ülekandemehhanismist, osutist ja skaalast. Erineva joonpaisumisteguri tõttu muudab bimetall temperatuuri muutudes oma kuju ning liigutab ülekandemehhanismi abil osutit. (3) Termomeetri ajalugu 1597. aastal ehitas Galileo Galilei temperatuuri mõõtmise seadme. Sellel ajal nimetati seda seadet õhk- termoskoobiks. 1611. aastal kalibreeris Galileo termoskoobi Sanctorius, võttes miinimumpunktiks lume sulamise ja maksimumiks küünla leegi temperatuuri. 1650. ehitas Toskaana hertsog Ferdinand II piiritustermomeetri . 1657. aastal leiutati elavhõbedatermomeeter. 1672. valmistas Hubini elavhõbe-vasknitraat termomeetri. 1701. aastal fikseeris taanlane Ole Christensen Rømer termomeetri reeperpunktid, milleks on vee keemine (60 ühikut), ja vee külmumine (-75 ühikut). (2) Termomeetrite skaalad Soojuspaisumisel Termodünaamika II
1624 kasutusele Jean Leuréchon. Ta moodustas need vanakreeka sõnadest thermos 'soe' ja metron 'mõõt' pärinevatest koostisosadest. On teada, et õhutemperatuuri erinevusi mõõtis õhktermoskoobiga 4. saj. e.m.a. Philo Bütsantsist ja 3. saj. e.m.a. ehitas Ctesibius vedelik-termoskoobi. Galileo Galilei ehitas oma temperatuuri mõõtmise seadme umbes 1597. aastal. Sellel ajal nimetati seda seadet õhk- termoskoobiks. 1611 aastal kalibreerib Galilei termoskoobi Sanctorius, võttes miinimumpunktiks lume sulamise ja maksimumiks küünla leegi temperatuuri. Esimesed teated vesitermomeetrist pärinevad aastast 1632, mis on Jan Rey vedeliktermobaromeeter. Alkohol- ehk piiritustermomeetri valmistas 1650. aastal Toskaana hertsog Ferdinand II. Elavhõbetermomeeter on olemas 1657. aastast. 1672 valmistatakse Hubini poolt elavhõbe vasknitraat termomeeter. 1695. aastal katsetab Guillaume Amontonsi oma kolme vedeliku termomeeterit. 1701. aastal fikseerib taanlane Ole Christensen Rømer termomeetri
( x0 ; y0 ) küllalt lähedaste ja temast Tõestus. Anname muutujale y kindla erinevate punktide f ( x, y ) puhul. väärtuse, nimelt y = y0 . Siis Öeldakse, et funktsioonil f ( x, y 0 ) on ühe muutuja x funktsioon. z = f ( x, y ) on punkti M 0 ( x0 ; y 0 ) (s.o. Et punkt x = x0 on tema x = x0 ja y = y 0 korral) miinimum, ekstreemumkohaks (maksimum- või miinimumpunktiks), z z et kas võrdub nulliga või siis järelikult võrdub nulliga y x = x0 y x = x0 y = y0 y = y0 puudub. või puudub Analoogselt saab tõestada, 11
ja metron "mõõt" pärinevatest koostisosadest. Ajalugu On teada, et õhutemperatuuri erinevusi mõõtis õhktermoskoobiga 4. saj. e.m.a. Philo Bütsantsist ja 3. saj. e.m.a. ehitas Ctesibius vedelik-termoskoobi. Galileo Galilei ehitas oma temperatuuri mõõtmise seadme umbes 1597. aastal. Sellel ajal nimetati seda seadet õhk-termoskoobiks. 1611 aastal kalibreeris Galilei termoskoobi Sanctorius, võttes miinimumpunktiks lume sulamise ja maksimumiks küünla leegi temperatuuri. Esimesed teated vesitermomeetrist pärinevad aastast 1632, mis on Jan Rey vedeliktermobaromeeter. Alkohol- ehk piiritustermomeetri valmistas 1650. aastal Toskaana hertsog Ferdinand II. Elavhõbetermomeeter on olemas 1657. aastast. 1672 valmistas Hubini elavhõbe-vasknitraat termomeetri. 1695. aastal katsetas Guillaume Amontonsi oma kolme vedeliku termomeeterit. 1701. aastal fikseeris taanlane Ole
maksimumidest (kui maksimume on mitu), ja nimelt suurim nendest. Kuid võib ka juhtuda, et suurim väärtus saavutatakse lõigu ühes otspunktis. Niisiis saavutab funktsioon lõigul [ a, b] suurima väärtuse kas selle lõigu ühes otspunktis või lõigu niisuguses seesmises punktis, mis on maksimumpunktiks. Sedasama võib öelda funktsiooni vähima väärtuse kohta: see saavutatakse kas antud lõigu ühes otspunktis või niisuguses seesmises punktis, mis on miinimumpunktiks. 10. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon ja järeldused sellest. Integraalide tabel. Määramata integraali kaks omadust. Funktsiooni F ( x ) nimetatakse funktsiooni f ( x ) algfunktsiooniks lõigul [ a, b] , kui selle lõigu kõikides punktides kehtib võrdus F ( x ) = f ( x ) . Avaldist kujul F ( x ) + C , kus F ( x ) on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on suvaline
ristküliku OCDQ pindala, sest kogukulud TC=TFC+TVC või ka TC= ATC × q; 4. lõigu q1F pikkus või lõigu ED pikkus (loomulikult vaatame kõiki kulusid toodangu koguse q1 juures); 16.c; kui firma püsikulud TFC suurenevad, siis kasvavad ka keskmine püsikulu AFC=TFC / Q ning samuti keskmine kogukulu ATC= AFC + AVC; 17.b; piirkulu MC kõvera lõikepunkt on mitte ainult keskmise kogukulu ATC kõvera miinimumpunkt, vaid piirkulu MC ja keskmise muutuvkulu AVC kõvera lõikepunkt on AVC miinimumpunktiks (vt ka joonis 6.2); 18. 1. 37 kr, sest firma püsikulud TFC=24 (kui firma toodang on 0, siis ongi ettevõttel ainult püsikulud TFC) ning seepärast TVC5=TC5-TFC5=61-24=37; 2. 16 kr, keskmine kogukulu ATC3 =TC / Q= 48 / 3 =16; 3. 8 kr, keskmine püsikulu AFC3 =TFC / Q=24 / 3=8; 4. 8 kr, piirkulu MC6= TC / Q=(69-61) / 1=8; 19.d; eeldades arvutusprintsiipe keskmised muutuvkulud AVC=TVC / Q ja piirkulu MC=TVC / Q ning
kuldreegli piirtulu MR = piirkulu MC järgi, kuid kuna täielikult konkureeriva firma TKF korral on hind P võrdne piirtuluga (ja võrdne ka keskmise tuluga ATR või AR), siis on väide põhimõtteliselt õige; NB! TKF-i korral P=MR=A(T)R; 2. VALE; diferentseeritud toodangut toodetakse konkurentsiturgudel, TKT-l on toodang homogeenne (täiesti ühetaoline, puuduvad firmamärgid); 3. ÕIGE; piirkulu MC ja keskmise muutuvkulu AVC kõverate lõikepunkt on AVC miinimumpunktiks ja kuna nn sulgemishind, millisest hinnatasemest allpool peaks firma lühiperioodil oma tegevuse lõpetama on P=AVCmin, siis on väide õige; 4. a) VALE; firma maksimeerib kasumi (või minimeerib kahjumi) kui valib toodangukoguse vastavalt kuldreeglile MR=MC, seega optimaalne kogus on 0C; b) VALE; firma kogutulu TR=P× Qrealiseeritud, seega optimaalse koguse korral kajastab kogutulu TR ristküliku pindala, mille otsapunktid on 0GKB, sest lõik 0G tähistab ju hinda ning lõik 0C optimaalset
(x) ≥ f (a)). Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Argumendi väärtust x = a nimetatakse kas maksimum- või miinimumkohaks. Punkti (a; f(a)) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks (maksimum- või miinimumpunktiks) Mis on funktsiooni globaalsed Funktsioon f globaalseks ehk ekstreemumid? Kuidas neid absoluutseks maksimumiks leida? (miinimumiks) piirkonnas A ⊆ X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Kui funktsiooni f suurim
y = f (x) f (x) f (a) f (x) f (x) f (x) f (a) 0 x a x x 0 x a x x Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Punkti (a; f (a)) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks (maksimum- või miinimumpunktiks). 9 Ekstreemumi tarvilikud ja piisavad tingimused Ekstreemumi tarvilik tingimus: Lokaalne ekstreemum võib funktsioonil olla vaid tema kriitilises punktis. Ekstreemumi piisavad tingimused: Olgu funktsioon y = f (x) pidev kriitilises punktis a. 1) kui f (x) > 0 (s.t. f kasvab) punkti a vasakpoolses ümbruses ja f (x) < 0 (s.t. f kahaneb) punkti a parempoolses ümbruses, siis
kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks. Kui f''(a)<0 siis punktis A range lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x)f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks miinimumpunktiks. Kui f´´(a)>0, siis punktis A range lokaalne miinimum. Kui definitsioonis on mitterangete võrratuste asemel ranged võrratused siis nimetatakse punkti A rangeks lokaalseks ekstreemumpunktiks. 6. Mis on funktsiooni globaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks piirkonnas A kuulub hulka X, nimetatakse tema suurimat väärtust selles piirkonnas. Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks miinimumiks piirkonnas A kuulub hulka X
5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? f´(x)=0 Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks. Kui f´´(a)<0 siis punktis A range lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks miinimumpunktiks. Kui f´´(a)>0 siis punktis A range lokaalne miinumum. Kui definitsioonis on mitterangete võrratuste asemel ranged võrratused siis nimetatakse punkti A rangeks lokaalseks ekstreemumpunktiks. 6. Mis on funktsiooni globaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks piirkonnas A kuulub hulka X, nimetatakse tema suurimat väärtust selles piirkonnas.
Pinna puutujatasand ja tema võrrand
Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y)
puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b))
Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja
ristub puutujatasandiga selles punktis
13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik
tingimus
Punkti (x0,y0) nim funktsiooni z=f(x,y) maksimumpunktiks, kui punkti (x0,y0) küllalt
läheduses on f(x0,y0)>f(x,y), ja miinimumpunktiks, kui f(x0,y0)
olulised. Nimelt näeme, et tuletis on võrdne nulliga täpselt kohtades, kus puutuja- sirge on paralleelne -teljega – ehk teisisõnu kohtades, kus funktsioonil on kogu tuletis oma ümbrusest suurem või väiksem väärtus. Selliseid kohti nimetatakse ekstree- mumiteks. Ekstreemumit, mis on mingil väiksel alal kõige suurema väärtusega, nimetatakse maksimumpunktiks ning madalamat punkti miinimumpunktiks. Ekstreemumite uurimine on päris oluline, kuna tänapäeval on ikka kombeks kõike kas maksimeerida või minimeerida: majandusteadlased tahavad maksimeerida kasumit, vormeli-insenerid tippkiiruseid ja õpilased uneaega. Kuidas see täpsemalt käib, räägime lahendades vägagi olulist probleemi näiteks tutipäevaks: mis nurga alt visata ratta seljast veepomme [lk 333]? Enne aga veel
annaabi.ee 
