1+2 x 1- y kui limx x0 x = 30. S~onastada ekvivalentne suurus. Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi (x) ja (x) nimetatakse piirprotsessiks xx 0 ekvivalentseks lõpmata väikesteks (suurteks) suurusteks, kui limx x0 x/x =1 32. Funktsioon on pidev punktis a, kui leidub f(a), leidub lim_{xto a} , f(x) ja 8
x -3 x + 3 -3 +3 0 x -3 ( x + 3) x -3 1 1 f ( x) Määramatus . Määramatus tekib lim leidmisel siis, kui lugeja ja xa g ( x ) nimetaja on vaadeldavas piirprotsessis tõkestamatult kasvavad, s.t. lim f ( x) = ja x a lim g ( x) = . Kui f ja g on polünoomid ning piirprotsessiks on x x a , siis tuleb määramatusest vabanemiseks jagada kõiki liikmeid argumendi x kõrgeima astmega murru nimetajas. 13 x 2 + 2x Näide 8. Leiame lim . x 3 - x 2
()()( -)+()()( -(,)) = 0 ehk -(,) = (/)( -)+ (/)( -). 5. Kui eksisteeriva integraalid D f(P)dS ja cD g(P)dS ning iga P D korral kehtib f(P) <= g(P), siis D f(P)dS Võtame viimase seose mõlemast poolest piirväärtuse, valides piirprotsessiks (,) (0;0). Soovitud puutujatasandi võrrandiks on -(,) = (,)( -)+(,)( -) ehk (,)( -)+(,)( -)-( -(,)) = 0. cD g(P)dS Viimasest võrrandist on leitav võrrandiga = (,) antud pinna normaalvektor punktis (,,(,)) = ((,), (,), 6. Kui eksisteerib integraal D f(P)dS ja piirkonnas D kehtib võrratus m f(P) M, siis m D f(P)dS M -1)
1. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on täidetud tingimus f(x,y)>=g(x,y). Kahekordse integraali 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe omaduse tõttu ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Mõlemad kahekordsed 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑 muutuja funktsioonil on punktis P1(x1, y1) lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus teisendus on kujul 𝑧=𝑧 .Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). ∭Ω 𝑓(𝑥, ...
xa g(x) f (x) f (x) lim = lim . xa g(x) xa g (x) Selle teoreemi eelduse lim f (x) = lim g(x) = ± t~ottu rahuldavad funkt- xa xa sioonid f (x) ja g(x) Cauchy teoreemi eeldusi punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a + ) v¨alja arvatud punktis a. M¨ arkus. M~olemas teoreemis v~oib piirprotsessiks olla ka x ±. ln(1 + x) N¨aide 1. Leiame piirv¨a¨artuse lim . x0 x Siin on tegemist 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusega. L'Hospitali reegli j¨argi 1 ln(1 + x) (ln(1 + x)) lim = lim = lim 1+x = 1.
annaabi.ee 
