Kuna M2(y)N2(x) , siis lahendiks saame konstatsed funktsioonid y=L kui M2(L)=0 ja x=k kui N2(k)=0 ning vastavad eraldatud muutujatega DV lahendi. 10.Lineaarne diferentsiaalvõrrand Lineaarseks esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis on esitatav kujul y'+p(x)y=q(x), kus p ja q on teadaolevad argumendi x funktsioonid. Olgu funktsioonid p(x) ja q(x) määratud vahemikus(a, b), siis diferentsiaalvõrrandit: y'+p(x)y=q(x) nimetame lineaarseks mittehomogeenseks diferentsiaalvõrrandiks. Kui q(x)0, siis nimetame vastavat võrrandit lineaarseks homogeenseks diferentsiaalvõrrandiks 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku diferentsiaalvõrrand on esitatav kuju y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja
Elektrivälja tugevus E on vektoriaalne suurus, mille suund ühtib vaadeldavasse väljapunkti asetatud positiivsele punktlaengule mõjuva jõu F suunaga. 22.11.12 15:01 (C) V. Kalling 13 JÕUD ELEKTRIVÄLJAS · Kui on teada elektrivälja tugevus, siis on kerge määrata jõudu, mis mõjub punktlaengule q teatud ruumipunktis 22.11.12 15:01 (C) V. Kalling 14 ELEKTRIVÄLJA STRUKTUUR · Kui E sõltub koordinaatidest, nimetatakse väli mittehomogeenseks. · Kui aga vektor E on nii suuna kui mooduli poolest ühesugune kõikides ruumi punktides, siis nimetatakse see väli homogeenseks. · On selge, et ühtlases väljas on välja poolt laetud kehale mõjuv jõud ka ühesugune kõikides samal kaugusel asuvates punktides. 22.11.12 15:01 (C) V. Kalling 15 Punktlaengu elektrivälja tugevus q on elektrivälja tekitav laeng
vastavad eraldatud muutujatega DV lahendi. 10.Lineaarne diferentsiaalvõrrand. Homogeense ja mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamine. Lineaarseks esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis on esitatav kujul y’+p(x)y=q(x), kus p ja q on teadaolevad argumendi x funktsioonid. (Olgu funktsioonid p(x) ja q(x) määratud vahemikus(a, b), siis diferentsiaalvõrrandit: y’+p(x)y=q(x) nimetame lineaarseks mittehomogeenseks diferentsiaalvõrrandiks. Kui q(x)≡0, siis nimetame vastavat võrrandit lineaarseks homogeenseks diferentsiaalvõrrandiks.) kus Yk on vastava homogeense võrrandi üldlahend (2) ja Yo on võrrandi (4) mingi erilahend. Erilahendi leidmiseks võib kasutada konstantide varieerimise meetodit või määramata kordajate meetodit. 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku diferentsiaalvõrrand on
o (A−1)−1 = A 6. Ühikmaatriksi E pöördmaatriksiks on tema ise, s.o. E−1 = E 7. Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (AT)−1 = (A−1)T Lineaarvõrrandisüsteem (LVS) Homogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse homogeenseks, kui vabaliikmed on võrdsed nulliga: b1 = b2 = . . . = bm = 0 Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks Maatriksis on tundmatute kordajad. Laiendatud maatriks Lisatud on ka vabaliikmed. (viimane veerg) 7 LVS-i üldlahend Reaalarve x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn nimetatakse lineaarvõrrandisösteemi lahendiks, kui nende arvude asendamisel tema võrranditesse tundamatute asemel saame samasused.
Lineraarne diferentsiaalvõrrand. Homogeense ja mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamine. Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada. Olgu funktsioonid p(x) ja q(x) määratud vahemikus (a,b), siis diferentsiaalvõrradit y' + p(x)y = q(x) nimetame lineaarseks Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1;...;n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f(x) on diferentseeruvad punktis t ja mittehomogeenseks DV-ks. Kui q(x) = 0, siis nimetame vastavat võrrandit lineaarseks homogeenseks DV-ks. funktsioon u = f(x) on diferentseeruv punktis P(x 1(t),....xn(t)), siis liitfunktsiooni tuletis punktis t avaldub kujul du(t)/dt = Funktsiooni f(x,y) nimetame -astme homogeenseks funktsiooniks kui f(tx, ty) = t f(x,y).
X1 = ( x11, x12, . . . , x1r , 1, 0, . . . , 0 ), X2 = ( x21, x22, . . . , x2 r , 0, 1,. . . , 0 ), ............................. Xn-r = ( xn-r 1, xn-r 2, . . . , xn-r r , 0, 0, . . . , 1). 17 MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana: XMHÜ = XMHE + XHÜ. CRAMERI PEAJUHTUM DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on
X1 = ( x11, x12, . . . , x1r , 1, 0, . . . , 0 ), X2 = ( x21, x22, . . . , x2 r , 0, 1,. . . , 0 ), ............................. Xn-r = ( xn-r 1, xn-r 2, . . . , xn-r r , 0, 0, . . . , 1). 17 MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana: XMHÜ = XMHE + XHÜ. CRAMERI PEAJUHTUM DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on
An jne koefitsiendid XV väljundsignaal T aeg M sisendsignaali kõrgem tuletis. Vasakul on väljundsignaal ja tema tuletis, paremal sisendsignaal ja tema tuletis. Kui diferentsiaal võrrandid muutujad on 1 astmes, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarseks. See võrrand kirjeldab dünaamilist protsessi lineaarses süsteemis. Kui võrrandi parem osa ei ole võrdne nulliga, siis sellist võrrandit nimetatakse mittehomogeenseks. See võrrand kirjeldab dünaamilisi protsesse, mis kulgevad süsteemi sisendsignaali pideval mõjutamisel. See tähendab, et sel juhul tekib süsteemis sund liikumine. Kui diferentsiaal võrrandi parem osa on võrdne nulliga, siis selline võrrand on homogeenne. Selline võrrand kirjeldab süsteemi vaba liikumist, s.t. süsteemile oli antud algmomendil impulss, millega ta oli välja viidud tasakaalust ja edasi toimub süsteemi vaba liikumine.
An jne koefitsiendid XV väljundsignaal T aeg M sisendsignaali kõrgem tuletis. Vasakul on väljundsignaal ja tema tuletis, paremal sisendsignaal ja tema tuletis. Kui diferentsiaal võrrandid muutujad on 1 astmes, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarseks. See võrrand kirjeldab dünaamilist protsessi lineaarses süsteemis. Kui võrrandi parem osa ei ole võrdne nulliga, siis sellist võrrandit nimetatakse mittehomogeenseks. See võrrand kirjeldab dünaamilisi protsesse, mis kulgevad süsteemi sisendsignaali pideval mõjutamisel. See tähendab, et sel juhul tekib süsteemis sund liikumine. Kui diferentsiaal võrrandi parem osa on võrdne nulliga, siis selline võrrand on homogeenne. Selline võrrand kirjeldab süsteemi vaba liikumist, s.t. süsteemile oli antud algmomendil impulss, millega ta oli välja viidud tasakaalust ja edasi toimub süsteemi vaba liikumine.
...................., am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = am, kus x1, x2, . . . , xn on tundmatud ehk otsitavad ning tundmatute kordajad aij , i Nm, j Nn ja vabaliikmed a1, a2, . . . , am on ette antud reaalarvud, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemiks. Homogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabaliikmed on võrdsed nulliga, s.t. a1 = a2 = . . . = am = 0. Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks ja laiendatud maatriks Maatriksit nimetatakse vastavalt lineaarvõrrandisüsteemi (1) maatriksiks ja lineaarvõrrandisüsteemi (1) laiendatud maatriksiks. Võrrandisüsteemi (1) saame nüüd kirja panna ka maatrikskujul: LVS üldlahend fikseeritud reaalarvude komplekt x1 = 1 jne... LVS erilahend Fikseeritud reaalarvude komplekti x1 = 1, x2 = 2, . . . , xn = n nimetatakse
Keskkonna ja vedeliku omadused- keskkond on isotroopne, kui ta omadused on sar- nased kõigis punktides kõigis suundades. Keskkond on anisotroopne, kui tema oma- used on erinevad erinevates suundades. Keskkond on homogeenne, kui tema iseloom omadused, anisotroopia , isotropia tingimused on püsivad kõigis punktides. Kui vas- tavad nõuded ei ole täidetud, nimetatakse keskkonda mittehomogeenseks. Põhjavee vool on küllastunud, kui kõik keskkonnatühikud on täidetud vedelikuga. Kui kõik tühikud pole täidetud vedelikuga, on küllastumata vool. (Ülesannete lahendused on küllastunud ja küllastumata voolu puhul täiesti erinevad). VEE LIIGID KIVIMITES I. Vesi aurununa- suur liikumisvõime, liigub suurema rõhuga alalt madalamale. Eesti tingimustes sellega ei tegeleta. II. Füüsikaliselt seotud vesi:
Lineaarseks esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis on esitatav kujul y’+p(x)y=q(x), kus p ja q on teadaolevad argumendi x funktsioonid.Olgu funktsioonid p(x) ja q(x) määratud vahemikus(a, b), siis diferentsiaalvõrrandit: y’+p(x)y=q(x) nimetame lineaarseks mittehomogeenseks diferentsiaalvõrrandiks. Kui q(x)≡0, siis Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). lahendiks, siis
n = r < m: süsteemil üks ja ainus lahend (osa võrrandeid ,,kattuvad"); m = r < n: lõpmata palju lahendeid, n - m vaba tundmatut; r < m n: lõpmata palju lahendeid, n - r vaba tundmatut. 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem Definitsioon 2.15 Lineaarvõrrandisüsteemi (2.5) A·x=b nimetatakse homogeenseks, kui kõigi tema võrrandite vabaliikmed võrduvad nulliga, s.t. b on nullvektor b = 0. Vastasel korral nimetatakse võrrandisüsteemi mittehomogeenseks. 22 2.9. Gauss'i elimineerimise meetod Märkus 2.8 Homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil A·x=0 on alati lahend olemas. Selleks on null-lahend x = 0 (nullvektor), mida nimetatakse triviaalseks lahendiks. Null-lahend aga ei pruugi olla ainuke lahend. Märkus 2.9
annaabi.ee 
