Kõrgema matemaatika üldkursus (3)

TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis
1. Determinandid : omadused, miinorid , alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks.
Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel . Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA
Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile.
Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga 3. on proportsionaalne mõne teise vastava rea või veeruga
4. on esitatav ülejäänud ridade/veergude lineaarkombinatsioonina (avaldub teiste skalaari kordsete väärtuste täpse summana) 3. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis muutub determinandi märk vastupidiseks.
4. Determinanti skalaariga korrutades, korrutatakse vaid ühte rida või veergu . Samalaadselt kehtib vastupidine , kui mõni determinandi rida või veerg avaldub teatud skalaari kordsena, saab selle skalaari determinandi ette tuua. 5. Kui determinandi mingi rida või veerg avaldub elementide summana saab determinandi kirjutada 2'e determinandina. 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid. 7. Kuna determinant on induktiivselt defineeritud ( esmalt esimest järku, selle abil teist, selle abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana. 8. Maatriksi ja determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast . Miinorid ja alamdeterminandid.
Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik.
Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik .
Dik = (-1)i+kMik. Miinor Maatriksi A elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel saadud maatriksi determinanti.
Algebraline täiend Elemendi aik algebraliseks täiendiks Aik nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga "+", kui indeksite summa i+k on paarisarv ja märgiga "-", kui ta on paaritu arv. See on lihtsustatud vorm, ning sisuliselt kujutab miinoris kasutatud elementide asukoha inversioonide arvu, ning graafiliselt on põhjustatud telgkordinaatide vahetusest. Aik = (-1)i+kMik
Dik = (-1)i+kMik.
Kõrgemat järku determinantide arvutamine.
Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem : Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga : DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk. Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või kasutades determinandi eelnevat lihtsustamist põhiomaduste põhjal.
-3 7 -1 4 -9 2 7 5 2 7 5 -9 7 5 -9 2 7 DA = 2 5 1 2 = -3 5 1 2 + 7(-1) 2 1 2 + (-1) 2 5 2 + - 6 1 2 4 1 2 4 - 6 2 4 - 6 1 2 5 -9 2 + 4(-1) 2 5 1 = 4 - 6 1 Lihtsustamisel on soovitav kasutada järgmist algoritmi.
1. Valida determinandis juhtrida või ­veerg( soovitavalt selline, milles leidub element 1 või -1 ja mille ülejäänud elemendid oleks võimalikult väikesed;
2. valida juhtreast või ­veerust juhtelement, mille abil teisendatakse kõik ülejäänud juhtrea või ­veeru elemendid nullideks( kasutades omadusi 7 ja 8);
3. arendada determinant, kasutades teoreemi.
Märkus: Kui determinandis ei esine arve 1 või -1, siis kasutatakse eelteisendust, mille tulemusena saadakse sobivad arvud.
Näide: -3 7 -1 4 - 1 12 0 6 - 1 12 6 - 1 12 2 5 -9 2 7 1 - 19 0 3 DA = = 2 5 = 1 - 19 3 = 3 1 - 19 1 = 2 5 1 2 1 2 2 - 11 0 2 - 11 0 4 - 6 1 2 2 - 11 0 0 1 1 2 = 3-1 - 8 1 = 3(0 + 2 + 22 +32 ­ 0 +11) =201. 2 - 11 0
Ülesanded: 4 2 -1 -1 2 4 1. Arvutada: DA = 5 3 - 2 ; DA = 5 -3 1 . 3 2 -1 0 2 3
4 3 -5 1 2 -3 4 1 1 4 2 -1 0 2 2 3 2. Arvutada: D = 2 - 1 0 5 ; DA = A 1 -1 6 5. -3 1 2 0 4 3 2 1
1. Crameri valemid ehk lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine determinantide abil.
Dk Xk = , k = 1,2 ....n, DA
kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga.
Crameri peajuht 1) vorrandisusteemi tundmatute arv m ja vorrandite arv n on vordsed, st nm ; 2) tundmatute kordajatest moodustatud determinant on nullist erinev.
Carmeni peajuhul on vorrandisusteemil uksainus lahend ja tundmatud avalduvad determinantide jagatisena:
Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem:
2 x1 - 4 x 2 + 3 x3 = 1 x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 4 . 3x - 5x + 4 x = 1 1 2 3 2 - 4 3 1 3 2 3 -5 4 DA = = -6;
1 - 4 3 D1 = 4 3 2 = 9; 1 -5 4 2 1 3 D2 = 1 4 2 = -3; 3 1 4
2 - 4 1 D3 = 1 3 4 = -12, 3 -5 1 9 -3 - 12 X1 = = -1,5; X2 = = 0,5; X3 = = 2. - 6 - 6 - 6
lineaarvõrrandisüsteemid põhimõisted
Vaatleme võrrandisüsteeme, mille üldkuju on
Def: Võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks, kui tundmatud on esimeses astmes Arvud aij (i=1,,m; j=1,,n) on võrrandisüsteemi kordajad , b1,,bm (i=1,,m) on vabaliikmed
m võrrandit, n tundmatut, üldiselt
Def Võrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks , kui kõik vabaliikmed on nullid Võrrandisüsteem on mittehomogeenne, kui vähemalt üks vabaliige erineb nullist Vastuoluliseks nim süsteemi, millel lahend puudub
Võrrandisüsteemi lahend on tundmatute väärtuste kogum , mis süsteemi asetatuna muudab kõik võrrandid samasusteks Olenevalt võrrandite ja tundmatute arvust ning kordajatest võib lineaarvõrrandisüsteem omada üheainsa lahendi, rohkem lahendeid või mitte ühtki lahendit.
10. lvs lahendamine crameri peajuhul
Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi, milles võrrandeid ja tundmatuid ühepalju m = n
Moodustame võrrandisüsteemi kordajatest n-järku determinandi Determinanti D nim võrrandisüsteemi determinandiks
Eeldame, et . Def Crameri peajuhu määravad tingimused
ja m = n (2)
Crameri valemid võrrandisüsteemi (1) lahendamiseks
2. Maatriksid : liitmine , arvuga korrutamine , maatriksite korrutamine.
Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest (tavaliselt reaalarvudest või kompleksarvudest) või mingitest muudest etteantud hulga elementidest, sealhulgas näiteks polünoomidest, funktsioonidest, diferentsiaalidest, vektoritest. Tabeli sissekandeid