massiivi D(). Peaprotseduuris võtab massiivid D=A´ga , seejärel rakendab liitmistehte, mille järel paigutab tekkinud mas massiivi alla, tingimusel, et kõrvaldiagonaalil esineb negatiivseid arve, Sub Max_el(A(), m, n, max, rn, vn) Parameetrid: massiiv A(), m, n, maksimaalne element max, reanumber rn, veerunumber vn. Leiab maksimaalse elemendi väljaspool peadiagonaali ning kannab vastava elemendi andmed etteantud la lausega teeb kindlaks, et tegu ei oleks peadiagonaalil asuva elemendiga. Sub Vaheta(E(), n, v_1) Parameetrid: uus massiiv E(), viimase veeru number n, v_1 veerg, kus asub maksimaalne element. Vahetab viimase veeru veeruga, kus asub protseduuris Sub Max_el leitud maksimaalne element. Sub Varvi(Aprk As Range,n) Parameetrid: Aprk massiivi A() piirkond, n ridade/veergude arv. Värvib peadiagonaalil olevad elemendid. Sub Varvi_1(Aprk As Range,n) Parameetrid: Aprk massiivi A() piirkond, n ridade/veergude arv.
Informaatikainstituut Töö Massiivid Üliõpilane Sandra Vähejaus Õppemärkmik 081972 Õppejõud Ahti Lohk Õpperühm EALB21 Ülesande kirjeldus Variant 12 Ristkülikmaatriks *leida absoluutväärtuste keskmine maatriksis *leida minimaalne element ja selle asukoht igas reas *liita vektor nendele veergudele, kus esimene element on negatiivne (S) Ruutmaatriks *leida suurim element peadiagonaalil ja selle veeru summa, kus asub leitud maksimum *leida minimaalne element allpool peadiagonaali (S) *moodustada vektor maatriksi nendest elementidest, mis on väiksemad antud arvust (S) b leitud maksimum mad antud arvust Abs. Kesk Maks el. PD Maks PD sum Min all PD Etteantud Spetsifikatsioonid protseduuridest Sub Op_Mas_1() Loeb maatriksi töölehelt VBA massiivi. Värvib negatiivsed arvud. Teeb läbi If-protseduuri kindlaks, ka või ruutmaatriksiga
Prots Op_Mas_1() peaprotseduur, käivitab vajalikud alamprotseduurid ja kirjutab tulemused töölehele Prots lahuta(A(), V(), m, n) A() - maatriks V() - vektor m - veergude arv n - ridade arv lahtuab vektori maatriksi igast veerust Ai, j = Ai, j - Vj Prots arvuta(prk As Range, n) leiab ülalpool kõrvaldiagonaali asuvate elementide absoluutväärtuste keskmise Funkts Max_ve_KD(A(), n) A() - maatriks n - ridade arv leiab peadiagonaalil asuva maksimaalse elemendi rea numbri Funkts Min_ve_KD(A(), n) A() - maatriks n - ridade arv leiab peadiagonaalil asuva minimaalse elemendi rea numbri Prots Vaheta(A(), v1, v2, n) A() - maatriks v1 - etteantud rida v2 - etteantud rida n- rea liikmete arv Vahetab etteantud read omavahel Prots lahuta(A(), V(), m, n) A(), V(), m, n * j = 1..n * i = 1..m Ai, j = Ai, j - Vj A() negatiivsete elem summa allpool kõrvaldiagonaali
standardhälbe ruut. Igale nurgale arvutatud vastavad suurused on toodud järgnevalt tabelis 1. Tabel 1. Nurgamõõtmiste kaalud ja dispersioonid. Nagu eespool öeldud, siis väikse dispersiooniga mõõtmistulemusel on teistega võrreldes suurem kaal. Tabelis 1 on neljas nurgamõõtmine teistest tunduvalt suurema kaaluga, ehk siis täpsem. 1 Järgnevalt koostame kaalumaatriksi (Tabel 2), mille peadiagonaalil paikevad eespool leitud kaalude väärtused. Kuna tegu on sõltumatute mõõtmistega, siis on tegu diagonaalmaatriksiga, mis tähendab, et diagonaalivälised elemendid on nullid. Tabel 2. Kaalumaatriks 0.081633 0 0 0 0 0.028727 0 0 0 0 0.045269 0 0 0 0 0
49 4 1 0.7404 0.6720 75 83 - 0.5824 0.8128 9 38 Maatriksi K (Tabel 5) 3 esimest elementi on mõõdetud ja arvutatud nurkade väärtuste vahe ning kaks viimast elementi on mõõdetud ja arvutatud joonepikkuste vahe. Nurgalised elemendid on läbi korrutatud 3600’ga ehk väärtused on sekundites. Tabel 5. Maatriks K - 16.931 1 - 5.8587 1 65.904 65 0.0003 27 0.0002 07 Kaalumaatriksi peadiagonaalil on mõõdetud nurkade ja joonte dispersioonide pöördväärtused. Tabel 6. Kaalumaatriks W 0.04 0 0 0 0 0.0277 0 78 0 0 0 0.062 0 0 5 0 0 0 0 0 15625 0 20408. 0 0 0 0 16
X reaaltelg m võrdub tema veergude arvuga n. c || , ||c||=|c|*|||| Y immaginaartelg Elemendid a11, a22, ..., amn asuvad maatriksi A Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks Iga kompleksarvu x iy saab xy-tasandil kujutada peadiagonaalil ja elemendid a1n, a2n-1, ..., am1 asuvad teheteks punktina Ax; y, mille maatriksi A kõrvaldiagonaalil. koordinaadid on x ja y, ja vastupidi, xy-tasandi iga punkti M x; ysaab vaadelda Liitmine: kompleksarvu x iy geomeetrilise kujutisena. m × n- maatriksite A = (aij) ja B = (bij) summaks nimetatakse m×n-
7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, veeruvektor. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. Arve aij maatriksist nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks veerunumbrit. Arvud a11 , a 22 ,..., a nn asuvad maatriksi A peadiagonaalil ja arvud a1n , a2 n-1 ,..., an1 - asuvad maatriksi A kõrvaldiagonaalil. Maatriksi reavektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid. Maatriksi veeruvektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid. (m× n) - maatriksite A = (aij ) ja B = (bij ) summaks nimetatakse (m× n) - maatriksit A + B = (cij ) , kus cij = aij + bij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksi
ladina tähtedega A, B, . . . , X, Y, Z. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame Mat(m, n) abil. Maatriksite liigid: ● ruutmaatriks Maatriksit, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. ● ristkülikmaatriks Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristkülikmaatriksiks. ● ühikmaatriks Maatriks, mille peadiagonaalil olevad numbrid on ühed ja ülejäänud nullid. ● nullmaatriks Me nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid. Nullmaatriksi tähiseks on Θ. ● vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on −A. Seega (m, n)-maatriks B = (bkl) on (m, n)-
am1 am 2 K amn Arve aij maatriksist (1) nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks veerunumbrit. Def. 2. Maatriksit A = ( aij ) m× n nimetatakse n-ndat järku ruutmaatriksiks, kui tema ridade arv m võrdub tema veergude arvuga n. Seejuures öeldakse, et arvud a11 , a22 , ... , ann asuvad maatriksi A peadiagonaalil ja arvud a1n , a2, n -1 , ... , an1 asuvad maatriksi A kõrvaldiagonaalil. Def. 4. Maatriksi (1) reavektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid 1 = ( a11 ; a12 ; ... ; a1n ) , 2 = ( a21 ; a22 ; ... ; a2 n ) , ........................ m = ( am1 ; am 2 ; ... ; amn ) .
Selle leitakse K periodogrammi keskmine. Mudeli järk paneb paika parameetrite arvu, mida komplekseksponendist ja mürast. regulaarse pideva spektriga liidetava x ja 12. Welchi meetod, multiakna meetod P maatriksi peadiagonaalil on signaali dispersioon ning tuleb leida ja seega ka algoritmi arvutus Komplekseksponendid võivad esineda üksikult või joonspektriga liidetava x summana: ülejäänud kohtadel on signaali autokorrelatsiooni Welchi meetod täiendab Bartlet'i moodust(vt. 11) keerukuse
Maatriksi suurus määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatiksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Naturaalarvude paari m × n nimetatakse maatriksi järguks [1] ja täisarve m ja n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4-korda-3 maatriksit. 1.1 Eri tüüpi maatriksid Diagonaalmaatriks : on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid. Skalaarmaatriks : diagonaalmaatriks, kus diagonaalil asuvad elemendid on ühe ja sama väärtusega. Ühikmaatriks : skalaarmaatriks, kus diagonaalil asuvad ühed. Tasub meelde jätta, et ühikmaatriksit tähistatakse alati I-ga. Lisaks peaks meeles püsima, et nii nagu tegurit ühega korrutades on ka ühikmaatriksiga korrutades tulemuseks tegur ise, IA = AI = A. Maatrikseid, mille ridade ja veergude arvud kattuvad, nimetatakse ruutmaatriksiteks
(Öeldakse ka, et süsteem on kooskõlas). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv r = r´ (see on nn. astakutingimus). Gaussi ja Gauss-Jordani meetod. Näited Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi AB kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides sealjuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Veergusid on vaid lubatud vahetada, mis vastab ju tundmatute ümbernummerdamisele. Gauss-Jordan. Selle järgi teisendatakse laiendatud maatriksi elemendid peadiagonaalil ühtedeks ja sellesta alla- ja ülalpool nullideks. Siis saab kohe välja kirjutada vastuse Vektorid, tehted vektoritega Vektori pikkuseks (ehk normiks ehk mooduliks) nimetatakse vektori kui lõigu pikkus. Vektori a pikkus on a ja tähistatakse |a| = a. Vektoreid a ja b nimetakse kollineaarseteks (a ||b), kui nad on paralleelsed sama sirgega. Kollineaarsed vektorid on kas samasuunalised a b või vastassuunalised a b. Vektoreid
DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi, saavutamaks MAATRIKSI TRAPETSKUJU, mille puhul peadiagonaalil asuvad nullist erinevad elemendid on koondatud maatriksi vasakusse ülemisse nurka, nende all asuvad nullid ja viimased read võivad koosneda nullidest. Peadiagonaali nullist erinevate elementide arv määrab astaku r ja maatriksi vasakul üleval nurgas asuvad elemendid määravad baasimiinori. Esimesed r rea- ja veeruvektorit moodustavad baasid vastavalt maatriksi rea- ja veeruvektorite hulgas. 14 PÖÖRDMAATRIKS
DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi, saavutamaks MAATRIKSI TRAPETSKUJU, mille puhul peadiagonaalil asuvad nullist erinevad elemendid on koondatud maatriksi vasakusse ülemisse nurka, nende all asuvad nullid ja viimased read võivad koosneda nullidest. Peadiagonaali nullist erinevate elementide arv määrab astaku r ja maatriksi vasakul üleval nurgas asuvad elemendid määravad baasimiinori. Esimesed r rea- ja veeruvektorit moodustavad baasid vastavalt maatriksi rea- ja veeruvektorite hulgas. 14 PÖÖRDMAATRIKS
S = {(x, z) : leidub y ∈ Y nii, et (x, y) ∈ R ja (y, z) ∈ S}. 23. Refleksiivsus, antirefleksiivsus, sümmeetrilisus, antisümmeetrilisus, transitiivsus. Näited. Relatsiooni maatriksi ja graafi kuju iga omaduse korral. [2] Refleksiivsus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse refleksiivseks, kui iga x∈X korral (x,x)∈R o Kui X on lõplik hulk, siis saame R esitada maatriksina. Refleksiivsuse korral on relatsiooni maatriksi peadiagonaalil väärtused 1. o Refleksiivse relatsiooni suunatud graafis on iga tipu juures silmus. Antireflektsiivsus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse antirefleksiivseks, kui iga x∈X korral (x,x)∉R o Antirefleksiivse relatsiooni maatriksi peadiagonaal koosneb nullidest. o Antirefleksiivse relatsiooni suunatud graafis ei ole ühegi tipu juures silmust. Sümmeetrilisus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse sümmeetriliseks, kui (x,y)∈R korral
Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m n. Kolmnurkne maatriks- nim. maatriksit, kus ühel pool pea- või kõrvaldiagonaali on kõik elemendid nullid. Diagonaalmaatriks - on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid. Ühikmaatriks nim. maatriksit, kus peadiagonaali elemendid on 1-ed ning ülejäänud elemendid on 0-id Nullmaatriks Maatriks, mille kõik elemendid on nullid. Maatriksi tähis on Vastandmaatriks - nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on -A. Transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit,
nullitegur nullitegur Korrutades aga teises j¨arjekorras, saame 1 0 0 1 1·0+0·0 1·1+0·0 0 1 = = = 02 × 2 0 0 0 0 0·0+0·0 0·1+0·0 0 0 ¨ Uhtlasi veendusime veelkord maatrikskorrutise mittekommutatiiv- suses. II. Maatriksarvutus 9 3.5 ¨ Uhikmaatriks Ruutmaatriksit, mille peadiagonaalil on u ¨hed ning mujal nullid, nimetame u ¨ hikmaatriksiks ehk u ¨ hikuks ehk u ¨heks ning t¨ahistame 1 0 ... 0 0 1 . . . 0 I := . . . := (Iij ) := (ij ) .. .. . . ... 0 0 ... 1
= = = -3 - 0 = -3 4 -5 +4 4 + (-1) 4 - 5 + 2 4 0 3 7. omadus: kui maatriksi mingi rea (veeru) kõik elemendid on nullid, siis selle maatriksi determinant võrdub nulliga. Näide 7 : 1000 0 = 1000 0 - 0 (-19,5) = 0. - 19,5 0 8. omadus: kui maatriksi kõik peadiagonaalist ülalpool või allpool olevad elemendid on nullid, siis veterminandi väärtuseks on peadiagonaalil asuvate elementide korrutis. Näide 8 : -1 0 0 100 - 2 0 = (-1) (-2) (-3) = -6. 200 300 - 3 9. omadus: kahe matriksi korrutamise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega , s.t. det (AB) = det A det B . Näide 9 : 7 - 3 4 - 1 Antud : A = , B = ; 0 2 5 3 7 4 + (-3) 5 7 ( -1) + (-3) 3 13 - 16
determinant võrdub nulliga. Näide 7 : 1000 0 =1000 0 -0 ( -19,5) = 0. -19,5 0 - 14 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 8. omadus: kui maatriksi kõik peadiagonaalist ülalpool või allpool olevad elemendid on nullid, siis veterminandi väärtuseks on peadiagonaalil asuvate elementide korrutis. Näide 8 : -1 0 0 100 -2 0 = (-1) (-2) (-3) = -6. 200 300 -3 9. omadus: kahe matriksi korrutamise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega , s.t. det (AB) = det A det B . Näide 9 : 7 - 3 4 -1 Antud : A = 0 , B = 5 ; 2 3 7 4 + ( -3) 5 7 ( -1) + (-3) 3 13 -16
maatriksid on ruutmaatriksid: 23 2 4 5 9 2 14 6 0 MAJANDUSMATEMAATIKA I Maatriksid 59 Ruutmaatrikseid, millel vaid peadiagonaalil on nullist erinevaid elemente ja kõik ülejäänud elemendid on nullid, nimetatakse 2 7 diagonaalmaatriksiteks. Diagonaalmaatriksid on 4 5 näiteks järgmised maatriksid: 3 0 0 0 0 0 5 0
1.5. Kõrgemat järku determinant 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant Definitsioon 1.10 Teist järku determinandiks nimetatakse avaldist a c = a · d - c · b. b d Toodud tabelit tuleb mõista avaldisena, mis saadakse, korrutades tabe- li peadiagonaalil seisvad arvud a ja d ning lahutades tulemusest kõrval- diagonaalil seisvate arvude b ja c korrutise. Definitsioon 1.11 Kolmandat järku determinandiks nimetatakse avaldist a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a1 b2 c3 + a3 b1 c2 + a2 b3 c1 - a3 b2 c1 - a1 b3 c2 - a2 b1 c3 . a3 b3 c3 Joonis: http://www.sparknotes.com/math/algebra2/systemsofthreeequations/section3.rhtml 1.5 Kõrgemat järku determinant Olgu antud n-järku ruutmaatriks A = (aij )
annaabi.ee 
