eukleidiliseks vektorruumiks. Afinset ruumi A = (V,P), milles V on eukleidiline vektorruum, nimetatakse eukleidiliseks ruumiks. Eukleidilise ruumi A = (V,P) mõõtmeks nimetatakse vektorruumi V mõõdet. Eukleidilises ruumis defneeritavad mõisted: 1. vektori pikkus |||| = sqrt(*) 2. punktide A ja B vaheline kaugus (A, B) = ||vektor(AB)|| 3. vektorite ja vaheline nurk ; cos() = (*) / (||||*||||) 4. ristseis ehk ortogonaalsus 5. ortonormaalne baas 26. Vektori pikkus ja selle omadused (tõestustega). vektori pikkus |||| = sqrt(*) Eksisterib skalaarkorrutise 1. omaduse põhjal. Pikkuse omadused: 1. |||| >= 0; |||| = 0 <=> = (2. omadus) 2. ||c|| = |c|*|||| (Tõestus: ||c|| = sqrt((c)*(c)) = sqrt(c2(*)) = |c|*||||) 3. Cauchy-Bunjakovski võrratus: |*| <= |||| * |||| ,V; (Tõestus: xR; vaatame skalaarkorrutist (+x)*(+x) > 0 x => * + *(x) + (x)* + (x)*(x) >= 0 x => * + 2x(*) + x2(*) >= 0 x => y = ax2 + bx + c >= 0 x
Vektorkujul antud liikumisvõrrandiga on ikka ja jälle probleeme. Et asi ükskord selgeks saaks, annan lühikonspekti. Alguseks lepime kokku tähistes: 1. Mis on liikumisvõrrand? - on funktsioon, mis määrab liikuva keha (punkti!) asukoha mingil ajahetkel. Võib olla igasugune funktsioon. - keha (punkti!) asukoha määrab kohavektor, mis antakse kolme koordinaadiga (x,y,z). Need koordinaadid määravad keha asukoha kolmruumi ortonormaalse reeperi suhtes. - ortonormaalne reeper koosneb kolmest omavahel risti olevast ühikvektorist. Tähistame neid: i, j, k, peale paneme vektorimärgid. Kokku saame valemi vektorkujul mis on samaväärne kolme skalaarse võrrandiga: 2. Newtoni mehaanikas on kombeks esitada neid võrrandeid ruutpolünoomina 3. Liikumisvõrrandi esimest tuletist nimetatakse kiiruseks: ja teist tuletist kiirenduseks: Kui kiirendus on konstantne, on kõik kolm koordinaatvõrrandit samaväärsed koolifüüsikast tuntud
skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused saavad põhjendada lähtudes skalaarkorrutise definitsioonist. (nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on antud oma kordinaatide või komponentidega ortonormaalsel baasil. Teoreem 3 kui baas on ortonormaalne siis selleks et korrutada skalaarselt kahe vektorit, mis on antud oma koordinaatidega sellel baasil, tuleb korrutada vektorite vastavad koordinaadid ja need korrutised liita a*b=a1b1+a2b2+a3b3 Lõigu pikkus AB= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) Kahe vektori vektorkorrutis Vektorite a ja b vektorrkorrutis nim vektorit y mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende vektoritega ning suunatud
a)igale kahele punktile A, BP vastab parajasti üks vektor AB V b)iga punkti AP ja vektori V korral leidub parajasti üks punkt B P nii, et = AB ; c)iga kolme punkti A, B, CP korral kehtib võrdus AB + BC= AC kordinaadid- Eukleidiline ruum-ortonormaalne reeper,kaugus,omadused. A=(V,P)-vektorruumis v on võimalik teostada ainult lineaartehteid (liitmist ja korrutamist) A=(V,P)-kus on eukleideline vektrruum-on euklideline ruum,vektorruumi mõõde V on ka eukleideline mõõde. Reeper-on xy teljestik,suunalised ühikvektorid on y-teljel ja x-teljel on baasivektorid. Kaugus-on AB vektorite pikkus,seda tähistatakse (A,B).omadused-A,B,C A=(V,P)eukleidil.siis:
Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. 14. Vektorruumi baasi definitsioon. Geomeetriliste vektorite baas, aritmeetiliste vektorite baas, maatriksite vektorruumi baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Vektori koordinaadid 15. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Eukleidiline vektorruum. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas. Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi. 16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori koordinaadid üldvõrrandist. Punkti kaugus sirgeni, selle leidmise valem tasandilise sirge korral. Tasandi
eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel. 23. Ortogonaalsed vektorite süsteemid. On eukleidilises vektoriruumis V.ortogonaalsed vektorin on lineaarselt sõltumatud.ühik vektor on kui tema pikkus on võrdne 1,tähistatakse ,üleminek on normeerimine.kui ortogonaalses vektorsüsteemis on kõik vektorid normeeritud-nad on vastavad ühikvektoritele,see ongi ortogonaalne vektorisüsteem. 24. Eukleidiline ruum-ortonormaalne reeper,kaugus,omadused. A=(V,P)-vektorruumis v on võimalik teostada ainult lineaartehteid (liitmist ja korrutamist) A=(V,P)-kus on eukleideline vektrruum-on euklideline ruum,vektorruumi mõõde V on ka eukleideline mõõde. Reeper-on xy teljestik,suunalised ühikvektorid on y-teljel ja x-teljel on baasivektorid. Kaugus-on vektorite pikkus,seda tähistatakse (A,B).omadused- A,B,CA=(V,P)eukleidil.siis:
2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k € N) Tšebõšovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause: (1-liiki) Tšebõtšovi polünoomid {Tk}∞k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [-1, 1] kaalufunktsiooniga Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju. Fourier' rida trigonomeetrilise süsteem Funktsioonide süsteem on täielikult (kaalutufunktsiooniga w(t)=1) süsteem lõigul pikkusega 2l. Funktsiooni f Fourier’ rida selle süsteemi järgi on kujul kus: Fourier' koosinusrida
Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k N) Tsebõsovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause: (1-liiki) Tsebõtsovi polünoomid {Tk}k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [- 1, 1] kaalufunktsiooniga Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju. Fourier' rida trigonomeetrilise süsteem Funktsioonide süsteem on täielikult (kaalutufunktsiooniga w(t)=1) süsteem lõigul pikkusega 2l. Funktsiooni f Fourier' rida selle süsteemi järgi on kujul kus: Fourier' koosinusrida
Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k N) Tsebõsovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause: (1-liiki) Tsebõtsovi polünoomid {Tk}k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [- 1, 1] kaalufunktsiooniga Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju. Fourier' rida trigonomeetrilise süsteem Funktsioonide süsteem on täielikult (kaalutufunktsiooniga w(t)=1) süsteem lõigul pikkusega 2l. Funktsiooni f Fourier' rida selle süsteemi järgi on kujul kus: Fourier' koosinusrida
skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused saavad põhjendada lähtudes skalaarkorrutise definitsioonist. (nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on antud oma kordinaatide või komponentidega ortonormaalsel baasil. Teoreem 3 kui baas on ortonormaalne siis selleks et korrutada skalaarselt kahe vektorit, mis on antud oma koordinaatidega sellel baasil, tuleb korrutada vektorite vastavad koordinaadid ja need korrutised liita a*b=a1b1+a2b2+a3b3 Lõigu pikkus AB= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) Kahe vektori vektorkorrutis Vektorite a ja b vektorrkorrutis nim vektorit y mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende
Taustkeha ja kohavektor- Taustkeha on keha, mille suhtes vaadeldakse teiste kehade liikumist (täpsemalt, suhtelist liikumist).Taustkehaga seotakse sobiv koordinaadistik ja kell, mis koos moodustavad taustsüsteemi. Mingi keha asukoht taustkeha suhtes määratakse koordinaatidega vastavas koordinaadistikus. Kohavektor on selline vektor, mille alguspunkt ühtib koordinaatide alguspunktiga. Seetõttu on kohavektori koordinaadid võrdsed vektori lõpp- punkti koordinaatidega. r Ristkoordinaadid (ortonormaalne reeper) Koordinaadid. Termin kolmemõõtmeline väljendab vektori kirjapanekuks vajalike sõltumatute muutujate - koordinaatide - hulka. Igapäevakogemus kinnitab. et keha asukoha määramiseks piisab kolmest arvust (tinglikult pikkus, laius ja kõrgus). Nende kolme arvu saamiseks tuleb konstrueerida koordinaatsüsteem - reeglistik nimetatud arvude leidmiseks. Lihtsaim ja sagedamini kasutatav on ristkoordinaadistik (ka Descartes'i või Cartesiuse koordinaadid): kolm üksteisega risti olevat
kindla keha jaoks, on otstarbekas eraldada üks kehadest (see, mille liikumist ei vaadelda) kui gravitatsioonivälja allikas; teise keha liikumist vaadeldakse-rehkendatakse siis allika poolt tekitatud gravitatsiooniväljas. Kuna liikumise uurimine eeldab nagunii taustkeha olemasolu, võime lugeda selleks välja tekitava keha, nii, et taustkeha ja välja allikas moodustavad liikumise kirjeldamiseks vaja mineva taustsüsteemi - näiteks on ortonormaalne reeper, kus välja allikas asub koordinaadistiku nullpunktis. Teljed võime suunata suvaliselt. Gravitatsioonivälja tugevuseks nimetame jõuväljas olevale kehale mõjuva gravitatsioonijõu suhet selle keha massiga: o Elektriväli: elektrilaeng, väljatugevus ja potentsiaal, nende ühikud Elektrilaengut, mis ei muuda protsessi (katse) käigus oma asukohta, nimetatakse staatiliseks elektriks o Väljatugevuste liitmine vektorkujul Loen 12
nimetatakse integreerimislõiguks. Näide. Loeng 2 · Taustkeha ja kohavektor. taustkeha ,,keha", kust kohavektor lähtub. Kohavektori muutumine väljendab uuritava keha liikumist taustkeha suhtes. Taustkehas lähtub enamasti koordinaatide võrgustik, selle 0-punkt on taustkehaks. kohavektor on suunatud lõik taustkehast uuritava kehani. Ta näitab uuritava keha asukohta taustkeha suhtes · Ristkoordinaadid (ortonormaalne reeper). Lihtsaim ja sagedamini kasutatav koordinaatsüsteem on ristkoordinaadistik: kolm üksteisega risti olevat ühikvektorit, mille suunale projekteeritakse kirjeldatav kohavektor. Neid nn. baasivektoreid tähistatakse tähtedega , ja ning nad koos moodustavad ortonormaalse reeperi ("orto" tähendab siin ristseisu e. ortogonaalsust, "normaalne" aga seda, et vektorite pikkus on normeeritud väärtusega üks pikkusühik).
Koonduvat arvrida 𝑘=1 𝑎k nimetatakse tingimisi koonduvaks, kui ta ei koondu absoluutselt. Tingimisi koonduval real ∑∞ ∑ ∞ 𝑘=1 𝑎 k , . Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: {√ , √ 𝑇𝑘 } ak≤bk, siis
1. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on täidetud tingimus f(x,y)>=g(x,y). Kahekordse integraali 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe omaduse tõttu ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Mõlemad kahekordsed 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑 muutuja funktsioonil on punktis P1(x1, y1) lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus teisendus on kujul 𝑧=𝑧 .Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). ∭Ω 𝑓(𝑥, ...
· Magnetmoment - tähendab ainest tingitud täiendava magnetvälja tekkimist. Aine magneetumist iseloomustav suurus igas aine punktis on magneetumusvektor J - aine magnetmoment ruumalaühiku kohta. · Induktiivsus L (H) (Henry) · Noolereegel, selle rakendamine vektorkorrutisena antud valemite graafilisel kujutamisel. a) vektorkorrutis; b) ortonormaalne reeper kui "parempoolne kolmik" Vektorkorrutis koordinaatkujul: ja determinandina: · Magnetväli vooluga juhtme ümber: suuna määramine. Ampere'i seadus: Vooluga juhtmele magnetväljas mõjuv jõud on võrdeline voolutugevuse, juhtme pikkuse ja magnetilise induktsiooniga ning magnetvälja ja voolu suundade vahelise nurga siinusega. Jõud on risti nii juhtme kui magnetväljaga, tema suuna määrab vasaku käe reegel.
· Magnetmoment - tähendab ainest tingitud täiendava magnetvälja tekkimist. Aine magneetumist iseloomustav suurus igas aine punktis on magneetumusvektor J - aine magnetmoment ruumalaühiku kohta. · Induktiivsus L (H) (Henry) · Noolereegel, selle rakendamine vektorkorrutisena antud valemite graafilisel kujutamisel. a) vektorkorrutis; b) ortonormaalne reeper kui "parempoolne kolmik" Vektorkorrutis koordinaatkujul: ja determinandina: · Magnetväli vooluga juhtme ümber: suuna määramine. Ampere'i seadus: Vooluga juhtmele magnetväljas mõjuv jõud on võrdeline voolutugevuse, juhtme pikkuse ja magnetilise induktsiooniga ning magnetvälja ja voolu suundade vahelise nurga siinusega. Jõud on risti nii juhtme kui magnetväljaga, tema suuna määrab vasaku käe reegel.
Aga vektoril on ka suund, ta võib olla suunatud joonise suhtes nii ette- kui tahapoole. Et kaht suunda eristada, joonistatakse ringikese sisse kas punkt või rist. Punkt tähendab, et vektor on suunatud vaatleja poole (vaatleja näeb läheneva noole tippu), rist aga seda, et vektor on suunatud joonise taha (vaatleja näeb minema lendava noole sabasulgi). Vektorkorrutis koordinaatkujul: ja determinandina: Noolereegel: a) vektorkorrutis; b) ortonormaalne reeper kui "parempoolne kolmik". 76 Nimetame seda võtet "noolereegliks" ja kasutame oma joonistel homogeense magnetvälja kujutamiseks. Juhtmete, juhtmekeerdude ja laetud osakeste liikumist ning neile nõjuvaid jõude on nii väga mugav kujutada. Küsimus: Korrutustehte kirjeldamisel rääkisime kahest tegurist, mitte "korrutatavast" ja "korrutajast"
annaabi.ee 
