siis laguneb paremal pool) lineaarse Segakorrutis Kolme vektori determinant kahe sama järku võrrandisüsteemi saab kirjutada segakorrutiseks nimetatakse kahe determinandi summaks, kus esimeses maatrikskujul AX = B, Teoreem vektori skalaarset korrutist determinandis koosneb vaadeldav rida (Kronecker-Capelli). Lineaarne kolmanda vektoriga esimestest liidetavatest ja teises võrrandisüsteem on lahenduv II järku jooned. Ellips Ellipsiks determinandis teistest liidetavatest; parajasti siis, kui võrrandisüsteemi nimetatakse tasandi nende ülejäänud read jäävad aga endisteks. 6. omadus maatriksi A ja laiendatud maatriksi punktide hulka , milliste kauguste
determinant selle arvuga. Om4 Kui determinandis on mingid 2 rida/veergu omavahel võrdsed/võrdelised, siis on determinandi väärtus võrdne nulliga. Om5 Kui determinandis mingi rea/veeru iga element kujutab kahe liidetava summat, siis esitub determinant kahe sama järku determinandi summaga. Kusjuures esimeses determinandis koosneb vaadeldav rida/veerg esimestest determinandi liidetavatest, teises determinandi vaadeldav rida/veerg koosneb teistest liidetavatest, ülejäänud elemendid jäävad samale kohale. Om6 Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingile reale/veerule liita või lahutada mistahes arvuga korrutatud teatud teine rida/veerg. Om7 Kahe n- järku determinandi A ja B korrutis A B on arvuliselt võrdne teatava uue n- järku
tekkeks vajalik soojus. Tööriista otsa juures toimuv deformeerumine toob kaasa adiabaatlilise soojuse mahulise kaasmõju detailidele. Keevitusparameetrid tuleb reguleerida nii, et hõõrumise suhe deformatsiooni väheneb kui detaili paksenedes. See on vajalik, et tagada piisav soojussisestus ühiku pikkuse kohta. FSWga tekkiva liite mikrostruktuur sõltub detailist, tööriista projekteerimisest pöörde ja liikumise kiirusest, mõjuvast jõust ja liidetavatest materjalidest. Liitealas on mitmesugused tsoonid nagu tavaliseski keevitsprotsessis. Keskmine regioon on sibularõngakujulise mustriga ning on kõige enam deformeeritud. Sageli tundub see dünaamiliselt rekristalliseerunud olevat nii, et detailne mikrostruktuur võib koosneda võrdtelgsetest kristalsetest teradest. Tööriista iga pöörde jooksul tekivad materjali silindrikujulised kihid, mis annavadki iseloomulikud sibularõngad liite pinnal.
Vektorite liitmine - kaks võimalust: kolmnurga reegel ja rööpküliku reegel. Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teist vektorit iseendaga paralleelselt nihutada nii, et teise vektori algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektori algusest teise lõppu suunatud vektor. Rööpküliku reegli järgi liitmisel tuleb teist vektorit nihutada nii, et mõlema vektori alguspunktid langeksid kokku. Vektorite summaks on liidetavatest vektoritest moodustuva rööpküliku diagonaali suunaline ja pikkune vektor. Kehade mõõtmed kehade mõõtmiseks kasutatakse pikkust, mis on vaatleja kujutlus, mis tekib kehade omavahelisel võrdlemisel piki ühte sihti ehk mõõdet. Ruumi mõõtmed - ruum on füüsika üldmudel, mida saab kirjeldada pikkuste võrdlemise teel. Ühemõõtmeline piisab ühest mõõtmest; kahemõõtmeline - mingil kindlal pinnal paiknevate kehade ja nähtuste kirjeldamiseks;
suund muutub vastupidiseks. Näiteks: Vektorite liitmiseks on kaks võimalust: kormnurga reegel ja rööpküliku reegel Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teine vektor nihutada nii, et selle algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektoriri algusest teise lõppu suunatud vektor. Rööpküliku reegli järgi liitmisel tuleb teine vektor nihutada nii, et mõlema alguspunktid langeksid kokku. Vektorite summaks on liidetavatest vektoritest moodustuva rööpküliku diagonaali suunaline vektor. Kui vektorite liitmine on selge, ei tohiks ka lahutamine raskusi valmistada. Vektori lahutamine teisest pole ju midagi muud, kui vastupidise suunalise vektori liitmine:
märgi ette tuua, mis harilikult lihtsab tunduvalt arvutusi. · Kui D-s on kaks rida omavahel võrdsad, siis D võrdub nulliga. Seega on eelmise omaduse tõttu D võrdne nulliga ka siis kui D-i kaks rida on võrdelised. · Kui D-s mingi rea iga element kujutab kahhe liidetava summa siis laguneb D kahe sama järku D- i summaks, kui esimeses D-s koosneb vaadeldav rida esimestest liidetavast ja teises D-s teistest liidetavatest; ülejäänud read jäävad aga endisteks. · D ei muutu, kui D-i ühe reaga liita mistahes tegutriga korrutatud teine rida. D-i seda omadust kasutatakse mõnede elementide nulliks muutmiseks, et D-i arvutamist lihtsustada. n-järku D-i elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse (n-1)- järku D, mis tuleb D-st, kui sellest jäetakse ära i-s rida ja k-s veerg. Alam-D Aik ja miinori Mik vahel kehtib järgmine seos: Aik = (-1)i+k Mik 2. Maatriksi põhimõisted
Tööriista otsa juures toimuv deformeerumine toob kaasa adiabaatlilise soojuse mahulise kaasmõju detailidele. Keevitusparameetrid tuleb reguleerida nii, et hõõrumise suhe deformatsiooni väheneb kui detaili paksenedes. See on vajalik, et tagada piisav soojussisestus ühiku pikkuse kohta. [3] FSWga tekkiva liite mikrostruktuur sõltub detailist, tööriista projekteerimisest pöörde ja liikumise kiirusest, mõjuvast jõust ja liidetavatest materjalidest. Liitealas on mitmesugused tsoonid nagu tavaliseski keevitsprotsessis. Keskmine regioon on sibularõngakujulise mustriga ning on kõige enam deformeeritud. Sageli tundub see dünaamiliselt rekristalliseerunud olevat nii, et detailne mikrostruktuur võib koosneda võrdtelgsetest kristalsetest teradest. Tööriista iga pöörde jooksul tekivad materjali silindrikujulised kihid, mis annavadki iseloomulikud sibularõngad liite pinnal. [3]
Miinus ühega korrutamisel jääb pikkus samaks, aga suund muutub. Vektorite liitmisel on kaks võimalust: kolmnurga reegel ja rööpküliku reegel. Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teine vektor nihutada nii, et selle algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektori algusest teise lõppu suunatud vektor. Rööpküliku järgi tuleb teine vektor nihutada nii, et mõlema alguspunktid langeksid kokku. Vektorite summaks on liidetavatest vektoritest moodustuva rööpküliku diagonaali suunaline vektor. Liikumine on keha asukoha muutumine teiste kehade suhtes mingi aja vältel. Liikumine on suhteline, sest keha liigub mingi teise keha suhtes. Selleks, et liikumist kirjeldada tuleb valida taustkeha, näiteks auto sõidab puu suhtes või inimene kõnnib maja suhtes. Keha liikumisi on palju ja nad on erinevad. Kehade liikumised võivad erineda näiteks kiiruse poolest
katse korral 1 kindl. Toimub) Juh. S p-mõisted: 1)vastastikku välistuvad (mis ei sisalda samu elementaars) 2)vastastikku mittevälistuvad (sisaldavad samu elementaars) 3) sündmuste sisalduvus (kui toimub A, toimub ka B kõik sündmuses A sisalduvad elementaars sisalduvad ka B-s) 4)vastandsündmus (sisaldab kõik elementaars, mis ei sisaldu sündmuses A) Tehted juh.s. : 1) Summa (ühend): sisaldab kõik el.s., mis sisalduvad väh 1 liidetavatest sündmustest, tähis U 2) korrutis (ühisosa): sisaldab kõik el.s., mis sisalduvad korraga kõigis korrutatavatessündmustes Tõenäosus: iseloomustab esinemissagedust katsetes, on sündmuse mõõduks, arv nullist üheni Omadused: 1) Normeeriusaksioom (0-1) 2)Liitmisaksioom (summa P=sündmuste P summa) 3)tinglik tõenäosus Valemid: P(tühihulk)=o, P(el.s.ruum)=1, summa ja korrutise tõenäosus, erijuhud, vastandsündmuse P.
Selle võib sõnastada ka teisel kujul Omadus 3'. Determinandi rea (või veeru) elementide ühise teguri saab tuua determinandi märgi ette. Omadus 4. Kui determinandis on kaks rida (või veergu) omavahel võrdsed, siis determinant võrdub nulliga. Omadus 5. Kui determinandis mingi rea (või veeru) iga element kujutab kahe liidetava summat, siis saab determinanti esitada kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vaadeldav rida (või veerg) esimestest liidetavatest ja teises determinandis teistest liidetavatest; ülejäänud read (või veerud) jäävad samadeks. Omadus 6. Determinant ei muutu, kui tema ühele reale (või veerule) liita mistahe teguriga korrutatud teine rida (või veerg). Seda omadust kasutatakse tihti determinandi arvutamisel. Omadus 7. n-järku determinandi jaoks |A|=nk=1 aik · Aik, kus esimeses summas determinant on arendatud rea i=1, 2, ...,n järgi, teises summas veeru k=1, 2, ...,n järgi. Arendamine: def1
2 + . . . + n) t~ottu paarisarv. J¨arelikult k ja l on sama paarsusega. Oeldu p~ohjal v~oime leida algebralise t¨aiendi (4.2) ka valemi An-m = (-1)l Mn-m . (4.3) abil. Kokkuv~ottes me leiame algebralise t¨aiendi kas valemi (4.2) v~oi (4.3) abil olenevalt sellest kas kergem on leida k v~oi l. Lause 4.1. Miinori Mm ja tema algebralise t¨ aiendi An-m korrutis Mm An-m koosneb liidetavatest, mis on osa determinandi |X| avaldise (3.1) liidetavatest. T~oestus. T~oestame lemma esmalt erijuhul, kui miinor Mm asub maatriksis X priviligeeritud kohal, s.o. loodenurgas. Seega i1 = 1, i2 = 2, . . . , im = m; j1 = 1, j2 = 2, . . . , jm = m. Valemi (3.1) abil saame x11 x12 . . . x1m x21 x22 . . . x2m Mm = = .....................
2 + . . . + n) t˜ottu paarisarv. J¨arelikult k ja l on sama paarsusega. Oeldu p˜ohjal v˜oime leida algebralise t¨aiendi (4.2) ka valemi An−m = (−1)l Mn−m . (4.3) abil. Kokkuv˜ottes me leiame algebralise t¨aiendi kas valemi (4.2) v˜oi (4.3) abil olenevalt sellest kas kergem on leida k v˜oi l. Lause 4.1. Miinori Mm ja tema algebralise t¨ aiendi An−m korrutis Mm An−m koosneb liidetavatest, mis on osa determinandi |X| avaldise (3.1) liidetavatest. T˜oestus. T˜oestame lemma esmalt erijuhul, kui miinor Mm asub maatriksis X priviligeeritud kohal, s.o. loodenurgas. Seega i1 = 1, i2 = 2, . . . , im = m; j1 = 1, j2 = 2, . . . , jm = m. Valemi (3.1) abil saame x11 x12 . . . x1m x21 x22 . . . x2m Mm = = ..................
korrutub kogu determinant selle arvuga. JÄRELDUS 2. Kui determinant sisaldab nullidest koosnevat rida (veergu), siis võrdub see determinant nulliga. LAUSE 4. Kui determinandi kaks rida (veergu) on omavahel võrdsed, siis võrdub determinant nulliga. LAUSE 5. Kui determinandi mingi rea (veeru) iga element kujutab endast kahe liidetava summat, siis on see determinant esitatav kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vastav rida (veerg) esimestest liidetavatest ja teises determinandis teistest liidetavatest, ülejäänud read (veerud) jäävad aga endisteks. LAUSE 6. Determinant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg). Teisisõnu, elementaarteisendused ei muuda determinanti. 12 DETERMINANTIDE ARVUTAMINE 1) Iga determinandi arvutamisel saab kasutada determinantide eelpool sõnastatud OMADUSI
korrutub kogu determinant selle arvuga. JÄRELDUS 2. Kui determinant sisaldab nullidest koosnevat rida (veergu), siis võrdub see determinant nulliga. LAUSE 4. Kui determinandi kaks rida (veergu) on omavahel võrdsed, siis võrdub determinant nulliga. LAUSE 5. Kui determinandi mingi rea (veeru) iga element kujutab endast kahe liidetava summat, siis on see determinant esitatav kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vastav rida (veerg) esimestest liidetavatest ja teises determinandis teistest liidetavatest, ülejäänud read (veerud) jäävad aga endisteks. LAUSE 6. Determinant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg). Teisisõnu, elementaarteisendused ei muuda determinanti. 12 DETERMINANTIDE ARVUTAMINE 1) Iga determinandi arvutamisel saab kasutada determinantide eelpool sõnastatud OMADUSI
vajalik soojus. Tööriista otsa juures toimuv deformeerumine toob kaasa adiabaatlilise soojuse mahulise kaasmõju detailidele. Keevitusparameetrid tuleb reguleerida nii, et hõõrumise suhe deformatsiooni väheneb kui detaili paksenedes. See on vajalik, et tagada piisav soojussisestus ühiku pikkuse kohta. FSWga tekkiva liite mikrostruktuur sõltub detailist, tööriista projekteerimisest pöörde ja liikumise kiirusest, mõjuvast jõust ja liidetavatest materjalidest. Liitealas on mitmesugused tsoonid nagu tavaliseski keevitsprotsessis. Keskmine regioon on sibularõngakujulise mustriga ning on kõige enam deformeeritud. Sageli tundub see dünaamiliselt rekristalliseerunud olevat nii, et detailne mikrostruktuur võib koosneda võrdtelgsetest kristalsetest teradest. Tööriista iga pöörde jooksul tekivad materjali silindrikujulised kihid, mis annavadki iseloomulikud sibularõngad liite pinnal. 9. Plasmakeevitus
Seda vektorite liitmise reeglit nimetatakse kolmnurgareegliks. · Liitmisel kehtib kommutatiivsuse seadus. · Võttes rööpküliku lähiskülgedeks ühise alguspunktiga liidetavad vektorid, on summaks rööpküliku diagonaal kui vektor, mille alguspunktiks on liidetavte vektorite ühine alguspunkti. · Vektori esitamist kahe erisihilise vektori summana nimetatakse vektori lahutamiseks komponentideks. · Mitme vektori korraga liitmiseks moodustame liidetavatest vektoritest murdjooni nii, et eelmise vektori lõpppunkt on järgmise vektori alguspunktiks; vektor, mis on suunatud murdjoone alguspunktist lõpppunkti on antud vektorite summa. See on hulknurgareegel vektorite liitmiseks. · Liitmisel kehtib assotsiatiivsuse seadus 6.5 Vektori lahutamine · Sama sihi, pikkuse, kuid erineva suunaga vektorid on vastandvektorid. · Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks, tähistatakse sümboliga 0.
Kui funktsioon f (x) on m¨a¨aratud ja pidev vahemikus (-; ), siis m~ole- ma l~opmatu rajaga p¨aratu integraali defineerimisel jaotatakse integraal su- 11 valises punktis c (-; ) kaheks, c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx, - - c ning tekkinud liidetavatest esimene on l~opatu alumise rajaga p¨aratu integraal ja teine l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraal. Definitsioon 3. Kui v~ordustes (5.8) v~oi (5.9) esinev piirv¨a¨artus on l~oplik, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal koondub, kui piirv¨a¨artus on l~opmatu v~oi piirv¨a¨artust ei ole olemas, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. N¨ aide 7. Olgu a > 0. Uurime, milliste v¨a¨artuste korral p¨aratu integraal dx
..akik ... anin . ( i1 , i2 , ... , in ) S n Selles summas on n! liidetavat. Valime summast (1) välja liidetavad, milles on tegurina k-nda rea esimene element ak1 , s.t. liidetavad, mis vastavad substitutsioonidele i1 , ... , ik , ... , in , kus ik = 1 . Kuna selliseid substitutsioone on ( n - 1) ! tükki, siis on summas (1) ( n - 1) ! liidetavat, mis sisaldavad tegurina k-nda rea esimest elementi ak1 . Võttes nendest liidetavatest ühise teguri ak1 sulgude ette ja tähistades sulgudesse jäävate arvude summat Ak 1 , on tegurina elementi ak1 sisaldavate liidetavate summa avaldises (1) avaldatav kujul ak1 Ak 1 . Analoogselt on k-nda rea järgmist elementi ak 2 ( n - 1) ! ja nende liidetavate summa on avaldatav kujul ak 2 Ak 2 . Nii saadakse k-nda rea iga elemendi jaoks ( n - 1) ! liidetavat sisaldavate liidetavate arv summast (1). Need liidetavad on erinevad ja nende arv on ( n - 1) ! n = n
ebatäpse tulemuse varjamiseks). Nii on ka lahutamistehte viga ∆Z = ±(∆K + ∆L). • Korrutamine Leian korrutise Y = (K ± ∆K) · (L ± ∆L) koos veaga. Y = (K ± ∆K) · (L ± ∆L) = KL + K∆L + L∆K + ∆K∆L, kus Y = K +L ∆Y = K∆L + L∆K + ∆K∆L ≈ K∆L + L∆K (7) Üldjuhul on vead ∆K ja ∆K palju väiksemad kui K ja L, mistõttu on liige ∆K∆L palju väiksem teistest liidetavatest valemis (7) ja selle võib võrdsustada nulliga. Leian korrutise suhtelise vea δ× . ∆Y K∆L + L∆K ∆K ∆L δ× = = = + = δK + δL (8) Y KL K L Korrutise suhteline viga on tegurite suhteliste vigade summa. Kui tegureid on üle kahe, siis tuleb summeerida kõigi tegurite suhtelised vead.
= 43 = ( teisest veerust saab ette tuua "2") = -3 6 teisest reast "3" -1 2 1 1 = 12 2 = 24 (1 - (-1)) = 24 2 = 48 . -1 1 5. omadus: kui determinandis mingi rea (veeru) iga element kujutab kahe liidetava summast, siis laguneb determinant kahe sama järku determinandi summaks, kus esimeses determinandis koosneb vastav rida (veerg) esimestest liidetavatest ja teises det-s teistest liidetavatest, ülejäänud read (veerud) jäävad endisteks. Näide 5 : a11 a12 a13 + b a11 a12 a13 a11 a12 b a 21 a 22 a 23 + c = a 21 a 22 a 23 + a 21 a 22 c . a31 a 32 a33 + d a31 a32 a33 a31 a32 d 6. omadus : determinandi väärtus ei muutu , kui suvalisele reale (veerule) liita mingi teine rida (veerg) kordne suvalise arvuga. Näide 6 : -1 2
-3 6 teisest reast "3" -1 2 1 1 =12 2 = 24 (1 - (-1)) = 24 2 = 48 . -1 1 5. omadus: kui determinandis mingi rea (veeru) iga element kujutab kahe liidetava summast, siis laguneb determinant kahe sama järku determinandi summaks, kus esimeses determinandis koosneb vastav rida (veerg) esimestest liidetavatest ja teises det-s teistest liidetavatest, ülejäänud read (veerud) jäävad endisteks. Näide 5 : a11 a12 a13 + b a11 a12 a13 a11 a12 b a 21 a 22 a 23 + c = a 21 a 22 a 23 + a 21 a 22 c . a31 a 32 a33 + d a 31 a32 a 33 a31 a32 d 6. omadus : determinandi väärtus ei muutu , kui suvalisele reale (veerule) liita mingi teine rida (veerg) kordne suvalise arvuga. Näide 6 :
Vektorite liitmiseks on kaks võimalust: kolmnurga reegel ja rööpküliku reegel. • Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teist vektorit iseendaga paralleelselt nihutada nii, et teise vektori algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektori algusest teise lõppu suunatud vektor • Rööpküliku reegli järgi liitmisel tuleb teist vektorit nihutada nii, et mõlema vektori alguspunktid langeksid kokku. Vektorite summaks on liidetavatest vektoritest moodustuva rööpküliku diagonaali suunaline ja pikkune vektor • Kui vektorite liitmine on selge, ei tohiks ka lahutamine raskusi valmistada. Vektori lahutamine teisest pole ju midagi muud kui vastupidise suunaga vektori liitmine Kokkuvõte • Füüsikaline objekt- Füüsikaline objekt on kas keha, väli või loodusnähtus, mis eksisteerib looduses sõltumatult vaatlejast ja tema teadmistest objekti kohta.
sõltumatuks kompenseeriva võimsuse jagunemisest jaotusvõrgu sõlmede va- ELEKTRIRAJATISTE PROJEKTEERIMINE © TTÜ elektroenergeetika instituut, Peeter Raesaar, Eeli Tiigimägi ELEKTRIVÕRKUDE PROJEKTEERIMINE 70 hel. Sel juhul jääb optimaalsuse kriteeriumiks võrgu energiakadude miini- mum. Kuna energiakadusid põhjustavad aktiivvõimsuskaod võrgu harudes koosnevad aktiivkoormust ja reaktiivkoormust sisaldavatest liidetavatest P2 + Q2 P2 Q2 ∆P = R = R + R = ∆PP + ∆PQ (3.30) U2 U2 U2 sõltub kompensaatorite paiknemisest praktiliselt ainult teine liidetav ∆PQ . Sel juhul taandub ülesande lahendamine kitsendusteta käsitlusel sihifunktsiooni ekstreemumi leidmisele min ∆AQ (∆PQ (t ) ) = min ∆AQ (QK 1 , K Q K n ) (3.31)
B) C. Sellega on näidatud ka (A C) (B C) (A B) C ning ühtlasi tõestatud teine distributiivsuse võrdus. Hulkade ühendi ja ühisosa üldistamine Kahe hulga ühendi ja ühisosa definitsioone saab üldistada: · lõplikule arvule hulkadele A1, . . . , An, kus n ; · hulkade jadale A1, A2, . . . ; · ja koguni suvalisele hulkade süsteemile A, kus . Üldistuste läbiv idee on sama, mis kahe hulga puhul: · ühendi moodustavad objektid, mis kuuluvad vähemalt ühte liidetavatest hulkadest; · ja ühisosa need objektid, mis kuuluvad igasse vaadeldavasse hulka. Nii saame n hulga (n N) ühendi ja ühisosa defineerida võrdustega ni=1 A i=A 1 A 2 ... An ={xx A 1 x A 2 ... x A n }, n i=1 A i=A 1 A 2 ... A n={x x A 1 x A2 ... x An }. A1 A2 A3 Näide: Olgu = {0, 2, 5}, = {1, 2, 5} ja = {2, 5, 7}. Siis
t olevikus investeeritud rahasumma väärtus tulevikus. Näide 4-8 Lihtintress Ettevõtja investeeris 70000 kr kolmeks kuuks 8%-ga. Milline on tema investeeringu tulu? Lahendus. algkapital k = 70 000 intressimäär kuus r = 8%/12 perioodide (kuude) arv n=3 intressitulu kolme kuu eest I = rkn I = 8%/12×70000×3=1400 Vastus: Investeeringu tulu on 1 400 kr. Rida on avaldis, mis koosneb lõpmatust jadast liidetavatest, rea liikmetest: 1 + 2 + 3 + + -1 + + = =1 Rida nimetatakse aritmeetiliseks reaks, kui iga rea liikme ja temale eelneva liikme vahe d on konstantne: 2 - 1 = 3 - 2 = = - -1 = = 27
Summa, mille eest arvutatakse 100 200 300 ... 5900 6000 intresse, (akumuleeruv kapital) Vastava summa eest makstav 100r 200r 300r ... 5900r 0 100r + 200r + ... +5900r = intress (r on intressimäär 1 kuu r (100 +200+ .... +5900) eest) "Kokku" veerus tuleb meil leida summa 100 +200+ .... +5900. Rida on avaldis, mis koosneb lõpmatust jadast liidetavatest, rea liikmetest: a1 % a2 % a3 % ... %ai & 1 % ai % ... ' j ai 4 i'1 Rida nimetatakse aritmeetiliseks reaks, kui iga rea liikme ja temale eelneva liikme vahe d on konstantne [1, lk.367-373]: a2 - a1 = a3 - a2 = ... = ai - ai - 1 = ... = d
(11.15) S S Selliselt omandatud valemi veelgi kompaktsemale kujule viimiseks anname eraldi tähenduse integraali all olevale suurusele, nimetades selle elektrinihkeks ehk elektriliseks induktsiooniks. 10 Elektrinihkeks ehk elektriliseks induktsiooniks mingis ruumipunktis nimetatakse kahe vektori summat. Esimene liidetavatest on elektrivälja tugevus selles ruumipunktis korrutatud konstandiga 0 , teine liidetav selle ruumipunkti polarisatsioon. D 0 E P 0 E . (11.16) Vaakumis võrdub elektrinihe lihtsalt elektrivälja tugevuse ja konstandi 0 korrutisega, dielektrilises keskkonnas lisandub sellele veel keskkonna polarisatsioon. Valmit (11.16)
P P P uk k=1 k=1 k=1 n ning s′n := umk koosnevad üldjuhul (kas täielikult või osaliselt) erinevatest liidetavatest, P k=1 siis ei ole selge, kas jada (sn ) koonduvus toob endaga kaasa jada (s′n ) koonduvuse. Niisiis, ∞ ∞ me otsime vastust küsimusele, kas koonduva rea uk korral koondub ka rida umk . P P k=1 k=1
Kui funktsioon f (x) on m¨a¨aratud ja pidev vahemikus (-; ), siis m~ole- ma l~opmatu rajaga p¨aratu integraali defineerimisel jaotatakse integraal su- 11 valises punktis c (-; ) kaheks, c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx, - - c ning tekkinud liidetavatest esimene on l~opatu alumise rajaga p¨aratu integraal ja teine l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraal. Definitsioon 3. Kui v~ordustes (5.8) v~oi (5.9) esinev piirv¨a¨artus on l~oplik, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal koondub, kui piirv¨a¨artus on l~opmatu v~oi piirv¨a¨artust ei ole olemas, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. N¨ aide 7. Olgu a > 0. Uurime, milliste v¨a¨artuste korral p¨aratu integraal dx
annaabi.ee 
