Olgu hulk M selline, mis koosneb arvudest, funktsioonidest, vektoritest võik ükskõik millistest samalaadsetest elementidest, milliseid edaspidi nimetatakse hulga elementideks. M = {a; b; c;....} a = b korral loeme kehtivaks järgmised 3 omadust: ( ekvivalentsi postulaadid 1. a = a refleksiivsus 2. kui a = b, siis ka b = a sümmeetria 3. kui a = b ja b = c, siis ka a = c transitiivsus Def1 Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elemendi paarile (a; b ) on seotud mingi eeskirja f alusel vastavusse üks kindel element f (a; b), siis öeldakse, et hulgas M on defineeritud arvutusoperatsioon ehk tehe. Def2 Hulka, kus on määratud vähemalt üks arvutusoperatsioon nimetatakse algebraliseks süsteemiks. Kui mistahes a, b korral hulgast M...
Determinant Def1 Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nimetatakse kujutiseks hulgast V hulka W. Def2 Kui mistahes x korral hulgast V on eeskirja f alusel vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et on määratud ühine kujutis hulgast V hulka W. L V = M(n × n) LW= f: M(n × n) f: Ad A M(n × n) d 1 2 n |a1 a1 ... a1 | |a21 a22 ... a2n| d = |.....................| = (-1) a11 a22 a33 ... ann permutatsioonid |an1 an2 ... ann| Selgitus: determinandi väärtust arvutav summa on võetud üle kõigi permutatsioonide, millised saab moodustada numbritest 1, 2, 3 ... n ( seega on liidetavaid n! tükki), sümbol summa avaldises tähistab inversioonide koguarvu permutatsioonis 1; 2;....; n. Permutatsioon on teatava hulga kõikidest e...
Determinandid DEF 1: Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nim kujutuseks hulgast V hulka W ning märgitakse üles järgmiselt: f:VWvõi V (f)W või xy või y=f(x) DEF 2: Kui iga x korral hugast V on eeskirja f abil vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et tegemist on ühese kujutamisega hulgast V hulka W Determinant reaalarv, millele on vastavusse seatud ruutmatriks. DEF 3: Determinandi arvutuseeskiri: Determinantide omadusi 1) Det väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada (transponeeritud maatriks) 2) Kui det teatavad 2 rida/veergu omavahel ümber paigutada, siis muutub det märk vastupidiseks 3) Det mingi rea/veeru kõigi elementide läbi korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu det läbi sama arvuga 4) Kui det on teatavad kakse rida/veergu kas võrdsed või võrdelised, siis võrdub ko...
A(aij) + B(aij) = A+B(a ij+bij). (MxN) A korrutiseks arvuga nimetatakse samajärku maatrikisit ·A, mille elementideks on maatriksi A kõigi elementide korrutised selle arvuga A; ·A= ·a ij) ; A, ·AM(mxn) . Maatriksi A vastandmaatriksiks A nim sellist maatriksit mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastand väärtused; -A=(-a ij) ; A, -AM (mxn) . (MxN) järku maatriksite A ja B vaheks nim sama järku maatriksit A-B mis loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)·B summa A-B=A+(-1)·B; A-B=(a ij-bij). (MxK) maatriksi A ja (KxN) B korrutist nim (MxN) järku maatriksiks A·B, milles i-nda rea ja j-nda veeru lõikekohal paiknev ühine element C ij saadakse A i-nda rea ja j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutisena ja saadakse tulemuste liitmisel; A·BB·A. Maatriksit mille kõik elemendi...
Olgu hulgad V ja W vektorruumid siis 2 vektorruumi korral määratud kujutust f:VW nimetatakse lineaarkujutuseks kui ta rahuldab tingimust f(·a+·b)= ·f(a) + ·f(b) J: = =1 f(a+b)=f(a)+f(b) J2: =0 f(·a)= ·f(a) J3: = =0 f(0)=0. Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutlust f:VV nim selle vektorruumi V lineaarteisenduseks (ehk kujutusest vektorruumist V iseendasse tagasi. 1º leidub või eksisteerib vähemalt üks punkt. 2º igale kahele kindlas järjekorras võetud punktide paarile (A;B) on vastavusse seatud parajasti üks vektor AB. 3º iga punkti A ja iga vektori a korral eksisteerib parajasti üks B nii et punktidele A ja B vastab vektor a. 4º rööpküliku aksioom, kui vektor AB on võrdne vektoriga CD siis AC on võrdne BD'ga. J1: AC=BD a+b=b+a. J2: AD=BD+AB a+(b+c)=(a+b)+c. J3: BB=0 a=a+0. J4: BA=(-a) a+(-a)=0 1* igale paarile (,a) on vastavusse seatud parajasti üks vektor a. 2* (+)a= a+ a. 3* (a)=( )a. 4* (a+b)= a+ b. 5* 1 ·a=a. J5: =a(a)= · a...
docstxt/123360313521236.txt...
docstxt/123360361321236.txt...
docstxt/123360396921236.txt...
docstxt/123360480821236.txt...
docstxt/123360499421236.txt...
Determinandid 1 Determinandi m~ oiste 1.1 Idee selgitus Algul defineerime esimest j¨ arku determinandi, siis esimest j¨arku determinandi abil teist j¨ arku determinandi, seej¨arel teist j¨arku determinandi abil kolmandat j¨ arku detereminandi jne, n-j¨arku determinandi defineerime (n - 1)-j¨arku determinandi kaudu. Sel- list defineerimisviisi nimetatakse induktiivseks ja vastavat objekti induktiivseks konstruktsiooniks. Eelnevalt on soovitatav tutvuda maatriksi m~oistega (II.1.1). Kooloniga v~ordus A := B t¨ahendab j¨argnevas, et A on defineeri- tud B kaudu. Seda v~ordust kasutame ka samav¨ a¨arsete t¨ ahistuste sissetoomiseks. 1.2 Esimest j¨ arku determinant Arvu a R determinandi |a| ehk esimest j¨ arku determinandi de- fineerime valemiga |a| := det a := a....
Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vekt...
Kui aga eeldame, et arvu i olemasolu, mille korral i2 =-1 x2=1 x=+- 1. · olgu hulk C kõigi selliste (2*2) ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ja kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud. · Def1: Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub uuesti selle sama hulga elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinnine. · Tuginedes maatriksarvutustele võime väita, et hulgas C kehtivad järgmised omadused: · Hulk C osutub algebralise süsteemi mõttes kommutatiivseks korpuseks. · hulk C osutub ka vektor ruumiks (baasi temas moodustavad 1 ja i). · seega i on kaldsümmeetriline maatriks · Def2: Hulka C, mille elementideks on kõik sellised (2*2) järku ruut...
Determinandid Kompleksarvud Lineaarkujutus ja teisendus Ruutvormid Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm: vastavusse hulga W teatava elemendi y, nimetatakse kujutuseks elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub alati selle sama hulga lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus £(*+)=*£() Ruutvormi kordajatest saab moodustada nxn järku hulgast V hulka W. elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes +*£() sümmeetrilise maatriksi. At=A...
Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu 2. Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed 3. Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. 4. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. 5. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused 6. Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa 7. Def. 7 (m...
Mis on jõu mõjusirge? Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? Absoluutselt jäik keha on selline keha mille punktide vahelised kaugused jäävad alati muutumatuks. S.t. absoluutselt jäik keha ei deformeeru. Millal nimetatakse kahte jõusüsteemi ekvivalentseteks? Ekvivalentseks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, millega saab asendada kehale mõjuva algse jõusüsteemi ilma, et keha tasakaal sellest muutuks. Millist jõusüsteemi nimetatakse tasakaalus olevaks jõusüsteemiks, ja millistel tingimustel on suvaline ruumiline jõusüsteem tasakaalus? Tasakaalus olevaks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, mis rakendatuna paigalseisvale kehale ei kutsu esile selle liikumist. Jõudude vektorite summa = 0 Mis vahe on üksikjõul ja jaotatud jõul? Mida tuleb teha jaotatud jõuga jäig...
docstxt/14485679448843.txt...
o. √n z=w ⟺ w n=z cos φ 1+isin φ 1 Olgu z=ρ ( cosφ+isinφ ) ω=ρ1 ¿ z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρn1 ( cos ( n φ1 ) +isin ( n φ 1) )=ωn Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui kompleksarvude moodulid on võrdsed ρn1= ρ , n φ1−φ=2 kπ , kus k ∈Z n φ+ 2 kπ kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne ρ 1=√ ρ , φ1 = ,...
DEF1: hulgal V on defineeritud elementide liitmine, kui igale paarile ( ⃗a , ⃗b ) ∈V ×V on seatud vastavusse element ⃗c ∈ . V × V →V ( ⃗a , ⃗b ) ↦ c⃗ =⃗a + ⃗b DEF2: hulgal V on defineeritud elemendi korrutamine reaalarvuga λ , kui igale paarile ( λ , ⃗a ) ∈ R ×V on seatud vastavusse element λ ⃗a ∈V . R ×V →V ( λ , ⃗a ) ↦ b⃗ =λ a⃗ Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulga R, kui sel hulgal on DEF1 &DEF2 nii, et on täidetud tingimused (vektorruumi aksioomid): 1) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V korral ⃗a + b⃗ =b⃗ + ⃗a (liitmise kommuta...
sõltumatute vektorite süsteem B={⃗ e1 , ⃗ e2 , … , ⃗ en } moodustab baasi, kui ruumi V mistahes vektor on avaldatav süsteemi kuuluvate vektorite lin.kombona, s.t ∀ ⃗x ∈V korral ⃗x =x 1 ⃗ e 1 +x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗...