Mitme muutuja funktsiooni mõiste
Def: Kui igale x-I ja y-I väärtuste paarile mingis piirk D on vastavusse seatud muutuja z teatud kindel väärtus, siis öeldakse et z
on kahe muutuja y ja x funktsioon. z=(x; y) või z=z(x; y) või z=(x; y) või z=F(x; y). (joon) D-x, y tasandi punktide hulk; -
piirk D rajajoon e raja. Def1: Piirk D nim lahtiseks kui ta ei sisalda ühtegi oma rajajoone punkti; Def2: Piirk D nim kinniseks kui
ta sisaldab kõiki oma rajajoone punkte. Näiteks on kaks hulka: A={(x; y)x2+y2
tegemine on võimalik ka teises kontekstis kui Metsik Lääs. Film, mille põhjal proovin eelkõige eelmainitud teemal spekuleerida on Leedu režissööri Vytautas Zalakeviciuse 1966. aasta film „Niekas nenorejo mirti“ („Keegi ei tahtnud surra“), mis looks hea paralleeli Baltimaade ajaloo käsitlusele vesterni stiilis. Ameerika Filmiinstituut määratleb vesternid kui filmid, mille tegevus leiab aset Ameerika Läänes, milles kehastab uue rajajoone vaim, tõus ja võitlus. 3 Vesternide tegevus leiab traditsiooniliselt aset ajavahemikus 1850 – 1890, neil aastatel tabas Californiat ja Dakotat kullapalavik, leidsid aset Ameerika kodusõda, tervet mandrit läbiva raudtee ehitus, sõjad indiaanlastega, karjade ajamisega kaasnevad tülid ning uusasukate, farmerite ja immigrantide liikumine läände.4 Võib öelda, et pole ühtegi teist filmižanri, mis käsitleks mingi ajalooperioodi olusid nii spetsiifilisena. Ameerika 19
Contents Contents...................................................................................................................... 1 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus........................................................ 5 7) Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada.............................. 6 8) Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus..................................................................................................................... 9 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn)...........11 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmem...
Sipelgad on väga tundlikud häirimisele ja väljutavad kergesti häireferomooni. Õigete tulemuste, eelkõige käitumishinnangute ja loenduste saamiseks ning proovide võtmiseks erinevate funktsionaalsete rühmade segunemise vältimiseks kasutatakse mõõtmiste, loenduste ja proovide kogumise järjekorda. 1. Hindame sipelgate aktiivsuse radadel. Selleks loendame pesast kuni paari meetri kaugusel ühe minuti jooksul üle teatud rajajoone pesast väljunud isendid või sisenejad. Rajad numerdame päripäeva alates pesa kõige põhjapoolsemast rajast. Kõigil radadel liikuvate isendite summa on tähtis ökoloogiline näitaja ja iseloomustab pere suurust ja elujõudu. Loendusi teeme igal vaatluskorral ja proovivõtul, vähemalt üks kord kuus, märkides kuupäeva, kellaaja, õhutemperatuuri, päikesepaiste esinemise jm. ilmastikuandmed. Soovitav on kirjeldada ka paari
kolmekordse integraali abil. Olgu ruumiline pind V kinnine ja tema rajapind Ω sile. Kui funktsioonid f,g ja q ning nende osatuletised fx, gy ja qz on pidevalt piirkonnas V, siis kehtib Gauss-O: ʃʃfdydz + gdxdz + qdxdy = ʃʃʃ(fx + gy + qz)dxdydz, kus pindintegraal vasakul on võetud mööda pinna Ω väliskülge. Greeni valem annab seose üle mingi tasandilise piirkonna D võetud kahekordse integraali ja üle selle piirkonna rajajoone L võetud joonintegraali vahel. Olgu xy-tasandil antud kinnise kontuuriga L piiratud piirkond D ja olgu piirkonnas D antud pidevad funktsioonid f ja g, millel on pidevad osatuletised. J=ʃʃ(gx-fy)dxdy= §fdx+gdy
hulk tasapinnal. Ka seda punktide hulka nim. funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni määramispiirkonnaks võib olla ka
kogu tasapind.
Edaspidi tegeleme peamiselt niisuguste piirkondadega, mis kujutavad jootega piiratud tasapinna osi. Antud piirkonda piiravat
joont nim. piirkonna rajajooneks. Piirkonna punkte, mis ei asetse rajajoonel, nim. piirkonna seesmisteks punktideks. Ainult
seesmistest punktidest koosnevat piirkonda nim. lahtiseks piirkonnaks. Kui aga piirkonda kuuluvad ka rajajoone punktid, siis
nim. teda kinniseks.
Piirkonda nim. tõkestatuks, kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti M kaugus koordinaatide alguspunktist 0
on väiksem kui C, st. |0M|
kogu aega ja olemist haarav mõtiskelu, inimteadmiste templi nurgakivi. 2. Keelelisi arusaamatusi ära kasutav pseudoteadus Küsimused jagunevad: a) Empiirilised vastused sõltuvad vaatlusandmetest b) Küsimused ,millele pole võimalik vastata ei vaatluse ega arvutluse abil nendega tegeleb filosoofia c) Formaalsed vastudes sõltuvad arvutlustest ega ole kammitsetud faktiteadmistest 1. Kant tõmbas rajajoone faktide(kogemused, asjad, inimesed, sündmused, omadused, suhted) ja kategooriate(mille kaudu me tunnetame ja kujutleme ja mõtleme) vahel. Õpetas, et kategooriad, mille vahendusel me välismaailma näeme, on kõigi teadvuslike olendite puhul samad see muudab maailma üheks ja võimaldab suhtlemist. 2. Kreeka filosoofid (Aristoteles) kõigil asjadel on loodusest sisseehitatud eesmärk 3
Kui funktsioonid X (x, y ) , Y ( x, y ) , X y , Yx on pidevad lihtsas piirkonnas D , mille rajajoon on L , siis kehtib valem Xdx + Ydy = (Y L+ D x - X y )dxdy . Sümbol L+ tähendab, et läbime D rajajoone L positiivses suunas, st. vastupäeva. Tõestus. 1. Olgu piirkonna D rajajoon L : ABC : y = y 2 ( x ) AEC : y = y1 ( x ) x [a, b] b Kui AB : y = y ( x ) x [a, b] , siis f ( x, y )dx = f ( x, y ( x )) dx A a , B b. AB a
178 0 3 0 0 Näide 29. Arvutada Poissoni integraal 2 e x dx. Arvutame esmalt kahekordse integraali x2 y2 IR e dxdy, D kus integreerimispiirkonnaks on ring, mille rajajoone võrrand on x2 y2 R2 Kuna integreerimispiirkonnaks on ring, siis on sobiv kasutada polaarkoordinaate x2 y2 2 R 2 cos 2 sin 2 IR e dxdy e d d 0 0 D
Kuna P(x,y) on statsionaarne punkt, siis saame 2f = 3.Arvutame funktsiooni z = f(x,y) väärtused f(x,y) statsionaarsetes punktides, mis jäävad piirkonda ning rajajoontel saadud 2R1(x,y) = fxx(Q)( x)2 + 2fxy(Q) xy + fyy(Q)( y)2, kus Q(x + x,y + y), 0<<1. Lagrange' funktsiooni(de) statsionaarsetes punktides, mitmest osast koosneva rajajoone korral ka vastavate osade otspunktides. Kui funktsiooni z=f(x,y) osatuletised fxx , fxy ja fyy on pidevad selle funktsiooni statsionaarses punktis S(a,b), siis fxx (a,b) fyy (a,b) f2xy (a,b) < 0 punktis S(a,b) ei ole lokaalset ekstreermumit, Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid
mingi pinnaga rajapinnaga. Def 1.3. Punkt P on piirkonna sisemine punkt, kui leidub selline P ümbrus U ( P ) D , mis sisaldub täielikult D-s. Punkt Q on piirkonnaväline punkt, kui leidub selline ümbrus U ( Q ) D , mis ei sisaldu D-s. Punkt R on piirkonna D rajapunkt, kui selle mis tahes ümbrus U ( R ) sisaldab nii piirkonna D punkte, kui ka punkte väljaspool D-d. Piirkonna D kõik rajapunktid moodustavad selle rajajoone (rajapinna). Def. 1.4. Piirkonda, mille kõik punktid on selle piirkonna sisemised punktid nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui piirkond sisaldab kõiki oma rajapunkte, siis nimetatakse seda kinniseks piirkonnaks ja tähistatakse D . Def. 1.5. Piirkond D on tõkestatud, kui leidub selline kera K R raadiusega R, et D K R . K R = U R ( 0 ) 0 = ( 0,0,...,0 ) - koordinaatide alguspunkt. Def. 1.6. n-muutuja funktsiooniks nimetatakse seaduspärasust või teisendust, mis igale punktile
Kuna lammaste arv pidevalt vähenes, siis pidevalt on vähenenud ka villa kogutoodang. 1998. aastal villa kogutoodang moodustas sõjaeelsest ainult 9,7%. 9. Piima produktiivsus (piimatoodang lehma kohta aastas) on Eesti loomakasvatuse produktiivsust iseloomustavatest näitajatest kõige olulisem. Juba 1960. a. ületas piima produktiivsus ennesõjaaegse taseme 1,4 korda. 1985. a. ületas piima produktiivsus olulise rajajoone 4000 kg lehma kohta aastas ja suurenes 1989. aastaks 4217 kg lehma kohta aastas ning edaspidi enam ei suurenenud. Üle 4000 kg lehma kohta aastas oli piima produktiivsus kuni 1991. aastani. Edasi piima produktiivsus langes saavutades miinimumi 1993. aastal (3322 kg lehma kohta aastas) ja seejärel hakkas uuesti tõusma, saavutades kõigi aegade rekordtaseme 1998. aastal 4456 kg lehma kohta aastas. 10
ekstreemumit ei ole. Aga see tingimus ei ole piisav ekstreemumi olemasoluks. Näites 2 vaadeldud funktsiooni 𝜕𝑧 𝜕𝑧 jaotusjooneks valida piirkondade D1 ja D2 ühise rajajoone. Jaotades piirkonda D edasi suvalisel viisil, tekivad rajajoont Г läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P 0 ja P vahel ei sõltu z = x2 – y2 osatuletised 𝜕𝑥 = 2x ja 𝜕𝑦 = 2y võrduvad mõlemad 0-ga punktis P0(0;0), aga nagu veendusime, selles piirkondade D1 ja D2 suvalised jaotused osapiirkondadeks. Integraalsumma ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑃𝑘 ) ∆𝑠𝑘 jaotame kaheks
basseinid), KE 28 väliskonstruktsioonid (hoonest väljas, eraldi paiknevad objektid nt tugimüürid). KARKASSI ja KATUSEKONSTRUKTSIOONID (3 pearühma). Välisseina ja katuselae mõõtmispõhimõtted selgitab joonis. Pinnakonstruktsioonide hulgas käsitleva katusekatte mõõtmisreeglid erinevad katuselae mõõtmispõhimõttest. Lk 22 esimene pool Täiendavad konstruktsioonid: - uste ja akende pindala mõõdetakse nende liitumismõõtude alusel (piirjoone või rajajoone järgi teiste konstruktsioonidega) - ühtsed konstruktsioonid käsitletakse tervikuna nt uste umbset ülaosa käsitletakse koos ustega - uste ja akende ehitusplatsil tehtavad eritööd tuuakse ka eraldi välja (klaasimine ja liistud) Pinnakonstruktsioonid - mahud mõõdetakse konstruktsiooni kuju, joont jälgides - välisseina pinnakonstruktsioon eritöö etappidena tehtavad välispinna konstruktsiooni (vooderdus), mõõdetakse välismõõdu järgi
ala tuleb muidugi välja valida); · Preview viirutustulemuste eelvaatlemine otse joonisel; kui viirutus rahuldab, võib selle käsunupu OK abil fikseerida, kui aga mitte, võib viirutusparameetreid ja -mustreid muuta (dialoogakna vasakul poolel) ja korrata eelvaatlemist; · Associative luuakse assotsiatiivne viirutus (viirutusjooned moodustavad bloki ning koos viirutatud ala rajajoone korrigeerimisega muutub automaatselt ka viirutus); · Nonassociative viirutus moodustatakse üksikjoontena (sama efekt saadakse, kui assotsiatiivne viirutus hiljem käsuga EXPLODE "lõhestada"); · Cancel käsu BHATCH lõpetamine ilma uut viirutust loomata. Joonis 21. Joonis 22. Viirutusmustrite hulka on lülitatud ka kinniste piirkondade lausvärvimise "muster" nimega
j¨arjestatud paar. Piirkonnaks nimetatakse (x, y)-tasandi punktide alamhulka. Tasandilisi piirkondi hakkame t¨ahistama s¨ umboliga D. N¨aiteks piirkond D = {(x, y)| x2 + y 2 1} on tasandi niisuguste punktide hulk, mis asuvad koorinaatide alguspunk- tist mitte kaugemal kui u ¨ks u¨hik ehk u¨hikulise raadiusega ring koos seda u ¨ mbritseva ringjoonega. Piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks ja rajajoone punkte piirkonna rajapunktideks. Rajajoonel mitte asuvaid punkte nimeta- takse piirkonna sisepuntideks. Piirkonsa nimetatakse kinniseks, kui see sisaldab k~oiki oma rajapunkte, st sisaldab rajajoont. Piirkonda nimetatakse lahtiseks, kui see ei sisalda u ¨htegi rajapunkti. Edaspidi kujutame joonistel kinnise piirkonna rajajoont pideva joonega ja lahtise piirkonna rajajoont katkendliku joonega. Joonis 6
annaabi.ee 
