· Positiivsuspiirkond X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0
Nullkohtade hulk X0 : f x 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine Positiivsuspiirkond X : f x 0 Negatiivsuspiirkond X : f x 0 Kasvamisvahemikud X : f x 0 Kahanemisvahemikud X : f x 0 Maksimumkoht Kui f x 1 0 ja f x 1 0 , siis x1 on maksimumkoht Miinimumkoht Kui f x 2 0 ja f x 2 0 , siis x2 on miinimumkoht Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) Periood f(x + T) = f(x), T periood Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x)
Pank teenis puhaskasumit 1 240 000 1 000 000 = 240 000 krooni. 240000 Leiame, mitu protsenti moodustab 240 000 krooni 1 000 000 kroonist. = 0, 24 = 24% . 1000000 Vastus: Panga selle päeva kasumiprotsent oli 24%. 3. (10p) Leidke funktsiooni y = x 3 - 4x 2 - 3x - 2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning maksimum- ja miinimumkoht. Lahendus: Leiame antud funktsiooni esimese ja teise tuletise. f ( x ) = ( x 3 - 4 x 2 - 3x - 2 ) = 3x 2 - 8 x - 3 f ( x ) = ( 3 x 2 - 8 x - 3) = 6x - 8 1) Leiame nüüd kasvamisvahemiku: X : y > 0 3 x 2 - 8 x - 3 > 0; 3 x 2 - 8 x - 3 = 0; Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee 23.05
EKSTREEMUMÜLESANDE LAHENDAMINE 1.) Ülesandes toodud maksimaalse või minimaalse suuruse jaoks koostada funktsioon, kus argumendiks on soovitavalt üks otsitav. Kõik teised suurused avaldada selle kaudu. Võib kasutada argumendiks x-i ja funktsiooniks y-i. Võib kasutada ka muid tähistusi. 2.) leida funktsiooni tuletis argumendi järgi. 3.) Leida ekstreemumkohad 4.) Kontrollida, kas saadud ekstreemumkoht (kohad on maksimum- või miinimumkoht teise tuletise järgi. Näide: Olemasolevast materjalist saab valmistada tara pikkusega 16 meetrit. Kolmest küljest on vaja tarastada ristkülikukujuline maatükk laohoone ees. Missuguste mõõtmete korral on tarastatud maatüki pindala suurim? Olgu üks külg x meetrit, ja teine 16-2x meetrit. X x 16-2x Koostan pindala funktsiooni. S= a*b S= (16-2x) * x y= -2x2 + 16x Leian tuletise.
B) Lülitasime lühise liini lõppu C) Fikseeritud kahe järjestikuse pinge miinimumide asukohad olid: x1= 483 mm ja x2= 703 mm. D) arvutatud lainepikkus: =2(x2-x1)= 2(703-483)= 440 mm 2. A) Lülitasime koormuse liini lõppu Pinge max ja min koht liinil: Umax= 90 V ja Umin= 8,5 V U max 90 B) Seisulainetegur SWR = = = 3,254 U min 8,5 D) Koormusega liinil leitud miinimumkoht, mis asetseb punktide x1 ja x2 vahel: x3= 650 mm x2-x3= 703- 650= 53 mm E) Minimaalne aktiivtakistus: x/= 53/440= 0,12 F)Leitud nihe Smithi diagrammil: 0,1718- 0,1295= 0,0423 mm 3. B) L1= 0,0423*= 0,0423*440= 18,612 mm C) Lühisliini pikkuse arvutamiseks leidsime Smithi diagrammilt Xx= 0,3542, L2= (0,3542- 0,25)*= 45,85 mm Lahutame sellest lühisliini osa ja liidame pool lainepikkust: L2- 75+/2= 45,85- 75+ 440/2= 190,85 mm 4
kasvades funktsiooni väärtused (y) kasvavad. 10.Kahanemine funktsioon y=(f) on kahanev, kui argumendi väärtuste (x-i) kasvades funktsiooni (y) väärtused kahanevad. 11.Ekstreemumkohad nimetatakse neid argumendiväärtuseid, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi. Maksimumkoht ekstreemumkoht, kus kasvamine läheb üle kahanemiseks. Miinimumkoht on ekstreemumkoht, kus kahanemine läheb üle kasvamiseks. 12.Funktsiooni ekstreemumid funktsiooni väärtused (y) ekstreemumkohal. 13.Astmefunktsioonid nim funktsioone, mida esitab valem y=ax n , kus a=/0 ja n E R
4)positiivsuspiirkond-kui graafik asub ülevalpool x telge, on funktsiooni väärtused positiivsed. y>0 5)negatiivsuspiirkond-kui graafik asub allpool x telge, on funktsiooni väärtused negatiivsed. Y<0 6)kasvamisvahemik-leian jooniselt need x väärtused mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi tõuseb. 7)kahanemisvahemik-leian jooniselt need x väärtused, mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi langeb. EI KASUTA VÕI JA ÜHENDIMÄRKI. 8)ekstreemumkohad: miinimumkoht- seal läheb funktsiooni kahanemine üle kasvamiseks. Maksimumkoht- seal läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks 9)ekstreemumid-miinimum on miinimumkohale vastav y väärtus maksimum on maksimumkohale vastav y väärtus. 10)ekstreemumpunktid- koosneb ekstreemumkohast ja ekstreemumist.. Paaris- ja paaritu funktsioon Funktsiooni y=f(x) nim paarituks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=-f(x)
Negatiivsuspiirkond - muutuja x väärtuste hulk, kus funktsiooni väärtused on negatiivsed f(x)<0 X + = {x| f(x) > 0} X - = {x| f(x) < 0} Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine läheb x suurenedes kohal xe kahanemiseks või funktsiooni y = f(x) kahanemine läheb x suurenedes kohal xe kasvamiseks, siis on koht xe selle funktsiooni ekstreemumkoht f '(x) = 0 Xmax maksimumkoht, kui f ''(x)<0 Xmin miinimumkoht, kui f ''(x)>0 Xe = {x| f '(x) = 0} Funktsioon kasvab, kui x1 < x2 f(x1) < f(x2) f '(x)>0 Funktsioon kahaneb, kui x1 < x2 f(x1) > f(x2) f '(x)<0 X = {x| f '(x)>0} X = {x| f '(x)<0} Kohad, kus joon muutub nõgusast kumeraks või kumerast nõgusaks f "(x) = 0 Xk = {x| f "(x) = 0} f "(x)<0 f "(x)>0 X
FUNKTSIOONID. 1. (1997 A) Leidke funktsiooni y = 4x3 3x2 maksimum- ja miinimumkoht ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid;
2) Leidke sirgetega x 0 ja x ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 2 4. (23.05.1998, II, 20 punkti). On antud funktsioon f x sin x cos x . 1) Lihtsustage avaldist f x f x . 2) Lahendage võrrand f x 1 . 3) Lahendage võrratus f x 0 lõigus 0, . 4) Leidke funktsiooni f x miinimumkoht vahemikus 0,2 ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 5. (06.06.1998, T, 10 punkti). Leidke argumendi x kõik väärtused, mille korral funktsiooni y tan x x tuletis on 0. 6. (31.05.1999, I, 15 punkti). Leidke sin 2 , kui sin rahuldab võrrandit 3 cos 2 7 sin2 ja .
· Nullkohtade hulk X0 : f ( x) = 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine · Positiivsuspiirkond X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) · Periood f(x + T) = f(x), T periood · Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x)
tuletisfunktsiooni nullkoht: S ' ( x) = -14 + 4 x = 0, millest 7 4 x = 14 x = = 3,5. 2 Uurimaks, kas leitud kriitilises punktis on miinimum, leiame ka funktsiooni S(x)teist järku tuletise: S ' ' ( x ) = (-14 + 4 x)' = 4. Teist järku tuletis osutus kriitilises punktis positiivseks ja seega on tõesti funktsioonil S(x) sellel kohal miinimumkoht. Lahendus (IV) Pindala minimaalseks väärtuseks saame: S (3,5) = 48 - 14 3,5 + 2 (3,5) 2 = 48 - 49 + 24,5 = 23,5 cm 2 Vastus Kujundi pindala on minimaalne, kui x = 3,5 ja sellele vastab pindala S = 23,5 cm2. 3. Joonestage funktsiooni y = x | x -1 | graafik lõigul [-3; 3] ja leidke nullkohad. Ülesanne 2 Ülesanne 2. Joonestage funktsiooni y = x | x -1 | graafik lõigul [-3; 3] ja leidke nullkohad.
1 1 y 3x 2 x 9 x 2 h) y = ln( x2 -x -2 ) g) Vastused: a) ( 2 ;3 ] b) [-8,5 ; 1] c) ( ; 0 ) U (0 ; 1) d) ( 4 ; 6 ) e) [2 ; ) f) (1 ; 2) U (2 ; ) g) [-2/3 ; 0 ) U ( 0 ; 3 ) h) ; 1 2; 2.Funktsiooni uurimine tuletise abil a) Leidke funktsiooni y = x3 - 4x2 -3x -2 kasvamis- ja kahenemisvahemikud, maksimum- ja miinimumkoht. Vastus: Kasvab x<-1/3, x>3 ; kahaneb -1/3 < x <3 max .koht - 1/3 ; min. koht 3. b) Antud on funktsiooni y = x3 -5x2 +3x - 11 1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus:1) kasvab, x< 1/3 või x>3 ; kahaneb, kui 1/3< x <3 2) y =-20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - xlnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond
2x - =0 =0 ; x x x 0 2 x2 - 2 = 0 :2 x 2 - 1 = 0; x 2 = 1 x = 1 x1 = 1 ja x2 = -1 ei sobi määramispiirkonda Ekstreemumkoht on x = 1. Määrame ekstreemumkoha liigi 2. tuletise järgi. Saame ( f ( x) = f ( x) ) = 2x - 2x = 2 + x22 2 f ( 1) = 2 + = 4 > 0 , seega x = 1 on miinimumkoht. 12 Leiame nüüd funktsiooni miinimumi ymin = f(1) = 1 2 ln 1 + 3 = 1 0 + 3 = 4. 4. Lahendame võrrandi f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. x2 + ln2 x = x2 2 ln x + 3; ln2 x + 2 ln x 3 = 0. Lahendame ruutvõrrandi ln x-i järgi: ln x = -1 1 + 3 = -1 2 ln x1 = -1 + 2 = 1 x1 = e1 = e; 1 ln x2 = -1 - 2 = -3 x2 = e -3 = e3
( ) n n RSS ( a^ , b^) = ui2 = yi - ax ^ i - b^ min lineaarsete hinnangute seas; i =1 i =1 · lineaarsed vaatluste yi suhtes. Tuleb leida kahe muutuja funktsiooni RSS ( a^ , b^ ) miinimumkoht. KUI kehtivad klassikalise lineaarse mudeli eeldused. Matemaatilisest analüüsist: I järku osatuletised peavad võrduma nulliga. Vastavaid eeldusi ja nende testimist vaatame järgmistes
Regressioonanalüüsi käigus leitakse regressioonmudeli deterministlik komponent, st leitakse vastava matemaatilise funktsiooni parameetrite hinnangud. 21. Vähimruutude meetodi olemus. Minimeeritakse hälvete ruutude summat. Lineaarne mudel: harilik vähimruutude meetod OLS. Vähimruutude meetod: regressioonmudeli parameetrite hinnangud leitakse nii, et jääkide ruutude summa on minimaalne. Hälvete ruutude summa RSS (Residual Sum of Squares). Tuleb leida kahe muutuja funktsiooni miinimumkoht. Matemaatilisest analüüsist: I järku osatuletised peavad võrduma nulliga. 22. Vähimruutude meetodil leitud hinnangute omadused, kui kehtivad klassikalise lineaarse mudeli eeldused. On võimalik näidata, et sel moel leitud hinnangud on · nihketa; · efektiivsed, so vähima dispersiooniga kõigi nihketa lineaarsete hinnangute seas; · lineaarsed vaatluste yi suhtes; Sellisel juhul annab vähimruutude meetod lineaarse regressioonmudeli jaoks parima lineaarse
A( x) = 2 x 2 1250 + 2 xh 1000 + (2 xh + 2 xh ) 2000 = 2500 x 2 + 10000 xh = 2500 x 2 + x min 5000V V A´( x) = 5000 x - 2 ; A´( x) = 5000 x - 2 = 0; x 3 = V x = 3 V . x x Kontroll, kas on miinimumkoht: 10000V 10000V A´´(x) = 5000 + 3 ; A´´(3 V ) = 5000 + = 15000 > 0 x min = 3 V x V Hoone pikem sein: 2 x = 23 V . 3 V Hoone kõrgus: h = . 2 2) Kui V = 1728 kr/m2, siis x = 12 m ja h = 6 m.
b) graafiku ja x - telje lõikepunkt c) maksimumpunkti abstsiss 2) Koostage joone y = f ( x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x - telge. Vastus:1) a) X=( 0 ; ) b) ( 6 ; 0 ) c ) xmax= 6/e 2) y = x +6 y a ln x x 2 3x d) Millise a korral on funktsioonil ekstreemum punktis x = 1 Määrake ekstreemumi liik. Vastus: a = 1; x = 1 on miinimumkoht ex y ln x2 x e) Antud on funktsioon 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond. 2) Lihtsustage funktsiooni avaldist , kasutades logaritmi omadusi . 3) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 4) Arvutage funktsiooni miinimumpunkti koordinaadid.
ekstreemumkoht on võrrandi f ( x ) = 0 lahendiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f ( x0 ) = 0 või f ( x0 ) ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y = f ( x ) tuletis üleminekul väärtusest x = x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f ( x0 ) on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt ( x0 ; f ( x0 ) ) funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit. Funktsiooni ekstreemumkoha olemasolu ja liigi kindlakstegemisel võib kasutada ka teist tuletist f ( x ) . Kui x 0 on maksimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f ( x0 ) = 0 ja f ( x0 ) < 0 .
Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f x0 0 või f x0 ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y f x tuletis üleminekul väärtusest x x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f x0 on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt x0 ; f x0 funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit. Funktsiooni ekstreemumkoha olemasolu ja liigi kindlakstegemisel võib kasutada ka teist tuletist f x . Kui x 0 on maksimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused:
6 Ekstreemumkohad, xmax Lahendatakse võrrand f ‘(x) = 0. Sobivad nende liigid xmin vaid need võrrandi lahendid, mille korral tuletis muudab märki. Ekstreemumkoha liik määratakse teise tuletise abil: Kui f ‘’(x) > 0, siis x on miinimumkoht, Kui f ‘’(x) < 0, siis x on maksimumkoht x on siin võrrandi f ‘(x) = 0 lahend 7 Ekstreemumid ymax Maksimumid: ymax = f(xmax), ymin Miinimumid: ymin = f(xmin) 8 Ekstreemumpunktid Pmax Funktsiooni y = f(x) graafiku punktid Pmin Pmax(xmax; ymax) ja Pmin(xmin; ymin)
Least Squares) ● Teatud juhtudel üldistatud vähimruutude meetod GLS (Generalized Least Squares) Vähimruutude meetodi kasutamiseks peab mudel olema lineaarne parameetrite suhtes. Vähimruutude meetod: regressioonmudeli parameetrite hinnangud leitakse nii, et jääkide ruutude summa on minimaalne. Parameetrite hinnangute valemite tuletamine: Hälvete ruutude summa RSS (Residual Sum of Squares). Tuleb leida kahe muutuja funktsiooni miinimumkoht. Matemaatilisest analüüsist: I järku osatuletised peavad võrduma nulliga 20. Vähimruutude meetodil leitud hinnangute omadused, kui kehtivad klassikalise lineaarse mudeli eeldused. On võimalik näidata (Gauss-Markovi teoreem), et sel moel leitud hinnangud on ● nihketa; ● efektiivsed, so vähima dispersiooniga kõigi nihketa lineaarsete hinnangute seas; ● lineaarsed vaatluste yi suhtes. KUI Kehtivad klassikalise lineaarse mudeli eeldused
.., xn) vektori s=AP suunas. on funktsioonil f punktis A tinglik lokaalne maksimum (miinimum). 1. Kui leidub selline punkti A ümbrus U(A), milles: Funktsiooni f(x,y) tinglik ekstreemum lisatingimusel F(x,y) = 0 võib olla abifunktsiooni (x , y ; ) = f (x , y ) + F (x , y ) a. fs(P) > 0 iga P C U(A) (P <> A) korral, siis A on miinimumkoht; statsionaarsetes punktides. b. fs(P) < 0 iga P C U(A) (P <> A) korral, siis A on maksimumkoht; Funktsiooni f(x1, ..., xn) tinglik ekstreemum lisatingimusel F1(x 1,...,xn) = 0, F2(x 1,...,xn), ..., Fn(x1,....,xn) = 0 võib olla 2
1 S x x ln x 3x x ln x x ln x 3x ln x x 3 ln x 4 x S x 0 ln x 4 ln x 4 x e4 0 Näitame teise tuletise abi, et x e 4 on miinimumkoht. 1 S x ln x 4 x 1 S e 4 e4 0 x min e 4 e 4 Leiame funktsiooni y x ln x 2 x väärtuse kohal x e 4 : 4 4 4 4 4 4 y min ye e ln e 2e 4 . 2e 4e 2e
annaabi.ee 
