Paaris- ja paaritud funktsioonid Heldena Taperson www.welovemath.ee y f (x ) y f (x ) y= f(x) on paarisfunktsioon, sest f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on alati sümmeetriline y telje suhtes. y= f(x) on paaritu funktsioon, sest f(-x) = -f(x). Paarisfunktsiooni graafik on alati sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Kontrolli kas funktsioon y = f(x) = x2 3x 10 on paaris või paaritu (või pole kumbki). 1) Leia funktsiooni väärtus kohal x. f(-x) = (-x)2 - 3(-x) 10 = x2 + 3x 10 2) Võrdle: Kas f(x) = f(-x) ? Kas f(x) = -f(-x) ? Funktsioon y = x2 3x 10 ei ole paaris ega paaritu. y x3 x 1) Leia funktsiooni väärtus kohal x
Määramispiirkond ja muutumispiirkond. Kolme põhilise elementaarfunktsiooni graafikud. - y=f(x), on eeskiri, mis seab ühe muutuja (sõltumatu muutuja ehk argumendi) igale väärtusele vastavusse teise muutuja (sõltuva muutuja) kindla väärtuse. - Argumendi väärtuste hulk on funktsiooni määramispiirkond X ja funktsiooni väärtuste hulk on funktsiooni muutumispiirkond Y. 2. Funktsioonide liigitus paarisfunktsiooniks ja paarituksfunktsiooniks. Kaks tuntumat paarisfunktsiooni ja kaks tuntumat paaritutfunktsiooni. - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=f(x), siis on tegemist paarisfunktsiooniga. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=x2, sest (-x)2=x2 f(x)=cosx, sest cos(-x)=cos x - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=-f(x), siis on tegemist paaritu funktsiooniga. Graafik on sümmeetriline 0-punkti suhtes. f(x)=x3, sest (-x)3=-x3
Funktsioone, mille kahanemisvahemik Funktsioone, mille kasvamisvahemik ühtib ühtib määramispiirkonnaga, nimetatakse määramispiirkonnaga, nimetatakse kasvavateks kahanevateks funktsioonideks. funktsioonideks. Paarisfunktsiooni graafik on sümeetriline y- telje suhtes. Astmefunktsioonid : Paaritu funktsiooni graafik on sümeetriline y=X^-2 ehk Y=1/X^2 kordinaatide alguspunkti suhtes.
Funktsiooni esitusviise: I Analüütiline esitus valemi abil II Geomeetriline esitus graafiku abil III Numbriline esitus tabeli abil Tabelilisel esitamisel kirjutatakse kindlas järjekorras argumendi väärtused 1 2, , ... ,n x x x ja neile vastavad funktsiooni väärtused 1 2 , , ... ,n y y y . 7. Funktsioonide liike Paaris- ja paaritud funktsioonid: Def. Niisugust funktsiooni f x( ), mis rahuldab tingimust f (-x)= f( x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarisfunktsiooniks. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Def. Niisugust funktsiooni f x( ), mis rahuldab tingimust f( -x)= -f( x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarituks funktsiooniks. Paaritu funktsiooni korral f (0)= 0 . Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline nullpunkti suhtes. II. Perioodilised funktsioonid: Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f( x+ t)= f( x)= (t ≠ 0) iga x ja x t +
nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Paaris- ja paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. Definitsioon 4 Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant T 6= 0, et iga xkuulub X korral kui x + T kuulubX kehtib f (x + T) = f (x). V¨ahimat sellist positiivset konstanti T, juhul kui selline leidub, nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Definitsioon 5
likvideerida viide sisend ja mõõtetäpsuse ning signaalide väljundsignaalide vahel. Selleks tuleb potentsiaalse eristusvõime hulgaliseks Nihutada ajaarvamise impulsskaja hindamiseks. TÄISNURKNE, keskpunkti. IMPULSISISESE Arvutusmahtu on võimalik kokku hoida MODULATSIOONITA SONDEERIV kui fir filtri impulsskaja on paaris või SIGNAAL-analüütiline valem: paaritu funktsioon. Paarisfunktsiooni s(t)=A(t)cos0t. Kompleksamplituud on korral . Määramatuse funktsiooni h(n) = h c (n)h c (- n) =h c (n) N . uurimisel kasut tema lõikeid erinevate üksteise suhtes tuleb nihutatud tasapindadega. Keerukuse tõttu sisendsignaalid summeerimise alusel kasutatakse määramatuse funktsiooni lahutada. Paaritute urimisel tema lõikeid erinevate
Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y. Funktsiooni määramispiirkond. Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsiooni y muutumispiirkonnaks Y nimetatakse funktsiooni väärtuseid, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X. Funktsioonide liigid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f ( x) = f (- x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y- telje suhtes: y = x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f (- x) = - f ( x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline 0 punkti suhtes. Näiteks f(x)=x, f(x)=sinx. y = sin x Liitfunktsioon. Lihtfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis sõltub argumendist vahetult Liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni piirkonnas X kujul
71)Mis on tõenäosus ( sõnastus ja valem) Sündmuse tõenäosus on arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust teatud tingimustel. soodsate võimaluste arv Sündmus= kõigi võimaluste arv 72) a) Eksponentfunktsiooni graafik b) logaritmfunktsiooni graafik c) pöördfunktsiooni graafik 73) paaris –ja paaritu funktsiooni leidmise tingimus Paarisfunktsioon f(-x)=f(x) Paaritufunktsioon f(-x)=-f(x) 75) Mille suhtes on sümmeetriline a) paarisfunktsiooni (y-telje suhtes) b) paaritu funktsiooni(koordinaatide alguspunkti suhtes) c) pöördfunktsiooni (sirge y=x suhtes) graafikud
tükiti defineeritud funktsioonideks Näiteks: a) | | { ( ) ) b) { ( ) ) 6. Milliseid funktsioone nimetatakse paarisfunktsioonideks, milliseid paaritufunktsioonideks? Näited. Nimetage paaris-ja paaritu funktsioonide graafikute omadusded. Kui iga korral on f(-x) = f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks, ja kui on f(-x) = -f(x), siis paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=tanx, y=cot x, y=arcsinx ja y=arctanx on paaritud funktsioonid ning y=cos on paarisfunktsioon. Paaritu funktsiooni y=x3 graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 7. Defineerige funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon. Millisel tingimusel funktsioonil eksisteerib pöördfunktsioon
funktsiooniks. Funktsioone saab esitada: · tabelina x y 1 2 2 4 3 6 · graafikuna · analüütiliselt 1. ilmutatud kujul 2. ilmutamata kujul 3. funktsiooni parameetrilisel esitusviisil 6.Eriomadustega funktsioonid: ühesed, mitmesed, paaris- ja paaritud funktsioonid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(x)=f(-x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline y- telje suhtes, naiteks y=x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(-x)=-f(x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline 0 punkti suhtes Naiteks f(x)=x, f(x)=sinx Uheseks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus argumendi uhele vaartusele on seatud vastavusse ainult uks funktsiooni vaartus Näiteks : y= 2x - 3
, t T R y = y (t ) Näide: x = 5 cos(t ) , t [0; 2 ] y = 5 sin(t ) 4 Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) ja paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes sümmeetriline 0-punkti suhtes. 6 5 2 x 4 cos ( x) 3 x
tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f( x + ) = f (x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see võrdus kehtib, nim. funktsiooni y = f(x) perioodiks. (kõik trigonomeetrilised funktsioonid) 6. Paaris funktsioon- funktsiooni y = f(x) nim. paaris funktsiooniks kui f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes ( cos ) 7. Paaritu funktsioon- funktsiooni y = f(x) nim. paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon- olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab
Seda funktsiooni esitava avaldise määramispiirkond? 3. Jalgsimatk kestis 9 tundi. Esimesed 5 tundi liiguti kiirusega 4,5 km/h, siis puhati pool tundi ja ülejäänud aja liiguti kiirusega 4 km/h. Avaldada läbitud teepikkus (s) aja t funktsioonina. Leidke selle funktsiooni määramispiirkond. Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f(x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f(-x) = f(x), ja paarituks funktsiooniks, kui f(-x) = -f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, paaritufunktsiooni graafik aga 0-punkti suhtes. y Paaritu funktsioon 0 x Paarisfunktsioon Perioodilised funktsioonid Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f(x + ) = f(x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see
funktsioon. Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f (x + ) = f (x) iga x X korral. Näiteks on perioodilised kõik trigonomeetrilised funktsioonid. monotoonne funktsioon Ühtlaselt kasvav ja kahanev funktsioon ?
- 1) 2) 3) 4) 5 60 5 60 5 60 5 12 3. Leia avaldise log 2 (16d ) , kui log d 0, 25 = -2 . 1) 0,5 2) 1 3) 3 4) 5 4. Ühel antud joonistest on paarisfunktsiooni graafik, millisel? 1) 2) 3) 4) 10 Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium x -1 5. Leia määramispiirkond y = .
· Arvu täisosa funktsioon · y=[x], kus [x] on suurim täisarv, mis ei ületa arvu x. · Näited: [2,5]=2; [2,9]=2; [2]=2; [-2,5]=-3; [-2]= -2; [- 3,45]=-4; [0,(9)] 22. Murdosa funktsioon, graafik- · y={x}=x-[x] · [2,3]=2 · {2,3}=0,3 · {2}=0 · {-3,75}=0,25 23. Paarisfunktsioon- · Funktsiooni, mille graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks · Paarisfunktsiooni tunnuseks on võrdus · f(-x)= f(x) · Paarisfunktsioonid on näiteks kõik funktsioonid kujul · y=ax2+b, y=ax2k+b (k on täisarv) · + 24. Eksponentfunktsioon, graafik y = a , kus a R ja a 1 x · . · Määramispiirkond kõik reaalarvud · Muutumispiirkond positiivsed reaalarvud · Graafik läbib punkti (0;1)
Funktsioon f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga xX Põhilised elementaarfunktsioonid definitsioonid suhtes. korral kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsiooni korral y= , y= , y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y= , y=arcsinx, Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja esineb sümmeetria y-telje suhtes. y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx. lõpmatult kahanevaks, kui lim=0 kõrgemat järku suurused)
Graafik on joon(ed), mis kirjeldavad x ja y omavahelist seost ja suhet kindlates punktides. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme tasandil hulka G, mis koosneb punktidest P(x, f(x)), mille esimene koordinaat x omandab kõik väärtused määramispiirkonnas X. Seda hulka nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 9. Defineerida paaris- ja paaritu funktsioon. (lk 6) Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 10. Defineerida perioodiline funktsioon ja funktsiooni periood. (lk 6) Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks
Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja vastavalt funktsiooni y ka sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna Y. Seega funktsioon korraldab ühese vastavuse kahe hulga X ja Y elementide vahel. Funktsiooni üldtähiseks on y = f ( x ) . Paarisfunktsiooni tunnuseks on f ( - x ) = f ( x ) , paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni tunnuseks on f ( - x ) = - f ( x ) , paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni perioodilisuse tunnuseks on f ( x + nT ) = f ( x ) , n , kus T on lühim periood (näit. siinusfunktsioonil 2 ). Kui funktsiooni y = f ( x ) korral on tegemist üksühese vastavusega ja valemist
Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja vastavalt funktsiooni y ka sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna Y. Seega funktsioon korraldab ühese vastavuse kahe hulga X ja Y elementide vahel. Funktsiooni üldtähiseks on y f x . Paarisfunktsiooni tunnuseks on f x f x , paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni tunnuseks on f x f x , paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni perioodilisuse tunnuseks on f x nT f x , n ¢ , kus T on lühim periood (näit. siinusfunktsioonil 2 ).
polaarkoordinaatideks. OSA 2 1. Mis on ilmutamata kujul antud funktsioon? Esitage 2 näidet! Öeldakse, et funktsionaalne sõltuvus on esitatud võrrandiga ilmutamata kujul, kui muutuja x iga väärtuse korral hulgast X on . Näited: , 2. On antud võrrand . Ilmutada selle võrrandiga määratud funktsionaalne sõltuvus y = f(x)! On kaks funktsionaalset sõltuvust: ja 3. Esitage 2 paarisfunktsiooni näidet ja kujutage nende graafikud! Paarisf-n: 4. Esitage 2 paaritu funktsiooni näidet ja kujutage nende graafikud! Paaritu f-n: 5. Nimetage elementaarsed põhifunktsioonid! Astnef-nid, eksponentf-nid, logaritmf-nid, trigonomeetrilised f-nid, arkusf-nid 6. Mis on astmefunktsioon? Esitage astmefunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Astmef-n on funktsioon, kus f-n on reaalarvulises astmes. 7. Mis on eksponentfunktsioon? Esitage eksponentfunktsiooni näide ja koostage
punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. a. Paaris- ja paaritud funktsioonid a.i. Funktsioon f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga xX korral kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsiooni korral esineb sümmeetria y-telje suhtes. a.ii. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga xX korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x) b. Perioodilised funktsioonid Funktsiooni nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C>0 nii, et iga xX korral kehtib võrdus f(x+c)=f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. c. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid
tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon - funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f( x + ) = f (x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see võrdus kehtib, nim. funktsiooni y = f(x) perioodiks. (kõik trigonomeetrilised funktsioonid) 6. Paaris funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. paaris funktsiooniks kui f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes ( cos ) 7. Paaritu funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon - olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z.
parameetrilisele esitusele on teostatav valemitega: T y = r ( )sin , 2 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioonide liigid Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X . Definitsioon: Kui iga x X korral on f (- x ) = f ( x ) , siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paarisfunktsioon on näiteks y = x , y = cos x . Definitsioon: Kui iga x X korral on f (- x ) = - f ( x ) , siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Paaritu funktsioon on näiteks: y = x , y = sin x , y = tan x , y = cot x , y = arcsin x , y = arctan x .
y -2 2 x -2 2 x Joonis 1.5: funktsioonid y = x2 ja y = |x| y 1 -2 - 2 x -1 Joonis 1.6: funktsioon y = cos x paarisfunktsiooni graafikule kuulub punkt x; f (x), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub graafikule ka punkt -x; f (x). Need kaks punkti paiknevad koordinaatteljestikus s¨ ummeetriliselt y-telje suhtes. J¨arelikult on iga paarisfunktsiooni graafik s¨ ummeetriline y-telje suhtes. Definitsioon 1.5. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks, kui x X korral f (-x) = -f (x). 6
annaabi.ee 
