· Kui D-s mingi rea iga element kujutab kahhe liidetava summa siis laguneb D kahe sama järku D- i summaks, kui esimeses D-s koosneb vaadeldav rida esimestest liidetavast ja teises D-s teistest liidetavatest; ülejäänud read jäävad aga endisteks. · D ei muutu, kui D-i ühe reaga liita mistahes tegutriga korrutatud teine rida. D-i seda omadust kasutatakse mõnede elementide nulliks muutmiseks, et D-i arvutamist lihtsustada. n-järku D-i elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse (n-1)- järku D, mis tuleb D-st, kui sellest jäetakse ära i-s rida ja k-s veerg. Alam-D Aik ja miinori Mik vahel kehtib järgmine seos: Aik = (-1)i+k Mik 2. Maatriksi põhimõisted. Lineaarsed tehted maat-ga. Maatriks on ja jääb arvutabeliks, tema väärtust kunagi ei arvestata. Maatriksi teisendamiseks kasutatakse samasväärsus teisendusi, s.t. teisendi M samaväärsed e. bivalentsed () · i=k - ruutmaatriks · ik ristkülkmaatriks
( a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1nxn = b1
( a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2nxn = b2
( a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... a3nxn = b3
Kolme moodi seotud: m=n , m
7. Kuna determinant on induktiivselt defineeritud (esmalt esimest järku, selle abil teist, selle abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana. 8. Maatriksi ja determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast . Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik.Miinor Maatriksi A elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja k-nda veeru
elemendid reas või veergus on ,,0"-id, siis selle maatriksi determinant on ,,0". 23. september 2008.a. KÕRGEMAT JÄRGU DETERMINANDID Need on kõik determinandid alates 4-st järgust. MIINORID ja ALAMDETERMINANDID 6 Majandusmatemaatika ja Statistika (RP089) Elemendi aij miinoriks (Mij) nimetatakse D-di, mis saadakse antud maatriksist või D-st vastava rea (i-nda rea) ja veergu (j-nda veergu) ära jätmisel. esimene veerg jääb välja 0 2 4 3 5 Näiteks: A= 1 3 5 M11 = 7 8 6 7 8
elementaarteisendusi kasutades kujule, kus on võimalikult palju nulle 3)kirjutada välja saadud maatriksile vastav lvs 4)kirjutada välja lvsi lahend kasutades vajadusel tagasiasendust. Def lvsi üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, millest on parameetritele arvväärtuste omistamise teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud,
KOLMNURKSELE KUJULE, st kujule, mil peadiagonaali all või kohal on kõik elemendid nullid (lause 6). Siis võrdub determinant PEADIAGONAALI ELEMENTIDE KORRUTISEGA: | A | = a11 a22 . . . ann , kui akl = 0, k > l (või k < l). 2) DETERMINANDI ARENDAMINE REA (VEERU) JÄRGI. Sel viisil saab alandada arvutatavate determinantide järku ühe võrra. DEFINITSIOON 1. Determinandi |A| = | ai j |, i, j = 1, 2, . . . , n elemendile akl vastavaks MIINORIKS Mkl nimetatakse (n 1)-järku determinanti, mis saadakse antud determinandist, jättes välja tema k-nda rea ja l-nda veeru. DEFINITSIOON 2. Avaldist Akl = (1)k+l Mkl nimetatakse determinandi | A | elemendile akl vastavaks ALAMDETERMINANDIKS. TEOREEM. Iga determinant on esitatav kujul, mida nimetatakse tema arendiseks k-nda rea järgi : | A | = ak 1 Ak 1 + ak 2 Ak 2 + . . . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A)
KOLMNURKSELE KUJULE, st kujule, mil peadiagonaali all või kohal on kõik elemendid nullid (lause 6). Siis võrdub determinant PEADIAGONAALI ELEMENTIDE KORRUTISEGA: | A | = a11 a22 . . . ann , kui akl = 0, k > l (või k < l). 2) DETERMINANDI ARENDAMINE REA (VEERU) JÄRGI. Sel viisil saab alandada arvutatavate determinantide järku ühe võrra. DEFINITSIOON 1. Determinandi |A| = | ai j |, i, j = 1, 2, . . . , n elemendile akl vastavaks MIINORIKS Mkl nimetatakse (n 1)-järku determinanti, mis saadakse antud determinandist, jättes välja tema k-nda rea ja l-nda veeru. DEFINITSIOON 2. Avaldist Akl = (1)k+l Mkl nimetatakse determinandi | A | elemendile akl vastavaks ALAMDETERMINANDIKS. TEOREEM. Iga determinant on esitatav kujul, mida nimetatakse tema arendiseks k-nda rea järgi : | A | = ak 1 Ak 1 + ak 2 Ak 2 + . . . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A)
veergudeks on maatriksi A vastavad read. 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh | A|. Ruutmaatriksi A järku nim ka determinandi järguks. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nim sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nim arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor. 4. Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku ruutmaatriksi korral leitakse determinandi väärtus avaldisega: Nt:
kombinatsioonina, siis determinant võrdub nulliga. 6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine.
kombinatsioonina, siis determinant võrdub nulliga. 6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine.
Miinor, alamdeterminant. determinant ruutmaatriksile algoritmiga vastavusse seatud arv. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. determinandi järk ruutmaatriksi A järk Tähistus detA või |A| determinandi elemendi miinor tekib siis, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus antud element paikneb. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. determinandi elemendi alamdeterminant (miinori algebraline täiend) tekib siis, kui miinoriga korrutada (-1) astmes elemendi indeksite summa. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nimetatakse arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor.
Näide: 1 1 2 3 I 0 5 1 2 1 · 5 · 2 · 0,5 5 0 0 2 3 0 0 2 3 0 0 1 2 0,5III 0 0 0 0,5 Omadus 8. Maatriksite korrutise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega: 7. Determinandi arendamine rea (veeru) järgi. Vaatleme teise meetodi determinandi arvutamiseks. Definitsioon. Maatriksi A = (aij) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse determinanti, mis saadakse maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-nda veeru eemaldamisel. Näide. Determinandis ¯¯¯¯¯¯ on elemendi a21 = 2 miinoriks Definitsioon. Arvu nimetatakse ka elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks. Lemma 1. Kui determinandi detA viimases reas (veerus) kõik elemendid peale ann võrduvad nulliga, siis determinant võrdub elemendi ja tema täiendusmiinori korrutisega: detA =annMnn. Tõestus. Olgu
..; an)B = A; <-> (b1; ...; bn)B; + <-> A + B; c <-> cA 20. Miinori defnitsioon. Maatriksi astaku defnitsioon. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Astaku leidmine. Valime maatriksist A välja k rida reanumbritega i1, i2, ..., ik (i1 < i2 < ... < ik) ja k veergu veerunumbritega j1, j2, ..., jk (j1 < j2 < ... < jk). k <= m,n. Moodustame väljavalitud k rea ja veeru ühistest elementidest k-ndat järku determinandi. Saadud determinanti nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema kõrgeimat järku nullist erineva miinori järku; tähis: r(A) = rank(A) Maatriksi ridade elementaarteisendused (veergude puhul analoogilised): 1. mingile reale skalaarikordse mingi teise rea juurde liitmine 2. mingi rea korrutamine nullist erineva skalaariga (3. kahe rea omavaheline vahetamine) Kui maatriks B on saadud maatriksist A ridade ja veergude elementaarteisendustega, siis r(A) = r(B)
6)Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga. 7) Kolmnurksete maatriksite X1 ,X2 ,X3 ja X4 korral |X1|=|X2| = x11x22...xnn |X3|=|X4|= x1nx2,n-1...xn1 MIINOR: *Determinanti xi1 j1 x i1 j 2 ... xi1 jn x 2 j1 xi 2 j 2 ... xi 2 jn Mm := nimetame maatriksi m-järku miinoriks ... ... ... ... xinj1 xinj 2 ... xinjn *Miinorit xim +1 jm +1 xim +1 jm +2 ... xim +1 jn xim +2 jm +1 xim +2 jm +2 ... xim +2 jn M m -n := nimetame miinori Mm täiendusmiinoriks ... ... ... ... xinjm +1 xinjm +2 ... xinjn
i1 , i2 , . . . , im ja j1 , j2 , . . . , jm . Definitsioon 4.1. Determinanti xi1 j1 xi1 j2 . . . xi1 jm x xi2 j2 . . . xi2 jm Mm := i2 j1 (4.1) ......................... xim j1 xim j2 . . . xim jm nimetatakse maatriksi X jaoks m-j¨ arku miinoriks. Kui m < n, siis m rida ja m veergu saab fikseerida v¨aga erinevalt. Seega m-j¨arku miinoreid on palju. N¨aiteks m = 1 korral saame 1-j¨arku miinorid, milleks on maatriksi X elemendid. Samas suurimat j¨arku miinori saame m = n korral. Neid on ainult u ¨ks, nimelt maatriksi X determinant |X|. Olgu m-j¨arku miinori (4.1) korral m < n. Sel korral j¨a¨ ab fikseeri- mata n - m rida ja samapalju veerge
i1 , i2 , . . . , im ja j1 , j2 , . . . , jm . Definitsioon 4.1. Determinanti xi1 j1 xi1 j2 . . . xi1 jm x xi2 j2 . . . xi2 jm Mm := i2 j1 (4.1) ......................... xim j1 xim j2 . . . xim jm nimetatakse maatriksi X jaoks m-j¨ arku miinoriks. Kui m < n, siis m rida ja m veergu saab fikseerida v¨aga erinevalt. Seega m-j¨arku miinoreid on palju. N¨aiteks m = 1 korral saame 1-j¨arku miinorid, milleks on maatriksi X elemendid. Samas suurimat j¨arku miinori saame m = n korral. Neid on ainult u ¨ks, nimelt maatriksi X determinant |X|. Olgu m-j¨arku miinori (4.1) korral m < n. Sel korral j¨a¨ ab fikseeri- mata n − m rida ja samapalju veerge
Kõrgemat järku ruutmaatriksi A = (aij ) determinandiks nimetatak- se summat n |A| := (-1)i+j aij Mij , i {1, 2, . . . , n}, n 2, j=1 kus Mij on elemendile aij vastav (n - 1)-järku determinant. Determinandi väärtus |A| ei muutu, kui nn. arendamine toimub ridade asemel veergudega. Definitsioon 1.13 Determinanti Mij nimetatakse maatriksi A elemendile aij vastavaks miinoriks, mille saame, kui kustutame maatriksis A seda elementi läbiva rea ja veeru. Märkus 1.2 Determinandi väärtuse leidmiseks arendame seda maatriksi mingi rea või veeru järgi (kasulik on valida selline, kus on palju nulle). Edasi saab tekkinud ühe võrra madalamat järku determinante omakorda arendada mistahes rea või veeru järgi jne. Siinjuures on enne arendamist kasulik determinanti natukene lihtsustada. Olgu antud n-järku determinant
7 -3 4 -1 det A = = 14, det B = = 12 - ( -5) = 17, 0 2 5 3 13 - 16 det ( A B ) = = 13 6 - (-16) 10 = 78 + 160 = 238, 10 6 det A det B = 14 17 = 238. det ( A B ) = 238 = det A det B = 238. Ennem, kui vaatleme 10. ja 11 omadust, tutvume veel mõne uue mõistega. n järgulise maatriksi A elemendi aij miinoriks nimetatakse n 1 järguline determinant, mis tekib algdeterminandist i nda rea ja j veeru kõrvaldamisel . Miinorit tähistatakse kas mij või Mij . Näiteks, M45 on elemendi a45 miinor, ehk determinant kus jäi välja neljas rida ja viies veerg. Näide 10 : 1 0 M 11 = 7, M 12 = 2, M 21 = 0, M 22 = 1 . 2 7 1 0 -1 3 -2 2 -2 2 3 2 3 - 2 M 11 = = -4; M 12 = = -14; M 13 = = 17;
7 -3 4 -1 det A = = 14, det B = = 12 - ( -5) = 17, 0 2 5 3 13 -16 det ( A B ) = = 13 6 - ( -16) 10 = 78 +160 = 238, 10 6 det A det B = 14 17 = 238. det ( A B ) = 238 = det A det B = 238. Ennem, kui vaatleme 10. ja 11 omadust, tutvume veel mõne uue mõistega. n järgulise maatriksi A elemendi aij miinoriks nimetatakse n 1 järguline determinant, mis tekib algdeterminandist i nda rea ja j veeru kõrvaldamisel . Miinorit tähistatakse kas mij või Mij . Näiteks, M45 on elemendi a45 miinor, ehk determinant kus jäi välja neljas rida ja viies veerg. Näide 10 : 1 0 M 11 = 7, M 12 = 2, M 21 = 0, M 22 =1 . 2 7 1 0 -1 3 -2 2 -2 2 3
. .. .. .. .. .. . . . . . . . an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann Determinandi det A ridade ja veergude all m~oeldakse maatriksi A ustkriipse | · | nimetame determinandi m¨arkideks. ridu ja veerge. P¨ I. Determinandid 3 1.8 Miinor ja alamdeterminant Maatriksi A = (aij ) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse de- terminanti, mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j- inda veeru eemaldamisel. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk al- aiendiks nimetatakse arvu Aij := (-1)i+j Mij . Suurust gebraliseks t¨ (-1)i+j nimetame elemendi aij ja alamdeterminandi Aij m¨ argi- teguriks. 1.9 Determinandi (induktiivne) definitsioon arku determinandi (n - 1)-j¨arku determinantide Defineerime n-j¨ kaudu arendusvalemiga a11 a12 ..
annaabi.ee 
