o Teoreem. 1. Kui R on hulgal X defineeritud range järjestusrelatsioon ja kehtib xSy ∀ xRy ∀ x= y , siis S on mitterange järjestusrelatsioon. 2. Kui R on hulgal X defineeritud mitterange järjestusrelatsioon ja kehtib xTy ∀ xRy∧¬( x= y) , siis T on range järjestusrelatsioon. 27. Hulgateoreetilised tehted relatsioonidega. Näited. [2] Hulgateoreetilised tehted relatsioonidega o Relatsioonid on paaride hulgad ja hulkade vahel saab teha hulgateoreetilisi tehteid. Olgu R ja S relatsioonid hulkade X ja Y vahel. • Ühend: R ∪S={(x , y )∨(x , y) ϵR ∨( x , y ) ϵS } • Ühisosa: R ∩S={( x , y )∨( x , y ) ϵR∧( x , y ) ϵS } • Vahe: ¿
e.i. Kui R on hulgal X defineeritud range järjestusrelatsioon ja xSy xRy x = y, siis S on mitterange järjestusrelatsioon. e.ii. Kui R on hulgal X defineeritud mitterange järjestusrelatsioon ja xTy xRy & ¬(x = y), siis T on range järjestusrelatsioon. e.iii. **Tõestus. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=96260 faili lõpus. 25) Hulgateoreetilised tehted relatsioonidega. a. Ühend: R S = {(x, y) | (x, y) R (x, y) S} b. Ühisosa: R S = {(x, y) | (x, y) R & (x, y) S} c. Vahe: R S = {(x, y) R & ¬(x, y) S} d. Täiend: R' = {(x, y) | x X & y Y & ¬(x, y) R} = (X × Y) R 26) a. Pöördrelatsioon: R-1 = {(y, x) | (x, y) R} b. Kompositsioon: R S = {(x, z) | (yY)[(x, y) R & (y, z) S]} c. Ühikelement. Kui IX on samasusrelatsioon hulgal X ja IY on samasusrelatsioon
vaatle me s ellel j aguvus relats iooni, mis on mitt erange järj es tus . H as s e diagramm on es itatav kuj ul 36 12 8 18 6 4 9 2 3 1 Ü les an n e: O lgu hulk A ={ 1,2,3,9,18} ja vaatle me j aguvus relats iooni. K oos tada relats ioonid e es itamis eks s uunatud graaf ja H as s e diagramm. 4. Tehted relatsioonidega (R.Palm järgi) O lgu R j a S kaks relats iooni hulkade A ja B vahel. Relatsiooni R ja S ühend: R S = { (a,b) | (a,b) R või (a,b) S } Relatsiooni R ja S ühisosa: R S = { (a,b) | (a,b) R ja (a,b) S } Relatsiooni R ja S vahe: relatsiooni R paarid, mis ei kuulu relatsiooni S RS = { (a,b) | (a,b) R ja (a,b) S } Relatsiooni R täiend R on need otsekorrutise A × B paarid mis ei kuulu relatsiooni R. R = { (a,b) |(a,b) R } Pöördrelatsioon R -1 R -1 ={ (b,a) |(a,b) R }
vaatle me s ellel j aguvus relats iooni, mis on mitt erange järj es tus . H as s e diagramm on es itatav kuj ul 36 12 8 18 6 4 9 2 3 1 Ü les an n e: O lgu hulk A ={ 1,2,3,9,18} ja vaatle me j aguvus relats iooni. K oos tada relats ioonid e es itamis eks s uunatud graaf ja H as s e diagramm. 4. Tehted relatsioonidega (R.Palm järgi) O lgu R j a S kaks relats iooni hulkade A ja B vahel. Relatsiooni R ja S ühend: R S = { (a,b) | (a,b) R või (a,b) S } Relatsiooni R ja S ühisosa: R S = { (a,b) | (a,b) R ja (a,b) S } Relatsiooni R ja S vahe: relatsiooni R paarid, mis ei kuulu relatsiooni S RS = { (a,b) | (a,b) R ja (a,b) S } Relatsiooni R täiend R on need otsekorrutise A × B paarid mis ei kuulu relatsiooni R. R = { (a,b) |(a,b) R } Pöördrelatsioon R -1 R -1 ={ (b,a) |(a,b) R }
annaabi.ee 
