aastal sõltuvalt ema perekonnaseisust ja aastatest Aasta 2000 2001 2002 2003 2004 Poisid(imikute suremus) Vallaline(ema) 19 22 15 23 13 abielus(ema) 24 26 22 15 16 Tüdrukud(imikute suremus) Vallaline(ema) 11 16 9 14 12 Abielus(ema) 20 12 7 10 19 max väärtus poistel vallalise ema korral 23 mod 15 max väärtus poistel abielus ema korral 26 mod 16 min väärtus poistel vallalise ema korral 9 min väärtus poistel abielus ema korral 3 max väärtus tüdrukut...
Taandamisvalemid Trigonomeetrilised funktsioonid Varasemast on teada: sin (a + n*360)= sin a cos (a + n*360)= cos a tan (a + n*360)= tan a cot (a + n*360)= cot a Iga 360 kraadist väiksem nurk on teisendatav 1. veerandi nurgaks II veerand I veerand III veerand IV veerand II veerandi nurgad: Valem: 180-a sin (180-a)= sin a cos (180-a)= -cos a tan (180-a)= -tan a cot (180-a)= -cot a III veerandi nurgad: Valem: 180+a sin (180+a)= -sin a cos (180+a)= -cos a tan (180+a)= tan a cot (180+a)= cot a IV veerandi nurgad: Valem: 360-a sin (360-a)= -sin a cos (360-a)= cos a tan (360-a)= -tan a cot (360-a)= -cot a Negatiivne nurk sin(-a): sin (-a)= -sin a cos (-a)= cos a tan (-a)= -tan a cot (-a)= -cot a
Funktsiooni piirväärtus Kontrolltöö A Nimi: ................................. 1. Leia piirväärtus. 1.1. lim 3 x x 4 1.2. lim log x x 1000 x 4 x 1.3. lim x x sin 5 x 1.4. lim x 0 3x x² 5x 6 1.5. lim x 2 x² 3x 10 x9 1.6. lim x 9 x 3 3x 4 2 x ² 5 x 1 1.7. lim x 2 x³ 5x² 4 x cos x 1.8. lim x x Põhjenda: x² ax 2 x 2a 2. Leia parameetri a väärtused nii, et funktsiooni y piirväärtus ...
Meetermõõdustiku ajalugu Meetermõõdustiku idee sai alguse 16. sajandil, kui Simon Stevin avaldas oma kümnendnotatsiooni detailid ning 17. sajandil, mil John Wilkins tuli välja ettepanekuga luua mõõtesüsteem, mis põhineb looduslikel ühikutel. Esimene praktiline meetermõõdustiku realiseerimine toimus Prantsuse Revolutsiooni ajal, mil olemasolev mõõtesüsteem kaotas oma maine ning asendati detsimaalsüsteemiga, mis põhines kilogrammil ja meetril. Pikkusühik meeter põhines maa mõõtmetel ning kilogramm ühe liitri vee massil. 19. sajandi esimese pooles kasutati meetermõõdustikku peamiselt teaduslikes valdkondades. Sajandi teises pooles tuli James Clerck Maxwell välja ideega esitada ühtne süsteem, kus väike hulk mõõtühikuid määratleti põhiühikuteks ning kõik teised ühikud tuleb neist tuletada. Pikkusühik meeter saadi mõõtes ära mediaani pikkus, mis ühendas läbi Pariisi Põhja Poolust ning ekvaatorit ning j...
docstxt/136009269097.txt
VÕRRANDISÜSTEEMIDE NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Lahenda 3x + 14 y = 47 16 x + y = 27 1) liitmisvõttega ; 2) asendusvõttega ; 2 x - 21 y = 1 34 x + 11 y = 13 2 x + 3 y = 3 3 x - 2 y = 8 3) graafiliselt ; 4) determinantidega . x - 2y = 5 5 x + 4 y = 6 2. Lahenda determinantide abil 8 x + y - 5 z = -2 2 x - 8 y + 10 z = -5 x + 2y + z = 4 1) x + 2 y + 7 z = 2 ; 2) 5 y + 4 x - 20 z = 3 ; 3) 3x - 5 y + 3z = 1 ; 2x - 5 y - 7 z = 1 6 x - 5z - 2 y = 0 2x - z = 0 ...
VÕRRANDITE NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Kas järgmised võrrandid on samaväärsed? 3 3 1) 3x + 2 = 2x 7 ja x = -9; 2) x + = - 2 ja x = -2; x+2 x+2 x +1 3) = 0 ja x + 1 = 0. x-2 2. Lahenda võrrandid 3 x + 13 3(2 x - 3) 2(4 - x) 3( x - 11) 5 x + 6 1 - x 3(9 - x) 1) - = -7; 2) - = - ; 8 5 3 5 15 4 10 2 1 x-2 3) 3 x 4 - 28 x 2 + 9 = 0 ; 4) 2 + 2 = 2 ; x -1 x - x ...
ARVUHULKADE NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Missugused järgmistest lausetest on tõesed ja missugused väärad? 1) Iga naturaalarv on täisarv. 2) Iga ratsionaalarv on täisarv. 3) Iga naturaalarv on esitatav hariliku murruna. 4) Leidub lihtmurd, mis on naturaalarv. 5) Ükski ratsionaalarv pole täisarv. 6) Kõik irratsionaalarvud on reaalarvud. 7) Ükski irratsionaalarv pole täisarv. 8) Mõni ratsionaalarv on täisarv. 9) Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud. 10) Kõik täisarvud on naturaalarvud. 2. Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A = [-3; 2] ja B = [-1; 4]. Leia hulgad AB ja AB. 3. Kujuta piirkonnad arvteljel ning kirjuta juurde nimetused. 1) 1 x 4 5) x < 3 2) 3 < x 2 6) x -2 3) x < 5 7) x 1 4) x > 0 8) -1 < x < 3 4. Teisenda harilikuks murruks. 1) 2,3(56) ...
TRIGONOMEETRIA I NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Mitmendas veerandis asub nurga lõpphaar? 1) = 300o; 3) = 2500o; 5) = -3000o; o 2) = 440 ; 4) = -890o; 6) = -1500o. 2. Avalda radiaanides. 1) 140o; 3) 121?o?30`; 5) 1848o; 2) 855,3o; 4) -65o22`; 6) 57o17`. 3. Avalda kraadides. 1) 2; 3) 20; 5) 12,4; 2 2) 0,16; 4) ; 6) -0,75. 5 4. Kirjuta iga nurk kujul x = + 360ok, kus 0o 360o ja k Z. 1) 1510o; 3) 2222o; 5) -1182o; o o 2) 760 ; 4) -873 ; ...
IRRATSIONAALAVALDISTE NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Arvuta -0 , 5 3 0 - 3 1) - 7,5 4 2 - (-2) - 4 + 810, 25 ; 4 -3 1 -10 - 19 2) 27 -3 + 0,2 -4 25 -2 + 64 ; 3 -1 4 1 1 ...
KORRUTAMISE ABIVALEMID Ruutude vahe valem (a+b)(a-b)=a²-b² Näide: (7+k)(7-k)=49-k² Summa ruudu valem (a+b)²=a²+2ab+b² Näide: (4+a)²=4²+2·4·a+ a²=16+8a+ a² Vahe ruudu valem (a-b)²=a²-2ab+b² Näide: (4-a)²=4²-2·4·a+ a²=16-8a+ a² Kuupide summa valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b)² Näide: 27+a³=(3+a)(9-3a+a²) Kuupide vahe valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b)² Näide: 27-a³=(3-a)(9+3a+a²) Summa kuubi valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ Näide: (2+a)³=8-3·2²·a+3·2·a²+a³=8+12a+6a²+a³ Vahe kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ Näide: (2-a)³=8-3·2²·a+3·2·a²-a³=8-12a+6a²-a³
Romb-rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed Robmi omadused: · romb on sümeetriline oma diagonaalide suhtes · rombi diagonaalid on teineteisega risti ja nad poolitavad rombi nurki · vastasnurgad on võrdsed · diagonaalid poolitavad teineteist · lähisnurkade summa on 180 C · rombi diagonaalid jaotavad rombi neljaks võrdseks osaks Pindala:S-ah S- d1 x d2 : 2 Ümbermõõt: P-4a Rööpkülik-nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpküliku omadused: · vastasküljed on võrdsed · vastasnurgad on võrdsed · lähisnurkade summa on 180 C · diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks · diagonaalid poolitavad teineteist Trapets-kaks külge on paralleelsed ja kaks mitte 1. Võrdhaarne trapets · haarad on võrdsed alusnurgad on võrdsed täisnurkne trapets: üks haar on risti alusega S-a plus b : 2
lahendama kolmnurka vektorite abil, leidma lõigu pikkust ja selle keskpunkti koordinaate, koostama sirge võrrandit ka punkti ja sihivektori kaudu ning teisendama kõiki sirge võrrandeid üldkujule. Õpilane leiab ka kahe sirge vahelise nurga, koostab hüperbooli, parabooli ja ringjoone võrrandeid ning leiab kahe joone lõikepunkte. Soovitan kõigil õpetajatel tutvuda kirjastuse Avita poolt välja antud raamatuga ,,Gümnaasiumi kitsas matemaatika III. Vektor tasandil. Joone võrrand". Õpik on ladusas keeles, rohkete illustratsioonidega, järgib hästi ainekava ning sisaldab rohkesti elulisi ülesandeid. Ülesannete raskusaste on kitsale kursusele vastav. Laia kursuse jaoks sobivad ka senini käibel olnud õpikud, kuid ainekava tuleb tõesti tähelepanelikult jälgida. Enne vektori mõiste sissetoomist peaks kordama üle need teadmised, mis puudutavad koordinaatteljestikku ja punkti koordinaate
Ülesandeid kombinatoorikast Lahendused 3. Mitmel erineval viisil võivad 40 koosolekust osavõtjat valida endi hulgast koosoleku juhataja, tema asetäitja ja protokollija? Lahendus: Kõik koosolekust osavõtjad võivad võrdselt täita nimetatud ülesandeid. Iga osaleja jaoks on kolm erinevat võimalust. Järelikult on vaja leida, mitu erinevat järjestatud kolmikut saab moodustada. Nende järjestatud kolmikute arvu saab leida kahel moel: 1) Korrutamislause abil. Valida tuleb nii koosoleku juhataja, tema asetäitja kui ka protokollija. koosoleku juhataja - 40 erinevat võimalust juhataja asetäitja - 39 erinevat võimalust (kõik v.a. juhatajaks valitu) protokollija - 38 erinevat võimalust (kõik v.a. juhatajaks ja tema asetäitjaks valitud) Kõigi erinevate võimaluste arv m = 40x39x38 = 59 280 2) Variatsioonid 40-st kolme kaupa 40! V403 = = 40 39 38 = 59280 37! Vastus: Erinevate võimaluste arv on 59 280. 7. Neli reisijat s...
Kontrolltöö kombinatoorikast. 1.Tiinal on 3 salli, 4 pluusi ja 6 seelikut. Mitu erinevat võimalust on Tiinal riietumiseks, kui ta iga kord kasutab kõiki kolme riietuseset? 2.Õpetaja jagab 5 õpilase vahel 5 erinevat sõnaraamatut. Mitmel erineval viisil saab ta seda teha? 3.Mitu erinevat parooli on võimalik koostada, kui parool koosneb 6-st erinevast arvust ja valida on numbrite 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 vahel? 4.Seltskonnas on 7 inimest. Iga neist kätleb kõiki teisi. Mitu käepigistust tehakse ühtekokku? 5.Klassis on 6 tüdrukut ja 14 poissi. Üheksa poissi ja neli tüdrukut on 16-aastased. Kõik ülejäänud on aga 15-aastased. Mitu erinevat võimalust on antud klassis sellise 4-liikmelise grupi moodustamiseks, kus on a)2 poissi ja 2 tüdrukut; b)2 16-aastast poissi ja 2 15-aastast tüdrukut; c)kõik ühevanused õpilased? 6)Mitu erinevat 4-kohalist arvu saab moodustada numbritest 0,1,2,3,4,5,6, kui need numbrid on erinevad?
LOGARITM Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N logaN=r ar = N N logaritmitav (negatiivsetel arvudel ja arvul 0 puudub logaritm) a - logaritmi alus ( a>0 ja a 1 ) r - arvu N logaritm alusel a Logaritmi omadused: logaa = 1 loga1 = 0 alog a N = N a2log a N = ( alog a N)2=N2 a2+log a N =a2alog a N =a2N a2-log a N= a2 : (alog a N)= a2 : N a-log a N= N-1 Kümnendlogaritm Logaritmi aluseks on arv 10, mida ei kirjutata logN (log10N) Naturaallogaritm Logaritmi aluseks on arv e, mida ei kirjutata lnN (lneN) Avaldise logaritmimine ja potentseerimine Logaritminime avaldise logaritmi leidmine Potentseerimine avaldise logaritmi järgi avaldise leidmine · Korrutise logarit...
Ülesanne Eelmise aasta puhkuse ajal ei olnud ilm just kõige parem, viieteistkümnel päeval sadas vihma, aga õnneks ei sadanud kunagi terve päev. Alati kui hommikul sadas vihma, siis õhtul ei sadanud. Alati kui õhtul sadas vihma, siis järgmise päeva hommikul ei sadanud. kaheteistkümnel hommikul ja kolmeteistkümnel õhtul vihma ei sadanud. Kui pikk oli puhkus? Lahendus: Olgu puhkuse pikkus n päeva, siis hommikuti sadas n 12 päeval ja õhtuti sadas n 13 päeval. Et kunagi ei sadanud terve päev järjest ja sajuseid päevi oli kokku 15, siis n 12 + n 13 = 15, millest n = 20 Vastus: Puhkus kestis 20 päeva.
Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y ...
Poiste nimed Oliver Rasmus Markus Kokku Sagedus 60 48 44 152 Sagedus (%) 39% 32% 29% 100% TÜDRUKUTE NIMEDE TOP 3 (jaan aug) Tüdrukute nimed Sofia Sandra Laura Kokku Sagedus 67 42 41 150 Sagedus (%) 45% 28% 27% 100% Kokkuvõte Koostasin matemaatika statistilise uurimustöö teemal ,,Populaarsemad lastele pandud nimed 2010". Uurisin, millised olid 2010. aasta jaanuarist-augustini kõige populaarsemad lastele pandud nimed. Statistikaks vajalikud andmed sain internetist, siseministeeriumi kodulehelt. Kõige populaarsemad poisslastele pandud nimed jaanuarist augustini olid Oliver, Rasmus ja Markus. Tüdrukutele pandud nimede hulgas olid nende kuude jooksul populaarsemad Sofia, Sandra ja Laura.
tan 3 0 3 1 3 0 cot 3 3 1 3 0 0 Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti · Taandamisvalemid 90 0 ± 180 0 ± 270 0 ± 360 0 ± sin cos sin cos ± sin
1. ARVU AJALOOST Arvu väärtuse arvutamisega on tegelenud paljud matemaatikud läbi aegade. Näiteks sai Aryabhata I lähisväärtuse 3,1416 VI sajandi alguses, kasutades selleks ühikringjoonesse kujundatud korrapärase 384-nurga ümbermõõtu. Tuli välja, et arv tekib ka ülesannetes, millel pole ringjoonega ega hulknurkadega midagi ühist. Prantsuse loodusteadlane G. L. Leclerc de Buffon avaldas 1777. aastal arvutamiseks võtte, mida nimetatakse Buffoni ülesandeks. Selle valemi põhjal on saadud 3408 viskega 3,1415929. Peale Ludolph van Ceuleni arvutusi leidis inglane Abraham Sharp 1699. aastal arvule 72 õiget kohta. Prantslane T. F. de Lagny andis 1719. aastal 127 õiget kohta, hiljem selgus, et 113. koha number oli väär see ilmnes kuulsa austria-jugoslaavia arvutaja ja logaritmitabelite koostaja Georg Vega töö põhjal, kes leidis 1794. aastal 136 õiget kohta arvule . Selle arvu 200 kümnendi kohta sai 1844. aastal fenomenaalne saksa arv...
Eksponentvõrrandid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi definitsioon Eksponentvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb astendajas. Näiteks võrrand 4 3 + 8 0,1 - 4 = 0 on eksponentvõrrand. x x Võrrand 2 x 2 - 4 = 0 ei ole eksponentvõrrand (on ruutvõrrand). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi lahendamine Eksponentvõrrandi lahendamiseks puuduvad üldised võtted, seetõttu vaatleme mõningaid erivõtteid. 1. Võrrandi viimine ühe ja sama alusega astmete võrdusele. Lahendamiseks kasutatakse järgnevate võrrandite samaväärsust: a f ( x) = a g ( x) f ( x) = g ( x), a > 0, a 0. Näide Lahendame võrrandi 0,125 x -1 = 2 4 x. 0,125 x -1 =2 4x (1 / 8) x -1 ...
Ringjoon Ringjoone kõik punktid asetsevad ühel ja samal kaugusel ringjoone keskpunktist. Ringjoone pikkus on tema diameetrist (3,14) korda suurem. Ringjoone pikkuse arvutamise valemid: 1) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema diameeter d = 10 cm. Valem: C = d. C 10 ; C 31,4 cm 2) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema raadius r = 8 cm. Valem: C = 2r. C 2 3,14 8; C 50,24 cm. Ring Ring on rinjoonega piiratud tasandi osa koos seda piirava ringjoonega. Ringi pindala Selleks, et arvutada ringi pindala, tuleb korrutada raadiuse ruuduga. Valem: S = r²
Determinandid, lineaarsed võrrandisüsteemid Ülesanne 1 Lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. x + y + z = 26 3x - y + z = 20 - x + 7 y - 2 z = 15 1 1 1 1 1 D = 3 - 1 1 3 - 1 = 2 - 1 + 21 - 1 - 7 + 6 = 20 -1 7 - 2 -1 7 26 1 1 26 1 Dx = 20 - 1 1 20 - 1 = 52 + 15 + 140 + 15 - 182 + 40 = 80 15 7 - 2 15 7 1 26 1 1 26 Dy = 3 20 1 3 20 = - 40 - 26 + 45 + 20 - 15 + 156 = 140 - 1 15 - 2 - 1 15 1 1 26 1 1 Dz = 3 - 1 20 3 - 1 = - 15 - 20 + 546 - 26 - 140 - 45 = 300 - 1 7 15 - 1 7 Dx 80 x = D = 20 = 4 Dy 140 y= = = 7 D 20 Dz 300 z = D = 20 = 15 Kontroll: I vp1 = 4 + 7 + 15 = 26 pp1 = 26 vp1 = pp1 II vp 2 = 3 4 - 7 + 15 = 20 pp 2 = 20 vp 2 = pp 2 III vp 3 = -4 + 7 7 - 2 15 = 15 pp 3 = 15 vp 3 = pp 3 x= 4 Vastus: y = 7 z = 15 Ülesanne 2 Lahend...
Võrrandid ja võrrandisüsteemid Võrrandite koostamine ja lahendamine 1. Arvu ja tema vastandarvu korrutis on 9. Leia need arvud. Lahendus: Tähistame otsitava arvu tähega x. Vastandarv on siis x ja nende arvude korrutis x . (x) = x2. Saame võrrandi x2 = 9. Selle teisendamisel saame x2 9 = 0; (x + 3) (x 3) = 0; x + 3 = 0 või x 3 = 0 x = 3 või x = 3. Otsitav arv võib olla 3 või 3. Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = 3. Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = (3) = 3. Vastus: 3 ja 3 2. Pool otsitava arvu ruudust võrdub 7-ga. Kui suur on otsitav arv? Lahendus: 1 2 Kui otsitava arvu tähistame tähega x, siis pool otsitava arvu ruudust on x . 2 Ü...
Statistika uurimistöö Teema: nimetähed Üldkogum :12 klass Valim: oma klass Variatsioonirida: 3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,8 N = 26 Tunnus : diskreetne Jaotustabel X (Arv) 3 4 5 6 7 8 F( Sagedus) 1 6 10 5 3 1 W (Suhteline3,80% 23,10% 38,50% 19,20% 11,50% 3,80% sagedus%) T ä h te d e a r v n im e s 12 10 8 S a g e d u s 6 F( S agedus ) 4 2 0 3 4 5 6 7 8 T ä h te d e a r v Mediaan - variatsioonrea keskmine liige Me = 5 Mood - variatsioonrea kõige suu...
Liitmisvalemid sin(+) =sincos + cossin cos( + ) = coscos - sinsin tan + tan tan ( + ) = 1 - tan tan Taandamisvalemid NB! Vaata veerandit!!! II veerand sin(180° - ) = sin cos(180° - ) = -cos tan(180° - ) = -tan Kahekordne nurk sin2 = 2sincos cos2 = cos² - sin² 2 tan tan2 = 1 - tan 2
4. Leidke koonuse telglõike pindala, kui moodustaja on 15 cm ja kõrgus 12 cm. 5. On antud funktsioon y = 2x3 + x 2 · Leidke funktsiooni nullkohad X0 · Leidke funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond X+, X- · Leidke funktsiooni tuletis · Leidke funktsiooni kasvamine ja kahanemine X , X · Leidke ekstreemumpunktid · Skitseerige funktsiooni graafik Matemaatika proovieksami ülesanded aastal 2008/2009 3. kursus Variant II 1. Lahendage juurvõrrand ja kontrollige saadud lahendeid: x - 6 = 5 x -38 2. Lahendage eksponentvõrrand ja kontrollige saadud lahendeid: 2 +7
Koordinaadid-AB=(X2-X1;Y2-Y1) a*b=0 Pikkus-AB=X2+Y2 2 vektori summa-a+b=(X1+X2;Y1+Y2) Koordinaadid-AB=(X2-X1;Y2-Y1) Skalaarkorrutis-a*b=X1X2; a*b=a*b*cos Pikkus-AB=X2+Y2 Vektorite vaheline nurk-cos=X1X2+Y1Y2/a*b 2 vektori summa-a+b=(X1+X2;Y1+Y2) Kollineaarsus-X1/X2=Y1/Y2 Skalaarkorrutis-a*b=X1X2; a*b=a*b*cos Ristseisund-X1X2+Y1Y2=0; Vektorite vaheline nurk-cos=X1X2+Y1Y2/a*b a*b=0 Kollineaarsus-X1/X2=Y1/Y2 Ristseisund-X1X2+Y1Y2=0; Koordinaadid-...
Vektor Tehted vektoritega Vektori mõiste Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektor Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed samasihilisi vektoreid nimetatakse kollin...
30 45 60 sin cos tan 1 cot 1 Täisnurkse kolmnurga lihtustamine: Valemid: sin2 x + cos2 x = 1 Üle 90 nurgad · Esimene veerand kuni 90nurgad · Teine veerand kuni 180nurgad. Otsitava nurga leidad 180- Ntks: cos120=cos(180-60)=cos 60=0.5 · Kolmas veerand kuni 270. Otsitava nurga leiad 180+ · Neljad veerand kuni 360. Otsitava nurga leiad 360- Tabel, mis näitab sin,cos ja tan märgi, kui nurk on üle 90: I veerand II veerand III veerand IV veerand sin + + - - tan + - + - cos + - - + Erinevad võimalused täisnur...
% on ks sajandik tervest, siis ilmselt k% on k sajandikku tervest. Nide 1. Leiame 67% 420-st. Eelneva phjal tuleb leida korrutis Nide 2. Lattu veeti sgisel 420 tonni kartuleid ja neist oli kevadeks mdanenud 33%. lejnud kartulid nnetus omanikul maha ma. Mitu kilogrammi kartuleid mdi? Kui kartulitest mdanes 33%, siis mgiks klbulikke oli jrelikult 100% - 33% = 67%. Seega leiame 67% 420-st. See on aga juba eelmises lesandes vlja arvutatud. Seega oli mgiklbulikke kartuleid 281,4 tonni. Terve leidmisel osa jrgi pannakse andmed tihtipeale kirja vrde kujul (saab ka teisiti). Nide 3. Leiame arvu, millest 34% on 77. Kui 34% on 77, siis 100% on x, seega Nide 4. On teada, et 34% mingist arvust x on 68. Leia 71% sellest arvust. Selle lesande lahendamisel polegi tarvis teada, kui suur x on, sest lesande saame lahendada jllegi vrde abil. 34% ...
LOGARITMIMINE Logaritmi I definitsioon Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, kui arvuga c alust a astendades saadakse arv b. logab = c <-> ac = b logab = c [logaritm b-st alusel a] a logaritmi alus a > 1 v 0 < a < 0 ; a 1 b logaritmitav b > 0 c logaritmi väärtus cR log10 = 1, kuna 101=10 [kümnendlogaritm 10-st] lneb = c [naturaallogaritm b-st] Naturaallogaritmi alus on e2,7 Logaritmi II definitsioon logx2 log2x = (logx)2 log-1x log log-1x = Logaritmimise reeglid ja nende järeldused I Korrutise logaritmimise reegel Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. logabd = logab + logad Järeldus: Logaritmide summa on võrdne korrutise logaritmiga. logab + log...
Nõo Reaalgümnaasium MATEMAATILISE STATISTIKA UURIMUS Õpilaste hinnang ühiselamu tubadele, sanitaartingimustele ja koolitoidule. Joonas Hallikas 12A Juhendajad: Kaja Kasak Sirje Sild Nõo 2010 SISUKORD Sisukord..........................................................................................................................................2 Üllesande püstitus...........................................................................................................................3 Mõisted...........................................................................................................................................4 Valemid........................................................................................................................
Osa leidmine tervikust I võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi leiame 1% sellest tervikust ja tulemuse korrutame 100-ga. II võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi tuleb protsendid teisenda murruks ja seejärel jagada antud osa suurus selle murruga. Terve leidmine osa järgi Lattu veeti sügisel 420 tonni kartuleid ja neist oli kevadeks mädanenud 33%. Ülejäänud kartulid õnnetus omanikul maha müüa. Mitu kilogrammi kartuleid müüdi? 420= 100% X= 33% X= 420*33/100=138,6t V; 138,6tonni kartuleid müüdi. Mitu protsenti moodustab üks arv teisest Leiame arvu, millest 34% on 77. Kui tervik jagada sajaks võrdseks osaks, siis iga osa on üks protsent tervikust. Üks protsent on üks sajandik osa tervikust. Protsendi märk on %. TERVIK ON 100% Selleks, et leida 1% arvust, tuleb see arv jagada 100-ga. I võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi leiame 1% sellest tervikust ja tulemuse korrutame 100-ga. II võimalus:...
hinnet ning nende ainete keskmist hinnet. Samuti on välja toodud ka kõik kogutud andmed tabelis. Kõikide uurimustöös esinevate mõistete definitsioonid ning nende tähistused on eraldi välja toodud. Kokkuvõte on esitatud viimase leheküljena. 1. Uurimustöös esinevate mõistete ja tähistuste selgitused · Statistika teadus, mis käsitleb arvuandmete kogumist, töötlemist ja analüüsimist · Matemaatiline statistika matemaatika haru, mis uurib statistiliste andmete põhjal järelduste tegemise meetodeid Statistikas on oluline uurimise objekt ja üldkogum. · Üldkogum esemete hulk, mille kohta tahetakse teha teaduslikult põhjendatud järeldusi · Valim mõõtmiseks võetud üldkogumi osa · Tunnus omaduste seisukoht, mille kohaselt uuritakse objekti · Sagedus-jaotustabel tabel, mis näitab, mitmel korral on antud tunnus saanud
Aasta 2008 vahemik 0-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 22 Xi 9,5 14,50 34,5 44,5 54,5 64,5 24 Fi 0 3 6 8 11 6 28 Pi 0 0,06 0,14 0,18 0,25 0,14 30 Xi-X -9,5 -41,1 -21,1 -11,1 -1,1 8,9 34 (Xi-X)2 90,25 1690,31 445,79 123,51 1,24 78,97 36 Pi*(Xi-X) 0 6,15 12,3 16,4 22,6 12,3 38 Pi% 0,00% 6,00% 14,00% 18,00% 25,00% 14,00% 38 39 Mood 54 Standardhälve 17,79711 40 Mediaan 55,5 40 keskmine 55,61364 41 ...
Statistiline uurimus TKG rebaste ristimise kohta. Kirjeldus: Uurimus käib Tartu Karlova Gümnaasiumi rebaste ristimise kohta, mis toimus 27.09- 01.10.10. Peale ürituse toimumist küsisin anonüümselt 30 inimeselt arvamust ristimise kohta. Kui väga meeldis Teile rebaste ristimine? Punkte sai anda 1-10. Punktid jaotusid: 5 punkti- 2 häält 7 punkti- 4häält 8 punkti- 4häält 9 punkti- 8 häält 10 punkti- 12 häält Variatsioonirida 5;5;7;7;7;7;8;8;8;8;9;9;9;9;9;9;9;9;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10 X(min) 5 X(max) 10 9 Mo 10 Me9 Hindepunktid Sagedus Sagedusjaotus (W) 1 punkti 0 0% 2 punkti 0 0% 3 punkti 0 0% 4 punkti 0 0% 5 punkti 2 7% 6 punkti 0 0% 7 punkti 4 13% 8 punkti 4 13% 9 punkti 8 ...
Astmefunktsioonid Y=X X Y Y -3 -3 -2,5 -2,5 4 -2 -2 3 -1,5 -1,5 2 -1 -1 1 -0,5 -0,5 Y 0 0 0 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 0,5 0,5 1 1 -2 1,5 1,5 -3 2 2 ...
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S ...
Paide Ühisgümnaasium Koolinädalasse suhtumine Paide Ühisgümnaasiumi abiturientide seas Statistiline uurimus Koostajad: Agnes Rikk ja Taavi Kala, 12.B Paide, 2010 Sisukord Sissejuhatus Matemaatika Statistilise Uurimuse ülesandeks oli välja selgitada, millised koolipäevad meeldivad Paide Ühisgümnaasiumi abiturientidele ja miks ning millised koolipäevad ei meeldi ning miks. Samuti taheti välja selgitada kas Paide Ühisgümnaasiumi 12. klassi õpilased on oma koolinädalaga rahul. Kokku taheti küsitleda 56 õpilast, kuid neist vastasid 47. Analüüsiti klasside ja soo kaupa. Klasside kaupa olid tulemused erinevad aga sama klassi õpilased vastasid sarnaselt. Saadud tulemustega jäädi rahule. Kooditabel 1. Milline koolipäev meeldib sulle kõige rohkem? Esmaspäev ...
Funktsioonide väärtused kraadides. Nurkade lahendvalemid. Erinevate funktsioonide graafikute joonised.
Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) ...
Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse hulga Y üks kindel element y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon. Määramispiirkond koosneb nendest x väärtustes, mille korral saab välja arvutada y väärtuse. Arvestada tuleb: 1)nulliga ei saa jagada 1)paarisarvulise juuriga juurt saab võtta ainult positiivsetest arvudest või arvust 0. 1)määramispiirkond- leian jooniselt need x väärtused, mille korral on võimalik paralleelselt y teljega liikuda graafikuni. 2)muutumispiirkond-leian y teljelt. 3)nullkohad-selline x väärtus, mille korral funktsiooni graafik läbib või puudutab x telge. Y=0 4)positiivsuspiirkond-kui graafik asub ülevalpool x telge, on funktsiooni väärtused positiivsed. y>0 5)negatiivsuspiirkond-kui graafik asub allpool x telge, on funktsiooni väärtused negatiivsed. Y<0 6)kasvamisvahemik-leian jooniselt need x väärtused mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi tõuseb. 7)kahanemisvahemik-leia...
Trigonomeetria põhiseosed Lihtsustamiseks kasutatakse 1. Trigonomeetria põhiseoseid: sin 2 + cos 2 = 1 1 - cos 2 = sin 2 sin 1 - sin 2 = cos 2 = tan cos cos tan = sin 1 1 + tan 2 = tan cot = 1 cos 2 1 cos tan = = cot cot sin 2. Ühise teguri sulgude ette toomist 3. Ühise nimetaja leidmist 4. Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Näited: 1. (1 - sin )(1 + tan ) - cos = co...
Negatiivsete arvudega teostatavate tehete a n an eeskirjad 5. = b bn 1. a + (-b) = -b + (-a) = -(a + b) 2. a + b = b + (-a) = b a , kui b a Abivalemid ja tegurdamine 3. a + b = b + (-a) = - (a b), kui b ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a ( a - b) 2 ( a + b) 3 = a 2 - 2ab + b 2 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 4. a + a = a + (-a) = 0 ( a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 5. a(-b) = -b(-a) = ab ...
.... ÕPILASTE EESNIMEDE ESITÄHTEDE STATISTIKA Matemaatika statstiline uurimustöö ... Juhendaja: 1. 3. KLASSI ÕPILASTE EESNIMEDE ESITÄHED Nimede esitähed Esitähtede arv A 4 C 2 E 5 G 1 H 1 J 3 K 17 L 6
Eksponentsiaalne kasvamine ja kahanemine Õppematerjal 11. klassile Eksponentsiaalne kasvamine Kasutatakse siis kui arv suureneb kindla protsendi võrra teatud aja jooksul. n p A = a 1+ 100 A on lõppväärtus a on algväärtus p on protsent n on ajavahemik Näidisülesanne 1 Kevade suurvee ajal suureneb järve veetase 2% päevas. Mitu liitrit vett on järves 3 päeva pärast, kui järves on algselt 170 000 liitrit vett. Eksponentsiaalne kahanemine Kasutatakse siis kui arv kahaneb kindla protsendi võrra teatud aja jooksul. n p A = a 1- 100 A on lõppväärtus a on algväärtus p on protsent n on ajavahemik Näidisülesanne 2 Metsas on enne raiet 80 000 puud. Puuraidurid plaanivad teha tööd 4 päeva, võttes maha iga päev 5% allesjäänud metsas...
....................................................................... 10-11 6. Kokkuvõte........................................................................................................................ 11 Tartu 2010 1. Töös kasutatud statistika mõisted · Statistika teadus, mis käsitleb arvuandmete kogumist, töötlemist ja analüüsimist · Matemaatiline statistika matemaatika haru, mis uurib statistiliste andmete põhjal järelduste tegemise meetodeid Statistikas on oluline uurimise objekt ja üldkogum. · Üldkogum esemete hulk, mille kohta tahetakse teha teaduslikult põhjendatud järeldusi · Valim mõõtmiseks võetud üldkogumi osa · Sagedus-jaotustabel tabel, mis näitab, mitmel korral on antud tunnus saanud antud väärtuse ning nende väärtuste sagedust protsentides
mitterutiinseid ülesandeid); · teada saada, milline on gümnaasiumilõpetajate matemaatikaalane ettevalmistus õpingute jätkamiseks järgmisel haridusastmel. Eksami vorm Matemaatika riigieksami põhieksam on kahes variandis ja lisaeksam on ühes variandis. Matemaatika riigieksam (ja ka lisaeksam) on kaheosaline kirjalik eksam 1. osa kestus on 120 minutit ja 2. osa kestus on 150 minutit. Kahe eksamiosa vahel on 45 minutiline vaheaeg. Käesoleva õppeaasta matemaatika riigieksam toimub 4. mail 2010.a, algusega kell 10.00. Eksaminandidele, kes mõjuvatel põhjustel põhieksamil osaleda ei saa, korraldatakse lisaeksam 17. mail 2010.a, algusega kell 10.00. Eksami 1. osa ülesannetega kontrollitakse gümnaasiumi ainekursuste põhiteadmiste ja -oskuste omandatust ning oskust neid teadmisi ja oskusi rakendada elulistes situatsioonides. Eksami 2. osa ülesannetega kontrollitakse, kuivõrd struktureeritud on eksaminandi teadmised,
Uurisin tuttavate peredes laste arvu. Küsitlesin 10 inimest. Antud uuringust sain teada, et kõige enam esineb kahe lapsega peresid ja palju on ka kolme lapsega. Töötlesin andmeid ja leidsin erinevaid karakteristikuid. Tulemused järgmistel lehtedel. Statistiline rida: 2, 4, 3, 5, 1, 2, 2, 3, 3, 2 Statistilise rea maht: n=10 Statistilise rea ulatus: xmax Xmin = 5-1= 4 Variatsioonrida: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5 Sagedus-jaotustabel: Laste arv 1 2 3 4 5 peres Absoluutne 1 4 3 1 1 sagedus Suhteline 10% 40% 30% 10% 10% sagedus Sektordiagramm: Statistilise rea karakteristikud: Me : 2,5 Mo : 2 Keskväärtus: = = 2,7 Kaalutud aritmeetiline keskmine: 2,7 Hajuvuse karakteristikud: a) m...
Pärnu Ühisgümnaasium G3c Küsimus: Mitu korda päevas sõidad linnaliinibussiga? Küsitluse viisin läbi internetis. 1. Statistiline rida 3; 6; 2; 3; 2; 2; 3; 2; 1; 2; 3; 4; 3; 6; 3; 6; 4; 3; 1; 2; 2; 2; 6; 6; 2; 4; 1; 2; 3; 3; 5; 2; 5; 3; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 1; 3; 5; 2; 2; 3; 3; 8; 3; 2; 3; 8; 4; 6; 3; 2; 4; 2; 1; 1; 6; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 1; 2; 3; 4; 6; 6; 3; 3; 2; 4; 3; 5; 1; 2; 4; 8 2. Variatsioonrida 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 8; 8; 8 3. Kogumi maht 83 4. Mood Mo: 3 5. Mediaan Me: 3 6. Sagedus- ja jaotustabel X/f ...
KOKKUVÕTE: TEHTED VEKTORITEGA On antud vektorid a = (x1; y1) ja b = (x2; y2 ) , siis Vektorite summa a + b = (x1 + x2; y1 + y2 ) Vektorite vahe a - b = (x1 - x2; y1 - y2 ) Vektori korrutis arvuga k a = (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus = 1 x2 y2 Vektori pikkus a = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Vektorite skalaarkorrutis a b = x1 x2 + y1 y2 a b Nurk vektorite vahel = arccos a b Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x, mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, ...
Hulktahukad 12. klass Hulktahukaks ehk polüeedrik nimetatakse hulknurkadega piiratud geomeetrilist keha. Hulktahukad jagunevad Kumerad hulknurgad Mittekumerad hulktahukad Kui kumeral hulktahukal on T tippu, S serva ja R tahku, siis T+RS=2 Korrapärane hulktahukas Korrapärane hulktahukas ehk regulaarne hulktahukas on kumer hulktahukas, mille kõik tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad ja igast tipust lähtub võrdne arv servi. Platoonlised kehad Korrapärane tetraeeder Kuup ehk korrapärane heksaeeder Korrapärane oktaeeder Korrapärane ikosaeeder Korrapärane dodekaeeder Korrapärane tetraeeder 4 tahku Tahud on võrdkülgsed kolmnurgad. Igast tipust lähtub 3 serva. Korrapärane ...
VII kursus STEREOMEETRIA Keha Põhja pindala Külgpindala Täispindala Ruumala -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- TAHKKEHAD .................................................................................................................................................................................................................. Prisma Sk=ür l St =Sk +2Sp V=Sp h Püstprisma ...
Eksponentsiaalne kasvamine ja kahanemine Martin Jaan Leesment XIA Eksponentsiaalset kasvamist ja kahenemist iseloomustab järgmine võrrand n Kus p A = a 1± · p on protsent · n on ajavahemik 100 · a on algväärtus · A on lõppväärtus Näiteks lahendan kaks ülesannet 1) Spordiklubi MASU eelarve oli 2005. aastal 12 300 krooni. Tänu uuele investorile Iljits Uljanov tõusis kuni 2009. aastani eelarve iga aasta 40%. Kui suur oli eelarve 2009. aastal ? Kasutan võrrandit n p A = a 1 ± 100 3 40 A =12300 1+ 100 A =12300 1, 43 A = 33751, 2 EEK Vastus: Eelarve oli 2009. aastal 33751,2EEK 1) Restoraniketis ,,Kirp ja Sõsar'' töötas 2005. aastal 160 k...
Trigonomeetria valemid Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus, koosinus, tangens ja kootangens: Põhiseosed: Täiendusnurga valemid: Mõningate nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused: 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Iga nurk x esitub kujul: Negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid: Nurga radiaanmõõt: Kolmnurga pindala: Siinusteoreem: Koosinusteoreem: Kahe nurga summa ja vahe: Kahekordse nurga siinus, koosinus ja tangens:
Geomeetrilised ruumilised kujundid meie ümber Grete Jürjental Mari-Liis Tenson Piret Kostina Linda Randoja 12B klass Koonus Silinder Kera Kolmnurkne püstprisma Prisma Püramiid Risttahukas Kuup Aitäh kuulamast!
Kordamisülesanded 1. Geomeetrilise jada esimene liige on 96 ja kuues on -3. Leia jaga tegur. 2. Kas antud jada on geomeetriline jada? Kui on leia tegur, üldliikme valem ja kaks järgnevat liiget: a) 3;6;12;24;... b) 2;4;6;8;.... c) 8;-4;2;-1;... d) c 6 ; c 4 ; c 2 ; c 0 ;.. e) a; a 2 b; a 3b 2 ; a 4 b 3 ;... f) 1; 2 ;2;2 2 ;... 3. Geomeetrilise jada esimene liige on 3, jada tegur on 2. Leia jada kümnes liige ja kümne liikme summa. [ a10 = 1536; S10 = 3069] 4. Leia geomeetriline jada, mille kolmas liige on 12 ja kolme liikme summa on 21. a1 + a1q + 12 = 21 [3,6,12,.... ja 27,-18,12,...] Vihje: 2 12 Asenda teine esimesse. 1a q = 12 a1 = q2 5. Paiguta ...
Tuletiste tabel: 1 1 c = 0 x = 1 =- 2 x x ( x ) = 2 1 x (x ) = nx n n -1 (e ) = e x x ( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 (a ) = a x x ln a x x ln a (sin x ) =cos x (cos x ) =-sin x ( tan x ) = 1 ...
TRIGONOMEETRIA VALEMILEHT 10. KLASS Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel 3 0° 30° 45° 60° 90° 180°() 270° 6 4 3 2 2 1 2 3 sin 0 1 0 -1 2 2 2 3 2 1 cos 1 0 -1 0 2 2 2 3 tan 0 1 3 puudub 0 puudub 3 3 cot ...
Kõik vajalikud trigonameetria valemid on siin olemas!
ARVUHULGAD Referaat Koostaja:Elerin Luuk 10.klass Juhendaja: Silja Risthein Aravete2011 Naturaalarvud N= {0; 1; 2; 3;....} Et Loendamisel teel on nulli rakse saada, siis ei kuulunud see arv esialgu tuntud arvude hulka. Alles 7.sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Oleme õppinud nelja põhitehet naturaalarvudega. · Liitmine · Korrutamine · Lahutamine · Jagamine NATURAALARVUDE HULK N 1. On järjestatud lõpmatu hulk,milles on vähim,kuid pole suurimat arvu. 2. On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. 3. On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus ...
α 30° 45° 60° sin 1 √2 √3 α 2 2 2 cos √3 √2 1 α 2 2 2 tan √3 √3 α 3 1 a vastaskaatet b l ä hiskaatet sin α = c = h ü potenuus , sin β = c = hü potenuus , b l ä hiskaatet a vastaskaatet cos α = c = hü potenuus , cos β = c = h ü potenuus a vastaskaatet b l ä hiskaatet tan α = b = l ä hiskaatet , tan β = a = vastaskaatet Täiendusnurga valemid sin α = cos (90°- α) cos α = sin (90°- α) 1 tan α = tan(90 ° −α ) Nurga α kasvades sin α väärtused kasvavad, cos α väärtused kahanevad ja tan α väärtused kasvavad. Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi vahelised seosed sin² α ...
Aritmeetiline jada: an = a1+(n-1)d d = an-an-1 Sn = Geomeetriline jada: an = a1qn-1 Sn = Hääbuv jada: S = Trigonomeetria: sin 2 2 2 = sin +cos = 1 1+tan = sin2 = 2cossin cos2 = 2cos2-1 tan2 = siinusteoreem: (ümberringjoone raadius) koosinusteoreem: a2=b2+c2-bccos erikülgne kolmnurk: S= n Põhivõrrandid: sinx= a x=(-1) +180n, n Z cox= a x=+360n, n Z tanx= a x= +180n, n Z Kaare pikkus: l= Sektori pindala: S= n Liitintress: c= a(1) a-algväärtus Vektorid: pikkus paralleelsus || ristseis X1X2+Y1Y2= 0 nurk vektorite vahel cos = Sirge võrrand: kahe punktiga tõusu ja algkoordinaadiga y= kx+b (lp y-teljega) tõusu ja punktiga y-y1=k(x-x1) Kahe sirge vastastikused asendid: paralleelsed...
Arvuhulgad Referaat Sisukord Naturaalarvude hulk N........................................................................................................ 2 Negatiivsete täisarvude hulk z ......................................................................................... 2 Täisarvude hulk Z............................................................................................................... 2 Murdarvude hulk.................................................................................................................2 Ratsionaalarvude hulk Q.....................................................................................................2 Irratsionaalarvud................................................................................................................. 3 Reaalarvud R....................................................................................................
Väga tähtsad matemaatika valemid 1. (A + b) (a - b) = a2 - b2 2. (A + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) 3. (A ± b) 2 = a2 + b2 ± 2ab 4. (A + b + c + d) 2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 5. (A ± b) 3 = a3 ± b3 ± 3AB (± b) 6. (A ± b) (a2 + b2 m ab) = a3 ± b3 7. (A + b + c) (a2 + b2 + c2-ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc = 1 / 2 (a + b + c) [(a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2] 8.when + b + c = 0, a3 + b3 + c3 = 3abc 9. (X + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc 10. (X - a) (x - b) (x - c) = x3 - (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x - abc 11.a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2) 12.a4 + b4 = (a2 - 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) 13.an + bn = (a + b) (n-1 - n-2 b + n-3 b2 - n-4 b3 + ... ... .. + b n-1) (Kehtib ainult siis, kui n on paaritu) 14.an - miljard = (a - b) (n-1 + n-2 b + n-3 b2 + n-4 b3 + ... ... ... + b n-1) {...
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 36 sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 -1 0 1 tan 0 1 puudub -1 0 1 Puudub -1 0 cot puudub 1 0 -1 puudub 1 0 -1 pu
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
