Kui funktsioon u on (mõisted). kahe muutuja funktsioon: u = u ( x, y ) , siis Need punktid moodustavad on nivoopindadeks u ( x, y ) = c , mis on mingisuguse pinna. Kui konstant c saab tegelikult xy-tasandi jooned, mida teise väärtuse, siis saame teise pinna. nimetatakse nivoojoonteks. Neid pindu nimetatakse 7. Tuletis antud suunas (arvutamise u u u u = cos + cos + cos s x y z valem). 8. Gradient. Teoreem gradiendist ja väärtused selles punktis: u , u , u ,
10 4) 5 0 0 5 10 15 20 25 isokvandid viimane joonis? majandusmudelite analüüsimisel ont ihti otsarbekas kujutada uuritavaid funktsioone graafiliselt. kahe muutuja funktsioonide kujutamiseks saab kasutada selle funktsiooni nivoojooni majanduses kasutatavaet kahe muutuja funtksioonide nivoojoonteks on samatoodangujooned,samakujujooned, samakasu olgu y=f(x1,x2) mingi tootmisfuntksioon, kus x1 ja x2 on tootmistegurite K ja L mahud. selle funtksiooni nivoojoon f(x1,x2) =Y(etteantud suurus>) kõikvõimalikud tootmistegurite K ja L mahtude paarid(x1,x2) , kus tootmismaht on võrde suurusuega Y. seda nivoojoont nimettakse antud juhul samatoodangujooneks ehk isokvandiks. seega samatoodangujoone kõikides punktides on tootmisfuntsiooni väärtused võrdsed isokvandi omadusi:
2) Tuletis suunas, mis gradiendiga risti on null. s grad u = , cos = 0 . 2 11. Nivoojooned ja nivoopinnad. Kõverjoone puutuja ja normaaltasand. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) Def. 11.1. Jooni, mille võrrandiks on f ( x, y ) = c , nimetatakse funktsiooni z = f ( x, y ) nivoojoonteks. Kolme ja enama muutuja funktsiooni korral saame nivoopinnad. Kolme muutja funktsiooni u = f ( x, y, z ) nivoopinna võrrand on f ( x, y, z ) = c . Nivoojoon on pinna z = f ( x, y ) ja tasandi z = c lõikejoon ja selle projektsioon xy tasandile. Vaatleme parameetriliselt esitatud joont kolmemõõtmelises ruumis. x = u(t ) y = v ( t ) (11.1) z = w( t ) t parameeter Anname parameetrile muudu t, siis saavad vastavad muudud ja muutujad x, y, z. Need olgu x, y, z.
Järelikult vastava ressursi osatuletis näitab kogutoodangu ligikaudset muutu selle ressursi ühe täiendava ühiku kasutamisest eeldusel, et teine ressurss ei muutu. 19. Isokvandid. Nende kasutamine (labortöö). Majandusmudelite analüüsimisel on tihti otstarbekas kujutada uuritavaid funktsioone graafiliselt. Kahe muutuja funktsioonide kujutamiseks saab kasutada selle funktsiooni nivoojooni. Majanduses kasutatavate kahe muutuja funktsioonide nivoojoonteks on samatoodangujooned, samakulujooned, samakasulikkuskõverad. Olgu Y = f(x1, x2) mingi tootmisfunktsioon, kus x1 ja x2 on tootmistegurite K ja L mahud. Selle funktsiooni nivoojoon f(x1,x2) =Y (etteantud Y suurus) kõikvõimalikud tootmistegurite K ja L mahtude paarid (x1, x2), kus tootmismaht on võrdne suurusega Y. Seda nivoojoont nimetatakse antud juhul samatoodangujooneks ehk isokvandiks. Seega samatoodangujoone kõikides punktides on tootmisfunktsiooni väärtused võrdsed. Omadused
See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoontest on kaardi tasakõrgusjooned: need on punktid kaardil, millel on sama kõrgus. Funktsiooni z f x, y osamuuduks x järgi nimetatakse vahet x z fx x, y f x, y ja osamuuduks y järgi vahet yz f x, y y f x, y . Funktsiooni z f x, y täismuuduks nimetatakse vahet z fx x, y y f x, y . oluline on teada, et üldiselt
pinna z = f (x; y) tasandil~oigeteks tasanditega y = b erinevate b v¨a¨artuste korral nimetatakse jooni z = f (x, y) y=b ja pinna z = f (x; y) tasandil~oigeteks tasanditega z = c erinevate c v¨a¨artuste korral nimetatakse jooni z = f (x, y) z = c, Viimaseid jooni nimetatakse ka pinna z = f (x, y) nivoojoonteks. N¨ aide 1. Joonestame pinna x2 +y 2 -z 2 = 0, kasutades selleks nivoojooni, mis tekivad pinna l~oikamisel tasanditega z = 0, z = ±1 ja z = ±2 ning l~oiget tasandiga x = 0. L~oigates pinda tasandiga xy-tasandiga z = 0, saame l~oikejooneks x2 + y = 0, z = 0 ehk koordinaatide alguspunkti, sest x2 + y 2 = 0 ainult juhul, 2 kui x = 0 ja y = 0. L~oigates pinda tasandiga tasandiga z = 1, saame l~oikejooneks x2 +y 2 = 1,
annaabi.ee 
