kui det A = 0 . Kui homogeensel võrrandsüsteemil on üheks mittetriviaalseks lahendiks x1 bx1 x2 bx2 X = , siis on lahendiks ka bX = , kus b on suvaline konstant . ... ... x bx n n Vektorid Olgu n -mõõtmelises ruumis ortonormeeritud baasvektorid e1 = (1, 0, ..., 0 ) , e 2 = ( 0,1, ..., 0 ) , e n = ( 0, 0, ...,1) . 1 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken n
Oletame, et vaadeldav rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x), s.o Avaldame seosest kordajad ck funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose (3) mõlemat poolt suurusega k(x) ja integreerides seejärel saadud seose mõlemat poolt, saame Seose paremas võib pooles muuta integreerimise ja summeerimise järjekorda. Saan Et süsteem { k (x)} on ortogonaalne lõigul [a, b] , siis , saame Erijuhul, kui tegemist on ortonormeeritud süsteemiga , omandab valem kuju Def. Ortogonaalrida, nimetatakse funktsiooni f(x) Fourier’ reaks ortogonaalse süsteemi järgi. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Lause Ortonormeeritud süsteemi korral integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) Fourier’ rea osasumma kujutab endast funktsiooni f(x) parimat keskmist lähendit võrreldes teiste sama süsteemi järgi moodustatud ortonormaalridade n-ndat järku osasummadega.
Oletame, et vaadeldav rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x), s.o Avaldame seosest kordajad ck funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose (3) mõlemat poolt suurusega k(x) ja integreerides seejärel saadud seose mõlemat poolt, saame Seose paremas võib pooles muuta integreerimise ja summeerimise järjekorda. Saan Et süsteem { k (x)} on ortogonaalne lõigul [a, b] , siis , saame Erijuhul, kui tegemist on ortonormeeritud süsteemiga , omandab valem kuju Def. Ortogonaalrida, nimetatakse funktsiooni f(x) Fourier' reaks ortogonaalse süsteemi järgi. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Lause Ortonormeeritud süsteemi korral integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) Fourier' rea osasumma kujutab endast funktsiooni f(x) parimat keskmist lähendit võrreldes teiste sama süsteemi järgi
Oletame, et vaadeldav rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x), s.o Avaldame seosest kordajad ck funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose (3) mõlemat poolt suurusega k(x) ja integreerides seejärel saadud seose mõlemat poolt, saame Seose paremas võib pooles muuta integreerimise ja summeerimise järjekorda. Saan Et süsteem { k (x)} on ortogonaalne lõigul [a, b] , siis , saame Erijuhul, kui tegemist on ortonormeeritud süsteemiga , omandab valem kuju Def. Ortogonaalrida, nimetatakse funktsiooni f(x) Fourier' reaks ortogonaalse süsteemi järgi. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Lause Ortonormeeritud süsteemi korral integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) Fourier' rea osasumma kujutab endast funktsiooni f(x) parimat keskmist lähendit võrreldes teiste sama süsteemi järgi
DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset sõltumatute vektorite hulka nimetatakse selle vektorite hulga BAASIKS. Baasivektorite arvu nimetatakse vaadeldava vektorite hulga MÕÕTMEKS. MÄRKUS. Sõltumatute vektorite hulga maksimaalsus tähendab seda, et kui lisada baasile kas või üks vektor, tekib lineaarselt sõltuv vektorite süsteem. DEFINITSIOON 6. Kui vaadeldava baasi elemendid e1, e2, . . . , en on paarikaupa ristuvad ühikvektorid, siis nimetatakse seda baasi ORTONORMEERITUD BAASIKS. 4 VEKTORI KOORDINAADID ANTUD BAASIS TEOREEM. Kui vektorid a, e1, e2, . . . , en moodustavad lineaarselt sõltuva süsteemi, siis saab ühe neist alati avaldada teiste lineaarse kombinatsioonina: a = 1e1 + 2e2 + . . . + nen . (A) MÄRKUS. Kui e1, e2, . . . , en moodustavad baasi, siis kordajaid avaldises (A) nimetatakse vektori a KOORDINAATIDEKS selles baasis. Võime kirjutada:
DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset sõltumatute vektorite hulka nimetatakse selle vektorite hulga BAASIKS. Baasivektorite arvu nimetatakse vaadeldava vektorite hulga MÕÕTMEKS. MÄRKUS. Sõltumatute vektorite hulga maksimaalsus tähendab seda, et kui lisada baasile kas või üks vektor, tekib lineaarselt sõltuv vektorite süsteem. DEFINITSIOON 6. Kui vaadeldava baasi elemendid e1, e2, . . . , en on paarikaupa ristuvad ühikvektorid, siis nimetatakse seda baasi ORTONORMEERITUD BAASIKS. 4 VEKTORI KOORDINAADID ANTUD BAASIS TEOREEM. Kui vektorid a, e1, e2, . . . , en moodustavad lineaarselt sõltuva süsteemi, siis saab ühe neist alati avaldada teiste lineaarse kombinatsioonina: a = 1e1 + 2e2 + . . . + nen . (A) MÄRKUS. Kui e1, e2, . . . , en moodustavad baasi, siis kordajaid avaldises (A) nimetatakse vektori a KOORDINAATIDEKS selles baasis. Võime kirjutada:
𝑘→∞ 𝑏𝑘 kui tegemist on ortonormeeritud süsteemiga {𝜑𝑘 (𝑥)} (𝑘 ∈ 𝑁0 ), omandab valem kuju 𝑐𝑘 = 〈𝑓, 𝜑𝑘 〉 (𝑘 ∈ 𝑁0 ). Def. positiivse arvrea korral samaväärne selle rea osasummade jada {𝑆𝑛 } tõkestatusega ,st ᴲM> 0 : 𝑆𝑛 ≤ M (n ∈ N), siis ahela
,V; öeldakse, et ( on risti -ga ehk , on ortogonaalsed), kui * = 0. <=> * = 0 29. Ortonormaalne baas. Vektorite skalaarkorrutise, vektori pikkuse ja punktide vahelise kauguse leidmise reeglid ortonormaalse reeperi korral. 1, ..., n olgu V baas; öeldakse, et see baas on ortogonaalne, kui ij i,j korral. Ortonormaalne, kui ta on ortogonaalne ja ||i|| = 1 i korral Kui ortogonaalses vektorite süsteemis i, ..., m kõik vektorid on normeeritud, siis öeldakse, et 1, ..., m on ortonormeeritud vektorite süsteem. Eukleidilise vektorruumi baasi nimetatakse ortonormeeritud ehk ortonormaalseks baasiks, kui baasivektorid moodustavad ortonormeeritud vektorite süsteemi. Ortonormaalne reeper: i*j = 0, kui ij ja 1, kui i=j. Eukleidilise ruumi reeperit R = (O; B), milles B = {1; ...; n} on vektorruumi V ortonormaalne baas, nimetatakse ortonormaalseks reeperiks ehk teljestikuks. = (a1; ...; an) = a11 + ... + ann = aii; = (b1; ...; bn) = b11 + ... + bnn = bjj. * = (aii) * (bjj) = (..
Skalaarkorrutis, norm ja kaugus. Aritmeetiline punktiruum ja vektorruum. Aritmeetiliseks punktiruumiks 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑓𝑥 (𝑥 + 𝜃∆𝑥, 𝑦 + 𝜃∆𝑦)∆𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑥 + 𝜃∆𝑥, 𝑦 + 𝜃∆𝑦)∆𝑦. ortonormeeritud süsteemiga {𝜑𝑘 (𝑥)} (𝑘 ∈ 𝑁0), omandab valem kuju 𝑐𝑘 = 〈𝑓, 𝜑𝑘 〉 (𝑘 ∈ 𝑁0). Def. Ortogonaalrida, (afiinseks ruumiks) Rn nimetatakse otsekorrutist R× . . . ×R, milles on n tegurit ja R on reaalarvude hulk. Punktiruumi nimetatakse funktsiooni f(x) Fourier’ reaks ortogonaalse süsteemi {𝜑𝑘 (𝑥)} (𝑘 ∈ 𝑁0) järgi
Tõestust vaata p 20. Üldiselt võib operaatori ühele omaväärtusele vastata mitu omafunktsiooni, mis ei tarvitse olla ortogonaalsed. Ent lineaarsete kombinatsioonide abil saab alati kõiki sõltumatuid omafunktsioone ortogonaliseerida. Seega võime alati oletada, et operaatori kõik funktsioonid moodustavad ortogonaalsete funktsioonide süsteemi. Funktsioonide süsteemi, mille iga element on normeeritud ja kõikide teiste elementidega ortogonaalne, nimetatakse ortonormeeritud süsteemiks (ON- süsteem). 22. Funktsioonide lineaarne sõltumatus Hermiitilise operaatori erinevatele omaväärtustele vastavad omafunktsioonid on lineaarselt sõltumatud. Tõestust vt p 20. 23. Ortonormeerituse tingimus diskreetse ja pideva spektri korral Olgu i ja k meelevaldsed ON-süsteemi elemendid, siis peab kehtima i * k dq = ik . (23.1)
t (ai |aj ) = 0 i = j Peame n¨aitama, et 1 a1 + · · · + n an = o = 0 = 1 = · · · = n Arvutame 0 = (o|aj ) = (1 a1 + · · · + n an |aj ) = 1 (a1 |aj ) + · · · + j (aj |aj ) + · · · + n (an |aj ) = j (aj |aj ) Et aj = o, siis (aj |aj ) = 0. J¨arelikult j = o (j = 1, . . . , n). 17.3 Ristbaas Eukleidilise ruumi baasi, mis on ortogonaalne, nimetatakse orto- gonaalbaasiks. Eukleidilise ortonormeeritud baasi nimetatakse ka ristbaasiks. 17.4 Teoreem Eukleidilise ruumi ortogonaalne moodustajate s¨ usteem, mis ei si- salda nullvektorit, on baas. T~ oestus. J¨areldub teoreemist 17.2. 17.5 Teoreem Eukleidilise ruumi ortonormeeritud moodustajate s¨ usteem on ris- tbaas. 38 V. Vektorruumid 17.6 Teoreem Olgu {e1 , . .
Kui vektor ei ole normeeritud, siis seda võib normeerida jagades vektor tema pikkusega . S.t., et vektorile vastav normeeritud vektor on leitav valemiga = Veendume, et vektor on tõepoolest normeeritud. Vektori pikkuse omaduse 1 kohaselt: = = Definitsioon. Ortogonaalse baasi, mille kõik vektorid on normeeritud (ühikvektorid), nimetatakse ortonormeeritud ehk ortonormaalseks baasiks. Seega, kui B = 1, 2,..., n} on vektorruumi ortonormaalne baas, siis (1) Juhul n = 2 tähistatakse tavaliselt 1 = ; 2 = ; juhul n = 3 tähistatakse tavaliselt 1 = ; 2 = 3 = . Teoreem 1. Eukleidilises vektorruumis alati võib valida ortonormaalse baasi. Teoreem 2
annaabi.ee 
