või üldjuhul (x Rn). 11. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge ning selle võrrand. Tuletada vastavad võrrandid kahe- või mitmemuutuja juhul. Sirget, mis läbib punkti P(x(to)), y(to), z(to) ja on vektori (x(to), y(to), z(to)) sihiline, nimetatakse joone X(t)=(x(t), y(t), z(t)) puutujaks punktis P. Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P. Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on risti puutujatasandiga punktis P. Kui P(a; b; c) on võrrandiga F(x; y; z) = 0 esitatud pinna punkt ja funktsiooni F(x; y; z) kõik esimest järku osatuletised on pidevad punktis P(a; b; c) ning Puutujatasandi normaalvektor n on risti joone X puutuja sihivektoriga (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) kui skalaarkorrutis (n, (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) = n1x'(t0) + n2y'(t0) + n3z'(t0) = 0:
võrrandiga esitatud pinna punkt. Kui F on diferentseeruv punktis P ja F/z(P)0, siis F F ( P) ( P) F x F y ( x, y ) = - ( x, y ) = - x F y F ( P) ( P) z , z Tasandit z=kx+ly+m, kus k,l,m R, nim pinna z=f(x,y) puutujatasandiks punktis P(a,b,c), kui c=f(a,b)=ka+lb+m ja vahe r(x,y)=f(x,y)-kx-ly-m on vektori (x-a;y-b) pikkuse suhtes kõrgemat järku lõpmata võike suures piirprotsessis (x,y)(a,b) Pinna z=f(x,y) normaaliks punktis P(a,b,c) nim sirget, mis läbib punkti P ja on paralleelne vektoriga (f/x(a,b), f/y(a,b),-1) Taylori valem: funkts z=f(x,y) nim n korda diferentseeruvaks punktis P(x,y), kui selle funktsiooni kõik n-1 järku osatuletised on diferentseeruvad punktis P
Kera iga tasapinnale lõige on ring. Kui lõiketasand läbib kera keskpunkti, siis lõikeringi raadiuseks on kera raadius ning lõiget nimetatakse kera suurringiks, vastavat lõikejoont suurringjooneks. Kõiki teisi lõikeringe nimetatakse väikeringideks. Suurring jagab kera kaheks poolkeraks. Joonis 6 Tasandit, millel on kera pinnaga üksainus ühine punkt, nimetatakse puutujatasandiks. Kera puutujatasand on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. Kera pindala võrdub neljakordse suurringi pindalaga: S = 42. Kera ruumala võrdub ja raadiuse kuubi korrutisega: V = 3. 3.6.1. Näiteülesanded Leiame kera pindala ja ruumala, kui kera raadius on 3 cm. S = 42 = 4 x 32 = 36 (cm2) ~ 113,1 (cm2). V = 3 = x 33 = 36 (cm3) ~ 113, 1 (cm3). Saime huvitava tulemuse: kui kera raadius on 3 cm, siis kera pindala ja ruumala arvväärtused on võrdsed. KOKKUVÕTE
Ci - g`(ai) = ((xi) * xi ) / xi Dxi = 0 * x1 + 0 * x2 + . . . + 0 * xi-1 + 1 * x1 + 0 * xi+1 + . . . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. · Kui tasand on antud võrrandiga C1x+C2y+C3z+C4=0, siis temaga ristuva vektori koordinaadid
Ci - g`(ai) = ((xi) * xi ) / xi Dxi = 0 * x1 + 0 * x2 + . . . + 0 * xi-1 + 1 * x1 + 0 * xi+1 + . . . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. · Kui tasand on antud võrrandiga C1x+C2y+C3z+C4=0, siis temaga ristuva vektori koordinaadid
2. Tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui vektor s on
gradiendisuunaline
3. Gradient gradf(A) on skalaarvälja f nivoopinna normaalvektor punktis A.
Teiste sõnadega: vektor grad f(A) ristub punkti A läbiva nivoopinna
f(x,y,z)=C puutujatasandiga punktis A
12. Pinna puutujatasand ja normaalsirge
Pinna puutujatasand ja tema võrrand
Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y)
puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b))
Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja
ristub puutujatasandiga selles punktis
13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik
tingimus
Punkti (x0,y0) nim funktsiooni z=f(x,y) maksimumpunktiks, kui punkti (x0,y0) küllalt
läheduses on f(x0,y0)>f(x,y), ja miinimumpunktiks, kui f(x0,y0)
6. Pinna z = f (x, y ) puutujatasand ja normaal Def. Pinna z = f ( x, y ) puutujaks punktis A = (a, b, f (a, b )) nimetatakse sellel pinnal asuva ja punkti A läbiva joone puutujat. Väide. Kui punktis A = (a, b ) leiduvad pidevad osatuletised f x ja f y , siis pinna z = f ( x, y ) puutujad punktis A = (a, b, f (a, b )) asuvad kõik samal tasandil. Seda tasandit nimetatakse pinna z = f ( x, y ) puutujatasandiks punktis A . Puutujatasandi võrrand: Pinna z = f ( x, y ) puutujatasandi võrrand punktis A = (a, b, c ) c = f (a, b ) on (z - c ) = f x (a, b )( x - a ) + f y (a, b )( y - b ) . Tõestus. Olgu antud tasand, mis läbib punkti A = (a, b, c ) c = f (a, b ) ja mille normaal on ( r ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ n = A, B , C , siis A( x - a ) + B ( y - b ) + C ( z - c ) = 0 . Olgu C 0 . ~ ~ ~ ~
annaabi.ee 
