integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32. Taylori ja Maclaureni read (definitsioon, leidmine). 33. Astmerida (definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall – kuidas neid leida?). 34. Fourier rea rakendusalasid. 35. Zeno paradoksid. 1. 2. nivoojooneks 3. 5. 6. 7. Statsionaarsete punktide leidmine > Osatuletiste leidmine + determinant > Tuleuse põhjal otsustamine 8. Leiame statsionaarsed punktid piirkonnas D > Leiame statsionaarsed punktid piirkonna D rajal > Mat.Analüüs 2 Page 1 7. Statsionaarsete punktide leidmine > Osatuletiste leidmine + determinant > Tuleuse põhjal otsustamine 8. Leiame statsionaarsed punktid piirkonnas D > Leiame statsionaarsed punktid piirkonna D rajal >
Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Gradient - vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis Mingis punktis leitud gradientvektori suund näitab funktsiooni kiireima muutumise suunda selles punktis. 29. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Mis on isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver? Funktsiooni z = f(x;y) nivoojooneks nimetatakse punktihulka, mis rahuldab (nivoojoone) võrrandit z = C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver on nivoojoonte rakendused majanduses. Isokost annab meile kõik mahtude paarid (x, y), mille korral kulu on ühesugune. Kui lugeda Q konstantseks C (nivoojoone mõiste), siis saame võrrandi, mis esitab kõikvõimalikke (x,y) punkte, mis annavad toodangu suuruseks C
mõistet mitme muutuja majandusnäitaja x suhtes näitab ligikaudselt funktsiooni korral. mitme protsendi võrra muutub f-oni väärtus, kui argumendi x väärtus muutub ühe protsendi võrra, kui y ei muutu. Mis on kahe muutuja Nivoojooned.Kahe muutuja f-oni z=f(x,y) funktsiooni nivoojoon? nivoojoonte võrrandiks nim. võrrandit f(x,y)=c. Nivoojooneks on lõikeringjoone projektsioon xy-tasandil. Isokvant, isokost, ükskõiksuskõver on nivoojoonte rakendused majanduses. Mis on isokvant, isokost ja Isokvant-kõver, mis näitab kõiki kahe sisendi ükskõiksuskõver? kombinatsioone, mis tehnoloogiliselt objektiivselt kasutatuna võimaldavad toota
Pinna z=f(x,y) tasandilõigeteks tasanditega z=c erinevate c väärtuste korral nim. jooni Analoogiliselt defineeritakse pinna z=f(x,y) tasandilõiked tasanditega x=a ning y=b. Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) määramispiirkonna need punktid, kus funktsioonil on konstantne väärtus c, moodustavad joone, mida nim. nivoojooneks, selle võrrand on f(x,y)=c. Teades nivoojooni, on lihtsam uurida pinna z=f(x,y) iseloomu. 4. Kahe muutuja funktsiooni osamuut ja täismuut. (Definitsioonid + korralik selgitus joonise 1 põhjal). Vaatleme pinna z=f(x,y) ja xy-tasapinnaga paralleelse tasapinna y=const lõikejoont PS. Et y väärtus sellel tasapinnal on konstantne, siis muutub z joonel PS ainult sõltuvalt x muutumisest.
f ( x ) f ( 0) + x+ x ++ x 1! 2! n! Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond- Argumentide väärtuspaaride hulk, mille korral funktsioon on määratud. Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas (arvutatav), siis öeldakse, et z = f(x;y) on määratud punktis (x0;y0). Nivoojoon (nivoopind)- Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetame punktihulka, mis rahuldab nivoojoone võrrandit z=C. Enamikel funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Kui meil on kahe muutuja funktsioon, siis saame nivoojoone, kui muutujaid on 3 või enam , siis on tegemist nivoopinnaga. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni z=f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi f ( x + x; y ) - f ( x; y ) ' z nimetatakse piirväärtust lim
1! 2! n! . Seda valemit nimetatakse Mclaurini valemiks. Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas, siis öedakse, et z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral funktsioon on määratud nimetakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Nivoojoon(Nivoopind) Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetakse punktihulka, mis rahuldab võrranditx=C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju nivoojooni.3 muutuja funktsiooni puhul muutub nivoojoon nivoopinnaks. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus Def: Funktsiooni z = f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi nimetatakse piirväärtust f ( x + x; y ) - f ( x; y ) lim x 0 x z '
(x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni nivoopinnaks. · Olgu z = f(x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C jällegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral (x, y) = C. Need punktid moodustavad joone piirkonnas D. Seda joont nim. funktsiooni nivoojooneks. 8) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu P järjestatud muutuv suurus. Punkti A=(a1,a2,...,am) nim. muutuva suuruse P =( x1, x2,...,xm) piirväärtuseks, kui iga etteantud kuitahes väikese positiivse arvu e korral saab näidata sellist suuruse P väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärused kuuluvad punkti A ümbrusesse U( A,e )
(x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni nivoopinnaks. · Olgu z = f(x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C jällegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral (x, y) = C. Need punktid moodustavad joone piirkonnas D. Seda joont nim. funktsiooni nivoojooneks. 8) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu P järjestatud muutuv suurus. Punkti A=(a1,a2,...,am) nim. muutuva suuruse P =( x1, x2,...,xm) piirväärtuseks, kui iga etteantud kuitahes väikese positiivse arvu e korral saab näidata sellist suuruse P väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärused kuuluvad punkti A ümbrusesse U( A,e )
KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA,
Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks. Nivoopind s~oltub etteantud konstandist C. See t¨ahendab et konstandi C muutmisega muutub ka nivoopind. J¨argmiseks olgu z = f (x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C j¨ allegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral f (x, y) = C. Need punktid moodustavad joone piirkonnas D. Seda joont nimetatakse funktsiooni f nivoojooneks. Nivoojoon s~oltub samuti konstandist C. Funktsiooni z = f (x, y) nivoojoon f (x, y) = C on kujutatud joonisel 6.2. Ta langeb kokku pinna z = f (x, y) ja tasandi z = C l~ oikejoone L projektsiooniga xy-tasandile. O z z = f (x, y) z=C L
annaabi.ee 
