Kontrolltöö kombinatoorikast. 1.Tiinal on 3 salli, 4 pluusi ja 6 seelikut. Mitu erinevat võimalust on Tiinal riietumiseks, kui ta iga kord kasutab kõiki kolme riietuseset? 2.Õpetaja jagab 5 õpilase vahel 5 erinevat sõnaraamatut. Mitmel erineval viisil saab ta seda teha? 3.Mitu erinevat parooli on võimalik koostada, kui parool koosneb 6-st erinevast arvust ja valida on numbrite 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 vahel? 4.Seltskonnas on 7 inimest. Iga neist kätleb kõiki teisi. Mitu käepigistust tehakse ühtekokku? 5.Klassis on 6 tüdrukut ja 14 poissi. Üheksa poissi ja neli tüdrukut on 16-aastased. Kõik ülejäänud on aga 15-aastased. Mitu erinevat võimalust on antud klassis sellise 4-liikmelise grupi moodustamiseks, kus on a)2 poissi ja 2 tüdrukut; b)2 16-aastast poissi ja 2 15-aastast tüdrukut; c)kõik ühevanused õpilased? 6)Mitu erinevat 4-kohalist arvu saab moodustada numbritest 0,1,2,3,4,5,6, kui need numbrid on erinevad?
12. klass Kombinatoorika 1. Liitmisreegel. Kui mingi elemendi A võib valida k erineval viisil, elemendi B aga r erineval viisil (sõltumata A valikust), siis elemendi "kas A või B" saab valida k + r erineval viisil. 2. Korrutamisreegel. Kui mingi elemendi A võib valida k erineval viisil, elemendi B aga r erineval viisil (sõltumata A valikust), siis elementide paari "A ja B" saab valida k*r erineval viisil. 3. a) Kassikülast Hiirekülla pole otseteed, kuid Rotiste kaudu läheb 2 teed ja Linnukese
KOMBINATOORIKA k soodsate võimaluste arv P(A) = n = kõigi võimaluste arv Liitmislause – A või B, siis võimalusi n + m Korrutamislause – A ja B, siis võimalusi n m Permutatsioonid – ühe hulga erinevate järjestuste arv Faktoriaal – n! = n (n-1) (n-2) ... – 3 2 1 = n! nt 4! = 4 3 2 1 = 24 NB! 0! = 1, 1! = 1 3,7! – ei saa (-8)! – ei saa ÜLESANDED 1
KOMBINATOORIKA 2 Kombinatoorika tegeleb üldiste meetodite ja valemite loomisega niisuguste ülesannete lahendamiseks, kus tuleb leida erinevate võimaluste arv mingis mõttes eristatavate hulkade moodustamiseks. Näiteks kui meil on vaja numbritest 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 moodustada neljakohalisi naturaalarve, siis saame neid arve eristada selles esinevate kohtade arvu järgi, aga lisaks sellele veel selle järgi, kas selles neljakohalises arvus on korduvaid numbreid, kas selles võib esikohal olla number 0, kas numbrite erinev järjestus annab erineva arvu jne. Seega on ennekõike vaja ülesande teksti põhjal määrata ühendite arvu määramise eeskirjad. Ühendeiks nimetatakse mingeist esemeist ehk elementidest moodustatud rühmi, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse või arvu poolest. Niisugust üldist definitsiooni saab väga mitmel viisil täpsustada. Järgnevalt vaatleme kuut kõige olulisemat võimalust selleks ja esitame vastavate ühendite ar
On olemas n elementi. Nendest elementidest moodustatakse kogumeid, mis võivad erineda üksteisest elementide järjestuse poolest elementide endi poolest elementide endi ja nende järjestuse poolest. Kõiki selliseid kogumeid nimetatakse ühenditeks. Permutatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest. Kombinatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide endi poolest Variatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjestuse poolest. Liitmisreegel: Kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elementi B aga s erineval viisil (mis erinevad elemendi A valimisviisidest), siis elemendi "kas A või B" saab valida r+s erineval viisil. Näide: Tüdrukul on peole minekuks valida kas ta paneb 3 miniseelikust ühe või 5 pikast seelikust ühe. Kokku on tal 3 + 5 = 8 erinevat võimalust. Korrutamise r
Ülesanne 1 (elementide järjestuse poolest) permutatsioonid Võistlustest võtab osa 6 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda võistkondade vahelised kohad? 6 ! = 720 Ülesanne 2 (elementide endi poolest) kombinatsioonid Poolfinaalis osaleb 6 võistkonda. Finaali pääseb neist vaid kolm. Mitu erinevat võimalust on finaalgrupi moodustamiseks? 6! 4 5 6 C 63 = = = 20 3! 3! 1 2 3 Ülesanne 3 (elementide endi kui ka järjestuse poolest) variatsioonid Finaalvõistlustel osaleb 6 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda kuld-, hõbe- ja pronksmedal nende võistkondade vahel? 6! Korrutise reegel 6 5 4 = 120 ehk V63 = 3!
Pascali kolmnurga omadusi: *Ta on sümmeetriline vertikaaltelje suhtes. *Iga arv Pascali kolmnurgas võrdub tema kohal olevate arvude summaga. (Seetõttu on mõningatel juhtudel teda väga mugav ülesannete lahendamisel kasutada). *Ehkki binoomkordajate kolmnurkset asetust kirjeldas ametlikult esimesena Pascal, arvatakse, et ka paljud varasemad matemaatikud teadsid selle olemasolust. [5]. Liitmis- ja korrutamisreegel kombinatoorikas. Liitmisreegel- üks kahest kombinatoorika põhipostulaadist. Ta ütleb, et kui ühte objekti saab valida m erinval viisi ja teist objekti saab valida n erinval viisil, kusjuures esimese ja teise objekti valikud on teineteist välistavad, siis kas esimese või teise objekti valmiseks leidub täpselt m + n erinevat võimaust. Korrutamisreegel- teine kombinatoorika põhipostulaat. Ta väidab, et kui ühte objekti saab valida m erineval viisil ja teist objekti saab valida n erineval esimesest valikust sõltumatul
MATEMAATIKA ARVESTUS 1. Kombinatoorika põhiprintsiibid-liitmis ja korrutamisprintsiip. Liitmisprintsiip- ,,kas üks või teine" . kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate võimalike valikute arv on n + m. Korrutamisprintsiip- ,, nii üks kui ka teine" kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m. 2. Permutatsiooni permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest. Variatsioone on 2x ro
Kõik kommentaarid