rahuldaksid seejuures kõiki etteantud lineaarseid võrratusi või võrdusi (kitsendusi). Kui lisaks sellele on esitatud nõue, et osa tundmatuid (või kõik tundmatud) omandaksid vaid täisarvulisi väärtusi, siis vastavat ülesannet nimetatakse osaliselt (või täielikult) täisarvuliseks planeerimisülesandeks. Seega lineaarne planeerimisülesanne koosneb järgmistest osadest: sihifunktsioon, tingimuste (kitsenduste) süsteem, tundmatute mittenegatiivsuse nõue. Selliseid tundmatute väärtusi, mis rahuldavad kõiki tingimustesüsteemi nõudeid ja mittenegatiivsuse nõuet, nimetatakse lubatavaks lahendiks ehk plaaniks. Tundmatute väärtusi, mis nimetatule lisaks muudavad sihifunktsiooni väärtuse ekstremaalseks (suurimaks või vähimaks), nimetatakse optimaalseks lahendiks ehk optimaalseks plaaniks. Optimaalsuskriteerium - juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang, näiteks võimalikult suur kasum, vähimad tootmiskulud jne.
funktsioon. See tähendabki maksimaalset kasumit. max Q =7x1+6.5x2+10x3+7.5x4 2. Teiseks on vaja moodustada kitsendusi. On teatud, et määratud olemasolevaid koguseid ei saa ületada, seega tehakse võrrandeid iga materjali kohta. Nendes on määratud kogus iga mänguasja valmistamiseks (muutujate kordaja) ning nad on vähemad või võrdsed antud piirangutega. Lisaks määratakse mittenegatiivsuse nõuet. 98 x1 + 1.5 x2 + 3 x3 + 2 x4 0 3.5 x1 + 0.5 x2 + 3 x4 850 3 x1 + 2.5 x2 + 4.5 x3 + 3 x4 1250 x1 + 3 x2 + 2.5 x3 670 2 x2 + x3 + 3 x4 900 x1, x2, x3, x4 0 Lahendamine: Selle probleemi lahendamist on mugav teostada Excel'is. Selleks on vaja kanda kõiki andmeid sisse.
mudeli kõiki kitsendusi. 8. Mis on planeerimisülesande lubatav lahend, optimaalne lahend? Luvatav lahend on lahend, mis rahuldab kõiki mudeli kitsendusi. Optimaalne lahend on lubatava hulga punkt, mis annab sihifunktsioonile optimaalse väärtuse 9. Mis on lineaarse planeerimise ülesande baaslahend, lubatav baaslahend? ● Lubatav baaslahend on simplekssüsteemi (lineaarplaneerimine kanoonilisel kujul) lahend, mis rahuldab mittenegatiivsuse nõuet. ● Baaslahend on simplekssüsteemi lahend (lineaarplaneerimine kanoonilisel kujul), mis võib olla lubatav baaslahend, aga ei pea rahuldama mittenegatiivsuse nõuet 10. Nimetada lineaarse planeerimise ülesande omadusi (optimaalsete lahendite olemasolu ja omadused)? ● Kinnises tõkestatud piirkonnas lineaarplaneerimisülesanne omab optimaalset lahendit
Defineerida majandusprobleem, analüüsida seda. Määratleda muutujad, mille väärtused on otsitavad ( nende suuruste kohta langetatakse otsus xj) 2. Defineerida sihifunktsioon. Määratleda sihifunktsiooni kordajad, mis otseselt mõjutavad z-ni kuuluvate muutujate väärtuse kujunemist. 3. Määratleda kitsendused, nende sisu ja mõju juhtimiseesmärkide saavutamisele. 4. Selgitada ressursside olemasolu ja nende kulunormid (kitsendussüsteemi kordajad) 5. Mittenegatiivsuse nõue 6. Majandussituatsiooni iseloomustavad tunnused ja tingimused tabelisse. 7. Formaliseerida matemaatiliste funktsioonidena sihifunktsioon ja kitsendused. Koostada majandusprobleemi matemaatiline mudel 8. Kontrollida formuleeritud ülesannet. Võrrelda majandusprobleemi ja formuleeritud LPÜ. Max-põhikujul LPÜ: (Min) a) Nõutakse Z maximumi (min) b) Kõikidel muutujatel mittenegatiivsusenõue (≥0)
Mõisted: · Matemaatilised meetodid võimaldavad majandusprobleeme formaliseerida ja neid lahendada. Tegelevad optimaalsete lahendite väljatöötamisega · Lineaarne planeerimisülesanne ülesanne leida tundmatutele sellised mittenegatiivsed väärtused mis kajastaksid sihifunktsiooni optimaalset väärtust, rahuldades kõiki kitsendusi. · Lubatav lahend ehk plaan - sellised lahendid, mis rahuldavad kõiki kitsendusi ja tingimussüsteemi mittenegatiivsuse nõuet · Optimaalne lahend tundmatute väärtused, mis muudavad sihifunktsiooni kas maksimaalseks või minimaalseks · Optimaalsuskriteerium juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang( sihifunktsioon ) · Optimeerimine vastavalt sihifunktsioonile ja kitsendustele parima lahendi leidmine Max põhikujuline ülesanne: Ülesanne on max põhikujuline, kui sihifunktsioonile otsitakse maksimaalset väärtust,
f''(x)0, siis funktsioonil f(x) on punktis a lokaalne ekstreemum, kusjuures f''(a)<0 korral on punktis a lokaalne maksimum ja f''(x)>0 korral on punktis a lokaalne miinimum. Tõestus. Kui a on statsionaarne punkt, siis Lagrange'i kujuga Taylori valemile saan kuju , niiet kui jääkliige säilitab märki, siis kohal a on lokaalne ekstreemum, kusjuures kui selle ümbruses on jääkliige pittepositiivne on punktis a lokaalne maksimum ja mittenegatiivsuse korral lokaalne miinimum. Jääkliikme tegur (x-a)2/2! Ei muuda märki. Kuna f''(a)0 ja f''(x)C(a), siis leidub punkti a selline ümbrus, kus f''(a+(x-a)) ei muuda märki selles ümbruses. Seega seal a ümbruses, kus jääkliikme märk ei muutu eksisteeribki punktis a range lokaalne ekstreemum. Kui f''(a)<0, siis jääkliige on mittepositiivne ning tegemist on range lokaalse maksimumiga ja kui f''(a)>0, siis jääkliige on mittenegatiivne ning tegemist on range lokaalse miinimumiga. 1. 23
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n b1 a x + a x + ... + a x b 21 1 22 2 2n n 2 .............................................. a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n bm , 3. Tundmatute mittenegatiivsuse nõue: xk 0. Ülesande lahendamisel tekib kahte tüüpi lahendeid: · Lubatav lahend on selliste mittenegatiivsetex-de hulk, mis rahuldab kitsenduste süsteemi, · Optimaalne lahend on lubatav lahend, mille korral sihifunktsioon omandab soovitud väärtuse. Lineaarse planeerimisülesande graafiline lahendamine: Graafiliselt on võimalik lahendada ülesandeid, milles on 2 põhimuutujat. Ülesande lahendamine toimub kahes etapis:
a11 x1 + a12 x 2 +... + a1n x n b1 a x + a x +... + a x b 21 1 22 2 2n n 2 .......... .......... .......................... , a m1 x1 + a m 2 x 2 +... + a mn x n bm 3. Tundmatute mittenegatiivsuse nõue: xk 0. Ülesande lahendamisel tekib kahte tüüpi lahendeid: · Lubatav lahend on selliste mittenegatiivsetex-de hulk, mis rahuldab kitsenduste süsteemi, · Optimaalne lahend on lubatav lahend, mille korral sihifunktsioon omandab soovitud väärtuse. Lineaarse planeerimisülesande graafiline lahendamine: Graafiliselt on võimalik lahendada ülesandeid, milles on 2 põhimuutujat. Ülesande lahendamine toimub kahes etapis:
Olgu 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kaks nullvektroist erinevat vektorit. Moodustame nendest ∫𝑥 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 = ∑∞ 𝑘=1 ∫𝑥 𝑢𝑘 (𝑥) 0 0 vektoristest lineaarkombinatsiooni 𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗, 𝑘𝑢𝑠 𝜆 on mingi skalaar. Tulemuseks saame uue vektori ja mittenegatiivsuse Järeldus on ilmne, sest kui funktsioonid 𝑢𝑘 (𝑥) k = 1, 2, ... on pidevad lõigul [𝑎; 𝑏], siis on need pidevad ka lõigul [𝑥0 ; 𝑥] ja kui omaduse tõttu (𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗)2 ≥ 0 iga 𝜆∈ 𝑅 korral. Kasutades teisi skalaarkorrutamise omadusi, saame viimase võrratuse teisendada 𝑘=1 𝑢𝑘 (𝑥) koondub ühtlaselt lõigul [𝑎; 𝑏], siis koondub see ühtlaselt ka lõigul [𝑥0 ; 𝑥].
1. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on täidetud tingimus f(x,y)>=g(x,y). Kahekordse integraali 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe omaduse tõttu ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Mõlemad kahekordsed 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑 muutuja funktsioonil on punktis P1(x1, y1) lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus teisendus on kujul 𝑧=𝑧 .Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). ∭Ω 𝑓(𝑥, ...
a a ehk m¨aa¨ratud interdaali omaduse t~ottu b SA B BA = [f (x) - g(x)]dx. (5.3) a 3 M¨arkus. Joonisel 5.5 on eeldatud, et l~oigul [a; b] on 0 g(x) f (x). Tegelikult on mittenegatiivsuse n~oue liigne. Valem kehtib, kui l~oigul [a; b] on t¨aidetud tingimus g(x) f (x). 1 x2 N¨aide 2. Arvutame joonega y = ja parabooliga y = piiratud 1 + x2 2 kujundi pindala. M~olemad vaadeldavad funktsioonid on paarisfunktsioonid, seega m~olema graafikud ja j¨arelikult ka nendega piiratud kujund (joonis 5.6) s¨
annaabi.ee 
