polaarkoordinaate. Selleks fikseerida tasandile punktist O väljuv kiir. Tasandi punkti X kirjeldamiseks saab samuti kasutada kahe reaalarvu: ρ – punktide O ja X vaheline kaugus – polaarraadius – moodul ρ=| z|=√ z ´z = √ x + y 2 2 φ – nurk kiire ja sirglõigu OX vahel – polaarnurk – argument Tähistatakse φ=Arg (z ) Arg ( z )=arg ( z ) +2 kπ , kus k ∈Z Argumendi peaväärtus – kompleksarvu z argument, mis kuulub poollõiku ¿ .
· Maa kõrgeim tipp on Dzomolungma mäetipp Himaalajas. · Maismaa keskmine kõrgus merepinnast on 623 meetrit. · Ookeanide keskmine sügavus on 3,8 km. · Maa ümbermõõt piki ekvaatorit on 40 075,004 km, üle pooluste 39 940,638 km. · Maa läbimõõt on ekvaatoritasandil 12 756,270, poolusi läbival sirgel 12 713,500 km. · Kogupindala on 510 065 284,702 km². · Maa ruumala on 1 083 230 000 000 km³. · Maa ekvatoriaalraadius on 6378,135 km. · Maa polaarraadius on 6356,750 km. · Maa keskmine raadius 6372,795 km. · Keskmine temperatuur Maa pinnal on 15° C. · Süstemaatilistel ilmavaatlustel maapinna lähedal registreeritud kõrgeim õhutemperatuur on 58° C madalaim õhutemperatuur on 89,6° C ...Veel miskit harivat! · Maa tiirleb ümber Päikese, kulutades ühe tiiru tegemiseks 356,26 päeva ehk ühe aasta. · 20. sajandi keskelt on inimesed saatnud Maa orbiidile palju tehiskaaslasi.
f( x), kus paremal olev avaldis on koostatud elementaarsetest põhifunktsioonidest ja konstantidest lõpliku arvu liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. Polaarkoordinaadistik: Punkti asukoha määramiseks tasapinnal saab kasutada polaarkoordinaate. Võtame tasapinnal punkti O, mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida nimetatakse polaarteljeks. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) ρ , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk ϕ , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ρ ja ϕ nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. 6. Muutuva suuruse piirväärtus: Def. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kui tahes
Maa on suuruselt viies planeet päikesesüsteemis. Maa-tüüpi Päikesesüsteemi planeetide seas on Maa suurim. Maa ümbermõõt on piki ekvaatorit 40 075,004 km, üle pooluste 39 940,638 km. Nende kahe ümbermõõdu vahe on 67,183 km. Maa diameeter (läbimõõt) on ekvaatoritasandil 12 756,270, poolusi läbival sirgel 12 713,500 km. Nende diameetrite vahe on 42,77 km. Maa kogupindala on 510 065 284,702 km². Maa ruumala on 1 083 230 000 000 km³. Maa ekvatoriaalraadius on 6378,135 km. Maa polaarraadius on 6356,750 km. Maa keskmine raadius on 6372,795 km Maa ruumalaga sfääri raadius oleks 6371,005 076 123 km. (Seda nimetatakse Maa keskmiseks raadiuseks.) Maa pinnast on ligikaudu 71% kaetud ookeani ning 29% maismaaga. Maismaa keskmine kõrgus merepinnast on 623 m. Ookeanide keskmine sügavus on aga 3,8 km. Siseehitus Teadmised Maa siseehituse kohta on hangitud peamiselt seismiliste lainete levikupildi alusel.
Tähis Ixy, arvutatakse integraali abil Ixy=xydA integraal üle A, ühik on cm 4. Võib olla nii positiivne kui ka negatiivne, võib võrduda ka nulliga. Polaarinertsimoment- kirjeldab pinnaelementide laotust ristlõike varda telje suhte. Samuti on ta pinnakarakteristik, mis näitab kujundi pinnaelementide laotuvust pooluste suhtes. Arvutatav integraaliga Ip=r2dA üle piirkonna A. R on pinnaelemendi dA polaarraadius. Alati positiivne ja ühik on cm4. Polaarinertsmomendi seos telginertsmomendiga- Ip=Ix+Iy , sest r2=x2+y2 Lihtkujundite inertsimomendid-1) ristkülik Ix=bh3/12, Iy=bh3/3, kus b on laius ja h kõrgus; 2)kolmnurk Ix=bh3/36 , Iy=(h(b/2)3)/6 , Ixy=±(b2h2)/72 ; 3)ring Ip=d4/32, ringil Ix=Iy ning kuna Ip=Ix+Iy=2Ix=2Iy, siis Ix=Iy=Ip/2= d4/64. Liitkujundi inertsimoment mingi telje suhtes- võrdub osakujundite inertsimomentide summaga sama telje suhtes.
x 0 x f ( x + x ) - f ( x ) f ( x ) = lim x 0 x Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df Liitfunktsiooniks nim funktsiooni z=g(f(x)) Monotoonne funktsioon on kogu oma määramispiirkonnas kas mittekahanev(monotoonselt kasvav) või-mittekasvav Polaarraadius-punkti x,y kohavektori pikkus, punkt mis moodustatakse x-teljega positiivses suunas-polaarnurk
Joonis 2.5. Geodeetilise pöördülesande lahendamine 5 Koostanud: Ene Ilves Punktide geodeetiliste koordinaatide järgi saab arvutada joonte pikkused alljärgneval internetiaadressil: http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/Inv_Fwd/inverse2.prl või http://www.ga.gov.au/geodesy/datums/vincenty_inverse.jsp Andmete sisestamise järjekord esimesena toodud veebilehel: 1. ellipsoid on GRS-80, ekvatoriaalraadius 6378137,000m ja polaarraadius- 6356752,3141m 2. sisesta joone ühe otspunkti nr ja tema põhjalaius ja idapikkus 3. sisesta joone teise otspunkti nr ja tema põhjalaius ja idapikkus 4. arvuta pikkus ja asimuut Se Arvutatud joonte pikkusi võrreldakse laboratoorses töös nr. 1 mõõdetud vastavate joonte pikkustega. Tulemused koonda tabelisse 2.2. Tabel 2.2. Mõõdetud ja arvutatud joonepikkuste võrdlus Plaanilt Ristkoordi-naatide Geodeetiliste
valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. · Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arc cot x . Kui meil on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ning kui nendest funktsioon f[g(x)], siis on tegemist nö liitfunktsiooniga. 5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid. Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ja nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. Polaarkaugus on alati mittenegatiivne: 0. Polaarnurga üheseks määramiseks valitakse see poollõigult 0 < 2 , siis vastab igale punktile tasapinnal peale pooluse teatud kindel arvude ja paar
Triangulatsioonimeetod rajaneb kolmnurkade omadustel, üksteisega külgnevate kolmnurkade võrgustiku rajamisel on vaja mõõta vaid mõni baasjoon ja nurgad, ülejäänu saab välja arvutada. See meetod võimaldab määrata täpselt tuhandete kilomeetrite pikkust meridiaani kaart. Newton sõnastas 1687.aastal ,,Loodusteaduse matemaatilised printsiibid", mis sisaldas mehaanika põhiseadusi ja gravitatsiooniseadusi. Tema arvustustest selgus, et Maa polaarraadius on lühem ekvaatori raadiusest (1/230 võrra, st Maa poolused on kokku surutud). 1735. aastal Prantsuse teadlaste ekspeditsiooni tulemused Peruuse ja Lapimaale kinnitasid Newtoni teooriat. Kaartide arenedes hakati kasutama teisi kaardile omaseid tähiseid: koordinaate ja kõrguste süsteeme. Koordinaate kasutatakse kaartidel asukoha määramiseks. Põhilised koordinaatide süsteemid on geograafilised, rist- ja polaarkoordinaadid. Kõrguste süsteemides saab eristada kolme
· Sirgel: A (x = |OA|, kui A asub pos osal; x = -|OA|, kui A asub neg. osal.) · Tasandil (punkti kordinaatide saamiseks võtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele): M Mx, My; Mx(x), My(y) M(x;y) 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: · Suunaga arvtelg e. polaartelg. · Alguspunkt · Ühiku pikkus · Polaarraadius r = |OM| · Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: · x = rcos; y = rsin. · r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid. Seosed punkti rist- ja silinderkoordinaatide vahel. Ristkoordinaadistiku ruumis moodustavad kolm paarikaupa ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad
telgedele) M(x;y;z) Mx(x), My(y), Mz(z). Punkti sfäärilised koordinaadid M(;;). - punkti kaugus alguspunktist; - nurk OMxy ja x-telje pos. suuna vahel. - nurk OMxy ja OM vahel. Seosed punkti rist- ja sfäärkoordinaatide vahel:1) x 2) y 3) z = sin* 12. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: 1) Suunaga arvtelg e. polaartelg. 2) Alguspunkt 3) Ühiku pikkus 4) Polaarraadius r = |OM| 5) Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: 1) x = rcos; y = rsin. 2) r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Vektor e. suunatud lôik lôik, millel on määratud suund (siht, suund ja suurus). Tähistused a = (a1;a2;a3) vôi AB = (a1;a2;a3). Vektorite vôrdsus - vektoreid nim
on Maa suurim. · Maa ümbermõõt on piki ekvaatorit 40 075,004 km, üle pooluste 39 940,638 km. Nende kahe ümbermõõdu vahe on 67,183 km. · Maa diameeter (läbimõõt) on ekvaatoritasandil 12 756,270, poolusi läbival sirgel 12 713,500 km. Nende diameetrite vahe on 42,77 km. · Maa kogupindala on 510 065 284,702 km². · Maa ruumala on 1 083 230 000 000 km³. · Maa ekvatoriaalraadius on 6378,135 km. · Maa polaarraadius on 6356,750 km. · Maa keskmine raadius 6372,795 km · Maa ruumalaga sfääri raadius oleks 6371,005 076 123 km. (Seda nimetatakse Maa keskmiseks raadiuseks.) · Maa pinnast on ligikaudu 71% kaetud ookeani ning 29% maismaaga. · Maismaa keskmine kõrgus merepinnast on 623 m. Ookeanide keskmine sügavus on aga 3,8 km. Kõige täpsemalt kirjeldab Maa kuju geoid, kuid see teeks arvutused liiga keeruliseks. Geoidi
seosed. polaarkoordinaat kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga tasandi punkt on määratud kaugusega fikseeritud punktist (punkti ja pooluse vaheline pikkus polaarkaugus r) ning nurgaga fikseeritud suunast (polaarnurk ). üleminekuvalemid polaarkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku vahel: Polaarkoordinaadistik tasandil: Suunaga arvtelg e. polaartelg. Alguspunkt Ühiku pikkus Polaarraadius r = |OM| Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid. Seosed punkti rist- ja silinderkoordinaatide vahel. Ristkoordinaadistiku ruumis moodustavad kolm paarikaupa ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist ordinaatteljeks ehk y-teljeks ja kolmandat
Maastikupunkti asukoha plaanil või kaardil saab määrata ristkoordinaatidega x ja y. Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal. Baltimaade baaskaart on TM projektsioonis:
Maastikupunkti asukoha plaanil või kaardil saab määrata ristkoordinaatidega x ja y. Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal. Baltimaade baaskaart on TM projektsioonis: · abipind silinder, mis lõikub ellipsoidiga
2 ( ) 2 0 sin 1 " 3 kus x1 ja x2 - punktide x koordinaadid, y1 ja y2 - punktide y koordinaadid, y0 - y koordinaat punktis kus paralleel lõikab meridiaanide alguspunkti, 0 - y0 vastav polaarraadius. 3.4 Võrgu tasandamine 2. järgu kohaliku geodeetilise põhivõrgu tasandamiseks kasutati programmi XLocal Net+ (INPHO Technology OY). Vaatlusandmete eelkäsitlusele (reduktsioonidele) järgnes esialgsete koordinaatide arvutamine ning seejärel võrgu kõrguslik ja plaaniline tasandamine. Statistilistes testides ja võrgu täpsushinnangus kasutatud statistilised konstandid, jämedate vigade avastamiseks kasutatud Data Snooping testi kirjeldus ja tasanduse
8) , kui x = 0 y > 0, 2 - , kui x = 0 y < 0, 2 Paljudel funktsioonidel on polaarkoordinaadistikus oluliselt lihtsam esi- tusviis kui ristkoordinaatides. Polaarkoordinaatide puhul loetakse tavaliselt argumendiks polaarnurk ja funktsiooniks polaarraadius . Seega funktsioon polaarkoordinaatides esitatakse s~oltuvusena = (), mis iseloomustab, kui- das polaarraadius s~oltub polaarnurgast. 7 N¨aide 1. Teisendame ilmutamata kujul antud funktsiooni (x-r)2 +y 2 = 2 r polaarkoordinaatidesse. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga (r; 0) ja raadiusega r. Avades antud v~orduses sulud, saame x2 - 2rx + r2 + y 2 = r2 ehk x2 + y 2 = 2rx. Minnes teisenduste (5
y = sin Polaarkoordinaatides esitatud joone = g () ( [, ]) skitseerimisel tuleb esiteks koostada tabel 0 1 ... i ... n (0 ) (1 ) . . . (i ) . . . (n ) kus i = + ih (i = 0; 1; . . . ; n) ja h = ( - ) /n. J¨argmise sammuna kantakse punk- tid (i , (i )) (i = 0; 1; . . . ; n) tasandile, kusjuures i on punkti polaarnurk ja (i ) polaarraadius. Seej¨ arel u¨hendatakse saadud punktid sujuva joonega. Kui on teada joone y = f (x) (x X) v~orrand polaarkoordinaatides = g () ( ) , siis valides parameetriks polaarnurga , saame selle joone u ¨he v~oimaliku para- meetrilise esituse x = g () cos y = g () sin ( ) . aide 13. Skitseerime polaarkoordinaatides esitatud funktsiooni = 1 - cos N¨ ( [0, 2)) graafiku
annaabi.ee 
