väiksem. 6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur 1) ristprojekteerimisel? ei saa olla lõigust enesest pikem seega 0->1. 2) paralleelprojekteerimisel? 0-> olenevalt kujutamiskiirte, ekraani ja lõigu vastastikustest asenditest. 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega? kahekordseks sirglõiguks. 2) paralleelne ekraaniga? ringiks. 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub lõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurgaks ekraani suhtes nimetatakse teravnurka selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Võib olla nurga asendist tingitult vahemikus 0-180. 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta.
5. Mis on sirglõigu moondetegur? Lõigu paralleelprojektsiooni ja tema originaalpikkuse suhe. 6. Millistes piirides võib sirglõigu moondetegur muutuda: a) ristprojekteerimisel? Nullist üheni b) paralleelprojekteerimisel? Nullist lõpmatuseni 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: a) paralleelne kiirtega? Sirglõiguks b) paralleelne ekraaniga? Ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Teravnurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0-180 kraadi 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub
enesega. 7. Paralleelsete sirgete paralleelne projektsioon on üldjuhul jälle parallleelsed sirged; erijuhul punktikujulised või ühine kujutis. 8. Sirgjoone lõigud on võrdelised oma paralleelsete projektsioonidega. 9. Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. A'B'=AB*cos. Sirgjoone kaldenurgaks ekraani suhtes nimetatakse teravnurka selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. Kui cos=1; siis AB ll , siis A'B'=AB. Kui cos=0 (=90); siis AB on risti , siis A'B'=0. Sirglõigu moondetegur: sirgjoone projektsiooni pikkuse ja sirglõigu tegeliku pikkse suhe. 0m1 ; A'B'/ AB =m=cos.
2) paralleelprojekteerimisel? * 1) 0 m1 * 2) 0 m 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 9. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 10. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. * Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 11. Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. * 1) Monge'i meetod * 2) Kvooditud ristprojektsiooni meetod * 3) Aksonomeetria meetod
6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur? a) ristisomeetrias Tegelikult kui siin on ristisomeetriat mõeldud, siis seal on ju telgedel moondetegur umbes 0,82, aga ristprojekteerimisel on see moondetegur nullist üheni (mõlemad kaasa arvatud) b) paralleelprojekteerimisel Nullist(kaasa arvatud) kuni lõpmatuseni. 7. Mis kujundiks projekteerub ring, kuid ta on a) paralleelne kiirtega Sirglõik b) paralleelne ekraaniga Ring (peaks olema) 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse vahel? Ristlõigu ristprojektsiooni pikkus= enda pikkus korrutada kaldenurga koosinusega. 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Terav nurk sirglõigu ja tema ristprojektsiooni vahel. 10. Millistes piirides võib muutuda tervanurga ristprojektsiooni suurus? 0 kraadi kuni 180. 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on
8. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) ristprojekteerimisel, 2) paralleelprojekteerimisel? * 1) 0 m 1 * 2) 0 m 9. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? * Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. * a=a'/m 14
8. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) ristprojekteerimisel, 2) paralleelprojekteerimisel? * 1) 0 m 1 * 2) 0 m 9. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? * Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. * a=a'/m 14
# Kui sirglõik on paralleelne ekraaniga, siis tema paralleelprojektsioon sellel ekraanil on pikkuselt võrdne ja paralleelne lõigu enesega. # Kui tasapinnaline kujund on paralleelne ekraaniga, siis tema paralleelprojektsioon on kongruetne kujundi enesega # Paralleelsete sirgete paralleelrpojetsioonid on üldjuhul jälle paralleelsed sirged; erijuhul punktikujulised või ühine kujutis. # Sirgjoone lõigud on võrdelised oma paralleelprojektsioonidega. # Sirgjoone ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. Sirgjoone kaldnurk teravnurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel Sirglõigu moondetegur sirgjoone paralleelprojektsiooni pikkuse ja sirglõigu tegeliku pikkuse suhe # Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole selle ekraaniga risti.
suhet. 7. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) Ristprojekteerimisel 0 _< m _<1 2) paralleelprojekteerimisel? 0 _< m < lõpmatus 8. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega- Sirge 2) paralleelne ekraaniga Ringiks , ellips 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurgaks ekraani suhtes nimetatakse teravnurka selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0 180 kraadi 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole ekraaniga risti. 12. Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. Monge meetod, aksonomeetria meetod, kvooditud ristprojektsiooni meetod. 13
Tsentraal projektsiooni puhul on silmapunkt lähedal. Ning kujutamiskiired lähtuvad kõik ühest punktist S. Paralleelprojektsiooni (on tsentraalprojektsiooni eriliik) korral on silmapunkt lõpmata kaugel. Ja kujutamiskiired on omavahel paralleelsed. 3. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksteisest erinevad? Paralleelprojektsioon jaguneb: Ristprojektsioon ja Kaldprojektsioon. Ristprojektsiooni korral on kujutamiskiired risti ekraaniga, kaldprojektsiooni korral on nad kaldu ekraani suhtes. 4. Miks ühest projektsioonist koosnev joonis ilma lisaandmeteta ei määra objekti? Sest ühest projektsioonist ei ole võimalik määrata objekti erinevaid vaateid ja tema geomeetrilisi omadusi. 5. Mis juhtumil sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt? Sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt kui ta ühtib kujutamiskiirega. 6
6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) Ristprojekteerimisel Vahemikus 0 m1 2) paralleelprojekteerimisel? Vahemikus 0 m 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) Paralleelne kiirega Sirglõiguks 2) Paralleelne ekraaniga? Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Vahemikus 0 180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on
6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) Ristprojekteerimisel Vahemikus 0 m 1 2) paralleelprojekteerimisel? Vahemikus 0 m 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) Paralleelne kiirega Sirglõiguks 2) Paralleelne ekraaniga? Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Vahemikus 0 180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on
6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) Ristprojekteerimisel Vahemikus 0 m1 2) paralleelprojekteerimisel? Vahemikus 0 m 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) Paralleelne kiirega Sirglõiguks 2) Paralleelne ekraaniga? Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Vahemikus 0 180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta.
Sirglõigu moondeteguriks nimetatakse sirglõigu paralleelprojektsiooni pikkuse ja lõigu tõelise pikkuse suhet. 6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur ristprojekteerimisel (paralleelprojekteerimisel)? 0m1 (0m<) 7. Mis on sirglõigu põhikaldenurk (esikaldenurk) ja kuidas selle suurust määratakse? Sirglõigu põhikaldenurk on nurk sirge ja põhiekraani vahel, selle suurust määratakse täisnurksest kolmnurgast, kus 1 asub lõigu tegeliku pikkuse ja pealtvaate ristprojektsiooni pikkuse vahel. (Sirglõigu esikaldenurk on nurk sirge ja esiekraani vahel, selle suurust määratakse täisnurksest kolmnurgast, kus 2 asub lõigu tegeliku pikkuse ja eestvaate ristprojektsiooni pikkuse vahel) 8. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse leidmiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu
6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) ristprojekteerimisel- ei saa olla lõigust enesest pikem seega 0->1 2) paralleelprojekteerimisel- 0-> olenevalt kujutamiskiirte, ekraani ja lõigu vastastikustest asenditest. 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega- kahekordseks sirglõiguks 2) paralleelne ekraaniga- ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Avaldub kaldenurga cos ja lõigu tegeliku pikkuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Ekraani suhtes on teravnurk ( ka O ja 90) selle sirgjoone ja tema ristprojektsiooni vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Võib olla nurga asendist tingitult vahemikus 0-180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta.
tegelikust pikkusest väiksem. Sirgjoone paralleelprojektsiooni pikkus Sirglõigu tegelik pikkus 6. Ristprojekteerimisel loetakse moondetegur üheks, täpne suurus 0,82. Paralleelprojekteerimisel üldiselt võib moondetegur muutuda vahemikus (0; ) 7. Kui ring on paralleelne kiirtega, projekteerub ta sirgeks.Kui ring on paralleelne ekraaniga, prjekteerub ta ringiks. 8. Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. A'B'=AB cos 9. Sirglõigu kaldenurk ekraani suhtes on teravnurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. (0-90) 10. Teravnurga ristprojektsioon võib nurga asendist tingitult olla 0-180 11. Täisnurk projekteerub ristprojekteerumisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar pole aga ekraaniga risti. 12
* Lõigu paralleelprojektsiooni ja tema originaalpikkuse suhe. 8. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) ristprojekteerimisel, 2) paralleelprojekteerimisel? * 1) 0 m1 * 2) 0 m 9. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? * Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. * a=a'/m
5. Mis on sirglõigu moondetegur m? Lõigu paralleelprojektsiooni ja tema originaalpikkuse suhe. 6. Millises piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur ristprojekteerimisel (paralleelprojekteerimisel)? 0m1, (0m<). 7. Mis on sirglõigu põhikaldenurk 1 ja kuidas selle suurust määratakse? Põhikaldenurk 1 on nurk sirge ja põhiekraani vahel. Määratakse täisnurksest kolmnurgast, kus 1 asub lõigu tegeliku pikkuse ja pealtvaate ristprojektsiooni pikkuse vahel. Esikaldenurk 2 on nurk sirge ja esiekraani vahel. Määratakse täisnurksest kolmnurgast, kus 2 asub lõigu tegeliku pikkuse ja eestvaate ristprojektsiooni pikkuse vahel. 8. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse leidmiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaaatetid? Nendeks on kas 1) lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või 2) lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 9
(y-telg) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Punkti koordinaadid tasandil Suvalise koordinaattasandi punkti P asukohta koordinaatteljestiku suhtes saab kirjeldada arvupaariga (x; y). Neid arve x ja y nimetatakse punkti P koordinaatideks, arvu x esimeseks koordinaadiks e. abstsissiks ning arvu y teiseks koordinaadiks e. ordinaadiks. Punkti abstsissiks on tema ristprojektsiooni koordinaat abstsissteljel ja ordinaadiks tema ristprojektsiooni koordinaat ordinaatteljel. y C(-3 ; 2) Et märkida asjaolu, et B(0 ; 1) 1 A(3 ; 1) punkti P koordinaadid D(-2 ; 0) on x ja y, kasutame
5. Mis on sirglõigu moondetegur m? Lõigu paralleelprojektsiooni ja tema originaalpikkuse suhe. 6. Millises piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur ristprojekteerimisel (paralleelprojekteerimisel)? 0m1, (0m<). 7. Mis on sirglõigu põhikaldenurk 1 ja kuidas selle suurust määratakse? Põhikaldenurk 1 on nurk sirge ja põhiekraani vahel. Määratakse täisnurksest kolmnurgast, kus 1 asub lõigu tegeliku pikkuse ja pealtvaate ristprojektsiooni pikkuse vahel. Esikaldenurk 2 on nurk sirge ja esiekraani vahel. Määratakse täisnurksest kolmnurgast, kus 2 asub lõigu tegeliku pikkuse ja eestvaate ristprojektsiooni pikkuse vahel. 8. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse leidmiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? Nendeks on kas 1) lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või 2) lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 9
7. Mis on sirglõigu põhikaldenurk (esikaldenurk) ja kuidas selle suurust
määratakse?
Sirglõigu kaldenurgaks ekraani suhtes nimetatakse teravnurka (0
5. sirglõigu moondetegur - sirglõigu paralleelprojektsiooni pikkuse ja sirglõigu enda tõelise pikkuse suhe 6. sirglõigu moondetegur võib muutuda järgmistes piirides: 1) ristprojekteerimisel nullist üheni; 2) paralleelprojekteerimisel nullist lõpmatuseni 8. sirglõigu projektsiooni pikkus võrdub sirglõigu pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. 9. sirglõigu kaldenurk ekraani suhtes on teravnurk sirglõigu ja tema projektsiooni vahel 10. teravnurga ristprojektsiooni suurus võib muutuda nurga asendist tingituna nullist 180 kraadini 11. täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne ning teine haar pole ekraaniga risti 12. joonis peab olema lihtne, mõõdetav ja piltlik -- objekti määrav. 13. objekti määravate jooniste saamise põhimeetodid: monge'i meetod, aksonomeetria meetod, kvooditud ristprojektsiooni meetod. 14
projekteerimisel? Tsentraal projekteerimisel haar asetseb tasandil või on sellega lähtuvad kujutamiskiired kõik ühest paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga punktist, paralleel projekteerimisel on risti. kujutamiskiired paralleelsed ja neil on ühine 11. Millistes piirides võib muutuda teravnurga siht. ristprojektsiooni suurus? 0<<180. 2. Kuidas jaguneb paralleel projektsioon ja 12. Mis kujundiks projekteerub ring paralleel mille poolest need alaliigid üksteisest projekteerimisel, kui ta on paralleelne erinevad? Paralleel projektsioon jaguneb kiirtega (paralleelne ekraaniga)? Sirglõiguks kaldprojektsiooniks ja ristprojektsiooniks. (kaldprojektsioon-ellipsiks, ristprojektsioon- Kaldprojektsiooni puhul langevad ringiks).
Ülesanne 1.1 Määrake joonisel 1 kujutiste a, b ja c saamise meetodid. Joonis 1 Vastus: a) Ristisomeetria (aksonomeetria) meetod b) Monge´i meetod c) Kvooditud ristprojektsiooni meetod
8. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) ristprojekteerimisel, 2) paralleelprojekteerimisel? ei saa olla lõigust enesest pikem seega 0>1 0> olenevalt kujutamiskiirte, ekraani ja lõigu vastastikustest asenditest. 9. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? kahekordseks sirglõiguks ringiks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? avaldub kaldenurga cos ja lõigu tegeliku pikkuse korrutisena. 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? ...ekraani suhtes on teravnurk (ka 0 ja 90 ) selle sirgjoone ja tema ristprojektsiooni vahel. 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? võib olla nurga asendist tingitult vahemikus 0180. 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja
Eukleidese geomeetrias valitseb range järjepidevus ja sisemine seos. Tema geomeetria aluseks on definitsioonid ja aksioomid, millele tuginevad teoreemid. Iga järgmise teoreemi tõestus põhineb eeltõestatuil. Eukledes tegeles ka astronoomiaga, optikaga, muusikaga ja veel mõne asjadega. Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub korrutisega, mille üks tegur on hüpotenuus ja teine selle kaateti ristprojektsiooni hüpotenuusil. 300. aasta paiku eKr uuris vanakreeka matemaatik Eukleides kauguste ja nurkade vahelisi seoseid algul tasandil (idealiseeritud lamedal pinnal) ja siis ruumis. Näiteks on kolmnurga sisenurkade summa alati 180°. Neid uurimusi tuntakse tänapäeval kahe ja kolmemõõtmelise eukleidilise geomeetriana (planimeetria ja stereomeetriana).Tänapäeva matemaatika keeles on kaugus ja nurk hõlpsasti üldistatavad 4mõõtmelistele, 5mõõtmelistele ja veel
niisugune abikolmurk, mille üheks nurgaks oleks otsitav nurk. 1.nurk lõikuvate sirgete vahel 2.nurk kahe tasapinna vahel 3.nurk sirgjoone ja tasapinna vahel Nurk kahe tasapinna vahel võrdub nurgaga nende tasapindade normaalide vahel. Lahenduskäik: valime tasapindade lähedusse vabalt ühe ruumipunkti, millest tuletame mõlema tasapinna normalid. Nurk sirgjoone ja tasandi vahel on nurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel sellel tasapinnal. Lisaprojektsioonid Kasutatakse ülesande lihtsamaks lahendamiseks või objektist piltlikuma kujutise saamiseks. Praktikas kasutavad lisaprojektsioonida tuletamisevõtteid: *objekti pööramisvõte *lisaekraani võte *uute kujutamiskiirte võte Pöördkoonuse lõiked - Kui lõikav tasapind läbib koonuse tippu, siis lõige on kolmnurk - Kui lõikav tasapind on risti koonuse teljega, siis lõige on ring
08) Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur rist- ja paralleelprojekteerimisel? a) ristprojekteerimisel b) paralleelprojekteerimisel 09) Milliseks kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui see on paralleelne kiirte või ekraaniga? a) paralleelne kiirtega projekteerub sirglõiguks b) paralleelne ekraaniga kaldprojektsioonis projekteerub ellipsiks ja ristprojektsioonis ringiks 10) Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena. 11) Mis on sirglõigu kaldenurk? Nurk lõigu tegeliku pikkuse ja lõigu projektsiooni pikkuse vahel. 12) Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0 180. 13) Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. 14) Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta.
Ligu paralleelprojektsiooni pikkuse ja ligu enda pikkuse suhet nimetatakse moondeteguriks m. 7. Paralleelsete sirgete paralleelprojektsioonid on üldjuhul jälle paralleelsed sirged. Nad projekteeruvad punktiks, kui sirged on kujutamiskiirte sihis, ja üheksainsaks jooneks, kui sirged asetsevad ühel tasandil, mis on kujutamiskiirtega paralleelne. 8. Kui tasandiline kujund on paralleelne ekraaniga, siis tema paralleelprojektsioon on vrdne kujundi enesega. Ristprojektsiooni kohta kehtivad kik eelnevad laused ja lisanduvad järgmised. 9. Täisnurga ristprojektsioon on täisnurk, kui tema üks haar on paralleelne ekraaniga vi asetseb sellel ning teine pole risti ekraaniga. 10. Sirgligu ristprojektsiooni pikkus vrdub sirgligu enda ja kaldenurga koosinuse korrutisega (joon. 3). m = cos; 0 m 1 Tehnikas vajatakse jooniseid, mis üheselt määraksid objekti kik geomeetrilised
pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. Ekraani risttasandis olevas kolmnurgas kajastub ka nurk ekraani suhtes. Sirglõigu tegeliku pikkuse praktiline määramine: *projekteerivatel tasanditel saadud täisnurksed kolmnurgad pööratakse ekraani paralleeltasandile ja projekteeritakse ekraanile(täisnurkse kolmnurga võte) *pööratakse projekteeriva tasandiga ekraanile (objekti pööramise võte) Sirge kaldenurk Nurk sirgjoone ja ekraanitasandi vahel on nurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel sellel tasandil. Põhikaldenurk fi1 on nurk sirge ja põhiekraani vahel. Esikaldenurk fi2 on nukr sirge ja esiekraani vahel. Kaldenurga tuletamiseks sirge ja ekraanipinna vahel kasutame täisnurkse kolmnurga võtet. Kahe sirgjoone vastastikused asendid Paralleelsed sirged: Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid ei ole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on ruumis paralleelsed. a II b, sest a' ll b' ja a'' ll b''.
pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. Ekraani risttasandis olevas kolmnurgas kajastub ka nurk ekraani suhtes. Sirglõigu tegeliku pikkuse praktiline määramine: *projekteerivatel tasanditel saadud täisnurksed kolmnurgad pööratakse ekraani paralleeltasandile ja projekteeritakse ekraanile(täisnurkse kolmnurga võte) *pööratakse projekteeriva tasandiga ekraanile (objekti pööramise võte) Sirge kaldenurk Nurk sirgjoone ja ekraanitasandi vahel on nurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel sellel tasandil. Põhikaldenurk fi1 on nurk sirge ja põhiekraani vahel. Esikaldenurk fi2 on nukr sirge ja esiekraani vahel. Kaldenurga tuletamiseks sirge ja ekraanipinna vahel kasutame täisnurkse kolmnurga võtet. Kahe sirgjoone vastastikused asendid Paralleelsed sirged: Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid ei ole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on ruumis paralleelsed. a II b, sest a' ll b' ja a'' ll b''.
Ristkoordinaadistiku ruumis moodustavad kolm paarikaupa ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist ordinaatteljeks ehk y-teljeks ja kolmandat aplikaatteljeks ehk z-teljeks. Ristkoordinaadistik ruumis: Kolm ristuvat suunaga arvsirget; Alguspuntkid ühtivad; Ühikud on võrdsed. punkti ristkoordinaadid ruumis on selle ristprojektsiooni x-y tasandile koordinaadid + selle projektsioon z-teljele. P(x;y;z) Ruumis asuva punkti P asend määratakse üheselt valitud ristkoordinaadistiku suhtes reaalarvude järjestatud kolmikuga (xP ; yP ; zP ), kus xP on punkti P ristprojektsiooni Px koordinaat abstsissteljel, yP on punkti P ristprojektsiooni Py koordinaat ordinaatteljel ja zP on punkti P ristprojektsiooni Pz koordinaat aplikaatteljel. punkti silinderkoordinaadid
55. Joonestada valitud punktist A tasapinna (p;e) normaali n projektsioonid. A'' e n'' n' * A' p 56. Millise nurgaga mõõdetakse kahe tasapinna vahelist nurka? * Nende tasandite normaalide vahelise nurgaga. 57. Millise nurgaga mõõdetakse nurka sirge ja tasapinna vahel? * Sirge ja tema ristprojektsiooni vahelise nurgaga sellel tasapinnal. 58. Nimetage põhilised lisaprojektsioonide saamise võtted. * 1) Lisaekraani võte(muudetakse ekraani ja vastavate kiirte asendit paigale jääva objekti suhtes) * 2) Uute kujutamiskiirte võte (objekti ja ekraani vastastikune asend jäetakse muutmata, muudetakse kujutamiskiirte sihti) * 3) Objekti pööramise võte (muudetakse objekti asendit paigalejäävate ekraanide ja kiirte suhttes pööramise teel). 59
osa liikumist vaadeldakse. Matemaatiline kirjeldus Liikumist on hõlbus määratleda funktsiooni abil, mis kirjeldab keha asukoha sõltuvust ajast. Selleks vaadeldakse koordinaatide alguspunktist keha asukohta viiva kohavektori sõltuvust ajas. Seda sõltuvust võib ka kirjeldada kolme erineva funktsiooni abil, mis näitavad keha asukoha kolme koordinaadi x = x(t), y = y(t), z = z(t) sõltuvust ajast. Selle vektorfunktsiooni (või selle mõne ristprojektsiooni) esimene tuletis aja järgi on hetkkiirus, teine tuletis aja järgi on hetkkiirendus. Kui kiirusvektor ei muutu, siis on tegemist ühtlase sirgjoonelise liikumisega. Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirendus on null. Kui kiirusvektor aja jooksul muutub, siis on tegemist kiirendusega liikumisega. Kiirendusega liikumise puhul on kiirendus nullist erinev. Kiirendusega liikumise näited on vaba langemine ja ühtlane või ebaühtlane ringliikumine. Liikumise trajektoor
olenevaltjiirgmisi objekti mddravatejooniste saamisemeetodeid. (kauguse2-st). 1) Monge'i(loe:monZ)meetod; 2) aksonomeetria meetod; 3) kvooditudristprojektsiooni meetod. Kujutava geomeetria kursuses kasutatakse p6hiliseltkahteesimestmeetodit. 2. MONGE-IMEETOD 2.1 Monge'imeetodiolemus.Punkti kaksvaade loon.2.1 Objektist tuletatakse mitu ristprojektsiooni ekraanidel,mis on tiksteisegaristi. Seejdrel Kaksvaate tehtsam ad p66ratakseekraanid koos kujutistegauhele omadused: tasandile- joonisepinnale. Niiviisi saadud joonist,mis koosnebmitmestomavahelseotud 1. Sidejoon on alati risti kaksvaate teljega (A'A" I x) ja tema kaudu avaldub kujutiste- ristprojektsioonist, nimetataksemituvaateks. vahelineprojektsiooniline
raalprojektsiooniks ehk perspektiiviks. Kui kujutamiskiired kulgevad paralleelsetena, on projekteerimise tulemuseks paralleelprojektsioon. Ekraanile kaldu langevad paralleelkiired annavad kaldprojektsiooni. Ekraani suhtes risti võetud paral- leelkiired võimaldavad saada eseme (objekti) kujutise ristprojektsioonis ehk ortogonaalprojektsioonis. Tehnilistel joonistel kasutatakse paralleelprojekteerimisega tuletatavat ristprojektsiooni. Kujutava geomeetria seda osa, mis käsitleb kujutiste tuletamist geomeetrilistest kehadest projektee- rimise teel, nimetatakse projektsiooniliseks joonestamiseks. 4. Punkti ja sirge projekteerimine Punkti kaksvaade Võetakse kaks teineteisega ristuvat tasandit (sele 11a) ja nimetatakse see, mis on horisontaalasendis – põhiekraaniks ning teine, mis on vertikaalasendis – esiekraaniks. Ekraanide ühisosa nimetatakse teljeks x.
Tõus on sellisel juhul võrdne nulliga, asümptoodi võrrand on . e. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis (JOONIS) Tuletame valemid kaldasümptoodi võrrandis esinevate kordajate k ja b jaoks. Vaatleme konkreetset juhtu, kui sirge on joone asümptoodiks protsessis Kui , siis eemaldub punkt lõpmatusse mööda joont Kuna on joone asümptoot, siis punkti M kaugus läheneb nullile. Tähistame punkti M ristprojektsiooni sirgel tähega P. Kuna punkti M kaugus sirgest võrdub lõigu MP pikkusega , saame Ühtlasi näeme jooniselt, et , kus on asümptoodi tõusunurk. Kuna jääb muutumatuks protsessis , siis põhjal Edasi paneme tähele et, võrdub funktsioonide ja väärtuste vahega, st Seega Selles avaldises , kui . Seega ehk 33. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta
Asumptoodi v~orrand on y = kx + b, kus k on asumptoodi t~ous. Kaldasumptoodi erijuht on horisontaalasumptoot, mis on paralleelne x-teljega. T~ous k on sellisel juhul v~ordne nulliga, st asumptoodi v~orrand on y = b. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x . Kui x , siis eemaldub punkt M = (x,f(x)) l~opmatusse m¨o¨oda joont y = f(x). Kuna y = kx+b on joone y = f(x) asu¨mptoot, siis punkti M kaugus sirgest y = kx + b l¨aheneb nullile. T¨ahistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y = kx + b t¨ahega P. Kuna punkti M kaugus sirgest y = kx + b v~ordub l~oigu MP pikkusega |MP|, saame lim x |MP| = 0. ¨ Uhtlasi n¨aeme jooniselt, et |MN| = |MP| /cos , kus on asu¨mptoodi t~ousunurk. Kuna j¨a¨ab muutumatuks protsessis x , siis lim x |MN| = lim x |MP| /cos = 1 /cos lim x |MP| = 0 Edasi paneme t¨ahele, et |MN| v~ordub funktsioonide f(x) ja kx + b v¨a¨artuste vahega, st |MN| = f(x) - kx - b. Seega lim x [f(x) - kx - b] = 0 Tuues x sulgude ette saame
projektsiooni, sest Eesti mõõtmed on põhja-lõuna suunas 1/3 võrra väiksemad kui ida-lääne suunas. Koonilises projektsioonis on ka rahvusvahelised lennukaardid. Seega valiti Eesti põhikaardi projektsiooniks Lamberti kooniline konformne projektsioon. Lisaks leiti, et sobiv on kahe lõikeparalleeliga polaarprojektsioon ( koonuse telg on ühtne maakera pöörlemisteljega). Lähtudest kõigist kaalutlustest leiti, et mõõtkavades 1:50...1:200 on mõtekas kasutada ristprojektsiooni nivoopinnale (ortogonaalne projektsioon). 1:500...1:20 000 kooniline konformne projektsioon (Lambert-Est). 1:50 000...1:200 000 TM Balti, arvestades, et Baltikum on välja venitatud põhja-lõuna suunas. Väiksemates mõõtkavades (alates 1:500 000) kasutatakse koonilisi ja polükoonilisi projektsioone vastavalt kaardistatavale piirkonnale. Ristkoordinaatide võrgu tiheduseks on ettenähtud mõõtkavades 1:10 000...1:50 000 võrgusilm 1km,
piirprotsessis: a.vi.1. Sirge y=kx+b on joone y=f(z) asümptoodiks protsessis . a.vi.2. Kui , siis eemaldub punkt M=(x,f(x)) lõpmatusse mööda joont y=f(x). a.vi.3. Kuna y=kx+b on joone y=f(x) asümptoot, siis punkti M kaugus sirgest y=kx+b läheneb nullile. a.vi.4. Tähistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y=kx+b tähega P. Kuna punkti M kaugus sirgest y=kx+b võrdub lõigu MP pikkusega saame: Kuna jääb muutumatuks piirpotsessis , siis: a.vi.5. =0 võrdub funktsioonide f(z) ja kx+b väärtuste vahega, st a.vi.6. Seega: a.vi.7. Tuues x sulgude ette saame: a.vi.8
y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x- teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. Tultada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x . Kui x , siis eemaldub punkt M = (x, f(x)) lõpmatusse mööda joont y = f(x). Kuna y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot, siis punkti M kaugus sirgest y = kx + b läheneb nullile. Tähistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y = kx + b tähega P. Kuna punkti M kaugus sirgest y = kx + b võrdub lõigu MP pikkusega |MP|, saame lim|MP| = 0 . (4.2) x Ühtlasi näeme jooniselt, et |MN| = |MP| /cos , kus on asümptoodi tõusunurk. Kuna jab muutumatuks protsessis x , siis (4.2) põhjal lim|MN| = lim |MP| /cos = 1 lim |MP| = 0 (4.3) x x cos x Edasi paneme tähele, et |MN| võrdub funktsioonide f(x) ja kx + b väärtuste vahega, st |MN| = f(x) - kx - b. Seega võrduse (4
põhjal võrdub y = g2(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala integraaliga Kui x , siis eemaldub punkt M = (x, f(x)) lõpmatusse mööda joont y = f(x). Kuna y = kx+b on joone y = f(x) ning y = g1(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala integraaliga , siis Lõpuks asümptoot, siis punkti M kaugus sirgest y = kx + b läheneb nullile. Tähistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y = kx + arvutame b tähega P. Kuna punkti M kaugus sirgest y = kx + b võrdub lõigu MP pikkusega |MP|, saame lim|MP| = 0 . (4.2) Olemegi tõestanud valemi
(JOONIS) Tuletame valemid kaldasümptoodi võrrandis y=kx+ b esinevate kordajate k ja b jaoks. Vaatleme konkreetset juhtu, kui sirge y=kx+ b on joone y=f ( x) asümptoodiks protsessis x Kui x , siis eemaldub punkt M =( x , f ( x)) lõpmatusse mööda joont y=f ( x). Kuna y=kx+ b on joone y=f ( x) asümptoot, siis punkti M kaugus y=xc +b läheneb nullile. Tähistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y=kx+ b tähega P. Kuna punkti M kaugus sirgest y=kx+ b võrdub lõigu MP pikkusega |MP| , saame lim |MP|=0 |MP| Ühtlasi näeme jooniselt, et |MN|= x cos , kus on asümptoodi tõusunurk. x , siis lim |MP|=0
asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x- teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x∞ . Kui x → ∞, siis eemaldub punkt M = (x,f(x)) lõpmatusse mööda joont y = f(x). Kuna y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot, siis punkti M kaugus sirgest y = kx + b läheneb nullile. Tähistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y = kx + b tähega P. Kuna punkti M kaugus sirgest y = kx + b võrdub lõigu MP pikkusega |MP|, saame lim x→∞ |MP| = 0. Ühtlasi näeme jooniselt, et |MN| = |MP| /cosα , kus α on asümptoodi tõusunurk. Kuna α j¨a¨ab muutumatuks protsessis x → ∞, siis lim x→∞ |MN| = lim x→∞ |MP| /cosα = 1 /cosα lim x→∞ |MP| = 0 Edasi paneme tähele, et |MN| võrdub funktsioonide f(x) ja kx + b väärtuste vahega, st |MN| = f(x) − kx − b.
Vaatleme konkreetselt juhtu, kui sirge y = kx + b on umptoodiks protsessis x (joonis 4.7). joone y = f (x) as¨ Kui x , siis eemaldub punkt M = (x, f (x)) l~opmatusse m¨o¨oda joont y = f (x). Kuna y = kx + b on joone y = f (x) as¨ umptoot, siis punkti M kaugus 98 sirgest y = kx + b l¨ aheneb nullile. T¨ahistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y = kx + b t¨ahega P . Kuna punkti M kaugus sirgest y = kx + b v~ordub l~oigu M P pikkusega |M P |, saame lim |M P | = 0 . (4.2) x ¨ Uhtlasi n¨aeme jooniselt, et |M N | = |M P| cos , kus on as¨ umptoodi t~ousunurk. Kuna j¨a¨ ab muutumatuks protsessis x , siis (4.2) p~ohjal
kordajate k ja b jaoks. Vaatleme konkreetselt juhtu, kui sirge y = kx + b on joone y = f (x) as¨ umptoodiks protsessis x (joonis 4.7). Kui x , siis eemaldub punkt M = (x, f (x)) l~opmatusse m¨o¨oda joont y = f (x). Kuna y = kx + b on joone y = f (x) as¨ umptoot, siis punkti M kaugus 98 sirgest y = kx + b l¨aheneb nullile. T¨ahistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y = kx + b t¨ahega P . Kuna punkti M kaugus sirgest y = kx + b v~ordub l~oigu M P pikkusega |M P |, saame lim |M P | = 0 . (4.2) x ¨ Uhtlasi n¨aeme jooniselt, et |M N | = |M P| cos , kus on as¨ umptoodi t~ousunurk. Kuna j¨a¨ab muutumatuks protsessis x , siis (4.2) p~ohjal
annaabi.ee 
