võrdkülgsete kolmnurkade (BKC, CLA, AMB) ümberringjoonte lõikepunkt T. • Torricelli punkt osutub selliseks, mille kauguste summa lähtekolmnurga tippudest on minimaalne TA + TB + TC = minimaalne Torricelli punkt - T Fermat’ punkt • Pierre de Fermat [ferma:] (17.08.1601 – 12.01.1665) – prantsuse matemaatik. Töötas juristina ja tegeles matemaatikaga vaid vabal ajal. Oma tulemusi ei avaldanud, kuid kirjutas neist tuntud matemaatikutele. Olulisi tulemusi saavutas arvuteoorias (Fermat’ teoreemid), geomeetrias (võttis kasutusele koordinaatide meetodi), matemaatilises analüüsis (jõudis lähedale diferentsiaal- ja integraalarvutusele). On üks tõenäosusteooria rajajaid. Fermat’ punkt - F • Kolmnurga ABC tippe selle külgedele joonestatud võrdkülgsete kolmnurkade (BKC, CLA, AMB) uute tippudega (vastavalt K, L ja M) ühendavate sirgete (KA, LB ja MC) lõikepunkt. Fermat’ punkt - F
. . . . . . . . .9 5. Inimese proportsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 6. Kokkuvõte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Sissejuhatus Matemaatikas on üheks kestvaimaks uurimisobjektiks olnud Fibonacci arvud - jada 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . , milles iga järgnev element on kahe eelneva summa. Esimesena käsitleti neid teaduslikult juba 13. sajandil. Varasest avastamisest hoolimata pakuvad nad aga suurt huvi ka tänapäeva matemaatikutele, omades väärtust nii teoreetikute kui praktikute jaoks. Nende uurimisele on pühendatud 4 korda aastas ilmuv ajakiri, neid käsitletakse ka paljudes teistes väljaannetes ja tähtsamaid uurimistulemusi avaldatakse tihti raamatutena. Kõige selle põhjuseks on ilmselt just nende arvude lai rakendatavus ja üldistatavus. Nimelt põhineb suur osa looduslikest protsessidest kas eksponentfunktsioonil (ex) või siis just
http://www.youtube.com/watch?v=6toCYbRBX2A Esimene video sisaldab Fibonacci uudishimu jänestest, et kui palju jäneseid tekib aastaga. Veel sisaldab video erinevaid kujusi ning nende taga põhinevat Fibonacci numbrite põhimõtet. Teisest videost saab samu teemasi, ainult pikemate kirjeldustega. Kolmas video sisaldab kõiksugu saladusi universiumist, maailmaruumist ja inimestest. Kokkuvõte Varasest avastamisest hoolimata pakuvad nad aga suurt huvi ka tänapäeva matemaatikutele, omades väärtust nii teoreetikute kui praktikute jaoks. Nende uurimisele on pühendatud 4 korda aastas ilmuv ajakiri, neid käsitletakse ka paljudes teistes väljaannetes ja tähtsamaid uurimistulemusi avaldatakse tihti raamatutena. Kõige selle põhjuseks on ilmselt just nende arvude lai rakendatavus ja üldistatavus. Nimelt põhineb suur osa looduslikest protsessidest kas eksponentfunktsioonil (ex) või siis just diskreetsetel rekurrentsetel jadadel, millistest
liigub nimelt nii planeedi pöörlemisele kui tiirlemisele vastassuunas. Mis Nereisesse puutub, siis on tema orbiit väga piklik, kaugus Neptuunist muutub 1,3 miljonist kuni kümne miljoni kilomeetrini. Neptuunil on ka kolm nõrka rõngast. (1) 13 3. PLUUTO, CHARON JA KUIPERI VÖÖ Le Verrier' ning Galle edu planeetide avastamisel pliiatsi ja paberi abiga ei andnud rahu teistelegi matemaatikutele. Selle sajandi algul lõi üks tolle aja juhtivaid planeediuurijaid Percival Lowell spetsiaalse arvutusbüroo Neptuuni-taguste planeetide otsimiseks. Rehkendused vaheldusid vaatlustega, kuni 1930. a. C. Tombaugh sattuski seni tundmatule liikuvale objektile. Oletades, et tegemist ongi uue planeediga, pandi objektile nimeks Pluuto (surmajumal Plutoni järgi). Alles aastatepikkused vaatlused osutasid, et tegemist on kõigist senistest tugevasti erineva taevakehaga. (1)
ümbritsetud maailmaga, mis on vaid üks looduse maailmade loendamatust arvust, millised kord sündides, kord surres eksisteerivad igaüks neile antud aja. Taevasfääride harmooniat otsis ka Platon (427-347 e. Kr.). Ta kirjeldas kaheksat sfääri, milledele on kinnitatud planeedid ja tähed. Platon väitis kategooriliselt, et kõigi taevakehade liikumine on ringjooneline, ühtlane ja korrapärane. Ta püstitas matemaatikutele ülesande, leida, milline ringliikumiste kombinatsioon võimaldaks seletada kõiki planeetide näivaid liikumisi. Esimese sellesuunalise katse tegi tõenäoliselt Platoni õpilane Eudoxos Knidosest (cir. 408-355). Paigutanud Maa liikumatult tsentrisse, koostas ta süsteemi, mis sisaldas 27 kristallsfääri. Mudel võimaldas saada vaatlustega võrreldavaid tulemusi Jupiteri ja Saturni puhul, kuid teiste taevakehade jaoks oli ta kõlbmatu
mida võiks nimetada teadusfantaasiaks või fantastiliseks teaduseks. Nii nagu võime küsida, kas Linnutees või teistes galaktikates on meie Maa taolisi planeete, kus elab arukaid või vähemalt enda meelest arukaid olevusi. Võime küsida sedagi, kas meie universum on ainus või on olemas midagi muud, mõni teine universum, mis on võib-olla sündinud samasuguse Suure Paugu tulemusena või kuidagi teisiti '' (Kaplinski 2009:162). '' Matemaatikutele ei tee raskust tegeleda ruumidega, millel on rohkem mõõtmeid kui ruumil, milles asume meie. Siin oleme rääkinud aegruumist, mis on neljamõõtmeline ruum, kus aeg on neljandaks mõõtmeks. Ent miski ei takista meid teoretiseerimast viie-, kuue- või kasvõi üheteistmõõtmelisest ruumist. Sellisesse ruumi (aegruumi) võib mahtuda õige mitmesuguseid universumeid. On teadlasi, kes peavad väga tõenäoliseks seda, et
välimiste vallide läbimõõt küünib aga 3000 kilomeetrini. Suure veesisalduse tõttu on Callisto reljeef kaunis tasane, kõrguste vahe ei ületa kuskil ühte kilomeetrit. (Allikad 4, 5, 8, 10) 28 8. PLUUTO, CHARON ja KUIPERI VÖÖ Le Verrier' ning Galle edu planeetide avastamisel pliiatsi ja paberi abiga ei andnud rahu teistelegi matemaatikutele. Selle sajandi algul lõi üks tolle aja juhtivaid planeediuurijaid Percival Lowell spetsiaalse arvutusbüroo Neptuuni-taguste planeetide otsimiseks. Rehkendused vaheldusid vaatlustega, kuni 1930. a. C. Tombaugh sattuski seni tundmatule liikuvale objektile. Oletades, et tegemist ongi uue planeediga, pandi objektile nimeks Pluuto (surmajumal Plutoni järgi). Alles aastatepikkused vaatlused osutasid, et tegemist on kõigist senistest tugevasti erineva taevakehaga
Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand. Ellipsi fookused. Ellipsi ekstsentrilisus ja juhtjooned. Ellipsi optiline omadus. Hüperbooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Hüperbooli fookused, harud, ekstsentrilisus. Hüperbooli kaldasümptoodid ja juhtjooned. Hüperbooli alternatiivne definitsioon. Parabooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Parabooli fookus, juhtjoon, ekstsentrilisus. Parabooli optiline omadus. Matemaatikutele tulemused tõetustega 1. Determinandi leidmine, kus viimases reas kõik elemendid peale viimast võrduvad nulliga. 2. Determinandi arendis j-nda veeru järgi. 3. Maatriksi pöördmaatriksi arvutamise valem. 4. Crameri valemi tuletamine 5. Kronecker-Capelli valemi tuletamine 6. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt. 7. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor. 8. Cauchy-Bunjakovski võrratus 9. Kolmnurga võrratus 10. Vektorkorrutise vektori koordinaatide leidmise valem 11
Tuletussüsteem koosneb tuletusreeglitest ja teisendusreeglitest. Tuletusreeglid näitavad mida saab mingist väitest (oletusest) või väidetest tuletada. Nende reeglite endi põhjendamine osutub aga tõsiseks filosoofiliseks probleemiks. Nagu loogikaid nii on ka tuletussüsteeme mitmesuguseid, nt predikaatarvutuse tuletussüsteem. Järgnevalt käsitleme nö loomulikku tuletussüsteemi võttes aluseks Copi ja Coheni raamatu, mis pole mõeldud matemaatikutele. Esitatud süsteem on täielik ja kasutab lausearvutust. Muidugi on võimalik tuletada lisavalemeid, kuid olemasolevatest piisab lahenduva tõeväärtusülesande lahendamiseks. Tuletusreeglite abil saame teha loogilisi järeldusi märksa kiiremini kui näiteks tõeväärtustabeleid kasutades. Loomulikus tuletussüsteemis on 9 tuletusreeglit ja 10 teisendusreeglit, kokku seega 19 reeglit, enamus on meile juba tuttavad. TULETUSREEGLID: 1. Modus ponens (MP) p q, p, q 2
Võibolla on tore ka teada, et tänaseks ei ole hulgad enam ainus kasutusel olev matemaatikale vundamendi ladumise viis. Kasutada võib ka teist tüüpi, pisut võim- samaid objektide kogumeid – kategooriaid. Kategooria ei koosne enam üksnes eri- nevatest objektidest, vaid sisaldab ka seoseid nende objektide vahel. Hulgad ja peavalu Hulgad on matemaatikutele ka paradokside näol palju peavalu toonud. 20. sajandi algupoolel tekitas pahandust inglise filosoof ja matemaatik Bertrand Russell järgmise lihtsa küsimusega: kas mõni hulk võiks olla ka iseenda element? Võibolla arutles ta umbes nii. Kui mul on hulga koostamiseks vabad käed, võin ju nõuda, et minu hullumeelse hulga iga element oleks selline hulk, mis ei ole iseenda element. 62
Näiteks tänapäeval kasutatavad teleskoobid näevad palju kaugemale kui Galilei Galileo seda omal ajal teha sai. Kuid elektronmikroskoobid näevad väga väikseid asju, mida näiteks Baer omal ajal näha ei saanud. Just tehnoloogia arengutase määrab ära teaduse võimalused vaatluste ja katsete tegemiseks ning saadud andmete analüüsimiseks. Kuid ka tehnoloogia areng toob teadusele uusi probleeme. Näiteks infotehnoloogia areng tõi probleeme matemaatikutele arvutusmeetodite loomiseks, filoloogidele aga masintõlke ja kõnetuvastuse rakendamiseks. Selliste ülesannete lahendamise meetodid, mis arvutuste ülisuure mahukuse tõttu tuli lahendust otsida lausa aastakümneid või isegi sadu, matemaa- tikutele huvi aga ei pakkunud. Seda eriti veel enne arvutite tulekut. Kuid kõik muutus pärast arvutite kasutamisele võtmist. Tänapäeva arvutid oskavad üha enam tõlkida inimkeeli ühest keelest teise ja saadakse inimkõnest ka paremini aru
Näiteks tänapäeval kasutatavad teleskoobid näevad palju kaugemale kui Galilei Galileo seda omal ajal teha sai. Kuid elektronmikroskoobid näevad väga väikseid asju, mida näiteks Baer omal ajal näha ei saanud. Just tehnoloogia arengutase määrab ära teaduse võimalused vaatluste ja katsete tegemiseks ning saadud andmete analüüsimiseks. Kuid ka tehnoloogia areng toob teadusele uusi probleeme. Näiteks infotehnoloogia areng tõi probleeme matemaatikutele arvutusmeetodite loomiseks, filoloogidele aga masintõlke ja kõnetuvastuse rakendamiseks. Selliste ülesannete lahendamise meetodid, mis arvutuste ülisuure mahukuse tõttu tuli lahendust otsida lausa aastakümneid või isegi sadu, matemaa- tikutele huvi aga ei pakkunud. Seda eriti veel enne arvutite tulekut. Kuid kõik muutus pärast arvutite kasutamisele võtmist. Tänapäeva arvutid oskavad üha enam tõlkida inimkeeli ühest keelest teise ja saadakse inimkõnest ka paremini aru
Näiteks tänapäeval kasutatavad teleskoobid näevad palju kaugemale kui Galilei Galileo seda omal ajal teha sai. Kuid elektronmikroskoobid näevad väga väikseid asju, mida näiteks Baer omal ajal näha ei saanud. Just tehnoloogia arengutase määrab ära teaduse võimalused vaatluste ja katsete tegemiseks ning saadud andmete analüüsimiseks. Kuid ka tehnoloogia areng toob teadusele uusi probleeme. Näiteks infotehnoloogia areng tõi probleeme matemaatikutele arvutusmeetodite loomiseks, filoloogidele aga masintõlke ja kõnetuvastuse rakendamiseks. Selliste ülesannete lahendamise meetodid, mis arvutuste ülisuure mahukuse tõttu tuli lahendust otsida lausa aastakümneid või isegi sadu, matemaa- tikutele huvi aga ei pakkunud. Seda eriti veel enne arvutite tulekut. Kuid kõik muutus pärast arvutite kasutamisele võtmist. Tänapäeva arvutid oskavad üha enam tõlkida inimkeeli ühest keelest teise ja saadakse inimkõnest ka paremini aru
annaabi.ee 
