Funktsiooni positiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni negatiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Funktsiooni uurimine: X, Y, X0, X+, X-, X´, X`, Xe, Xmax, Xmin. Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=f(x). Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=-f(x).
joonestades käsi langeb. EI KASUTA VÕI JA ÜHENDIMÄRKI. 8)ekstreemumkohad: miinimumkoht- seal läheb funktsiooni kahanemine üle kasvamiseks. Maksimumkoht- seal läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks 9)ekstreemumid-miinimum on miinimumkohale vastav y väärtus maksimum on maksimumkohale vastav y väärtus. 10)ekstreemumpunktid- koosneb ekstreemumkohast ja ekstreemumist.. Paaris- ja paaritu funktsioon Funktsiooni y=f(x) nim paarituks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=-f(x) Funktsiooni y=f(x) nim paarisfunktsiooniks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=f(x) Pöördfunktsiooni leidmine: 1)avaldan x 2)kontrollin üksühest vastavust 3)vahetan x ja y asukohad Igal funktsioonil ei eksisteeri pöördfunktsiooni. Pöördfunktsioon on funktsioon nagu iga teinegi, st saan joonestada tema graafikut ja teda uurida. X-abstsiss
X min/ Xmax Funktsiooni väärtust, mille korral funktsiooni saavutab oma suurima või vähima väärtuse nimetatakse ekstreemumiks. Ymin/Ymax Ekstreemumpunktiks nimetatakse funktsiooni graafiku punktiks, mille korral kordinaatideks on ekstreemumkoht ja ekstreemum. Emin/max(x, y) Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paaris funktsiooniks, kui iga x väärtuse korral määramispiirkonnast kehtid võrdus f(-x)=f(x) ja graafiks on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x väärtuse korral määramispiirkonnast kehtid võrdus f(-x)=-f(x) ja graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes.
14) Kumerusvahemik vahemik, kus ükski tema punkt ei ole kõrgemal ühestki tema puutujast selles vahemikus. Tunnus: f``(x)<0 15) Nõgususvahemik vahemik, kus ükski tema punkt ei ole allpool ühestki tema puutujast selles vahemikus. Tunnus: f´´(x)>0 16) Funktsiooni nimetatakse paarisfunktsiooniks kui funktsiooni väärtused kohtadel x ja -x on võrdsed. Graafik sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=f(-x) 17) Funktsiooni nimetatakse paarituks kui funktsiooni väärtused kohtadel x ja -x on vastasmärgilised. Graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. f(-x)=-f(x) 18) Asümptoodiks nim. Sirget, millele funktsiooni graafiku mingi haru läheneb piiramatult. Rõhtasümptood y=b, st. sirge tõus on 0. Püstasümptood paralleelne y-teljega Kaldasümptood y=kx+b on siis, kui leiduvad konstandid k ja b nii, et
Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks,
kui leidub reaalarv k, nii et |f(x)|<= k iga X kuulub hulka A korral.
Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis kogu oma
määramispiirkonnas on mittekasvav(monotoonselt kasvav) või
mittekahanev(monotoonselt kahanev).
Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x) , kui f(x)=f(-x) iga x korral
määramispiirkonnast X.
Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x), kui f(-x)=-f(x) iga x korral
määramispiirkonnast X.
Punkti E ümbruseks nimetakse arvtelje vahemikku a kuni a+E.
Arvu a nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu E>0 korral
leidub niisugune arv b>0 , et kehtib võrratus |f(x)-A|
X0 mingist ümbrusest kehtb võrratus: f(x0) on suurem kui või võrdne f(x) 12.Kohale X0 on funktsioonil y=f(x) miinimum kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha X0 mingist ümbrusest kehtb võrratus: f(x0) on väiksem kui või võrdne f(x) 13.Funkts y=f(x) nim. Paarisfunktsiooniks kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=f(x) 14.Graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. 15.Funkts y=f(x) nim. Paarituks funktsiooniks kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=-f(x) 16.Graafik on sümmeetriline koordninaatide alguspunkti suhtes.
.. ,n x x x ja neile vastavad funktsiooni väärtused 1 2 , , ... ,n y y y . 7. Funktsioonide liike Paaris- ja paaritud funktsioonid: Def. Niisugust funktsiooni f x( ), mis rahuldab tingimust f (-x)= f( x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarisfunktsiooniks. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Def. Niisugust funktsiooni f x( ), mis rahuldab tingimust f( -x)= -f( x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarituks funktsiooniks. Paaritu funktsiooni korral f (0)= 0 . Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline nullpunkti suhtes. II. Perioodilised funktsioonid: Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f( x+ t)= f( x)= (t ≠ 0) iga x ja x t + puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. Perioodilise funktsiooni graafik on määratud, kui on teada selle graafiku osa ühe perioodi pikkuses poollõigus. 9
f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Paaris- ja paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. Definitsioon 4 Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant T 6= 0, et iga xkuulub X korral kui x + T kuulubX kehtib f (x + T) = f (x). V¨ahimat sellist positiivset konstanti T, juhul kui selline leidub,
Funktsiooni määramispiirkond. Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsiooni y muutumispiirkonnaks Y nimetatakse funktsiooni väärtuseid, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X. Funktsioonide liigid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f ( x) = f (- x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y- telje suhtes: y = x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f (- x) = - f ( x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline 0 punkti suhtes. Näiteks f(x)=x, f(x)=sinx. y = sin x Liitfunktsioon. Lihtfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis sõltub argumendist vahetult Liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni piirkonnas X kujul F ( x ) = f [ ( x ) ] Pöördfunktsioon.
ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja
tükiti defineeritud funktsioonideks Näiteks: a) | | { ( ) ) b) { ( ) ) 6. Milliseid funktsioone nimetatakse paarisfunktsioonideks, milliseid paaritufunktsioonideks? Näited. Nimetage paaris-ja paaritu funktsioonide graafikute omadusded. Kui iga korral on f(-x) = f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks, ja kui on f(-x) = -f(x), siis paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=tanx, y=cot x, y=arcsinx ja y=arctanx on paaritud funktsioonid ning y=cos on paarisfunktsioon. Paaritu funktsiooni y=x3 graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 7. Defineerige funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon. Millisel tingimusel funktsioonil eksisteerib
Ilmutamata kujul f (x, y) = 0 Näide: x2 + y2 = 25. Parameetrilisel kujul x = x(t ) , t T R y = y (t ) Näide: x = 5 cos(t ) , t [0; 2 ] y = 5 sin(t ) 4 Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) ja paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes sümmeetriline 0-punkti suhtes. 6 5 2 x 4 cos ( x) 3
5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f( x + ) = f (x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see võrdus kehtib, nim. funktsiooni y = f(x) perioodiks. (kõik trigonomeetrilised funktsioonid) 6. Paaris funktsioon- funktsiooni y = f(x) nim. paaris funktsiooniks kui f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes ( cos ) 7. Paaritu funktsioon- funktsiooni y = f(x) nim. paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon- olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks
Missugune on selle funktsiooni määramispiirkond? Seda funktsiooni esitava avaldise määramispiirkond? 3. Jalgsimatk kestis 9 tundi. Esimesed 5 tundi liiguti kiirusega 4,5 km/h, siis puhati pool tundi ja ülejäänud aja liiguti kiirusega 4 km/h. Avaldada läbitud teepikkus (s) aja t funktsioonina. Leidke selle funktsiooni määramispiirkond. Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f(x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f(-x) = f(x), ja paarituks funktsiooniks, kui f(-x) = -f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, paaritufunktsiooni graafik aga 0-punkti suhtes. y Paaritu funktsioon 0 x Paarisfunktsioon Perioodilised funktsioonid Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et
vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis
öeldakse, et hulgal X on määratud mitmene funktsioon f.
DEF 4. Funktsioonide y=f(x) (xX) ja z=g(y) (yY ja f(X) c Y) liitfunktsiooniks ehk
superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z=g(f(x)).
DEF 5. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim.
paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x)
DEF 6. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim.
paarituks funktsiooniks, kui f(-x)=-f(x)
DEF 7. Funktsiooni nim. perioodiliseks, kui leidub selline arv T0, et iga xX korral ka x+-
TX ja f(x+T)= f(x). Vähimat pos.arvu T mille korral f(x+T)=f(x) nim. funktsiooni
perioodiks.
DEF 8. Funktsiooni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1X ja
x2X korral, mis rahuldavad võrratust x1
x a-, mis rahuldab tingimust x a ja funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule 6. Funktsioonide liigid. Näited. b. Vasakpoolse piirväärtuse kirjutusviis on või f(x) b kui xa-. *Paaris- ja paaritud fun. Fun f nimetatakse paarisfun kui iga x X korral kehtib v Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis o rdus f(-x) = f(x). Fun f nimetatakse paarituks fun, kui iga x X korral kehtib x a+, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. võrdus f(-x) = -f(x). *Perioodilised fun. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, Parempoolse piirväärtuse kirjutusviis on või f(x) b kui xa+. kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). 21. Tõestada funktsiooni piirväärtuse aritmeeiliste tehetega seotud omadused *Kasvavad ja kahanevad fun
Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f (x + ) = f (x) iga x X korral. Näiteks on perioodilised kõik trigonomeetrilised funktsioonid. monotoonne funktsioon Ühtlaselt kasvav ja kahanev funktsioon ? tõkestatud funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui
elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis hulgal X on määratud mitmene funktsioon Argumendi x muutumispiirkonda X nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna. Funktsiooni nimetatakse paarisfunktsiooniks kui x-X kehtib võrdus f(-x)=f(x) ja paarituks kui x-X ja f(-x)=-f(x) F.nim perioodiliseks, kui leidub konstant T0, et iga x-X korral kui x + T kuulub X-i kehtib f(x + T) = f(x). Vähimat sellist positiivset konstanti T, kui selline leidub, nimetatakse funkts f perioodiks. Liigitus: Funktsiooni f(x)nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus, ja kahanevaks, kui igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Seega
väärtus. I Analüütiline esitus valemi abil, II Geomeetriline esitus graafiku abil, III Numbriline esitus tabeli abil Paaris- ja paaritud funktsioonid - Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (- x) = f (x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarisfunktsiooniks. Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (- x) = - f (x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarituks funktsiooniks. II. Perioodilised funktsioonid Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (x+t) = f (x) (t 0) iga x ja x t + puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. 4. Elementaarsed põhifunktsioonid (astmefunktsioon, eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, trigonomeetrilised funktsioonid, arkusfunktsioonid). Nende
funktsiooni avaldis on täielikult määratud. 4. Paarisfunktsioon, paaritu funktsioon (näide). Perioodiline funktsioon (funktsioon y = x [x]). Liitfunktsioon, selle komponendid (näide). Paarisfunktsioon. Funktsiooni y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsioobiks, kui x X kehtib võrdus f(-x)= f(x) Näide: y = x2 Paaritu funktsioon. Funktsioon y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Näide: y = sinx. Perioodiline funktsioon. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T 0 tema perioodiks, kui x X korral ka x ± T X ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x) y = x [x] perioodiline ? Oletame t Siis t + 1 [x + 1] = t + 1 = [x] + 1 Nt. t = (x + 1) = x + 1 [x + 1] = x + 1 [x] 1 = x [x] = f(x) T=1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = g(x)
sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nimetatakse LIITFUNTSIOONIKS sõltumatu muutuja suhtes. z = g(y) = g(f(x)). PÖÖRDFUNKTSIOON DEFINITSIOON 2. Kui funktsiooni y = f(x) korral x = (y), siis funktsiooni y = (x) nimetatakse lähtefunktsiooni PÖÖRDFUNKTSIOONIKS ja vastupidi. ERIOMADUSTEGA FUNKTSIOONE DEFINITSIOON 3. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse PAARISFUNKTSIOONIKS, kui ta rahuldab tingimust f(-x) = f(x) iga x X puhul. DEFINITSIOON 4. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse PAARITUKS, kui ta rahuldab tingimust f(-x) = -f(x) iga x X puhul. DEFINITSIOON 5. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse PERIOODILISEKS, kui leidub niisugune t R, mis ei võrdu nulliga, et f(x+t) = f(x) iga x X puhul. 3 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. ELEMENTAARSEID VÕTTEID TEMA ARVUTAMISEKS DEFINITSIOON. Arvu A nimetatakse funktsiooni y = f(x) PIIRVÄÄRTUSEKS punktis a, kui iga >0 korral leidub niisugune arv = (), et f(x) - A < , niipea kui x - a < .
lubatud ja isegi kohustatud võimalikult paljude järglaste sigitamine. Lapsed aga antakse ühiseks kasvatamiseks. Ükski vanem ei tea, kes on tema järeltulija. Ja põhjendus on see, et "sinu" ja "minu" lapsed lõhuvad ühiskonna ühtsust ning ühine laste kasvatamine aitab kaasa ühiskonna ühtsustunde kasvamisele. Dialoogis "Riik" selgitab Platon, et isiklikku vabadust armuküsimustes ideaalses riigis ei tohi olla. Valitsejad peavad tagama, et parimad mehed viibiksid parimate naisega ja ei paarituks, kuidas juhtub, tagamaks et 13 järglaskond kõige parem oleks. See on omamoodi tõuaretus. Naised sünnitagu vanuses 20-40 a ja mehed täitku mehekohuseid 25-55 aastaseni. Kasvandikud ideaalses riigis perekonda luua ei tohi. Kui sünnib laps, siis võetakse imik ema juurest ära ja antakse ammede juurde. Vigased lapsed hukatakse või antakse käsitöölisteks. Ideaalriigis on 3 klassi valitsejad, sõjamehed ja käsitöölised. Alama klassi käsitöölised saavad ka neist
Vaheaju motoorne keskus Metatalamus Kuulmis- ja nägemisanalüsaatori koorealune keskus Retikulaarformatsioon ehk võrkmoodustis Paikneb ajutüvis Närvikiudude abil on ta ühenduses peaaju mitmete osadega, samuti seljaajuga Avaldab erinevat mõju KNS erinevate osade aktiivsusele Kontrollib seljaaju reflektoorset talitlust Väikeaju Paikneb tagumises koljuaugus, suuraju kuklasagarate all, piklikajust ja ajusillast tagapool Jaguneb kaheks külgmiseks poolkeraks ja neid ühendavaks paarituks vaheosaks – ussiks Supraspinaalne sensoorne keskus Hallaine moodustab ühtlase pindmise kihi paksusega 1 – 2,5 mm – väikeaju koore (ca 2000 cm 2 ). Koore all on valgeaine (meenutab läbilõigel puuokste hargnemist – elu puu) Väikeaju funktsioonid Teiste motoorsete keskuste tegevuse toetamine ja koordineerimine: Kehahoiaku ja liigutuste tugimotoorse osa reguleerimine Aeglase sihtmotoorika suunakorrektuur ja nende koordinatsioon tugimotoorikaga Kiire sihtmotoorika sujuvuse tagamine
öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y=f(x). *Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määraud ühene funktsioon f. *Hulka X nimetatalse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(x) = {y | x X y = f (x )} Y muutumispiirkonnaks. *Funktsiooni, mille määramispiirkond on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui : f(-x)=f(x) ja paarituks funktsiooniks, kui : f(-x)=-f(x). * Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T =/= 0, et iga x X korral ka x ± T X ja f (x + T) = f (x) ja antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)=-f(x) korral. 4*(Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid) Funktsiooni y = f (x) (x X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f -1 (y ) , mis igale arvule y Y = f (X ) seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x).
vastava eeldusega naised. Platon usub, et naised suudavad teha seda kõike, mis mehed, lihtsalt veidi madalamal tasemel. • Ka riigijuhtimises on soolised erinevused vähetähtsad • Naiste ja meeste vahelised suhted • Isiklikku vabadust armuküsimustes ei tohi olla • Valitsejate ülesanne on jälgida oma kasvandikke ja hoolitseda selle eest, et nad ei paarituks, kuidas juhtub. • Parimad mehed viibiksid koos parimate naistega, järglaskond peab kõige parem olema • Naised sünnitagu vanuses 20-40, mehed täitku mehekohustused vanuses 25-55 • Kui sünnib laps, võetakse imik ema juures ära ja antakse ammede hoole alla, vigased lapsed hukatakse või jäetakse käsitöölisteks. (VALITSEJAD JA SÕJAMEHED) • Tulevastel sõjameestel ja valitsejatel puudub isiklik elu, on ainult elu, mis kuulub riigile kui
Võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis valemi kujul. Funktsiooni graafiline esitusviis esitatakse graafikuna tasandi ristkoordinaadistikus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. Paaris- ja paaritud funktsioonid - Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis on f kasvav
Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. paarisfunktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = f(x). Funktsiooni y = f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse Funktsiooni y = f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust paarituks funktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = −f(x) Funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis a parajasti siis, kui punkti a Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T 6= 0, et iga x ∈ X korral ka x ± umbruses f (x) on esitatav kujul f(x) = f(a) + f'(a)(x − a) + o(x − a), kus T ∈ X ja f(x + T) = f(x)
· tabelina x y 1 2 2 4 3 6 · graafikuna · analüütiliselt 1. ilmutatud kujul 2. ilmutamata kujul 3. funktsiooni parameetrilisel esitusviisil 6.Eriomadustega funktsioonid: ühesed, mitmesed, paaris- ja paaritud funktsioonid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(x)=f(-x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline y- telje suhtes, naiteks y=x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(-x)=-f(x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline 0 punkti suhtes Naiteks f(x)=x, f(x)=sinx Uheseks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus argumendi uhele vaartusele on seatud vastavusse ainult uks funktsiooni vaartus Näiteks : y= 2x - 3 Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus argumendi uhele
Määramispiirkond ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x ∈ X ∧ y = f(x)} ⊂ Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Paaris funktsioon - Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = f(x). Paaritu funktsioon - Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = −f(x). Perioodiline funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T ≠ 0, et iga x ∈ X korral ka x ± T ∈ X ja f(x + T) = f(x). Kasvav funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f (x1) < f(x2).
paralleleelne sirge, mis lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks
Funktsiooni analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Funktsiooni graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistukus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis 3. Def. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub constant C>0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def
Funktsiooni analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Funktsiooni graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistukus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis 3. Def. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub constant C>0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def
Leiame arvu, millega tuleb astendada. Seega leiame vastuse küsimusele: · Millise arvuga tuleks arvu a astendada, et saada arv x? · Toome sisse uue termini ja tähistused selle otsitava arvu tarvis · y=loga x , · seega y on selline arv, millega a-d astendades saame x ehk ay =x · alogax=x · Oleme saanud uue funktsiooni, mida nimetame logaritmfunktsiooniks · 27. Paaritu funktsioon- · Funktsiooni, mille graafik on sümmeetriline punkti (0;0) suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks. · Paaritu funktsiooni tunnus f(-x)=-f(x) · y = ax 2 k +1 ja y = a 2 k +1 x Paaritud funktsioonid on näiteks kõik funktsioonid kujul 25. Pöördfunktsioon- · Funktsioone, mille graafikud on sümmeetrilised sirge y=x suhtes nimetatakse teineteise pöördfunktsioonideks. · Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab antud funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x
Def. Fun-n y = f (x) nimetatakse pidevaks paremalt punktis a, kui limxa+ x väärtuste hulka, mille korral antud eeskiri y=f(x) omab mõtet. Lihtsustatuna Y=f(X). y =0 ja pidevaks vasakult punktis a, kui limx0- y =0 Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nim. paarisfunk- ks, kui x X : f(-x) = f(x). Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nim. paarituks 9. Def. Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks hulgal X, kui ta on pidev hulga X igas punktis. funk-ks, ku x X : f(-x) = -f(x). Tähistatakse f(x) C(X). Funktsiooni f nim. perioodiliseks, kui leidub selline arv T 0, et iga x X korral ka x ± T X ja Def. Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks lõigul [a; b] (kuulub ja kriips all _ ) R, kui ta on f(x + T) = f(x)
esineb sümmeetria y-telje suhtes. y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx. lõpmatult kahanevaks, kui lim=0 kõrgemat järku suurused) Elementaarfunktsiooni mõiste Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga Olgu ja lõpmatult kasvavad suurused protsessis xa. xX korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x) Elementaarfunktsiooniks nim funktsiooni, mis on saadud kui lim||=. ()
*Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(x) = {y | x ∈ X ∧ y = f (x )} ⊂ Y muutumispiirkonnaks. a - ε < Xn < Zn < Yn < a + ε ↔ Zn ∈ Uε(a), mis vastavalt *Funktsiooni, mille määramispiirkond on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui ∀x∈X : f(-x)=f(x) ja paarituks lim Zn=a piirväärtuse def. annab n →∞ funktsiooniks, kui ∀x∈X : f(-x)= -f(x). 7*(Jada tõkestatus
Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme tasandil hulka G, mis koosneb punktidest P(x, f(x)), mille esimene koordinaat x omandab kõik väärtused määramispiirkonnas X. Seda hulka nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 9. Defineerida paaris- ja paaritu funktsioon. (lk 6) Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 10. Defineerida perioodiline funktsioon ja funktsiooni periood. (lk 6) Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Perioodilise funktsiooni graafik kordub perioodi C järel. 11
perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f( x + ) = f (x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see võrdus kehtib, nim. funktsiooni y = f(x) perioodiks. (kõik trigonomeetrilised funktsioonid) 6. Paaris funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. paaris funktsiooniks kui f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes ( cos ) 7. Paaritu funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon - olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks.
G = {P = (x,f(x))||x X}. Graafiku punkti P teist koordinaati f(x) võib tõlgendada P "kõrgusena" x- telje suhtes. Kui f(x) > 0, siis on graafiku "kõrgus" positiivne, st graafik paikneb ülalpool x-telge. Kui aga f(x) < 0, siis on "kõrgus" negatiivne, st graafik jääb x-teljest allapoole 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2
funktsiooniks. Näide: 4. Paarisfunktsioon, paaritu funktsioon (näide). Perioodiline funktsioon (funktsioon y = x [x]). Liitfunktsioon, selle komponendid (näide). Paarisfunktsioon. Funktsiooni y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsioobiks, kui x X kehtib võrdus f(-x)= f(x) Näide: y = x2 Paaritu funktsioon. Funktsioon y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Näide: y = sinx. Perioodiline funktsioon. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T 0 tema perioodiks, kui x X korral ka x ± T X ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x) y = x [x] perioodiline ? Oletame t Siis t + 1 [x + 1] = t + 1 = [x] + 1 Nt. t = (x + 1) = x + 1 [x + 1] = x + 1 [x] 1 = x [x] = f(x) T=1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = g(x)
siis funktsioon on ühene. o Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks yteljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3. · Paaris ja paaritud funktsioonid. o Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). o Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). · Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. · Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2
siis funktsioon on ühene. o Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks yteljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3. · Paaris ja paaritud funktsioonid. o Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). o Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). · Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. · Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2
P = (x, f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku defnitsioon järgmine: G = {P = (x; f(x)) ||x X} 2. Funktsioonide liike (paaris-, paaritu, perioodiline): Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nim. paarisfunktsiooniks kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nim. paarituks funktsiooniks kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks kui leidub konstant C > 0 nii et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist arvu C nim. funktsiooni f perioodiks. 3. Monotoonsed funktsioonid. Pöördfunktsioonid Funktsiooni f nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi
Näiteks avaldis y = x2 , x [0, 1] Funktsiooni graafiku mõiste: Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. G = { P = (x, f(x)) || x X} . Graafiku omadused: Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid: Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid: Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks.Kasvavad ja kahanevad funktsioonid: Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui
Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. a. Paaris- ja paaritud funktsioonid a.i. Funktsioon f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga xX korral kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsiooni korral esineb sümmeetria y-telje suhtes. a.ii. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga xX korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x) b. Perioodilised funktsioonid Funktsiooni nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C>0 nii, et iga xX korral kehtib võrdus f(x+c)=f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. c. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid c.i. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D
ühe argumendi korral mitu väärtust. (Ühesel) funktsioonil ei saa aga mitut väärtust olla. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib vähemalt üks y- teljega paralleleelne sirge, mis lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks, kui iga xX korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid Valime funktsiooni määramispiirkonna hulgast D 2 arvu ja nii, et kehtib võrratus < . Kui funktsiooni f võrratuse märk ei muutu, st f()
X-y teljestikus antud punkti üldkuju on P=(x,y) , funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P=(x, f(x)) , siis rahuldavad graafiku punktid võrrandit y = f(x) . Suuvaline y-teljega parallelne sirge saab funktsiooni grafikut lõigata maksimalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid- Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2.
negatiivne. X-y teljestikus antud punkti üldkuju on P=(x,y) , funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P=(x, f(x)) , siis rahuldavad graafiku punktid võrrandit y = f(x) . Suuvaline y-teljega parallelne sirge saab funktsiooni grafikut lõigata maksimalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Perioodilised funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid- Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2
Permutatsioon Hulga H = {x1, x2, x3...xn}(Näiteks H = n) elementide ümberjärjestust, milles hulga H iga element esineb täpselt 1 kord, nim hulga H permutatsiooniks Loomulik permutatsioon permutatsioon 1,2,3,...,n hulgas Nn Inversioon Öeldakse, et elemendipaar (ai, aj) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv ai on suurem kui aj. Inversioonide arvu tähiseks permutatsioonis _1, _2, . . . , _n on I (_1, _2, . . . , _n). Paaritu permutatsioon permutatsiooni nimetatakse paarituks permutatsiooniks, kui tema inversioonide arv on paaritu Paaris permutatsioon - permutatsiooni nimetatakse paaris permutatsiooniks, kui tema inversioonide arv on paaris OMADUSED: 1) Hulga n elementidest saab moodustada n! permutatsiooni 2) Kui permutatsioonis omavahel ära vahetada 2 elementi, siis permutatsioon muudab paarsust 3) kui n>=2, siis permutatsioonide hulgas Pn on paaris ja paarituid permutatsioone samapalju, st kumbagi ½n! DETERMINANT:
5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Liitfunktsioon - kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] Pöördfunktsioon Paaris- ja paaritudfunktsioonid : *paaris kui iga x X korral on f(-x)=f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X *paaritu kui iga x X korral on f(-x)=-f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X Perioodiline funktsioon funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu 0 tema perioodiks, kui f ( x + ) = f ( x ) iga x X korral. See definitsioon eeldab, et koos punktiga x kuulub piirkonda X ka punkt x + . Kui x + k X iga k Z korral, siis koos arvuga on funktsioon f perioodiks ka arvud k 0 . Kui funktsioon f on perioodiliste funktsioonide summa, siis tema perioodideks on liidetavate funktsioonide perioodide ühiskordsed.
annaabi.ee 
