vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis Pn(x)=x01+x1x+x2x^2+...xnx^n Reaalarv x0, mille korral Pn(xo)=0 nim nullkohaks. Maatrikspolünoom ja selle nullkohad:Pn(A)=o*E+1A+2A^2+...+nA^n Maatriks Ao, mille korral Pn(Ao)= Ortogonaalmaatriks: ruutmaatriks, mille korrutis oma transponeeritud maatriksiga võrdub ühikmaatriksiga E.
Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vektorid kollinaarsed Nullvektorist erinevat vektorit x nim lineaarteisenduse f omavektoriks kui on rahuldatud aga tingimus f(x)=*x, aga lineaarteisenduse omaväärtuseks. Vektorarvutus: 3 algmõistet: punkt, vektor, reaalarv. 1') leidub vähemalt 1 punkt 2') igale kahele võetud punktile A ja B seatakse vastavusse üks vektor a, AB=a 3') iga punkti A ja vektori a korral leidub parajast 1 punkt B, niiet punktidele A ja B vastab vektor a 4') Kui AB=CD, siis AC=BD. Järeldused: J1: AC=BD, AB+BC=BC+CD, AB=BC=BC+AB, a+b=b+a; J2: AA=BB=0,
Saadakse uued suurused ij, millised nimetatakse maatriksi A elemendile aij vastavaks alamdeterminandiks. i j = (-1) i + j mi j A' = ( mi j) miinorite maatriks A* = (i j) alamdeterminantide maatriks A~ = A*T adjungeeritud maatriks Maatriksi omaväärtused ja omavektorid Kui teatava ruutmaatriksi A (n × n) korral leidub maatriksi X (n × 1) X ja leidub reaalarv , et rahuldatud on tingimus A X = X, siis maatriksi X nimetatakse maatriksi A omavektoriks ja reaalarvu nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks.
x = x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 = 0 [ f (e1 ) ] = ( a11 a12 a13) [e1 ] A = [ f (e2 ) ] = ( a21 a22 a23) [e2 ] [ f (e3 ) ] = ( a21 a22 a23) [e3 ] Maatriksi A nimetatakse lineaarteisenduse maatriksiks antud baasi korral. Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi sellised vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. Aksioom3 Nullvektorist erinevat vektorit x nimetatakse lineaarteisenduse f omaväärtusele vastavaks omavektoriks, kui on rahuldatud tingimus: f ( x ) = x . Vektorarvutus Algmõistetele tuginedes sõnastatakse teatavad laused, mida nimetatakse aksioomideks ehk postulaatideks. Aksioom1 Eksisteerib vähemalt üks punkt. Aksioom2 Igale kahele kindlas järjekorras võetud punktile a ja b seatakse vastavusse parajasti üks vektor. Aksioom3 Iga punkti A ja vektori a korral leidub parajasti üks punkt B, nii et punktidele A ja B vastab vektor. Aksioom4 Kui AB = CD kehtib, siis ka AC = BD.
selle lineaarteisenduse determinandi märk vastupidiseks. 4. Eksponentkuju: =r* omavektoriks ja arvu selle omaväärtuseks. 3. Determinandi mingi rea/veeru kõigi 5. Vektorkuju: =(a;b) elementide korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu determinant sama Moivre'i valem: arvuga
L on ortogonaalmaatriks parajasti siis, kui tema maatriks A rahuldab omadust A-1 = AT Ruutmaatriks A on ortogonaalmaatriks parajasti siis, kui tema reavektorid on omavahel risti ja pikkusega 1. Tõestus: A*AT = maatriks(11 .... 1n; ...; n1 ... nn) = E <=> ij = 1, kui i=j ja 0, kui ij => ||i|| = 1 i ja ij, kui ij Analoogiliselt tõestatakse teoreem veergude jaoks. 38. Omaväärtused ja omavektorid ning nende leidmine. = (V,P); R = (O; 1; ...; n); V; = xT Lineaarteisenduse L omavektoriks nimetatakse nullvektorist erinevat vektorit , mille jaoks leidub selline reaalarv tR nii, et L() = t, arvu t nimetatakse seejuures omavektorile vastavaks omavääruseks. Omavektorit omakorda omaväärtusele t vastavaks omavektoriks. L() = t; 0; tR Ax = tx = tEx => Ax - tEx = => (A-tE)x = - lineaarne homogeenne võrrandisüsteem maatrikskujul Omavektoriteks on süsteemi null-lahenditest erinevad lahendid. Süsteemis
annaabi.ee 
