(x1 , f (x1 )) k¨a¨ anupunkt. Kokkuv~ottes saame formuleerida j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.7 (K¨ a¨ anupunkti piisav tingimus). Olgu x1 funktsiooni f teist j¨ arku kriitiline punkt. Kui l¨ abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨ arki, siis on P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨ a¨anupunkt. N¨ aide. Leiame funktsiooni f (x) = 3x5 - 5x4 kumerus- ja n~ogususpiirkonnad ja k¨aa¨nupunktid. Antud funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = R. Avaldame 94 teist j¨arku tuletise: f (x) = 15x4 - 20x3 , f (x) = 60x3 - 60x2 = 60x2 (x - 1) . Teist j¨arku kriitilised punktid on x = 0 ja x = 1. Kanname nad teljele: | | G 0 1 x
(x1 , f (x1 )) k¨a¨anupunkt. Kokkuv~ottes saame formuleerida j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.7 (K¨ a¨ anupunkti piisav tingimus). Olgu x1 funktsiooni f teist j¨ arku kriitiline punkt. Kui l¨ abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨ arki, siis on P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨ a¨anupunkt. N¨ aide. Leiame funktsiooni f (x) = 3x5 - 5x4 kumerus- ja n~ogususpiirkonnad ja k¨a¨anupunktid. Antud funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = R. Avaldame 94 teist j¨arku tuletise: f (x) = 15x4 - 20x3 , f (x) = 60x3 - 60x2 = 60x2 (x - 1) . Teist j¨arku kriitilised punktid on x = 0 ja x = 1. Kanname nad teljele: | | G 0 1 x
x-1 x 2 94. Leida funktsiooni y = + graafiku as¨ umptoodid. 2 x x3 1 95. Leida funktsiooni y = + m¨aa¨ramispiirkond, nullkohad, lokaal- 3 x sed ekstreemumid, kasvamis- ja kahanemispiirkonnad, k¨a¨anupunktid, kumerus- ja n~ogususpiirkonnad, graafiku as¨ umptoodid. Kas funktsioon on paaris v~oi paaritu? Joonestada funktsiooni graafik. ¨ Ulesannetes 96. - 127. leida m¨a¨aramata integraal 3 x2 - 4 x 96. dx x (1 + 2x2 )dx 97. x2 (1 + x2 ) 1 + cos2 x 98. dx 1 + cos 2x dx 99. x2 -5 100. 5 - 2xdx x3 dx 101. x4 + 3
annaabi.ee 
