Tõusu k ja algordinaadi b (y väärtus, kui x=0) kaudu: k; b y = kx +b k = tan Kahe sirge s ja t vahelise nurga arvutamine: s = ( s1 ; s 2 ; s 3 ) t = (t1 ; t 2 ; t 3 ) s t = s t cos s t s1 t1 + s 2 t 2 + s 3 t 3 cos = = s t s12 + s 22 + s 32 t12 + t 22 + t 32 Kui vektorite vaheline nurk on nürinurk, tuleb see lahutada 180-st. Kahe sirge lõikepunkti leidmine: Kanooniliselt tuleb lahendada süsteem. Parameetriliselt tuleb leida t ja selle abil x; y ja z väärtused.
Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni n-1-järku *vertikaalasümptoodid x=a; *kaldasümptoodid y=kx+b, diferentsiaalist. 1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning 4. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis. Kõrgemat järku tuletised parameetriliselt antud summa tuletis on tuletiste summa. funktsiooni korral. 2. Korrutise tuletise valemi tuletamine.Teoreem: Kui on olemas tuletised u'(x) ja v'(x), siis on olemas ka tuletis (u(x)v(x))', mis avaldub kujul (u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Tõestus: Märkides
f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Vaata näiteid vihikust! 1.12 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´
𝑓 𝑑𝑓∙𝑔−𝑓∙𝑑𝑔 𝑑 (𝑔) = 𝑔2 Kõrgemat järku diferentsiaalid Funktsiooni𝑦 = 𝑓(𝑥) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni 𝑛 − 1-järku diferentsiaalist 𝑑𝑛 𝑦 = 𝑑(𝑑𝑛−1 𝑦) Saab näidata, et 𝑑𝑛 𝑦 = 𝑓 (𝑛) (𝑥)(𝑑𝑥)𝑛 4. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis. Korgemat järku tuletised. 𝑋 = 𝜑(𝑡) Kui funktsioon 𝑦 = 𝑓(𝑥) on esitatud parameetrilisel kujul { (𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽), kusjuures 𝑌 = 𝜓(𝑡) funktsioonid 𝜑(𝑡)𝑗𝑎 𝜓(𝑡) on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja 𝜑(𝑡) on lõigul [α, β] rangelt
kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Logaritmfunktsioon ja selle määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. 5. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel
Seos on esitatav ka kujul , kusjuures suurus on piirprotsessis kõrgemat järku lõpmata väike võrreldes suurusega , sest ning sellest saab järeldada, et ja st, et Lause 2. Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad puntis x ja on konstant, siis selles punktis on diferentseeruvad ka funktsioonid cf(x), ja täiendaval eeldusel ka f(x)/g(x), kusjuures Tõesta neid. Kerge. 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Liitfunktsiooni tuletis: Lause 1. Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures N1. Leiame funktsiooni y=sin2x tuletise. Olgu u=sinx ja y=u2. Seega Näitan, et teatud eeldustel peab paika seos N2. Leian tuletise: Lause 2
Üldhalduskulud - planeerimine kasvumäärameetodil, tulev võtta arvesse siseseid ja väliseid tegureid tegurid. Välistest teguritest arvestada inflatsiooni, sisestest turundusplaani. Kas on soovi ja võimalust vähendada üldhalduskulusid. 24. Mille järgi planeeritakse rahakonto, nõuded, varud, põhivara? Rahakonto – raha ja raha ekvivalendid perioodi lõpus, rahavoo eelarvest. Nõuded – mõlemad planeeritakse müügitulu järgi, kasutatakse parameetriliselt meetodit, seostades proportsionaalselt müügikäibega. Varud – planeeritake müügitulu järgi. Põhivara – meetod: valem, kasutatakse ka finantsotsuseid. Kas osta põhivara või müüa põhivara. Tuleb arvestada põhivara kulumiga. 25. Mille järgi planeeritakse lühiajalised ja pikaajalised laenukohustused? Lühiajaliste laenude puhul, tuleb arvestada, et pikaajaliste laenukohustuste järgmine aasta tagasimakse tuleb tõsta üle lühiajalistesse kohustustesse!
1 1 dy = dy dx 7. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis: Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetriliselt kusjuures funktsioonid φ(t) ja Ψ(t) on diferentseeruvad vahemikus (α,β) ja φ(t) on lõigul [α,β] rangelt monotoonne ning φ(t)≠0 (t∈(α,β)) , siis y´ = ψ´(t) φ´(t) 8.Ilmutamata kujul funktsiooni tuletis. Olgu funktsioon y = f(x) (x ∈ X) esitatud ilmutamata kujul F(x, y) = 0. Kui hulgal X muutuja x
L L 3) Olgu joone otspunktid M ja N. Peale selle olgu Q mingi kolmas punkt sellel joonel. Tähistame L1-ga on joone osa, mis jääb punktide M ja Q vahele ning L 2-ga on joone osa, mis jääb punktide Q ja N vahele. Siis kehtib valem F(P)dL=F(P) dL + F (P)dL L L1 L2 22. Tuletada valem esimest liiki joonintegraali arvutamiseks mööda parameetriliselt antud joont. (Lk. 27-30 ) 23. Defineerida teist liiki joonintegraal tasandil ja kolmemõõtmelises ruumis. · TASANDIL: Olgu xy- tasandil antud lõpliku pikkusega joon L otspunktidega M ja N. Peale selle olgu antud kaks funktsiooni F(P) ja G(P), mis on määratud iga P L korral. Jaotame joone L n osakaareks punktidega M= M0, M1, M2, ....,Mn =N suunaga punkti M poolt N poole. Olgu punkti Mi koordinaadid xi ja yi .Tähistame xi = xi - xi-1 , yi = yi -yi-1
DEF 13. Funktsiooni y=f(x) (x c X) pöördfunktsiooniks nim. funktsiooni x=f-1(y), mis igale arvule y Y = f(X) seab vastavusse arvu x X, kusjuures y=f(x) DEF 14. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) (xX) on esitatud võtrrandi F(x;y)=0 abil ilmutamata kujul , kui iga x korral X kehtib F(x; f(x))=0 DEF 15. Funktsionaalse sõltuvuse y=f(x) (xX) esitust kujul x=(t) ja y=(t) (tT), kus (T)=X ja iga t korral T kehtib (t)=f((t)) nim. funktsiooni f parameetriliseks esituseks ning kõneldakse parameetriliselt esitatud funktsioonist f. DEF 16. Punkti (x;y) kohavektori pikkust nim. polaarraadiuseks. Nurka , mille punkti (x;y) kohavektor moodustab x-telje pos. Suunaga nim. polaarnurgaks, kusjuures vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. 1.2 Elementaarfunktsioonid 1.Konstantne funktsioon y=c 2.Astmefunktsioon y=x 3.Eksponentfunktsioon y=ax 4.Logaritmfunktsioon y=logax 5
Näiteks annavad f(x) = sin x ja g(y) = liitfunktsiooni. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2-x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2-siny+y=0. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu x ärjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu
märk ei muutu, siis on f kasvav fulgas D. funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile. 6.Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. teoreem
. . + bm-1xm-1 + bmxm . 6. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Nt. x2 - sin y + y = 0. Parameetriliselt antud joon. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina x = (t) y = (t) , t [T1, T2] See süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone.
MJ) M Polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka. LIISI KINK 5 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 6) Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Funktsiooni = ! ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat , kuid mitte muutujat . Funktsiooni = ! ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab ja läbisegi, st võrrand & , = 0 kus & on mingi ja sisaldav avaldis. =O 4 N , 4 Q) , Q* =P 4 Süsteem määrab iga 4 Q) , Q* korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega , = O 4 , P 4
y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . Ilmutatud funktsioon funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Ilmutamata funktsioon Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina { x = (t) y = (t) , t [T1, T2] . Süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone.
Elementaarfunktsiooniks nim funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. f. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. f.i. Polünoom kuulub elementaarfunktsioonide hulka ja on defineeritud avalisega , f.ii. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Hüperboolsete trigonomeetrilistefunktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi,väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi). a. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid a.i. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Y=f(x) a.ii
-1 pöördfunktsioonil x=f (y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x): Logaritmiline Lause: Kui f(x)D(X) ja f(x)>0 (xX), siis Tõestus: Lause eeldustel saame millest järeldub lause väide . 4. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis Kui funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul , kusjuures funktsioonid on diferentseeruvad vahemikus (, ) ja on lõigul [, ] rangelt monotoonne ning , siis , täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. Tõestus: 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus.
Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0, et 0 <|∆x|<δ lause väide(mott). ∆y/∆x >0 4. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis Definitsioon:Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) > f (x) > f (x2).
.. , an−1 , an on konstandid ja an ≠ 0 . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis: 2 n−1 n a0 +a 1 x +a2 x + …+ an−1 x +a n x R(x) = 2 m−1 b0 +b1 x+ b2 x +…+ bm−1 x +b m x m 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x 2− y . Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , kus F on mingi x ja y
x = x( t ) x = x( t ) , y = y ( t ) , t T ehk t T (*) y = y( t ) väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja avaldisi (*) vaadeldava funktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. Esituse (*) korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (*) ehk funktsioon on antud parameetrilisel kujul (*). Parameetrilisest esitusest ei selgu, kumb muutujatest x ja y on argument ja kumb on funtksioon. Vajaduse korral märgitakse seda eraldi. x = t Funktsiooni y = f ( x ) , x X võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: t T = X y = f (t)
Näiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2 - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f(x) ilmutatud avaldisega võrrandis , siis muutub see võrrand samasuseks F(x, f(x)) 0 Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand muutuja y suhtes. Kui sellel võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. Parameetriliselt antud joon. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid Üles sÜsteemina x = (t) y = (t) , t [T1, T2] See süsteem maarab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone.
Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an-1x(n-1) + anx(n) , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) =(a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an-1x(n-1) + anx(n)) / (b0 + b1x + b2x(2) + . . . + bm-1x(m-1) + bmx(m)) ( ) zna4it v stepeni 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi, väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi). Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Funktsiooni y =
.. ja n x parameetriliselt antud joont L a summa on positiivne arv, mis ei ületa rea esimest liiget olgu joon L antud parameetriliste võrranditega 22. Tuletada Greeni valem G ( P ) =U y' ( P ) x = (t)
11. Nivoojooned ja nivoopinnad. Kõverjoone puutuja ja normaaltasand. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) Def. 11.1. Jooni, mille võrrandiks on f ( x, y ) = c , nimetatakse funktsiooni z = f ( x, y ) nivoojoonteks. Kolme ja enama muutuja funktsiooni korral saame nivoopinnad. Kolme muutja funktsiooni u = f ( x, y, z ) nivoopinna võrrand on f ( x, y, z ) = c . Nivoojoon on pinna z = f ( x, y ) ja tasandi z = c lõikejoon ja selle projektsioon xy tasandile. Vaatleme parameetriliselt esitatud joont kolmemõõtmelises ruumis. x = u(t ) y = v ( t ) (11.1) z = w( t ) t parameeter Anname parameetrile muudu t, siis saavad vastavad muudud ja muutujad x, y, z. Need olgu x, y, z. Vaatleme punkte P ( x, y, z ) ja Q( x + x, y + y, z + z ) Tähistame raadiusvektorid ? r ( t ) = OP = { x ( t ) ; y ( t ) ; z ( t )} ? r ( t ) = OQ = { x( t + t ) ; y ( t + t ); z ( t + t )} = { x + x; y + y; z + z} OP + PQ = OQ ? ?
-2 u ¨lemist ja alumist poolt m¨ a¨aravate funktsioonidega f1 ja f2 . Definitsioon 15. Funktsionaalse s~oltuvuse y = f (x) (x X) esitust kujul x = (t) y = (t) (t T ), (1.1.2) kus (T ) = X ja t T : (t) = f ((t)), nimetatakse funktsiooni f parameetriliseks esituseks ning k~oneldakse parameetriliselt esitatud funktsioonist f. 17 Funktsiooni f parameetrilist esitust (1.1.2) v~oime illustreerida diagrammi abil x t f y
x=u(t) Kui funktsioonil on diferentsiaal, siis y=A* x y=v(t) y=A*x+(x) ja seejuures +(x) Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis avaldub kujul siis funktsiooni diferentsiaal dy=A*x A ei sõltu x-st Valemist dy=y' (x)*dx järeldub, et y'(x)=dy/dx
n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn , kus a0,a1,a2,...,an-1,an on konstandid ja an ei võrdu 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi Parameetriliselt antud joone mõiste. Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina x = (t) y = (t), t [T1,T2]. Süsteem määrab iga t [T1,T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y) = ((t),(t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1,T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone
keskväärtusteoreemi. Võttes Lagrange´i keskväärtusteoreemis funktsiooni f, mis rahuldab 𝑓(𝑥) tingimust f(a)=f(b), saame 0= f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)↔ f´(c)=0 ehk Rolle´i teoreemi. Seetõttu 4).(Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis) 𝑋 = 𝜑(𝑡) kasutatakse Cauchy keskväärtusteoreemi kohta ka nimetust üldistatud keskväärtusteoreem.
..,an1,an on konstandid ja an0 ii) Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6) · Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid i) Funktsiooni y=f(X) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y=x2x. ii) Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võttand F(x,y)=0 · Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni. kirjutame need süsteemina. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. · Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsioon y=f(x), toome sisse kolmanda muutuja t. Olgu muutuja x parameetri t funktsioon: . Avaldame ka muutjua y parameetri t kaudu. Seega y Paneme need kokku ühte süsteemi.
..,an1,an on konstandid ja an0 ii) Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6) · Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid i) Funktsiooni y=f(X) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y=x2x. ii) Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võttand F(x,y)=0 · Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni. kirjutame need süsteemina. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. · Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsioon y=f(x), toome sisse kolmanda muutuja t. Olgu muutuja x parameetri t funktsioon: . Avaldame ka muutjua y parameetri t kaudu. Seega y Paneme need kokku ühte süsteemi.
a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm .? 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid: Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , (1.4) kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2 - sin y + y = 0. Parameetriliselt antud joone mõiste: Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina Süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone
Tuletise või aga arvutada ka otseselt, kuid tuleb meeles pidada, et kõik y-it sisaldavad liikmed on liitfunktsioonid, mille sisendiks on Teoreem Üksühese funktsiooni pöörfunktsiooni diferentseerimine Olgu üksühese funktsiooni pöördfunktsioon siis kehti valem Tõestus Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y järelikult Pöördfunktsiooni g argument on y ja sõltuv muutuja x järelikult . Kasutades valemeid arvutame Teoreem Parameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine Olgu funktsioon antud parameetrilisel kujul võrrandiga Siis kehtib valem Tõestus Funktsiooni argument on x ja sõtluv muutuja y mistõttu . Funktsiooni argument on t ja sõltuv muutuja x mistõttu . Funktsiooni argument on t ja sõltuv muutuja y mistõttu 22. · Joone puutuja ja selle võrrand Olgu tasandil xy teljestikus antud joon . Joone puutujaks
Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis: 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujad y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi. St võrrand F(x,y) = 0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Ilmutamata kujul võrrandi avaldamiseks on vaja lahendada võrrand muutuja y suhtes. Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni x=(t) ja y=(t), kirjutame nad üles süsteemina. Süsteem määrab iga t [T 1,T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y) = ((t),(t)). Üldiselt vastavad muutuja t väärtused erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1,T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid
Kui sellel võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. Näide. Vaatleme võrrandit + = 1 . (1.5) Kui me lahendame selle võrrandi y suhtes, saame kaks funktsiooni: y = - ja y= . Seega määrab võrrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat funktsiooni. Asendades kas y = - või y= võrrandisse (1.5), saame võrduse + = 1, mis peale lihtsustamist muutub samasuseks 0 0. Parameetriliselt antud joone mõiste. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina: , t [T1, T2] . Süsteem (1.6) määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid (1
L L 2) CFdx + CGdy = C Fdx + Gdy , kus C on konstant L L 3) Olgu joone L otspunktid M ja N ning punkt QL MLN Fdx +Gdy = Fdx +Gdy + Fdx +Gdy MLQ QLN 4) Integreerimissuuna muutmisel integraali märk muutub vastupidiseks MLN Fdx +Gdy = - Fdx +Gdy NLM 26. Joonintegraali arvutamine Tuletada valem joonintegraali arvutamiseks mööda parameetriliselt antud joont olgu joon L antud parameetriliste võrranditega x = (t) L : , kus t[a,b] y = (t ) Joone L alguspunkt M((a),(a)) ja lõpppunkt N((b),(b)). Arvutame eraldi F ( x, y )dx + G ( x, y )dy = F ( x, y )dx + 0dy + 0dx + G ( x, y )dy L L L 1) F ( x, y )dx L Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega a=t0, t1, t2, ..., tn=b, kusjuures ti=ti-ti-1,
(1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. Näide. Vaatleme võrrandit + = 1 . (1.5) Kui me lahendame selle võrrandi y suhtes, saame kaks funktsiooni: y = − ja y = . Seega määrab võrrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat funktsiooni. Asendades kas y = − või y= võrrandisse (1.5), saame võrduse + = 1, mis peale lihtsustamist muutub samasuseks 0 ≡ 0. Parameetriliselt antud joone mõiste. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = φ(t) ja y = ψ(t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina: , t ∈ [T1, T2] . Süsteem (1.6) määrab iga t ∈ [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = (φ(t), ψ(t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone.
Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t ) x = x(t ) , y = y (t ) , t T ehk t T (*) y = y (t ) väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja avaldisi (*) vaadeldava funktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. Esituse (*) korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (*) ehk funktsioon on antud parameetrilisel kujul (*). Parameetrilisest esitusest ei selgu, kumb muutujatest x ja y on argument ja kumb on funtksioon. Vajaduse korral märgitakse seda eraldi. x = t Funktsiooni y = f ( x ) , x X võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: t T = X y = f (t )
proportsionaalse seosesse muugikaibega. Vaartuse leidmisel on soovitatav vaadata kolme viimase aasta parameetreid. Mitmesugused tegevuskulud: Planeeritakse kasvumaarade meetodil. Valisteks teguritest võetakse arvesse nt inflatsiooni ning sisestest teguritest nt turundusplaaniga. 22. Mille jargi planeeritakse tööjõukulud, kulum, tulumaks? Tõõjõukulud: Kui ettevõttes on tukipalk siis parameeter, kui tunnipalk siis kasvumaar. Parameetriliselt planeerime kaib muugitulu jargi. Kasvumaaradega planeerimisel tuleb arvestada ettevõtte siseste ja valiste teguritega (nt. valine - riigi keskmine palk ja sisene - ettevõtte võimekus palku uldse maksta.) Kulum: Parameetriline ning planeeritakse põhivara jargi. Tulumaks: Planeeritakse valja makstavatelt dividendidelt. 23. Mille jargi planeeritakse turustuskulud, uldhalduskulud? Turustuskulud: planeeritakse kasvumaarade meetodil ehk tuleb arvesse võtta ettevõtte
Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t ) Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul o y o (9.2) y' = o , kus y = y ' (t ) = v' x o x = x' (t ) = u ' Tõestus: Vastavalt definitsioonile y y y ' = lim = lim xt x 0 x x 0 t
Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t ) Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul o y o (9.2) y' = o , kus y = y ' (t ) = v' x o x = x' (t ) = u ' Tõestus: Vastavalt definitsioonile y y y ' = lim = lim xt x 0 x x 0 t
ja y = 1 - x2 . Seega m¨a¨arab v~o rrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat funktsiooni. Asendades kas y = - 1 - x2 v~ o i y = 1 - x 2 v~ orrandisse (1.5) saame v~orduse x + [ 1 - x ] = 1, mis peale lihtsustamist muutub samasuseks 2 2 2 0 0. Parameetriliselt antud joon. Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid u ¨les s¨ usteemina { x = (t) (1.6) y = (t) , t [T1 , T2 ] . S¨usteem (1
Seega m¨a¨arab v~o rrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat funktsiooni. Asendades kas y = - 1 - x2 v~ o i y = 1 - x2 v~ orrandisse (1.5) 2 2 2 saame v~orduse x + [ 1 - x ] = 1, mis peale lihtsustamist muutub samasuseks 0 0. Parameetriliselt antud joon. Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid u ¨les s¨ usteemina x = (t) (1.6) y = (t) , t [T1 , T2 ] . S¨ usteem (1.6) m¨a¨arab iga t [T1 , T2 ] korral u ¨he kindla arvupaari ehk tasandi
3. Keha ruumala leidmine. 4. Teepikkuse ja nihke arvutamine. Eksamiteemad 1. Kõvertrapetsi ja kõversektori pindala. 2. Joone kaare pikkus. 3. Keha ruumala. 4. Teepikkuse ja nihke arvutamine. 5. Töö arvutamine sirgjoonelise liikumise korra. PEATÜKK 11. MÄÄRATUD INTEGRAALI RAKENDUSI 11.1 Pindala parameetriliste võrrandite kor- ral * Parameetriliselt antud võrranditega tekkiva kõvertrapetsi pindala aval- dub valemiga b S= y dx = y(t) x (t) dt. (11.1) a 11.2 Kõversektori pindala Definitsioon 11.1 Läbigu nullpunkti kaks sirget, mis moodustavad x-telje positiivse suu- naga vastavalt nurgad ja . Kõversektoriks nimetatakse tasandilist
annaabi.ee 
