3 Kahe hulga A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse hulka AB, mis koosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad kas hulka A või hulka B, aga mitte mõlemasse korraga. AB={x: (xA ja xB) või (xA ja xB)} Kahe hulga A ja B otsekorrutiseks nimetatakse hulka AxB, mis koosneb kõigist järjestatud paaridest (x,y), kus xA ja yB. AxB={(x,y) : xA ja yB}. Paarides on elementide järjekord oluline. Otsekorrutist AxA nimetatakse hulga A otseruuduks ja tähistatakse A2. Üldiselt, otsekorrutist Ax...xA, kus hulk A esineb n korda, nimetatakse hulga A n-daks otseastmeks ja tähistatakse An. Otsekorrutise omadused: 1. Otsekorrutis tühja hulgaga a. Ax= xA= 2. Distributiivsus a. Ax(BC)=(AxB)(AxC) Ax(BC)=(AxB)(AxC) Ax(BC)=(AxB) (AxC)
.. ; yn) skalaarkorrutis (xy) defineeritakse seosega xy = x1y1 + ... + xnyn Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v V seab vastavusse skalaari d(u; v) R, kusjuures on täidetetud järgmised tingimused: Aritmeetilseks punktiruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetilseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgnevalt (x1;...; xn) + (y1;...; yn) := (x1 + y1; ... ; xn + yn) (x1; ... ; xn) := (x1; ... ;xn) kus (x1; ... ; xn); (y1; ... ; yn) Rn, R. Näidata et... 2. Ühe reaalmuutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuste mõistete üldistamine vektorruumile. E-ümbrused . Lause
Hulkade H1,....,Hn, otsekorrutiseks e Cartesiuse korrutiseks H1x...xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu
Kui palju erinevaid seoseid saab olla hulgal, milles on elementi? N^2 Seoste esitusviise Seoseid võib esitada väga mitmel viisil. i. Kui hulgad ja on lõplikud ja ei sisalda väga palju elemente, siis võib seost määrata lihtsalt temasse kuuluvate elemendipaaride loetelu teel (vt näiteid 1 ja 2). Seost võib kujutada ka tabelina. Seos 1 näites 1 esitub tabelina järgmiselt: A 2 2 3 3 B 2 3 1 5 ii. Kui otsekorrutist × kujutada ristkülikuna, siis seost hulkade ja vahel võime kujutada ükskõik millise kujundina selle ristküliku sees. . iii. Maatriksesitus. Olgu = {1, . . . , } ja = {1, . . . , } ning × . Seame seosele vastavusse maatriksi = (), kus = 1, kui ( , ) ja = 0, kui ( , ) , kus = 1, 2, ... , ja = 1, 2, ... , . iv. Seoseid võib kujutada ka mitmesuguste nooldiagrammide abil. Kui element on seoses
U | (x A) } = { x U | ¬(x A) }. f. Venni diagrammid, tehete algebralised omadus, nende tõestamine ja kontroll https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=78718 lk 5 12 16) a. Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes'i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a A ja b B: A × B = {(a, b) | a A & b B }. b. Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A×...× A, kus A esineb n korda. c. Otsekorrutise omadused. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php? id=78718 lk 13 15. Funktsioonid ja relatsioonid 17) a. Def. Binaarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade X ja Y elementide vahel nimetatakse nende hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka X × Y b. Def. n-aarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade X1, X2,..., Xn elementide
ortonormeeritud süsteemiga {𝜑𝑘 (𝑥)} (𝑘 ∈ 𝑁0), omandab valem kuju 𝑐𝑘 = 〈𝑓, 𝜑𝑘 〉 (𝑘 ∈ 𝑁0). Def. Ortogonaalrida, (afiinseks ruumiks) Rn nimetatakse otsekorrutist R× . . . ×R, milles on n tegurit ja R on reaalarvude hulk. Punktiruumi nimetatakse funktsiooni f(x) Fourier’ reaks ortogonaalse süsteemi {𝜑𝑘 (𝑥)} (𝑘 ∈ 𝑁0) järgi. elemente nimetatakse selle ruumi punktideks ja arve xi nimetatakse punkti P (x1, . . . , xn) koordinaatideks. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus
kaalukoefitsientide algväärtuste valikust jne. Kõik need parameetrid tavaliselt* valitakse igal konkreetsel juhul empiiriliste teadmiste alusel. Ühe soovituse otsesuunatud kahekihilise närvivõrgu peidetud kihi neuronite valiku kohta annab Kolmogorovi teoreem. 2.2 Kolmogorovi teoreem Kolmogorovi teoreemi formuleerimiseks defineerime kuubi mõiste. Definitsioon 8 n-mõõtmeliseks kuubiks n ruumis n nimetatakse lõikude otsekorrutist n = [a1 ; b1 ] × [a2 ; b2 ] × K × [a n ; bn ] , (2.7) kus b1 - a1 = b2 - a2 = K = bn - an = r > 0 . Lõike [a1 ; b1 ],K,[an ; bn ] nimetatakse kuubi n servadeks ja arvu r serva pikkuseks. Kui närvivõrgul on n sisendit, siis sisendvektor kuulub kuubi n . Teoreem 3 (Kolmogorovi) Iga kuubis n pidev funktsioon avaldub järgmisel kujul: 2 n +1
AΔ B = (A∪ B) (A∩ B] 16. Hulkade otsekorrutis. Otseaste. Otsekorrutise omadused [3, 4, 5] Hulkade otsekorrutis 13 o DEF: Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes’i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a∈A ja b∈B: A × B = { (a, b) | a∈A & b∈B } Otseaste o DEF: Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A × … × A, kus A esineb n korda. Otsekorrutise omadused o Otsekorrutis ei ole kommutatiivne ega assotsiatiivne operatsioon. o Tõestus. Juba üheelemendiliste hulkade puhul koosnevad vastavad otsekorrutised erinevatest elementidest: {1}×{2} ≠ {2}×{1}, sest {1}×{2} = {(1, 2)}, aga {2}×{1} = {(2, 1)}; ({1}×{2})×{3} ≠ {1}×({2}×{3} ), sest ({1}×{2})×{3} = {(1, 2), 3}, aga {1}×({2}×{3} )= {1, (2, 3)}.
kaalukoefitsientide algväärtuste valikust jne. Kõik need parameetrid tavaliselt* valitakse igal konkreetsel juhul empiiriliste teadmiste alusel. Ühe soovituse otsesuunatud kahekihilise närvivõrgu peidetud kihi neuronite valiku kohta annab Kolmogorovi teoreem. 2.2 Kolmogorovi teoreem Kolmogorovi teoreemi formuleerimiseks defineerime kuubi mõiste. Definitsioon 8 n-mõõtmeliseks kuubiks n ruumis n nimetatakse lõikude otsekorrutist n = [a1 ; b1 ] × [a2 ; b2 ] × K × [a n ; bn ] , (2.7) kus b1 - a1 = b2 - a2 = K = bn - an = r > 0 . Lõike [a1 ; b1 ],K,[an ; bn ] nimetatakse kuubi n servadeks ja arvu r serva pikkuseks. Kui närvivõrgul on n sisendit, siis sisendvektor kuulub kuubi n . Teoreem 3 (Kolmogorovi) Iga kuubis n pidev funktsioon avaldub järgmisel kujul: 2 n +1
Teoreem Hulkade A, B, C ja D jaoks kehtivad järgmised võrdused: 1. A × = , × A = ; 2. A × (B C) = (A × B) (A × C); 3. A × (B C) = (A × B) (A × C); 4. (A × B) (C × D) = (A C) × (B D); 5. A × (B C) = (A × B) (A × C) TÕESTUS 2. Kahe hulga otsekorrutise mõiste on lihtsalt üldistatav mis tahes lõplikule arvule hulkadele. Olgu n , siis A 1 × ... × A n={(a1 , ... , an):a1 A 1 , ... , an A n }. A ×... × A n Otsekorrutist tähistatakse An ja nimetatakse hulga A n-daks otseastmeks. 3 Näide: × × = . . 6. LOENG Arvuteooria elemente. Matemaatiline induktsioon Definitsioon Öeldakse, et täisarv a jagab täisarvu b (ja tähistatakse a | b), kui leidub selline täisarv c, et ac = b. Näide: 412 , 3 5 Fakti, et a | b võib tähistada ka kujul b a ehk arv b jagub arvuga a.
. . konstrueerimise protsess katkeb teatud sammul ja kehtib v˜or- dus (7.13) mingi n ∈ N korral. Sisalduvusest (7.12) ja v˜ordu- sest (7.13) j¨areldub X = ∪ni=1 Gxi . Seega on eraldatud kattest A l˜oplik osakate {Gx1 , . . . , Gxn } ja ruum X on kompaktne. Implikatsioon 30 =⇒ 10 on n¨aidatud. 7.4 Heine-Boreli teoreem J¨argnevalt p¨ uu¨takse anda ruumi Rn kompaktsete hulkade kir- jeldus. Definitsioon 7.7 Kuubiks K ruumis Rn nimetatakse l˜oikude otsekorrutist K = [a1 ; b1 ] × [a2 ; b2 ] × . . . × [an ; bn ], kus b1 − a1 = b2 − a2 = . . . = bn − an = r > 0. L˜oike [a1 ; b1 ], . . . , [an ; bn ] nimetatakse kuubi K servadeks ja arvu r serva pikkuseks. Kuubi K keskpunktiks nimetatak- se punkti a1 + b 1 a2 + b 2 an + b n ( ; ; ... ; ). 2 2 2 Definitsioon 7.8 Ruumi Rn alamhulka A nimetatakse
annaabi.ee 
