Hulga A kõigi elementide kujutiste hulka nimetatakse funktsiooni väärtuste piirkonnaks. Funktsiooni väärtuste piirkond kuulub hulka B. Olgu antud funktsioon f : AB Hulga UA kujutiseks nimetatakse hulka f(U)={yB: leidub x U, et y=f(x)}. Hulga VB originaaliks nimetatakse hulka f-1(V)={xA : f(x) V}. Funktsiooni f: AB nimetatakse · Injektiivseks ehk üksüheseks, kui iga elemendipaari x1, x2 A, x1x2 korral f(x1)f(x2). · Sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui igal elemendil hulgast B leidub originaal hulgas A. · Bijektiivseks ehk üksüheseks vastavuseks, kui funktsioon on korraga injektiivne ja sürjektiivne. Injektiivne funktsioon on selline, kus ühelgi elemendil hulgast B ei ole üle ühe originaali. Bijektiivne funktsioon on selline, kus igale elemendile hulgast B leidub täpselt üks originaal. Funktsiooni graafik: Vaatleme funktsiooni f: AB
(=) korral. Seega näiteks funktsioonid : ja : [-1,1] loeme erinevateks. Seoste peale mõeldes ütleme, et kahte funktsiooni loetakse võrdseteks, kui nad on võrdsed kui seosed (s.t. kui paaride hulgad). Injektiivsed, sürjektiivsed ja bijektiivsed funktsioonid Funktsiooni : nimetatakse - injektiivseks ehk üksüheseks, kui erinevate argumendi väärtuste korral on funktsiooni väärtused erinevad: 12 (1)(2); - sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui iga jaoks leidub selline , et () = ; - bijektiivseks, kui funktsioon on injektiivne ja sürjektiivne. Injektiivsus tähendab, et ühelgi hulga elemendil pole rohkem kui üks originaal. Sürjektiivsus tähendab, et igal hulga elemendil leidub vähemalt üks originaal. Bijektiivsus tähendab, et igal hulga elemendil leidub täpselt üks originaal. Bijektsioon kui üksühene vastavus Hulgateooria seisukohalt on funktsioonid : paaride hulgad ={(,) | =()}.
e.iii. Kui A B, siis f -1(A) f -1(B) e.iv. f -1(A B) = f -1(A) f -1(B) e.v. f -1(A B) = f -1(A) f -1(B) e.vi. f -1(B') = (f -1(B))', st f -1(Y B) = X f -1(B) 20) a. Funktsiooni f : X Y nimetatakse injektiivseks ehk üksüheseks, kui iga paari x1, x2 X, x1 x2, korral f(x1) f(x2) (erinevad elemendid teisenevad erinevateks elementideks). b. Funktsiooni f : X Y nimetatakse sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui f(X) = Y ehk kui igal elemendil hulgast Y leidub originaal. c. Funktsiooni f : X Y nimetatakse bijektiivseks ehk üksüheseks vastavuseks, kui ta on injektiivne ja sürjektiivne ehk kui igal elemendil hulgast Y leidub parajasti üks originaal. d. Bijektiivse funktsiooni f : X Y pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f -1 : Y X, mis seab igale y Y vastavusse sellise elemendi x X, mille korral f(x) = y.
üks muutumispiirkonna element. 13. Milline vastavus on üks-ühene? Vastavus on üks-ühene, kui ta on ühene ja muutumispiirkonna iga element vastav täpselt ühele määramispiirkonna elemendile. 14. Mis on funktsioon? Funktsioon on kõikjal määratud ühene vastavus. 15. Milline funktsioon on osaliselt määratud? Funktsioon on osaliselt määratud, kui lähtehulgas leidub vastavuses mitteosalevaid elemente. 16. Mis on pealekujutus? Pealekujutuseks nimetatakse sürjektsiooni. 17. Mis on sürjektsioon? Sürjektsioon on kõikjale määratud funktsioon. 18. Mis on injektsioon? Injektsioon on üks-ühene funktsioon. 19. Mis on bijektsioon? Bijektsioon on kõikjale määratud üks-ühene funktsioon. Bijektsioon on samaaegselt nii sürjektsioon kui ka injektsioon. 20. Mis järeldub bijektsiooni korral lähtehulga ja sihthulga võimsuste kohta? Bijektsiooni korral on lähtehulga ja sihthulga võimsused võrdsed. 21
Sürjektiivne funktsioon. Bijektiivne funktsioon. Pöördfunktsiooni mõiste. [3, 4,5] Injektiivne funktsioon o DEF: Funktsiooni f : X→Y nimetatakse injektiivseks ehk üksüheseks, kui erinevate argumendi väärtuste korral on funktsiooni väärtused erinevad: x1!=x2 ⇒f(x1)!= f(x2). o Injektiivsus tähendab, et ühelgi hulga Y elemendil pole rohkem, kui üks originaal. Sürjektiivne funktsioon o DEF: Funktsiooni f : X→Y nimetatakse sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui iga y∈Y jaoks leidub selline x∈X, et f(x) = y o Sürjektiivsus tähendab, et igal hulga Y elemendil leidub vähemalt üks originaal Bijektiivne funktsioon o DEF: Funktsiooni f : X→Y nimetatakse bijektiivseks, kui funktsioon on injektiivne ja sürjektiivne. o Bijektiivsus tähendab, et igal hulga Y elemendil leidub täpselt üks originaal Pöördfunktsiooni mõiste 17
1) üksühene 2) üksühene 3) ei ole üksühene funktsioon (Allikas: Wikipedia) Märkus 3.7 Funktsiooni üksühesus tähendab veel seda, et kui f (x1 ) = f (x2 ) siis peab kehtima elementide võrdus x1 = x2 , samuti ka seda, et ühelgi elemendil hulgast Y ei ole üle ühe originaali hulgas X. Matemaatikas kasutatakse üksühese funktsiooni kohta üsna keerulist mõistet: injek- tiivne funktsioon. Definitsioon 3.7 Funktsiooni f : X Y nimetatakse pealekujutuseks, kui f (X) = Y , s.t. iga elemendi y Y korral leidub originaal x X nii, et y = f (x). 1) ei ole pealekujutus 2) pealekujutus 3) pealekujutus (Allikas: Wikipedia) 28 3.4. Funktsiooni mõiste Definitsioon 3.8 Funktsiooni f : X Y nimetatakse üksüheseks pealekujutuseks,
. Näide: - · Funktsioon sin :[ 2 , 2 ] R on injektiivne. · Funktsioon sin : R R ei ole injektiivne. 2 · Funktsioon f :¿ R , f (x)=x , on injektiivne. 2 · Funktsioon f : R R , f ( x)=x , ei ole injektiivne. Definitsioon Olgu X ja Y hulgad. Funktsiooni f :X Y nimetatakse sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui iga yY jaoks leidub selline x X , et y=f ( x) . Märkus. Sürjektiivsus tähendab, et igal hulga Y elemendil leidub vähemalt üks originaal. Näide: · Funktsioon sin : R [-1,1] on sürjektiivne, aga pole injektiivne. - · Funktsioon sin :[ 2 , 2 ] R ei ole sürjektiivne, aga on injektiivne. 2 · Funktsioon f : R ¿ , f (x)=x , on sürjektiivne, aga pole injektiivne.
annaabi.ee 
