4 Ratsionaalarvud Ratsionaalarvud koosnevad murdudest a/b, kus a ja b on täisarvud ning b 0. Näiteks: 4/5, -7/6, 0/1. Iga ratsionaalarv on esitatav lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Näiteks: 5/6 = 0,8(3); 7/11=0,(63); 1/2 = 0,5(0) Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe: iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel on lõpmata palju ratsionaalarve. Ratsionaalarvude hulk ei ole aga pidev: arvteljel leidub punkte, millele ei vasta ükski ratsionaalarv. 5 Irratsionaalarvud Ratsionaalarvudega ei ole võimalik väljendada igasuguse lõigu pikkust. Näiteks ei ole ratsionaalarvu, mis oleks võrdne ühikruudu diagonaali pikkusega. 1 Pythagorase teoreemist: · d 2 = 12 + 12 = 2, d= 2 1 d
Tehted ratsionaalarvudega © T. Lepikult, 2010 Ratsionaalarvud Harilikke murde, nende vastandarve ja arvu 0 nimetatakse ühiselt ratsionaalarvudeks. Ratsionaalarve tähistatakse sümboliga Q. Ratsionaalarve võib ka defineerida kahe täisarvu jagatisena (sealjuures ei või jagaja muidugi null olla). Näited : 2 6 0 Q; 12 Q; - 1 Q; - Q; 4 Q. 11 13 Aga 2 Q, Q, kuna need arvud ei ole esitatavad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvu esitamine kümnendmurruna Iga ratsionaalarv esitub kas lõpliku või (lõpmatu) perioodilise kümnendmurruna
vähim kui ka suurim. 2) on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üks- teisele ega kata kogu arvtelge. 3) on hulk, mis on kinnine liitmis-, korrutamis- ja lahutamistehte suhtes. Arvuhulkade omadused ● Ratsionaalarvude hulk Q 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. 2) on tihe arvuhulk, s.t. Iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge. 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Arvuhulkade omadused ● Reaalarvude hulk R 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. 2) on pidev arvuhulk, s.t. Need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel
Reaalarvud Positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning murdarvud koos arvuga 0 moodustavad ratsionaalarvude hulga. Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale
pöördarvuks ratsionaalarvu . Kõikide ratsionaalarvude hulk moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "×" korpuse (ratsionaalarvude korpuse), mis on reaalarvude korpuse R alamkorpus ning on kõige kitsam arvukorpus. RATSIONAALARVUDE HULK Q 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On tihe arvuhulk, s.t. iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge; 3. On hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Täisarvud Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z Z={...-2; -1; 0; 1; 2; ...}. Eraldi räägitakse veel positiivsete täisarvude hulgast : ={1; 2; 3;...} ja negatiivsete täisarvude hulgast ={...-3; -2; -1}. Et igal täisarvul leidub vastandarv, siis on lahutamistehe täisarvude hulgas alati
TÄISARVUDE HULK Z 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv 2) on hulk milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge 3) on hulk, mis on kinnine liitmis-, korrutamis- ja lahutamistehete suhtes Ratsionaalarvude hulk Q 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv 2) on tihe arvuhulk s.t iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge. 3) On hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise,korrutamine ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Reaalarvude hulk R 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv 2) on pidev arvuhulk s.t need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel.
180 2 70 2 7 7 90 2 35 5 1 45 3 7 7 15 3 1 5 5 1 4) Iga naturaalarvu a ja b korral kehtib võrdus : a b = SÜT(a; b) VÜK(a; b) 11. Ratsionaalarvud. 1) Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena. 2) Ratsionaalarvude hulk on tihe, sest iga kahe mittevõrdse ratsionaalarvu vahel leidub veel lõpmata palju ratsionaalarve. 3) Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes v.a. 0-ga jagamine. 4) Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd avaldub ratsionaalarvuna. x=0,(36) x=1.2(43) 100x = 36,(36) 1000x = 1243,(43) - x = 0,(36) - 10x = 12,(43)
Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena , n kus m Z , n Z ja n 0. Et tehete sooritamisel murdudega saame murru, siis seetõttu võib öelda, et ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes (välja arvatud jagamine nulliga). Saab tõestada, et iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarve. Kümnendmurde saame jagada lõplikeks ja lõpmatuteks. Viimaseid saab omakorda jagada mitteperioodilisteks (irratsionaalarvud) ja perioodilisteks (ratsionaalarvud). Perioodilised kümnendmurrud võivad olla puht- või segaperioodilised. Irratsionaalarvude hulks tähistatakse tähega I . Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. R Q I . Reaalarvude hulk on järjestatud ja pidev
Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena , n kus m Z , n Z ja n 0. Et tehete sooritamisel murdudega saame murru, siis seetõttu võib öelda, et ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes (välja arvatud jagamine nulliga). Saab tõestada, et iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarve. Kümnendmurde saame jagada lõplikeks ja lõpmatuteks. Viimaseid saab omakorda jagada mitteperioodilisteks (irratsionaalarvud) ja perioodilisteks (ratsionaalarvud). Perioodilised kümnendmurrud võivad olla puht- või segaperioodilised. Irratsionaalarvude hulks tähistatakse tähega I . Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. R Q I . Reaalarvude hulk on järjestatud ja pidev
5 5 5 5 5 5 5 5 Kahest ratsionaalarvust loetakse suuremaks see, millele vastav punkt arvsirgel asub teisega võrreldes positiivsemas suunas. Ratsionaalarvude hulga omadusi: · Ratsionaalarvude hulk Q on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. · Ratsionaalarvude hulk Q on tihe, s.t. iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge. · Ratsionaalarvude hulk Q on kinnine liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Murdudega seoses kasutame järgmisi mõisteid: Murru liikmeid nimetatakse vastavalt Lugeja . Nimetaja Matemaatikas on murrujoonel jagamismärgi tähendus, s.t. a = a ÷ b b Harilik murd a (a Z, b Z ja b 0) jaotatakse:
.. } Seda valikut saab piiramatult jätkata ja tekib lõpmatu jada , mille elemendid on paarikaupa erinevad, sest konstruktsiooni järgi erineb iga valitud element kõigist eelmistest. Olemegi saanud loenduva osahulga Y X . Teoreem Loenduva hulga iga lõpmatu osahulk on loenduv. Ratsionaalarvude hulga loenduvus. Intuitiivselt tundub meile, et ratsionaalarve peaks olema palju rohkem kui täisarve, sest iga kahe täisarvu vahel on lõpmata palju ratsionaalarve. Georg Cantor (18451918) oli aga see mees, kes esimesena näitas, et ratsionaalarvude hulk on loenduv. Lause Ratsionaalarvude hulk Q on loenduv. Selle väite tõestamiseks kasutame järgmist tulemust: Lause Hulk X on loenduv parajasti siis, kui hulga X elemendid saab esitada paarikaupa X ={x 1 , x 2 , ... }
arvu mis on ka N. Kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. · Täisarvud Lisades N arvudele negatiivsed täisarvud saame täisarvude hulga Z (-2, -1, 0, 1, 2), -1 ja 1, -n ja n on teineteise vastandarvud. kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, mitte aga jagamise suhtes; · Ratsionaalarvud koosnevad murdudest. R arvude omadused: tihe, ei ole pidev, kinnine kõige aritmeetiliste tehete suhtes. · Reaalarvud - Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. On pidev, on järjestatavad suuruse järgi, saab kujutada arvteljena (tee joonis) · Kopleksarvud - Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Arvu, mille ruut on 1, nimetatakse imaginaarühikuks. Näiteks on kompleksarvud 5 - 4i. 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused.
.. vastandarvudega -1, -2, -3, ... . Negatiivsed ja positiivsed täisarvud ning arv 0 moodustavad täisarvude hulga ℤ = {±1; ± 2; ± 3; ...} . Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Laiendades täisarvude hulka positiivsete ja negatiivsete murdarvudega, saame a ratsionaalarvude hulga ℚ = , kus a ∈ ℤ , b ∈ ℤ ja b ≠ 0 . Ratsionaalarve saab b esitada nii kahe täisarvu suhtena kui ka lõplike või lõpmatute perioodiliste 3 5 1 kümnendmurdudena. Näiteks , , . 4 1 6 Kokkuvõttes ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Näiteks 3 , 4 + 2 . Kõigi irratsionaalarvude hulga tähis on I.
1 Reaalarvud Kõige lihtsama arvusüsteemi moodustavad loendamisel kasutatavad naturaalarvud 1, 2, 3, . . ., nende hulka tähistame tähega N, niisiis N := {1, 2, 3, . . .} . Olgu N0 := {0} ∪ N ja Z := N0 ∪ {−n | n ∈ N} , hulga Z elemente nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude abil moodustatud harilikud murrud kirjeldavad ratsionaalarve, me tähistame nm o Q := | m ∈ Z, n ∈ N . n Paraku ei sobi ratsionaalarvud, millega me edukalt opereerime oma igapäevaelus, mate- maatilise analüüsi kui matemaatilise teooria aluseks, põhjuseks on hulga Q lünklikkus. Kui kujutada ratsionaalarve arvsirge punktidena, siis sellel sirgel on lünki. Nagu me käesoleva
deid, mille ümbermõõt on lõpmatu, aga pindala lõplik [lk 377]. Või näiteks tuleb välja, et kui ruumis on rohkem kui 23 inimest, siis on rohkem kui 50% tõenäosus, et kahel on täpselt samal päe- val sünnipäev [lk 407]. Või et naturaalarve 1, 2, 3, ... on täpselt sama palju kui ratsionaalarve ehk arve kujus või ja nii edasi. Paljudele meeldib aga hoopis loomingulisus, meeldib vabadus. Seda on alguses ehk matemaatikas kõige ras- kem märgata – kus kogu selle korra ja täpsuse vahel jääb ruumi vabadusele? Aga samamoodi nagu kindel vorm soneti või haiku korral, ei piira ka matemaati-
Q' m 0Z, n 0Z, n...0 Kõiki harilikke murde saab esitada kümnendmurruna, kusjuures tekib kas lõplik või lõpmatu 1 2 perioodiline kümnendmurd. Näiteks ' 0,2 ; ' 0,66666... ' 0,(6) ; 5 3 3 ' 0,428571428571... ' 0,(428571) 7 Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes. Iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel asub lõpmata palju ratsionaalarve. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 7 Irratsionaalarvud on arvud, mida ei saa esitada täisarvude jagatisena. Näiteks /2, , sin 15E. Need on lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. Näiteks arvu esimesed 500 kohta 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862 089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811
ühed liigid omavad ja teised mitte. Alaliigitus on liigituse liikmete edasiliigitamine alaliikideks, kusjuures liike käsitletakse sooterminitena alaliikide suhtes. 17 Taksonoomilise liigituse erijuhtum on dihhotoomiline liigitus, mille käigus jagatakse termin mingi tunnuse alusel kaheks vasturääkivaks terminiks. Liigitus võib olla mitmeastmeline. Nt reaalarve saab liigitada irratsionaalarvudeks ning ratsionaalarvudeks, ratsionaalarve omakorda murdarvudeks ja täisarvudeks, täisarve omakorda naturaalarvudeks ning mittenaturaalarvudeks (kusjuures täisarvude jaotus on kahe-tähenduslik, sest arv null liigitatakse mõnikord naturaalarvude hulka, mõnikord mitte). Liigitada saab ka mittetaksonoomiliselt. Tuntuim mittetaksonoomiline liigitus on mereoloogiline liigitus. Mereoloogilise liigituse korral liigitatakse tavaliselt koguterminit ning liigituse liikmed ei ole liigitatava termini suhtes alluvad terminid
Alaliigitus on liigituse liikmete edasiliigitamine alaliikideks, kusjuures liike käsitletakse sooterminitena alaliikide suhtes. 17 Taksonoomilise liigituse erijuhtum on dihhotoomiline liigitus, mille käigus jagatakse termin mingi tunnuse alusel kaheks vasturääkivaks terminiks. Liigitus võib olla mitmeastmeline. Nt reaalarve saab liigitada irratsionaalarvudeks ning ratsionaalarvudeks, ratsionaalarve omakorda murdarvudeks ja täisarvudeks, täisarve omakorda naturaalarvudeks ning mittenaturaalarvudeks (kusjuures täisarvude jaotus on kahe-tähenduslik, sest arv null liigitatakse mõnikord naturaalarvude hulka, mõnikord mitte). Liigitada saab ka mittetaksonoomiliselt. Tuntuim mittetaksonoomiline liigitus on mereoloogiline liigitus. Mereoloogilise liigituse korral liigitatakse tavaliselt koguterminit ning liigituse liikmed ei ole liigitatava termini suhtes alluvad terminid
annaabi.ee 
