4 4,48 0,222 0,1696 5 5,98 0,480 0,3666 6 6,88 0,373 0,2849 7 9,81 0,198 0,1512 8 11,11 0,161 0,1230 9 11,76 0,151 0,1153 Graafik: Graafiku maksimumpunktiks saan: (6,1;0,37) Järeldus: Antud katse tulemusel saan zelatiini isoelektriliseks täpiks pH=6,1. Kirjandusest leidsin, et happelise hüdrolüüsi produkti zelatiin A isoelektriline punkt pH=7-9 juures ning aluselise hüdrolüüsi produkti zelatiin B isoelektriline punkt pH=4,7-5,3 juures. Minu saadud tulemus jääb täpselt nende kahe vahele. Kuna ei tea, kuidas zelatiinilahus valmistatud oli, loen oma tulemuse normaalseks. Kasutatud kirjandus: Praktikumi juhend http://www.ttu
Selle funktsiooni maksimumi saame kui võrdsustame funktsiooni tuletise (Q) = -3Q2 + 82Q - 240 nulliga. Selle ruutvõrrandi lahenduseks on Q1 = 24 ja Q2 = 3 31 . Kontrollime kumb punkt on maksimum. Selleks leiame teise tuletse (Q) = -6Q + 82 väärtused punktides Q1 ja Q2 . Saame vastavalt (24) = -62, (3 13 ) = 62. Kuna Q1 annab negatiivse teise tuletise, siis on see ka funktsiooni maksimumpunktiks. Seega võime öelda, et suurim tulu on garanteeritud kaubakoguse 24 korral. 2 Tulufunktsiooni maksimumiks on tulufunktsiooni tuletise nullkoht. 600 - 2Q = 0 Q = 300 Seega on suurim tulu garanteeritud kaubakoguse 300 korral. 8. Raadioid valmistav tehas müüb neid hinnaga 950 kr tükk. Kogukulufunktsioon on C(Q) = 0, 5Q2 - 10Q + 60000, kus Q on valmistatud ja müüdud raadiote hulk. Leida ka-
suurima väärtuse. Eeldame, et funktsioonil on antud vahemikus lõplik arv kriitilisi punkte. Kui suurim väärtus saavutatakse lõigu [ a, b] sees, siis on selleks ilmselt üks funktsiooni maksimumidest (kui maksimume on mitu), ja nimelt suurim nendest. Kuid võib ka juhtuda, et suurim väärtus saavutatakse lõigu ühes otspunktis. Niisiis saavutab funktsioon lõigul [ a, b] suurima väärtuse kas selle lõigu ühes otspunktis või lõigu niisuguses seesmises punktis, mis on maksimumpunktiks. Sedasama võib öelda funktsiooni vähima väärtuse kohta: see saavutatakse kas antud lõigu ühes otspunktis või niisuguses seesmises punktis, mis on miinimumpunktiks. 10. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon ja järeldused sellest. Integraalide tabel. Määramata integraali kaks omadust. Funktsiooni F ( x ) nimetatakse funktsiooni f ( x ) algfunktsiooniks lõigul [ a, b] , kui selle lõigu kõikides punktides kehtib võrdus F ( x ) = f ( x ) .
iga x1 , x2 E X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) ja monotoonselt kahanev iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoonselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks. Kui f''(a)<0 siis punktis A range lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x)f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks miinimumpunktiks. Kui f´´(a)>0, siis punktis A range lokaalne miinimum. Kui definitsioonis on mitterangete võrratuste asemel ranged võrratused siis nimetatakse punkti A rangeks lokaalseks ekstreemumpunktiks. 6. Mis on funktsiooni globaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida?
ja monotoomsel kahanev iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoomselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? f´(x)=0 Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks. Kui f´´(a)<0 siis punktis A range lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks miinimumpunktiks. Kui f´´(a)>0 siis punktis A range lokaalne miinumum. Kui definitsioonis on mitterangete võrratuste asemel ranged võrratused siis nimetatakse punkti A rangeks lokaalseks ekstreemumpunktiks. 6. Mis on funktsiooni globaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida?
f(x,y,z)=C puutujatasandiga punktis A
12. Pinna puutujatasand ja normaalsirge
Pinna puutujatasand ja tema võrrand
Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y)
puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b))
Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja
ristub puutujatasandiga selles punktis
13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik
tingimus
Punkti (x0,y0) nim funktsiooni z=f(x,y) maksimumpunktiks, kui punkti (x0,y0) küllalt
läheduses on f(x0,y0)>f(x,y), ja miinimumpunktiks, kui f(x0,y0)
olulised. Nimelt näeme, et tuletis on võrdne nulliga täpselt kohtades, kus puutuja- sirge on paralleelne -teljega – ehk teisisõnu kohtades, kus funktsioonil on kogu tuletis oma ümbrusest suurem või väiksem väärtus. Selliseid kohti nimetatakse ekstree- mumiteks. Ekstreemumit, mis on mingil väiksel alal kõige suurema väärtusega, nimetatakse maksimumpunktiks ning madalamat punkti miinimumpunktiks. Ekstreemumite uurimine on päris oluline, kuna tänapäeval on ikka kombeks kõike kas maksimeerida või minimeerida: majandusteadlased tahavad maksimeerida kasumit, vormeli-insenerid tippkiiruseid ja õpilased uneaega. Kuidas see täpsemalt käib, räägime lahendades vägagi olulist probleemi näiteks tutipäevaks: mis nurga alt visata ratta seljast veepomme [lk 333]
annaabi.ee 
