Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori koordinaadid ja tuletada normaalsirge kanoonilised võrrandid. 17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas. Kolmemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoopinna normaalvektoriga koos põhjendusega. Kahemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoojoone normaalvektoriga. 19. Nabla. Divergents, solenoidaalne väli. Rootor, keerisevaba väli. Potentsiaalse välja ja potentsiaali mõisted. Tuletada tingimused vektorvälja komponentide jaoks, mida nad peavad rahuldama selleks, et väli oleks potentsiaalne. Näidata, et potentsiaalne väli on keerisevaba. 20. Tuletada kahemuutuja funktsiooni teise astme Taylori polünoom. 21
y yA = k ( x xA ) x xA y yA yB yA 36. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = , kus sirge tõus k = xB x A yB y A xB x A 37. Sirge võrrand antud tõusu ja algordinaadiga. y = k x + b 38. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud normaalvektoriga n = ( A: B ) A A ( x xA ) +B (y yA ) = 0, kus sirge tõus k = tan = B A C 39. Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0, kus sirge tõus k = ja algordinaat b =
y yA = k ( x xA ) x xA y yA yB yA 36. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = , kus sirge tõus k = xB x A yB y A xB x A 37. Sirge võrrand antud tõusu ja algordinaadiga. y = k x + b 38. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud normaalvektoriga n = ( A: B ) A A ( x xA ) +B (y yA ) = 0, kus sirge tõus k = tan = B A C 39. Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0, kus sirge tõus k = ja algordinaat b =
punkti P ja on paralleelne vektorite paariga {a,b}. Sellisel juhul vektoreid {a,b} nimetatakse tasandi π rihiks. Tasandi normaalvektor Olgu antud ruumi punkt P(x0, y0, z0) ja vektor N= (A, B, C). Ruumis leidub ainult üks tasand π, mis läbib punkti P, st P ∈ π, ja on risti vektoriga N. Vektorit N nimetatakse selle tasandi normaalvektoriks. Normaalvektor ei ole nullvektor, see on risti tasandiga. Kui tasand π on määratud esimeses punktis esitatud andmetega, st punktiga P(x0, y0, z0) ja normaalvektoriga N = (A, B, C), siis selle tasandi kirjeldamiseks kasutame võrrandit π : A (x − x0) + B (y − y0) + C (z − z0) = 0. Tasandi üldvõrrand Tasandi parameetrilised võrrandid koordinaatides Kolme punkti läbiv tasand Tasandi asendid reeperi suhtes. 10 Punkti kaugus sirgest Punkti kaugus tasandist Punkti kauguse arvutamise valemid ristreeperis koordinaatide kaudu Nurk kahe sirge vahel Nurk kahe tasandi vahel
.. + |an| 0 ehk a12 + ... + an2 0). = {P(x1; ...; xn) | a1x1 + ... + anxn + b = 0} v(n) = (a1; ...; an) - hüpertasandi normaalvektor; A,B; A(¯x1; ...; ¯xn); B(^x1; ...; ^xn) a1¯ x1 + ... + an¯ xn + b = 0 ja a1^x1 + ... + an^xn + b = 0 => a1(¯x1 - ^x1) + ... + an(¯xn - ^xn) = 0 => v(BA)*v(n) = 0 ehk v(BA)v(n); A,B => v(BA)v(n); = {B | v(AB)v(n)} Iga kahe punkti P ja Q korral hüpertasandil on vektor v(PQ) risti hüpertasandi normaalvektoriga v(n) Kahemõõtmelises eukleidilises ruumis on hüpertasandiks punki A läbiv sirge normaalvektoriga v(n) Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis on hüpertasandiks punkti A läbiv ja vektoriga v(n) risti olev tasand 32. Punkti kaugus mingist punktihulgast eukleidilises ruumis. Punkti kaugus hüpertasandist (tõestusega). Saadud valemi erijuhud. E = (V,); P; A Kui hulgas U leidub punkt Q nii, et (A,Q) <= (A,P) iga PU korral, siis
Definitsioon. Punkti kauguseks sirgeni nimetakse sellest punktist sirgeni tõmmatud ristlõigu pikkust. Olgu ; punkt kahemõõtmelises ruumis, leiame punkti kaugus sirgest . Punkti M kaugust sirgeni tähistame d(M, ) abil. Seega vastavalt definitsioonile d(M, )= . Vektor on risti sirgega , seega parelleele tema normaalvektoriga . Valime sirgel mingi punkti X=(x;y) ning olgu nurk vektorite ja vahel, seega või on nurkvektorite ja vahel. Siis · · , cos
kirjaviis (mõistame nii, et ka lugeja on 0): . 0 n p Näide: Koostada võrrandid sirgele, mis on risti tasandiga x 2 y z 1 0 ja läbib selle tasandi ja 0x telje lõikepunkti. Leiame antud tasandi lõikepunkti 0x teljega: yz0 x 1 1,0,0 Sirge on risti tasandiga, kui ta on paralleelne tasandi normaalvektoriga ehk 1,2,1 x 1 y 0 z 0 1 2 1 SIRGE VÕRRANDID LÄBI KAHE PUNKTI Olgu teada kaks sirgel asuvat punkti: M 1 x1 , y1 , z1 ja M 2 x2 , y2 , z2 . Sellisel juhul suunavektoriks on M 1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 . Võtame etteantud punktiks M 1 : x x1 y y1 z z1 . x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1
b ei ole kollineaarsed Paralleelsed sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, ainult sihivektorid a ja b on kollineaarsed Ühtivad sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, vektorid on paarikaupa kollineaarsed 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. kanooniline võrrand: parameetriline võrrand: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasand võib olla määratud punktiga P(xp; yx; zp) ja normaalvektoriga n = (n1; n2; n3) Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. (st vektorid n ja PQ on risti) tasandi vektorvõrrand: PQ n = 0 tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 x,y,z tasandi punkti koordinaadid; a,b,c kordajad vektorkujul: koordinaatkujul: 25. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid.
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vekt...
12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 25 SIRGE JA TASANDI VÕRRANDID RUUMIS Kahe punktiga määratud sirge võrrand ruumis On antud punktid A(x1; y1; z1) ja B(x2; y2; z2). x x1 y y1 z z1 Nende punktidega määratud sirge võrrand on x2 x1 y2 y1 z2 z1 Punkti ja normaalvektoriga määratud tasandi võrrand Tasand läbib punkti P(x1; y1; z1) ja on risti vektoriga n ( A; B;C ) Tasandi võrrand on (x – x1) · A + (y – y1) · B + (z – z1) · C = 0 Tasandi üldvõrrand Ax + By + Cz + D = 0, kus A, B ja C on tasandi normaalvektori koordinaadid. Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektoriga määratud tasandi võrrand On antud punkt P(x1; y1; z1) ja kaks mittekollineaarset vektorit
annaabi.ee 
