) Kui Aristotelesel oleks õigus ja raskemad kehad langeksid Maa poole kiiremini, siis peaksid suuremad raheterad valmima kõrgemal pilvedes kui väiksemad ja just täpselt nii palju kõrgemal, et nad langeksid maha täpselt samal ajal kui kergemad. Seda aga pidas Galilei ebatõenäoliseks, tehes järelduse, et Aristotelesel pole õigus ning kerged ja rasked esemed langevad Maa poole ühesuguse kiirusega. Aastal 1583 sai Galilei tuttavaks Toskaania õukonnamatemaatikuga ning sattus vaimustusse matemaatikasse . Ülikoolis hakkas ta nüüd käima meditsiiniloengute asemel matemaatikaloengutel. Paraku ei nõustunud isa eriala vahetamisega ja aastal 1585 lahkus Galilei Pisa Ülikoolist ilma kraadita. 3 TEADUS JA RELIGIOON Aastakümneid varem oli Poola astronoom Mikolaj Kopernik avaldanud teooria, et Maa tiirleb ümber Päikese
ravida. Nädal hiljem taipas ta, et oli eksinud, ja saatis stoilise rahuga pihiisa järele. Nagu väikesele Newtonile, ennustati ka Descratese´ile varajast surma ning ta surigi 11. veebruaril 1650.aastal Stockholmis. Kuusteist aastat hiljem otsustas Prantsuse valitsus tuua suure mõtleja põrmu kodumaale, ehkki Descartes´i eluajal teda valitsuse poolt vähe hinnati. Ilma Descartese suurepärase panuseta matemaatikasse ei oleks võimalik olnud selle edasine kiire areng. Lisa Kasutatud kirjandus ,,Väike entsüklopeedia", Rein Aro, Tallinn 2001 ,,Etüüde kuulsatest matemaatikutest" , Heino Koppel, Tallinn 2000 http://faculty.uml.edu/enelson/images/Descartes.jpg http://et.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes http://www.hot.ee/tancred/descartes/
• Kui des- ja mata-vorm on lauselühendis esimeseks sõnaks, siis tuleb aluselühend koma/komadega eraldada. Nt Jõudes roomast koju, märkasin ukse taga kirjut kassi. Nt Läksin eile vene keele tundi, õppimata ühtegi reeglit. Nt Läksin eile vene keele tundi, õppimata ühtegi reeglit, ja hakkasin tööd lahendama. • Kui des- ja mata-vorm on lauselühendis viimaseks sõnaks, siis koma pole. Nt Läksin eile matemaatikasse ühtegi kodutööd tegemata. • Kui des- ja mata-vorm on aluse ja öeldise vahel, siis on koma. Nt Tanel Niitmets, hoolega pidu korraldades, unustas kurgi poest ostmata. • Maks-lauselühendeid komaga ei eraldata. Nt Läksin ülikooli õppimaks eesti keelt. III LISAND Lisand on öeldisteta sõnarühm, mis väljendab sedasama eset, olendit, mõistet, mida põhisõnagi, ainult üldisemalt. Koma panek sõltub lisandi asukohast. 1
oma jälje jätnud. Tema isa Étienne Pascal pidas Auvergne'i maksuringkonna valitava kuningliku nõuniku ametit. Ema Antoinette Bégon suri, kui Blaise oli kolmeaastane . Varakult tutvus Pascal oma isa haritud sõpradega. Eelkõige oma maksuametnikust isa abistamiseks konstrueeris Pascal liitmismasina. Ühe sellise saatis ta näidisena Rootsi kuningannale Kristiinale. Pascal pidas kirjavahetust selliste suurkujudega nagu Descartes ja Fermat. Pascali panus matemaatikasse ja füüsikasse on märkimisväärne (Pascali teoreem projektiivses geomeetrias, Pascali seadus hüdrostaatikas jne.). Matemaatika kõrval pühendus ta teoloogia uurimisele ja meditatsioonile. Juba 10-aastasena pani Pascal kirja "Traktaadi helidest", sest täiskasvanute vastused teda ei rahuldanud, ja ta pidas vajalikuks nähtust iseseisvalt uurida. Kui Pascal 12-aastaselt raamatute abita geomeetriaalaseid saavutusi üles näitas (jõudes väidetavalt iseseisvalt Eukleidese 32
aatomike suures Jumalas. Olgu tema prohvetiteks kas Kristus vöi Muhammad, olgu tema kujuks kas Krisna vöi Gautama, olgu ta nimi kas Zeus vöi Püha Isa... Köik taanudb ära üheks: ta on. Ta on köikjal, korraga. Tajub köike, teab köike... Vöib-olla mitte sel tasandil, nagu meile meeldiks (ta ei aita Sul pastakat ülesse leida), aga ta on meiega, sest ta ongi Meie. Ja vöib-olla möistab ta ka head ja kurja. Taandan. Köike saab üle kanda matemaatikasse. Selles osas on arvude maailm imeline, köike, millele saab möelda, saab möelda arvudesse. Ja selle imelise maailma abil jöuda välja uute tödedeni. Vötame selle sama önnetu Jumala, kelle pärast on nii palju aastatid söditud & tapetud. Kristlik jumal on kolmainsus. Holy Trinity. 3 in 1. Nagu pesupulber. 1 on isa, 1 on poeg & 1 on Püha Vaim. Jumal on avaldis 1+1+1. Jumal on 3. Nagu te ehk kaugetest
2. Teadmiste rakendamine: meetodite valimine, matemaatilise info eri viisidel esitamine, modelleerimine, rutiinsete ülesannete lahendamine. 3. Arutlemine: põhjendamine, analüüs, süntees, üldistamine, tulemuste hindamine, mitterutiinsete ülesannete lahendamine. Hindamise vormidena kasutatakse kujundavat ja kokkuvõtvat hindamist Kujundav hindamine annab infot ülesannete üldise lahendamisoskuse ja matemaatilise mõtlemise ning õpilase suhtumise kohta matemaatikasse. 1. Õppetunni või muu õppetegevuse ajal antakse õpilasele tagasisidet aine ja ainevaldkonna teadmistest ja oskustest ning õpilase hoiakutest ja väärtustest. 2. Koostöös kaaslaste ja õpetajaga saab õpilane seatud eesmärkide ja õpitulemuste põhjal täiendavat, julgustavat ning konstruktiivset tagasisidet oma tugevuste ja nõrkuste kohta. 3. Praktiliste tööde ja ülesannete puhul ei hinnata mitte ainult töö tulemust, vaid ka protsessi.
Teda tunnustatakse ka katapuldi võimsuse ja täpsuse suurendamises. Lisaks leiutas ta Esimese Puunia Sõja ajal odomeetri, mida kirjeldati käigumehhanismiga käruna, mis kukutas palli konteinerisse iga läbitud miili tagant. 7 Matemaatika Kuigi teda peetakse üldiselt mehaaniliste masinate leiutajaks, andis Archimedes oma panuse ka matemaatikasse. Plutarch kirjutas: ,,Ta keskendus kogu kiindumuse ja ambitsioonikusega puhastele arutlustele, kus ei saa olla viidet vulgaarsetele eluvajadustele." Ta oli võimeline kasutama diferentsiaale sarnaselt kaasaegsele integraalalgebrale. Pii umbkaudse väärtuse leidmiseks kasutas ta meetodist, mille puhul joonistas ta ringist väljapoole suurema ja sissepoole väiksema hulktahuka. Kui hulktahuka tahkude arv suureneb, sarnaneb see üha rohkem ringile
Kuid isa keelas teda ja viis poja Vallombrosast ära. Tal olid Galileoga teised plaanid tema pojast pidi saama kangakaupmees. Galileol olid aga hoopis omad plaanid. Ta soovis alustada teaduslikku karjääri. Ta soovis pühenduda matemaatikale alal, mis tol teaduskaugel ajastul tähendanuks eluaegset ülimat vaesust. Viimaks jõudsid isa ja poeg siiski kompromissini. Galileo astus Pisa ülikooli ning hakkas õppima meditsiini. Sealjuures süvenes ta salaja ülepeakaela matemaatikasse. Hippokratese (Kreeka arst, teadusliku meditsiini rajaja) ja Galenose (Kreeka arst ning matemaatik) meditsiiniõpikute all hoidis ta vargsi Eukleidese ja Archimedese teoseid. Vabadel hetkedel viis ta omavalmistatud seadmete abil läbi eksperimente. Professorid said tema õpingutest ja eksperimentidest peagi teada ja mõistsid need hukka tudengi jaoks oli isemõtlemine peaaegu ketserlus. Professorid kuulutasid, et kõik teaduslikud probleemid on Aristotelese poolt lõplikult lahendatud
käsitleda kõigest muust eraldi." Substants on iseenda põhjuseks ja paratamatu. Ta on lõputu, kogu maailm sisaldub temas. Samuti samastab Spinoza substantsi Jumalaga (panteism -- samastab jumala ja looduse), millega vihastab kirikut. Kuna maailm sisaldub substantsis, valitseb maailmas Spinoza järgi täielik determinism, s.o. juhuslikkust ja vaba tahet ei ole. .Leibniz: oluline panus loogikasse ja matemaatikasse. Rajab oma metafüüsika süsteemi monaadidele, vaimsetele punktidele (substantsid), mida on lõpmatult palju. Asuvad ettemääratud harmoonias ja on ulatuvuseta, vastasmõjuta ning jagamatud. Sõnastas ka küllaldase aluse printsiibi. Mitte miski ei ole ilma küllaldase aluseta (nihil est sine ratio). Siit ka järeldus, et Jumal on loonud parima võimalikest maailmadest.John Locke: Empirismi rajaja. Me ei peaks muretsema selle pärast, kui mõned asjad jäävad väljapoole meie teadmist
Kui aeg- ajalt juhtubki nii, et formaalloogikasse kuuluv arutlus kipub libisema loogikast välja asjade ja nähtuste, protsesside ja nende tulemuste jne. valdkonda, siis on mõistlik hetkeks mõtet juhtida mingile matemaatikateaduse harule, meenutamaks, et matemaatiline teooria ei käsitle asjade ja nähtuste eksistentsiga seonduvat Näiteks, 7+7=14, olenemata sellest, kas number 7 tähistab tegelikust maailmast sigu, päevi, kroone vm. Seetõttu saabki väita, et matemaatikasse puutuvad arutlused toimuvad eranditult ja puhtalt väljal de dicto. Formaalloogikasse puutuv toimub analoogilisel viisil. Käsitletava reegli praktiline väärtus ilmneb eelkõige süllogismide lahendamisel ja tõestuse konstrueerimisel selliselt, kus põhjenditest tulenev järeldus oleks identne (kokkulangev) tõestamisele kuuluva teesiga. Defineerimisel ja liigitamisel on samuti oluline arvestada samasuse reeglit,
Tähendus see objekt, milleni viib Ch. W. Morris. Semioos (semioosis) : M-D-I-T-K M (märk), D (tähendus), I (interpretaator), T (tõlgendus), K (kontekst) Semioos märgi saamise protsess Semiootika lätted: - Diagnoos - Prognoos - Ennustamine Meil on märgid, tuvastame haigust. 1 esimesi, kes kasutas sõna "semootika" oli antiigiajal Galen Claudius Galenus, oli 5 keisri ihuarst Eelmine kord: kuidas semiootilised ideed hakkasid kasvama loogikasse/matemaatikasse Strukturalism Suuna rajajaks peetakse Ferdinard de Saussuret, kuigi sarnaseid ideid olid väljendanud mitmed keeleteadlased. Franz Bopp "Tõde ei ole ilus" mudel resoneerib hästi meie intonatsiooniga. Ainult julged inimesed nagu romantilised kunstnikud julgevad seda väljendada. Tõde ei ole üleüldine, vaid see on selle ajastu oma. William Jones 1776 The Sanscrit language vana india keel, vanimad tekstid maailmas reeglina sanskritis kirjutatud
vihastab kirikut.) [Substants teovõimeline olemine. Lihtsubstants ELU, HING, VAIM (eriline monaad, keskmonaad), ei ole moodustatav ega lõhutav, ei oma väliskuju. Erikujude paljusus lihtsubstantsil/monaadil väliste ajadega seondumise mitmekesisus, sisemised omadused ja tegevused. Liitsubstants KEHA (o r g a a n i l i n e), monaadide kogum, paljune, looduslik masin, elussubstants, (liikmed ja organid).)] Leibniz (1646-1716) oli väga mitmekülgne, oluline panus loogikasse ja matemaatikasse. Rajab oma metafüüsika süsteemi monaadidele, vaimsetele punktidele (substantsid), mida on lõpmatult palju. Asuvad ettemääratud harmoonias ja on ulatuvuseta, vastasmõjuta ning jagamatud. Sõnastas ka küllaldase aluse printsiibi. Mitte miski ei ole ilma küllaldase aluseta (nihil est sine ratio). Siit ka järeldus, et Jumal on loonud parima võimalikest maailmadest. Empirism [teadmine pärineb kogemusest, mõistus on abivahend järeldusteks]: kujunes
Matemaatika õpetamine lihtsustatud õppes peab olema praktiline! See, mida lapsed koolis omandavad, peab olema rakendatav praktikas! See on saavutatav, kui õppetöö ei käi ainult klassiruumis, vaid käiakse õppekäikudel, väljas, ekskursioonidel, käigud poodi ja turule jms. Õppekäikudel nähtu kohta võib klassis lasta koostada tekstülesandeid, aga siis koheselt, et lastel oleks värskelt meeles. Eesti keelest tuleb matemaatikasse teksti mõistmine ja analüüs, lugemine, kirjutamine, väljendusoskus, suhtlemisoskus. Tööõpetusest tuleb matemaatikasse kõikvõimalikud mõõtmised, mõõtühikud, erinevad kujundid, tehniliste jooniste lugemine, materjali arvestamine. Kunstiõpetusest tuleb matemaatikasse peenmotoorika, kõik võimalikud suhete mõistmised, vastastikused seosed, esemete paigutus, ruumitaju. Loodusõpetusest mõõtkavad,
Uusaegse majanduse tsüklilisus. 19. saj I poolel toomises mõõn. Ikaldused. 19. saj II poolel tekitas majandustegevus ise finantskriisi. Ühtegi väga suurt kriisi siiski polnud. Teaduslik võidukäik. Kuidas inimes suhestus maailmaga ja kujundas ümber inimeste väärtushinnangud. Teadus spetsialiseerus, tekkisid teadusajakirjad ja seltsid. Tekkisid laborid ja uurimisinstituudid. ,,Kosmos" kuulus teadusteos by Alexander Humboldt. Teadlased tulid lihtrahva hulgast. PRM panustas matemaatikasse ja kirjeldavasse loodusesse. Inglismaa ja itaalia edendasid füüsikat, keemia inglismaal ja rootsis, astronoomia inglismaal ja venemaal. Kõik olulised teaduslikud avastused tehti euroopas. Tekkis allikakriitika ja allikapõhine ajalookirjutus. Tekkis sotsioloogia. Auguste Comte avaldas 1830-1842 pos sotsioloogia kursus. Kui seni on maailmas ülemvõimu eest võidelnud kaks faasi teoloogiline, kus kirik näeb hierarhilist ühiskonnakorda ja teiseks metafüüsiline, kus
tõlkis ta ladina keelde Platoni · J.Locke eristas välistaju ja sisetaju. Phaidoni ja Theateitose. · G.Berkeley leidis, et välistaju rõhutamine viib · 20 aastaselt kaitses õigusteaduste doktori kraadi. lõpuks sensualismi ja materialismi. · 29. aastaselt arendas välja diferentsiaal ja · Sügavalt uskliku piiskopina rõhutas ta "sisetaju" integraalarvutuse, mis tõi pöörde matemaatikasse osatähtsust. ja füüsikasse. · Substants on olematu fiktsioon. Samasugune · Eluloolist fiktsioon on ka kujutlus üldisest mateeriast. · Isaac Newton oli tulnud Inglismaal samadele · Tunnetusõpetus tulemustele. Kujunes vaidlus prioriteedi üle. · Mis siis reaalselt eksisteerib
8 Sissejuhatus Miks „Õhtuõpikut” kirjutama hakkasime ja kuidas ta valmis? Kristjanil on hea vastus olemas. Raamatu idee sai alguse 2010. aasta kevadel, kui mina ja Juhan imestasime äsja vastu võetud matemaatika õppekava üle. Kuna õppekavasse lisandus uusi teema- sid, aga koolitundide arv kohati isegi vähenes, siis tekkis hirm, et õpilaste niigi niru suhtumine matemaatikasse võib veelgi süveneda. Meile meeldib matemaatika väga ja kuna olime ise matemaatikat erinevates kohtades õppinud, õpetanud ja – mis võib olla veelgi tähtsam – ka rakendanud, siis otsustasimegi, et võiksime seniseid õpikuid natukene teistsuguse lähenemisega toetada. Teistsuguse lähenemise realiseeri- miseks liitus selle plaaniga ka kunstnik Elis, kes tõi juurde oma ideed matemaatiliste mõttekäikude illustreerimiseks ja tegi võimalikuks teksti ja pildi ilusa sidumise.
määramatuse seosed. Osakeste käitumine on korralgi. tõenäosuslik ja seega valguse osakesed ehk footonid teleportreeruvad aegruumis. Antud juhul käsitleme siin peamiselt kvantmehaanika füüsikalisi aluseid, mitte niivõrd selle matemaatikat. Nii tegime ka relatiivsusteoorias. Püüame arusaada ja mõista nende füüsikateooriate just füüsikalist olemust laskumata seejuures nii väga sügavale matemaatikasse. Teleportmehaanika ( teleportatsiooni ) peatükis oli käsitletud teleportatsiooni olemusest ja selle liikidest. Kuid nüüd hakkame me vaatama seda, et kuidas teleportatsioon ( selle mehaanika ) on seotud kvantmehaanikaga. Edaspidi hakkame me veenduma selles, et ka kvantmehaanika ei ole tegelikult midagi muud kui sisuliselt teleportmehaanika üks avaldumisvorme, mis on täiesti koos- kõlas ajas rändamise teooriaga. Et aga selles veenduda, tuli kõige pealt tutvust teha just teleportat-
kontraktsioonis ), siis kvantmehaanikas aega ja ruumi enam ei eksisteerigi ( see väljandub osakeste teleportatsioonis ). Antud juhul käsitleme peamiselt kvantmehaanika füüsikalisi aluseid, mitte niivõrd selle mate- 78 maatikat. Nii tegime ka relatiivsusteoorias. Püüame arusaada ja mõista nende füüsikateooriate just füüsikalist olemust laskumata seejuures nii väga sügavale matemaatikasse. 1.3.2 Kvantmehaanika kui teleportmehaanika Teleportmehaanika ( teleportatsiooni ) peatükis oli käsitletud teleportatsiooni olemusest ja selle liikidest. Kuid nüüd hakkame me vaatama seda, et kuidas teleportatsioon ( selle mehaanika ) on seotud kvantmehaanikaga. Edaspidi hakkame me veenduma selles, et ka kvantmehaanika ei ole tegelikult midagi muud kui sisuliselt teleportmehaanika üks avaldumisvorme, mis on täiesti koos- kõlas ajas rändamise teooriaga
määramatuse seosed. Osakeste käitumine on korralgi. tõenäosuslik ja seega valguse osakesed ehk footonid teleportreeruvad aegruumis. Antud juhul käsitleme siin peamiselt kvantmehaanika füüsikalisi aluseid, mitte niivõrd selle matemaatikat. Nii tegime ka relatiivsusteoorias. Püüame arusaada ja mõista nende füüsikateooriate just füüsikalist olemust laskumata seejuures nii väga sügavale matemaatikasse. Teleportmehaanika ( teleportatsiooni ) peatükis oli käsitletud teleportatsiooni olemusest ja selle liikidest. Kuid nüüd hakkame me vaatama seda, et kuidas teleportatsioon ( selle mehaanika ) on seotud kvantmehaanikaga. Edaspidi hakkame me veenduma selles, et ka kvantmehaanika ei ole tegelikult midagi muud kui sisuliselt teleportmehaanika üks avaldumisvorme, mis on täiesti koos- kõlas ajas rändamise teooriaga. Et aga selles veenduda, tuli kõige pealt tutvust teha just teleportat-
siga. Tema on otse armastuse isa ja ema kokku, sest armastuses on ikka kas null või lõpmatus. Niisugune on armastus. Nii et seda pidage meeles, seda kaheksat, mis küljeli. Kõik muu, mida raskem ja keerulisem, seda parem. Lõpmatus ei ole nimelt sugugi raske ja sellepärast lõpebki ta armastusega. Kõik muu on raskem. Pidage meeles: meie mõtleme spermaga, mõistate, armuvõimega, mitte peaajuga, peaaju on sperma kõrval rämps, ja kui me selle võime rakendame matemaatikasse, kas või Newtoni binoomi, siis ei jätku temast enam armastamiseks ja meie olemegi naise lassost vabad. Saate aru? Nõnda on lugu armastuse ja matemaatikaga. Ainult ärge unustage lõpmatust, sest see polegi enam matemaatika, vaid seisab sealpool matemaatikat, sellepärast hoiduge tema eest. Ja kui muidu ei saa, siis tehke alguses nõnda: lähete mööda uulitsat ja hakkate vastutulijaid ja ka möödaminejaid lugema, ikka korda mööda, ja katsute mõlemad arvud kõrvuti meeles pidada
annaabi.ee 
