· (A+ B ) C = C A+ C B · ( A B) C = A ( B C) · -A = (-1)A · A B = A + (-1)B · A0 = E Maatriksi ja pöördmaatriksi kommutaator on null maatriks. AA-1= 3. Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaalmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemendid on võrdsed nulliga. 4. Sellist diagonaalmaatriksi, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed nimetatakse skalaarmaatriksiks. S() = E 5. Ruutmaatriksi A, mille determinant on nullist erinev nimetatakse regulaarseks maatriksiks. A(m×n) |A| 0 6. Ruutmaatriksi A, mille determinant on samaselt null nimetatakse sirgjooneliseks maatriksiks. AA-1=E A(m×n) |A| = 0 7. Maatriksi AT, mis on saadud lähtemaatriksist A selle ridade ja veergude ümbervahetamise teel nimetatakse transformeeritud maatriksiks. ATM(m×n) (AT)T = A 8
1 0 ... 0 0 1 ... 0 En = R n× n ... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 - - a13a22a31 - a11a23a32 - a12 a21a33 A R 3×3 det A = a11a22 - a12a21 A R 2×2 Ruutmaatriksi determinant Determinant on ruutmaatriksit iseloomustav arv Pöördmaatriks AA-1 = A-1 A = E det A 0 Ruutmaatriks on regulaarne, kui Regulaarse ruutmaatriksi pöördmaatriks on sama järku ruutmaatriks. Maatriksi ja tema pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit võib leida, kui: -transponeerida maatriks
Abs_max Abs_ve Abs_ri 10 1 3 4 1 2 -4 -4 6 -10 5 7 4 -10 -2 8 6 -3 2 -0,5 0,2 -2 2 0,6 -5 -2,5 0,7 4 1 2 -4 -4 6 -10 5 7 Ruutmaatriksi maksimum ülalpool peadiagonaali. maks rida veerg 1 1 4 1 2 -4 -4 Spetsifikatsioonid Sub Tee_Mas Protseduur teeb maatriksi kui vajutada nuppu tee massiiv ning kirjutab selle välja töölehele i Maatriksi rea number. m Maatriksi viimase rea järjenumber. j Maatriksi veeru number. n Maatriksi viimase veeru järjenumber. aa Maatriksi elementide minimaalne arv.
Ristkülikmaatriks leida maatriksi iga rea skalaarkorrutis vektoriga leida minimaalne element antud ridade vahemikus (S) moodustada uus maatriks ridadest, kus esimene element on suurem antud arvust Ruutmaatriks lahutada esimene veerg veergudest, kus peadiagonaali element on positiivne leida saadud maatriksi elementide aritmeetiline keskmine leida minimaalne element ülalpool kõrvaldiagonaali (S) Ülesande realisatsioon Ruutmaatriksi puhul Min ülalpool m n kõrv.diag. 8 6 Genereeri 66 -62 -9 -70 86 -82 -20 -2 -34 18 86 -11 75 -46 -49 -94 58 -53 -49 -91 -59 18 86 9
1. Maatriksi definitsioon 2. Pöördmaatriksi definitsioon a) Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mille ridade ja veergude lõikekohtades Ruutmaatriksi A pöördmaatrksiks nimetatakse maatriksit A-1, mis rahuldab asuvad mingi fikseeritud hulga elemendid. Enamasti eeldatakse, et selle hulga võrdusi elemente saab liita ja korrutada. Kõige sagedamini on selleks hulgaks reaal- või AA-1=A-1A-E. kompleksarvude hulk. Üldisemalt võib selleks hulgaks olla suvaline korpus või Pöördmaatriks eksisteerib ainult siis, kui maatriks A on regulaarne (determinant isegi assotsiatiivne ühikelemendiga ring
reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Nt 1: Nt 2: · Maatriksi transponeerimine: transponeeritud maatriks on maatriks AT, mille veergudeks on maatriksi A vastavad read. 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh | A|. Ruutmaatriksi A järku nim ka determinandi järguks. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nim sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nim arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor. 4
veerg_1 /_2- veerud mida kasutatake minimaalse elemendi leidmiseks antud veergude vahemikus S/S22/S4- loeb summat vastavas funktsioonis k,p- kasutasin vastavalt i ja j asemel kui ainult nendest ei piisanud A()- andtud maatriks (rida ja veerg määratud) AU()- uus maatriks mis on saadud Iga rea elemendi jagamise selle rea elementide summaga B()- antud vektor (ainult rida määratud) c()- saadud ridade arvutamisega maatriks (rida ja veerg määratud) R()-ruutmaatriksi korral (rida ja veerg määratud) F( )-ruutmaatriksi korral peadiag. kasutades (rida rida määratud) Aprk/Bprk- vastavalt siis piirkond Aalg ja Balg töölehelt Protseduurid Massiivid - peaprotseduur, mis loeb sisse massiivid ja lahendab siis vastavalt kas ruutmaatriki või ristkülikma Kustuta - kustutab vastavate lahtrite sisu, mis kuuluvad piirkonda, kus on aktiivne lahter. Kustuta2- kustutab andmed lahtritest Mat_Vek- leiab maatriksi viimase veeru ja vektori skalaarkorrutise
t. maatriks A on idempotentne, kui A*A = A. 18. Mõiste 11: Involutiivseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui on rahuldatud tingimus, et pöördmaatriks võrdub algmaatriksiga. 19. Mõiste 12: Ortogonaalmaatriks nimetatkase ruutmaatriksit, mille korrutis oma transponeeritud maatriksiga võrdub ühikmaatriksiga E. 20. Kui maatriksid A ja B on regulaarsed siis ka nende korrutis on regulaarne. 21. Mistahes ruutmaatriksi M (n x n) saab alati esitada teatava sümmeetrilise maatriksi ja teatava kaldsümmeetrilise summana. 22. Regulaarne maatriks Kui determinant ei võrdu 0. Singulaarne maatriks Kui determinant on 0. 23. Transponeeritud maatriks A^T Saadakse lähtemaatriksi A ridade ja veergude ümbervahetamisel. 24. Pöördmaatriks A^-1 Ruutmaatriksi A pöördmaatriks mis rahuldab tingimust A*A^-1 = A^-1*A = E. 25
Protseduur leiab minimaalse arvu asukoha igas reas ja väljastab need nihkega vektorist. Sub liida(A(), m, n, vektor As Range) Parameetrid: massiiv A, ridade arv, veergude arv, vektor. Liidab vektori nendele veergudele, kus esimene element on negatiivne. Sub abs_kesk(A(), m, n, kokku) Parameetrid: massiiv A, ridade arv, veergude arv, kõigi liikmete summa. Leiab absoluutväärtuste keskmise tabelis ehk jagab absoluutväärtuste kogusumma liikmete arvuga. Ruutmaatriksi alamprotseduurid Sub Värvi(prk1 As Range, m) Parameetrid: massiivi A piirkond, ridade/veergude arv. Värvib erinevates toonides ruutmaatriksi peadiagonaali, sellest allpool ja ülevalpool oleva ala. Sub Maks_PD(A(), m, n, max, ve, S) Parameetrid: massiiv A, ridade arv, veergude arv, veeru number, maksimaalse elemendi veeru summ Leiab suurima elemendi peadiagonaalil ja selle veeru summa, kus see asub. Sub min_el_allPD(A(), m, n, min)
ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks ridade arv = veergude arv m=n diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0. ühikmaatriks diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1. tähistus E. 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine).
inversioonide koguarvu permutatsioonis 1; 2;....; n. Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest moodustatud ning konkreetne järjestus. Pn = n! Öeldakse, et kui väiksem indeks asetseb suurema ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse, vastasel juhul kui suurem väiksema ees, siis räägitakse, et nad moodustavad inversiooni. Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda elementide korrutistest moodustatud summa põhjal kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõisteid. |a11 a12 a13 | |a21 a22 a23 | = (-1) a11 a22 a33 = - a11 a22 a33 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 + |a31 a32 a33 | + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 1 2 3 123 132 213 231 312 321 0 1 1 2 2 3
. . , n. (4) Veeruvektor on vaadeldav (m×1)-maatriksina. 7 ERIKUJULISI MAATRIKSEID DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi Am × n kõik elemendid aij võrduvad nulliga, siis nimetatakse maatriksit NULLMAATRIKSIKS. Maatriksi ridade ja veergude arvud m ja n on tema PÕHIPARA- MEETRID. Kui m n, siis on tegemist RISTKÜLIKMAATRIKSIGA. Kui m = n, siis on tegemist RUUTMAATRIKSIGA ja arvu n nimetatakse selle maatriksi JÄRGUKS. Ruutmaatriksi elemendid a11 , a22 , . . . , ann moodustavad tema PEADIAGONAALI ja elemendid a1n , a2 n-1 , . . . , an 1 vastavalt KÕRVALDIAGONAALI. DEFINITSIOON 2. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali elemendid ei ole nullid ja kõik ülejäänud elemendid võrduvad nulliga, siis nimetatakse seda maatriksit DIAGONAALMAATRIKSIKS. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel võrdsed, siis nimetatakse seda maatriksit SKALAARMAATRIKSIKS.
. . , n. (4) Veeruvektor on vaadeldav (m×1)-maatriksina. 7 ERIKUJULISI MAATRIKSEID DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi Am × n kõik elemendid aij võrduvad nulliga, siis nimetatakse maatriksit NULLMAATRIKSIKS. Maatriksi ridade ja veergude arvud m ja n on tema PÕHIPARA- MEETRID. Kui m n, siis on tegemist RISTKÜLIKMAATRIKSIGA. Kui m = n, siis on tegemist RUUTMAATRIKSIGA ja arvu n nimetatakse selle maatriksi JÄRGUKS. Ruutmaatriksi elemendid a11 , a22 , . . . , ann moodustavad tema PEADIAGONAALI ja elemendid a1n , a2 n-1 , . . . , an 1 vastavalt KÕRVALDIAGONAALI. DEFINITSIOON 2. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali elemendid ei ole nullid ja kõik ülejäänud elemendid võrduvad nulliga, siis nimetatakse seda maatriksit DIAGONAALMAATRIKSIKS. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel võrdsed, siis nimetatakse seda maatriksit SKALAARMAATRIKSIKS.
tulemuseks iseenda, s.t. maatriks A on idempotentne, kui A*A = A. Mõiste 11: Involutiivseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui on rahuldatud tingimus, et pöördmaatriks võrdub algmaatriksiga. Mõiste 12: Ortogonaalmaatriks nimetatkase ruutmaatriksit, mille korrutis oma transponeeritud maatriksiga võrdub ühikmaatriksiga E. Kui maatriksid A ja B on regulaarsed siis ka nende korrutis on regulaarne. Mistahes ruutmaatriksi M (n x n) saab alati esitada teatava sümmeetrilise maatriksi ja teatava kaldsümmeetrilise summana.
erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis Pn(x)=x01+x1x+x2x^2+...xnx^n Reaalarv x0, mille korral Pn(xo)=0 nim nullkohaks. Maatrikspolünoom ja selle nullkohad:Pn(A)=o*E+1A+2A^2+...+nA^n Maatriks Ao, mille korral Pn(Ao)= Ortogonaalmaatriks: ruutmaatriks, mille korrutis oma
|abc|=V rt ( a ,b , c ) 30.Maatriks- Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. 31.maatriksi mõõtmed-Maatriksit milles on m rida ja n veergu nimetatakse (m,n)-maatriksiks. Arvupaari (m,n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks 32.maatriksi järk- naturaalarvude paari m × n, kus m ja n on vastavalt maatriksi ridade ja veergude arvud. n rea ja veeruga ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n. 33.maatriksi elemendid- Reaalarvud millest maatriks koosneb 34.maatriksi ja maatriksite hulga tähistused- Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega (A,B,...,X,Y,Z). Maatriksi elemente tähitatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega (a,b,c1,xmn). Kõikvõimalike mõõtmetega maatriksi hulka tähistatakse Mat abil ning kõigi (m,n)-maatriksite hulka tähistatakse Mat(m,n) abil
Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit.
Maatriksis on m rida ja n veergu.
Maatriksi reaindeks on ai ja veeruindeks on aj.
Maatriksi peadiogonaali elemendid on a11; a22; amn
Erikujulised maatriksid:
· Kui maatriksi Am*n kõik elemendid aij võrduvad 0ga, siis nim seda nullmaatriksiks.
Ridade ja veergude arvu m ja n nim põhiparameetriteks. Kui mn, siis nim maatriksit
ristkülikmaatriksiks. Kui m=n, siis ruutmaatriksiks.
· Kui ruutmaatriksi peadiogonaali element 0 ja kõik ülejäänud elemendid =0, siis nim
maatriksit diagonaalmaatriksiks. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel
võrdsed, siis nim seda skalaarmaatriksiks.
· Kui skalaarmaatriksi kõik peadiagonaali elemendid =1, siis nim seda ühikmaatriksiks.
Tähistatakse E.
· Kui ruutmaatriksi peadiagonaal all (või kohal) olevad elemendid on kõik 0 (akl=0; k
Skalaarmaatriks : diagonaalmaatriks, kus diagonaalil asuvad elemendid on ühe ja sama väärtusega. Ühikmaatriks : skalaarmaatriks, kus diagonaalil asuvad ühed. Tasub meelde jätta, et ühikmaatriksit tähistatakse alati I-ga. Lisaks peaks meeles püsima, et nii nagu tegurit ühega korrutades on ka ühikmaatriksiga korrutades tulemuseks tegur ise, IA = AI = A. Maatrikseid, mille ridade ja veergude arvud kattuvad, nimetatakse ruutmaatriksiteks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n. Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine. Tehe Definitsioon Näide Summa A+B kahe m × n maatriksi A ja B vahel leitakse elemethaaval: Liitmine (A + B)ij = Aij + Bij, kus 1 i m and 1 j n.
vastavusse seada teatav uus vektor millist nimetatakse lähtevektorite topeltvektorkorrutiseks ja märgitakse sümbolitega (x×y)×z või x×(y×z), korrutamise assotsiatiivsus ei kehti. Skalaarset avaldist F mis esitub kujul F= Ni,j=1aijxixj nim ruutvormiks kui arvud ij rahuldavad kõigi võimalike indeksite i ja j väärtuste korral tingimusi aij=aji. Arve aij nim ruutvormi kordajateks ja xi xj ruutvormi muutujad; ruutvormi F kordajatest a ij saame moodustada (mxn) järku sümmeetrilise ruutmaatriksi A, AT(aij)=aij=A, F=xT·A·x . Ruutvormi üleminekut ühelt muutujalt uuele muutujale nim kooridnaatide teisendamiseks. Koordinaatide teisendus mida esindab regulaarse maatriks C nim ka regulaarseks teisenduseks. Koordinaatide teisendus mida esindab singulaarne maatriks nim ka singulaarseks teisenduseks. Iga ruutvormi saab muutujate regulaarse teisenduse tulemusena viia kannoonilisele kujule, seejuures ilmneb ka et ruutvormi kannooniline kuju ei ole üheselt määratud
ektor Ruut: Max.el: Rida: Veerg: Sub Tee_Maatriks() Koostab vabalt valitud ridade ning veergude arvuga maatriksi töölehele. Sub Tee_Vek() Koostab vabalt valitud ridade arvuga vektori töölehele. PEAPROTSEDUUR Sub Lahenda() Loeb töölehelt maatriksi ning vektori VBA massiivi. Teeb If-protseduuriga kindlaks, kas maatriksit ei ole või ristkülik - või ruutmaatriksiga, annab teate ning kui maatriks on olemas, siis vastavalt käivitab, kas ristkülik- ruutmaatriksi alamprotseduurid. RISTKÜLIKU ALAMPROTSEDUURID: Sub max_el_igas (A(),m,n,maks(),rida(),veerg()) Parameetrid: massiiv A(), ridade arv m, veergude arv n, vektror maks(), vektor rida(), vektor veerg() Leiab iga rea maksimaalse elemendi ning kannab selle väärtuse vektorisse maks() vastavasse ritta, leiab s asukoha ning kannab rea numbri vektori rida() ning veeru numbri vektori veerg() vastavasse ritta. Sub Summa_1(A(),m,n,s) Parameetrid: massiiv A(),m,n, summa s.
(arendis i-nda rea järgi) ja mis tahes veerunumbri j korral kehtib (arendis j-nda veeru järgi), kus ja Mij on determinant, mis tekib determinandist D i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel. Omadus 8. Kui determinandi mingis reas või veerus on kõik arvud nullid, siis determinandi väärtus võrdub nulliga. Omadus 9. Ruutmaatriksi A = ( aij ) R n×n determinandi A = D mis tahes reanumbrite i ja k korral kehtib võrdus kus Akj on determinandi elemendi akj alamdeterminant. Analoogselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral . Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis det( AB) = (det A) (det B) 4. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse
t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant- Determinant: Ruutmaatriksi A determinant on ARV (skalaar), mis on selle maatriksi poolt üheselt määratud. Determinandi abiga saab määrata ridade lineaarset sõltumatust. Determinant aitab leida pöördmaatriksit. N-järku determinanti arvutatakse Laplace'i arendusega: n A = a i j C i j .Determinantide põhiomadused: |A|=|A T| . Vahetades 2 rida [veergu] j =1 omavahel muutub, muutub märk det-i ees:
B*A = 7 9 * 3 4 5 = 7*0+9*3 7*1+9*4 7*2+9*5 = 8 -2 8*0+(-2)*3 8*1+(-2)*4 8*2+(-2)*5 -3 2 7 = 27 43 59 -6 0 -6 6) ASTENDAMINE (võimalik ainult ruutmaatriksi puhul) m=n A2 = A*A 6 Majandusmatemaatika ja Statistika (RP089) 4 5 4 5 4 5 4*4+5*(-6) 4*5+5*2 -14 30 2 A = -6 2 = -6 2 * -6 2 = -6*4+2*(-6) -6*5+2*2 = -36 -26
Võib nad moodustavad inversiooni. nim. kompleksarvudeks. Arvu a nim. kompleksarvu reaalosaks, arvu bi kommutatiivsus skalaariga korrutamise olla rohkem kui 1 lahend, k. A. Lõpmatus. Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale imaginaarosaks, b on imaginaarosa kordaja. suhtes ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda (a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i elementide korrutistest moodustatud summe põhjal, kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõistet. (a+bi)-(c+di)=a+bi-c-di=(a-c)+(b-d)i Kompleksarvu kujud: 3. Lineaarkujutus seab ühe vektorruumi
a am2 ... a mn m1 A= . Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: aik A= mn . Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk üheveeruliseks maatriksiks; näiteks 4,5 2,3 3,2 12 A= .
a 21 a 22 ... a 2 n . . . . a am2 ... a mn A= m1 . Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk 4,5
a 21 a 22 ... a 2 n A= . . . . . a am2 ... a mn m1 Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk 4,5
Seda korrutise eksisteerimise eeldust võib nimetada tegurite järkude kooskõla tingimuseks. Seejuures on saadud maatriks C, kus on maatriksi A ridade arv ja maatriksi B veergude arv. ● transponeerimine ja nende omadused 5 1. Kui A on sümmeetriline, siis A = AT. 2. (A + B)T=AT + BT. 3. (AB)T = BTAT. Maatriksi elemendi täiendusmiinor Kui maatriksist A ära jätta i-s rida ja j-s veerg, siis saadud (n − 1)-järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse elemendi aij täiendusmiinoriks ja tähistatakse Mij. Maatriksi elemendi algebraline täiend Arvu (−1)i+j Mij nimetatakse elemendi aij algebraliseks täiendiks (alamdeterminandiks). Determinandi arendus rea või veeru järgi Determinandi omadused 1. Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed, s.t. |A| = |AT|. 2. Maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi. 3
Lemma 3. Kui substitutsioon j1 , j2 , ... , jn on saadud substitutsioonist i1 , i2 , ... , in kahe arvu (näiteks ik ja il , k < l ) asukoha vahetamisel, siis ( j1 , j2 , ... , jn ) ( i1 , i2 , ... , in ) ( -1) = - ( -1) . (4) 3.Determinantide 10 omadust. Vaatleme ruutmaatriksi A = ( aij ) Rn× n determinanti a11 a12 K a1n a a22 K a2 n D = det A = A = 21 . M M O M
Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse . Maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0
(1.28) s=1 s=1 V~orreldes valemeid (1.27) ja (1.28) omavahel, saame wij = nij , i Np , j Nr . Seega (X ± Y )Z = XZ ± Y Z. 4 Kuna valemi (1.23) t~oestus on analoogiline eelmise t~oestusega, siis j¨atame selle lugejale. Tavaliselt tuleb korrutada sama j¨arku ruutmaatrikseid, saades tule- museks sama j¨arku ruutmaatriksi. 1.5. Maatriksite transponeerimise omadused Maatriksite transponeerimisel on j¨argmised omadused. 1 Mistahes maatriksite X, Y M at(m, n) korral (X ± Y ) = X ± Y . 2 Mistahes a R ja X Mat korral (aX) = aX . 3 Mistahes X Mat(p, q) ja Y Mat(q, s) korral (XY ) = Y X . T~ oestus. 1 N¨uu ¨d X = (xij ) ja Y = (yij ), kus X, Y M at(m, n),
(1.28) s=1 s=1 V˜orreldes valemeid (1.27) ja (1.28) omavahel, saame wij = nij , ∀ i ∈ Np , ∀ j ∈ Nr . Seega (X ± Y )Z = XZ ± Y Z. ♠ 4◦ Kuna valemi (1.23) t˜oestus on analoogiline eelmise t˜oestusega, siis j¨atame selle lugejale. Tavaliselt tuleb korrutada sama j¨arku ruutmaatrikseid, saades tule- museks sama j¨arku ruutmaatriksi. 1.5. Maatriksite transponeerimise omadused Maatriksite transponeerimisel on j¨argmised omadused. ◦ 1 Mistahes maatriksite X, Y ∈ M at(m, n) korral (X ± Y ) = X ± Y . 2◦ Mistahes a ∈ R ja X ∈ Mat korral (aX) = aX . 3◦ Mistahes X ∈ Mat(p, q) ja Y ∈ Mat(q, s) korral (XY ) = Y X . T˜ oestus. 1◦ N¨
astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja veeru elementidest saab moodustada vähemalt ühe 0-st erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi 0-st erinevat r+1 järku miinorit. Pöördmaatriks.Kuna maatriksite korrutamine ei olnud kommutatiivne ja lisaks leidusid nullitegurid, siis ei saa rääkida maatriksite jagamisest, kuid teatud juhtudel leidub maatriksil pöördmaatriks. Def. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist matrx B, mis rahuldab tingimust AB=I=BA. Teoreem. Kui matrx on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt.Tõestus: olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmtx, st AB=I=BA ja AC=I=CA, siis mtxkorrutise assotsiatiivsuse tõttu B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C Olgu A ruutmtx. Kui mtx-l A eksisteerib pöördmtx, siis nim mtx regulaarseks ja pöördmtxit tähistatakse A-1. AA-1=I=A-1A. Kui ruutmtxi A korral ei ole võimalik leida
1.6 N¨ aide Arvutame kolmandat j¨arku determinandi 1 -1 3 0 -1 1 -1 1 0 1 0 -1 = 1 +1 +3 1 6 2 6 2 1 2 1 6 = 1(0 · 6 + 1 · 1) + 1(1 · 6 + 1 · 2) + 3(1 · 1 - 0 · 2) = 12 1.7 T¨ ahistusi Analoogiliselt edasi toimides saame defineerida k~orgemat j¨arku determinandid. Olgu aij R ning indeksid i, j = 1, 2, . . . , n. T¨ahistame n-j¨arku ruutmaatriksi A determinandi det A ehk (l¨ uhi- dalt ¨oeldes) n-j¨ arku determinandi j¨argmiselt: a11 a12 ... a1n a11 a12 . . . a1n a21 a22 ... a2n a21 a22 . . . a2n det A := det . .. := .. .. .. .. .. ..
2 ( 2×3) 2 1 2 4 2 5 2 8 10 6. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus Vektorite hulk v1,...,vn on lineaarselt sõltuvad, kui mõni neist avaldub ülejäänute lineaarse kombinatsioonina; vastasel juhul on lineaarselt sõltumatud. Kui tasandil on antud 2 lineaarselt sõltumatut vektorit, siis iga tasandi-vektori saab avaldada nende lineaarse kombinatsioonina. 7. Determinandi mõiste ja põhiomadused. Determinant: Ruutmaatriksi A determinant on ARV (skalaar), mis on selle maatriksi poolt üheselt määratud. Determinandi abiga saab määrata ridade lineaarset sõltumatust. Determinant aitab leida n pöördmaatriksit. N-järku determinanti arvutatakse Laplace'i arendusega: A = ai j C i j . j =1 Determinantide põhiomadused: |A|=|AT|
|A| = .. .. .. .. . (1.8) . . . . an1 an2 ··· ann 11 PEATÜKK 1. MAATRIKSID JA DETERMINANDID Definitsioon 1.12 Esimest järku ruutmaatriksi determinant |A| = a11 . Kõrgemat järku ruutmaatriksi A = (aij ) determinandiks nimetatak- se summat n |A| := (-1)i+j aij Mij , i {1, 2, . . . , n}, n 2, j=1 kus Mij on elemendile aij vastav (n - 1)-järku determinant. Determinandi väärtus |A| ei muutu, kui nn. arendamine toimub ridade asemel veergudega. Definitsioon 1.13 Determinanti Mij nimetatakse maatriksi A elemendile aij vastavaks
+ ai2Ai2 + ... + ainAin (arendis i-nda rea järgi) ja mis tahes veerunumbri j korral kehtib D = (1<=i<=n)aijAij = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj (arendis j-nda veeru järgi), kus Aij = (-1)i+j Mij ja Mij on determinant, mis tekib determinandist i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel 8. Kui determinandi mingis reas või veerus on kõik arvud nullid, siis determinandi väärtus võrdub nulliga 9. Determinantide teooria põhivalemid. Ruutmaatriksi A = ||a ij|| Rnxn determinandi |A| = D mis tahes reanumbrite i ja k korral kehtib võrdus a i1Ak1 + ai2Ak2 + ... + ainAkn = iAk = (1<=j<=n)aijAkj = D, kui i=k ja 0, kui ik, kus Akj on determinandi D elemendi akj alamdeterminant. Analoogiliselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral a1jA1k + a2iA2k + ... + aniAnk = jBk = (1<=j<=n)aijAik = D, kui j=k ja 0, kui jk 10. kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis nende maatriksite
inversioonide arv on paaritu Paaris permutatsioon - permutatsiooni nimetatakse paaris permutatsiooniks, kui tema inversioonide arv on paaris OMADUSED: 1) Hulga n elementidest saab moodustada n! permutatsiooni 2) Kui permutatsioonis omavahel ära vahetada 2 elementi, siis permutatsioon muudab paarsust 3) kui n>=2, siis permutatsioonide hulgas Pn on paaris ja paarituid permutatsioone samapalju, st kumbagi ½n! DETERMINANT: Determinant Me nimetame n-järku ruutmaatriksi determindandiks reaalarvu, mida tähistame |X| ja leiame valemiga |X|= OMADUSED: 1) maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed, s.t. X Mat(n, n) => | X |=| XT | 2) maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märki. 3) Kui maatriksi kaks rida (veergu) on võrdsed, siis maatriksi determinant on 0 4) Kui maatriksi mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga
Lihtne on üle kontrollida kõik arvupaarid ning tulemuseks saame R = {(1, 4), (2, 4), (4, 1), (4, 2)}. Boole’i maatriks 18 o Relatsiooni hulkade X = {x1, x2, . . . , xm} ja Y = {y1, y2, . . . , yn} vahel saab ette anda ka maatriksiga, mille mõõtmed on m×n, kusjuures reas i ja veerus j asub väärtus 1, kui elemendipaar (xi, yj) kuulub relatsiooni, ning väärtus 0 vastasel korral. Juhul X = Y saame ruutmaatriksi. o Kui R on näiteks viimati vaadeldud jaguvusrelatsioon, siis tema maatriks on Graaf o Ühe võimalusena võib relatsiooni esitada suunatud graafi abil. Kujutame hulga X elemente ja hulga Y elemente punktidena joonisel ning tõmbame kaare elemendist x ∈ X elemendini y ∈ Y parajasti siis, kui paar (x, y) kuulub vaadeldavasse relatsiooni. Niimoodi saame graafi, milles kõik kaared viivad ainult hulgast X hulka Y ning kus pole
Avaldist a11 a 22 -a12 a 21 nimetatakse teist järku determinandiks (maatriksi A determinandiks) ning tähistatakse a11 a12 det( A) = a 21 a 22 Näide. 3 5 = 3 4 - 2 5 = 2. 2 4 Vaatleme kolmandat järku ruutmaatriksi: a11 a12 a13 A = a 21 a 22 a 23 a a32 a33 31 Definitsioon. Kolmandat järku determinandiks (maatriksi A determinandiks) nimetatakse avaldist a11 a12 a13
Prognoosides turujaotust ette, tuleb üleminekumaatriks korrutada eelneva kuu olekumaatriksiga. ÜLESANDED 8.14 Olgu täna vihmane ilm. Kasutades näites 8.8 toodud üleminekumaatriksit vihmase ja kuiva ilma vaheldumise kohta, leida millise tõenäosusega on homme vihmane ja millise tõenäosusega on ülehomme vihmane. (Kasutada programmi MS Excel) Determinant Determinant on ruutmaatriksi elementide korrutistest spetsiaalse reegli järgi moodustatud summa. Kasutatakse tähistust det A ' *A* . Teist järku maatriksi determinant arvutatakse järgmise valemiga: *A* ' /0 / 'a11 a22 & a12 a21 00 a a 000 a11 a12 0 21 22 0 Näiteks
Kui kaks kahemõõtmelist vektorit pole juhuslikult samasihilised ehk kui neid ei saa asetada piki sama sirget, võime nende abil moodustada rööpküliku. Sarnaselt saame, juhul kui kolm kolmemõõtmelist vektorit ei asu ühel tasandil, ehi- tada nende abil kena rööptahuka. 154 Mõlemal juhul on neil geomeetrilistel kujunditel üks kena parameeter – nende maht. Ruutmaatriksi determinant kirjeldabki seda mahtu. maatriksi puhul on tema determinandi absoluutväärtus võrdne kahe tulp- vektori poolt moodustatud rööpküliku pindalaga. maatriks Näiteks maatriksi determinandi absoluutväärtus on võrdne kahega, kuna maatriksi tulbad kirjeldavad ristkülikut küljepikkustega 2 ja 1. Tuletame meelde, et
annaabi.ee 
