Mk1-A 30.4793832 - A-B 1341.55967 1341.56 B-C 1005.489793 1005.49 C-Mk2 30.47731287 - Tabel 3. Arvutatud ja mõõdetud nurgad teodoliitkäigus Arvutatud ( Mõõdetud ( ° ) ° ) Nurk kordajatest. 3 esimest rida, kus paiknevad nurgalised elemendid, on läbi korrutatud radiaaniga sekundites (ρ= 206264,8’’). See on vajalik selleks, et maatriksiga K oleks ühikuline vastavus. Prototüüpvõrrand nurga BIF (Backsight-Instrument-Foresight) on: Maatriksi J esimene rida kujuneb , teine rida ja kolmanda rea elemendid võrrandiosa järgi. Viimased kaks rida maatriskis on joonelised elemendid. Need
1) Leida tundmatute parameetrite X ja Y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Mõõtmistulemused on võrdsete kaaludega. Kuna mõõtmistulemused on võrdsete kaaludega, siis paregusel juhul neid arvestama ei pea ja kaalumaatriksit arvutustes kasutada ei ole vaja. Vastavalt ette antud võrranditele kirjutame välja maatriksid A (Tabel 1) ja L (Tabel 2), mis vastavalt koosnevad tundmatute muutujate X ja Y kordajatest ning paremal pool võrdusmärki asetsevatest suurustest (mõõtmistulemustest). Tabel 1. Maatriks A 1 2 2 -3 2 -1 Tabel 2. Maatriks L 10.5 5.5 10 Neid kahte maatriksit alusena võttes ning kasutades valemit X= (A TA)-1ATL leiame muutujate X ja Y tõenäolisemad väärtused. Maatriksite korrutamisel tuleb järgida valemis ette nähtud järjekorda. Excel’is maatriksite korrutamiseks kasutame MMULT
Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valemite abil Eeldused: 1 LVS-i tundmatute arv = v˜ orrandite arv 2 ∆ = 0, kus ∆ on determinant, Gabriel Cramer mis koosneb LVS-i tundmatute kordajatest. (1704-1752) Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valemite abil Eeldused: 1 LVS-i tundmatute arv = v˜ orrandite arv 2 ∆ = 0, kus ∆ on determinant, Gabriel Cramer mis koosneb LVS-i tundmatute kordajatest
2x + y - 3 = 0 x=0 y=3 Kontroll : v1 = 0 - 3 + 3 = 0 p1 = 0 v1 = p1 v2 = 2 0+3-3 = 0 x=0 p2 = 0 Vastus : y =3 v2 = p 2 · Lineaarvõrrandisüsteemi lahendite hulga sõltuvus süsteemi kordajatest a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Võrrandisüsteemil on üheselt määratud lahendid puuduvad, on lõpmata palju lahendeid, 0 0 lahendipaar (x ;y ), kui kui a1 b1 c1 a1 b1 c1 kui = = =
Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm: vastavusse hulga W teatava elemendi y, nimetatakse kujutuseks elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub alati selle sama hulga lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus £(*+)=*£() Ruutvormi kordajatest saab moodustada nxn järku hulgast V hulka W. elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes +*£() sümmeetrilise maatriksi. At=A. Ruutvormi maatrikskuju: Def.2-kui mistahes xV on eeskirja £ alusel vastavusse seatud kinnine
küllalt keerulised. Tihti on aga võimalik kõrgema astme võrrandeid lahendada korrutiseks teisendamise abimuutuja kasutamise või mõne muu võttega. Tutvume mõningate selliste võtetega. Näide 1. Lahendada võrrand : x5 = 4x3. Lahendus. Toome kõik liikmed vasakule : x5 - 4x3 = 0 Toome ühise kordaja x3 sulgude ette: x3(x2 4) = 0 Korrutis võrdub nulliga, kui kordajatest on null: x3 = 0 või x2 4 = 0 Lahendades, saame : x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2. Näide 2. Lahendada võrrand x3 - 3x2 = 2x 6. Lahendus .Toome võrrandi kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki ja teisendame siis selle poole korrutiseks: x3 - 3x2 - 2x + 6 = 0; x2(x 3) -2(x 3) = 0; (x 3)(x2 2) = 0; Saame kaks võrrandit
abil. Dk Xk = , k = 1,2 ....n, DA kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga. Crameri peajuht 1) vorrandisusteemi tundmatute arv m ja vorrandite arv n on vordsed, st nm ; 2) tundmatute kordajatest moodustatud determinant on nullist erinev. Carmeni peajuhul on vorrandisusteemil uksainus lahend ja tundmatud avalduvad determinantide jagatisena: Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem: 2 x1 - 4 x 2 + 3 x3 = 1 x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 4 . 3x - 5x + 4 x = 1 1 2 3 2 - 4 3 1 3 2 3 -5 4 DA = = -6; 1 - 4 3 D1 = 4 3 2 = 9; 1 -5 4 2 1 3 D2 = 1 4 2 = -3;
.. Ruumi E3 kolmele vektorile on võimalik vastavusse seada teatav uus vektor millist nimetatakse lähtevektorite topeltvektorkorrutiseks ja märgitakse sümbolitega (x×y)×z või x×(y×z), korrutamise assotsiatiivsus ei kehti. Skalaarset avaldist F mis esitub kujul F= Ni,j=1aijxixj nim ruutvormiks kui arvud ij rahuldavad kõigi võimalike indeksite i ja j väärtuste korral tingimusi aij=aji. Arve aij nim ruutvormi kordajateks ja xi xj ruutvormi muutujad; ruutvormi F kordajatest a ij saame moodustada (mxn) järku sümmeetrilise ruutmaatriksi A, AT(aij)=aij=A, F=xT·A·x . Ruutvormi üleminekut ühelt muutujalt uuele muutujale nim kooridnaatide teisendamiseks. Koordinaatide teisendus mida esindab regulaarse maatriks C nim ka regulaarseks teisenduseks. Koordinaatide teisendus mida esindab singulaarne maatriks nim ka singulaarseks teisenduseks
. 7) Gaussi meetod. Gaussi meetod (saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss 1777-1855) on üks enamlevinud meetodeid lineaarvõrrandite süsteemide lahendamiseks ja on rakendatav ka juhul, kui süsteemi kordajate maatriksi determinant võrdub nulliga või kui süsteemi tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute võrrandite arvust. Põhimõtteliselt on Gaussi meetod liitmisvõtte edasiarendus. Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest. (A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule: (E/C), kus C on antus süsteemi lahendimaatriks. Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: Maatriksi ridade vahetamine. Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. 8) Pöördmaatriks. Maatriksvõrrand. 9) Funktsiooni piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused.
Ülesanne 1. Antud on kolm lineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit: 1) Kõigepealt tuleb meil ülesande lahendamiseks leida tundmatute parameetrite x ja y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Arvestada tuleb ka, et mõõtmistulemused on vastavalt kaaludega 6, 4 ja 3. Ülesande lahendamiseks peame parameetriliste võrrandite abil koostama maatriksid A (Tabel 1) ja L (Tabel 2), mis vastavalt koosnevad tundmatute ees asetsevatest kordajatest ja paremal pool võrdusmärki asetsevatest väärtustest. Lisaks veel mõõtmistulemuste kaaludest moodustatud kaalumaatriks W (Tabel 3). Tabel 1. Maatriks A 3 2 2 -3 6 -7 Tabel 2. Maatriks L 7.8 5.55 8.5 Tabel 3. Kaalumaatriks W 6 0 0 0 4 0 0 0 3 Lähtudes nendest andmetest ja kasutades kaalutud normaalvõrrandite lahendamiseks T −1 T
..a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm kordajateks, arve b1 , b2 ,..., bm aga süsteemi vabaliikmeteks. Arve c1 , c 2 ,..., c n , mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) laiendatud maatriksiks. 2. Substitutsiooni definitsioon, näide. Inversiooni definitsioon, näide. N-järku determinandi definitsioon. Determinandi defineerimisel kasutatakse substitutsiooni mõistet. n-ndat järku substitutsiooniks nimetatakse n esimese naturaalarvu 1,2,...,n iga ümberjärjestust i1 , i2 ,..., in , . Näide 1. Kolmandat
2 72 - 4307629.6 89 4415024.0 13 - 1589221.2 78 - 4307629.6 87 4415024.0 19 1589221.2 71 4307629.6 71 - 4415024.0 22 1589221.2 6 4307629.6 88 - 4415024.0 15 1589221.2 71 4307629.6 87 - 4415023.9 99 1589221.2 7 4307629.6 82 - 4415024.0 12 Maatriks A kujuneb parameetrilistes võrrandites tundmatute ees olevate kordajatest (+1 või -1). Tabel 4. Maatriks A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
Om10 Determinandi väärtus võrdub nulliga parajasti siis ( siis ja ainult siis), kui selle determinandi ridade/veergude hulk on lineaarselt sõltuv. Ridade ja veergude lineaarne sõltuvus on tarvilik ja piisav tingimus selleks, et determinandi väärtus oleks samane nulliga. Crameri peajuhtum Determinandi abiga saab lahendada l.v.s, kus tundmatuid ja võrrandeid on sama palju. · Moodustame tundmatute ees olevatest kordajatest n- järku determinandi. · D 0, siis räägitakse Crameri peajuhtumist. · Crameri peajuhul on l.v.s üheselt määratud lahend, mis avaldub valemiga xn = Dn/D Determinant Dk tuletatakse süsteemi determinandist D k-nda veeru kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga, kusjuures ülejäänud veerud jäävad oma endistele kohtadele. D = 0, siis selleks, et l.v.s oleks lahend ka sellisel juhul, peavad kehtima tingimused D 1 = D2 = ...=Dn, sellisel juhul on l.v
koordinaattelgedega. Nende abil on võimalik saada ettekujutus tasandi paiknemisest ruumis: kui tahame joonistada tasandit, siis on selleks sobivaim kuju võrrand telglõikudes. Sirge ja tasand kui alamruumid Ruumi Rn ühe võrra madalamat alamruumi Rn_1 nimetatakse hüpertasandiks. Sirge R1 on ruumi R2 hüpertasand ja tasand R2 on ruumi R3 hüpertasand. II järku jooned. Teist järku joone saab esitada üldvõrrandiga Ax2 +Bxy+Cy2+Dx+E+F=0,kus vähemalt üks kordajatest A, B või C0. Kolmliiget Ax2 + Bxy+Cy2 nimetatakse ruutliikmeks. Teist järku joonteks on ringjoon (A=C ja B=0), ellips (A ja C on sama märgiga),hüperbool (A ja C on erimärgilised) ja parabool (ûks kordajatest A või C=0). II järku jooned. Ellips Def. Ellips on tasapinna R2 nende punktide hulk, millede jaoks kauguste summa kahest antud punktist F1 ja F2, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne. x2/a2+y2/b2=1. Ellipsi omadusi: 1
Definitsioon Arve c1, c2 , ... , cn , mis rahuldavad süsteemi (2) kõiki võrrandeid, nimetatakse selle võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarne võrrandisüsteem Näide Lineaarse võrrandisüsteemi - x1 + x2 + 2 x3 = 1 2 x1 - x2 + 3 x3 = -2 üheks lahendiks on (0; 7/5; -1/5) . Lahendiks on aga ka vektorid (d; 7/5(1 + d); -1/5(1 + d), kus d on suvaline reaalarv. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju Definitsioon Lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriksit a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A = aij = am1 am 2 amn nimetatakse süsteemi (2) maatriksiks. Lisades maatriksi A parempoolsesse serva vabaliikmete veeru, saame süsteemi (2) laiendatud maatriksi: a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 B=
rahvastiku taastetaset. Sündimuse vanuskordaja (Joonis nr.4) iseloomustab naiste seas järjest enam levivat trendi planeerida oma lapsesaamine hilisemasse ikka, kui naised on juba omandanud hariduse ja teinud karjääri. Viljandimaa suurt ,,beebibuumi" iseloomustab ka see graafik, kuna 1990. aastal sündis 20 kuni 24 aastastel naistel peaaegu 400 last ja sündimuse vanuskordaja oli pisut üle 200, mis on tunduvalt suurem kõigist sama aasta teiste vanusegruppide kordajatest ja samuti moodustab suure kontrasti 2009. aasta andmetega, kus sündimuse suurem osa on jaotunud enamvähem ühtlaselt kolme keskmise vanusegrupi vahel: 20-24, 25-29 ja 30-34. 2009.aasta soovituim iga lapsesaamiseks oli vanusevahemik 25 kuni 29 eluaastat, kus sündimuse vanuskordaja oli 75. 1.4 Suremus Rahvastiku vananemine ei ole enam uus nähtus. Oodatava eluea suurus kasvab aja jooksul tunduvalt. Näiteks 1990. aastal oli Eesti meeste oodatav eluiga 64,53 ja naistel 74,67. 2009
nivelleerimiskäigus. Leitud kaaludest moodustame kaalumaatriksi W (Tabel 2). Tabel 2. Kaalumaatriks W. 0.0013 0 0 0 0 0.0016 0 0 0 0 0.0012 0 0 0 0 0.0021 Lisaks moodustame plaanimaatriksi A (Tabel 3), mis koosneb parameetrilistes võrranites olevate muutujate H1, H2 ja H3 kordajatest ning mõõtmistulemuste maatriksi L (Tabel 4), mis koosneb parameetrilistes võrandites paremale poole võrdusmärki viidud väärtustest. Tabel 3. Plaanimaatriks A. 1 0 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0 -1 Tabel 4. Mõõtmistulemuste maatriks L. 36.465 3.243 -3.797 -35.914
Kui vaatluse all oleva indiviidi vanem(ad) on teada, siis leitakse a) vastav diagonaalil paikneva lahtri väärtus tuginedes valemile (9) kui üks pluss pool vaatlusaluse indiviidi vanemate vahelisest aditiivgeneetilisest sugulusest, ning b) ülejäänud samas reas ja veerus diagonaallahtrist vastavalt vasakul ja ülal paiknevad väärtused tuginedes valemile (8) kui pool vaatlusaluse indiviidi vanemate ja konkreetsele reale/veerule vastava indiviidi vahelistest aditiivgeneetilise suguluse kordajatest. Kui üks vaatluse all oleva indiviidi vanemaist on teadmata, loetakse teiste põlvnemisskeemis esindatud indiviidide aditiivgeneetiline sugulus selle vanemaga võrdseks nulliga. Tabeli täidetuse järel on iga kahe indiviidi vaheline aditiivgeneetiline sugulus välja loetav neile vastavate ridade-veergude ristumiskohas paiknevast lahtrist; iga indiviidi inbriidingukoefitsient on valemist (9) avaldatuna leitav, lahutades vastavast diagonaallahtris paiknevast kordajast arvu üks.
See on saadud maatriksi A ridade ja veergude ümbervahetamisel. Olgu Aik maatriksi elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transponeerime selle maatriksi. Sellist maatriksit nim adjengeeritud maatriksiks. Pöördmaatriksiks nim maatriksit 3. Lineaarsed võrrandisüsteemid Tundmatuid x1; x2; x3, ..., xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nim lineaarseteks. Korrastatud süsteem: Võrrandisüsteemi tundmatute kordajatest moodustnud maatriksit nim süsteemimaatriksiks. Maatriks A, millele on lisatud vabaliikmete veerg, nim süsteemi laiendatud maatriksiks. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid lineaarses võrrandisüsteemis nim lineaarseks võrrandisüsteemi lahendiks. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks. Lahendid, mis saadakse parameetrie fikseerimise teel nim süsteemi
Sündimuse vanuskordaja (Joonis nr.4) iseloomustab naiste seas järjest enam levivat trendi planeerida oma lapsesaamine hilisemasse ikka, kui naised on juba omandanud hariduse ja teinud karjääri. Tartumaa suurt ,,beebibuumi" iseloomustab ka see graafik, kuna 1990. aastal sündis 20 kuni 24 aastastel naistel peaaegu 1200 last ja sündimuse vanuskordaja oli üle 200, mis on tunduvalt suurem kõigist sama aasta teiste vanusegruppide kordajatest ja samuti moodustab suure kontrasti 2010. aasta andmetega, kus sündimuse suurem osa on jaotunud rohkem kolme keskmise vanusegrupi vahel: 20-24, 25-29 ja 30-34. 2010.aasta soovituim iga lapsesaamiseks oli vanusevahemik 25 kuni 29 eluaastat. Sünde 30-34 aastaste naiste seas on 2010. aastal pea 100 võrra rohkem, kui seda oli 1990. aastal. Alla 20 aastaseid sünnitajaid on 2010. aastal aga lausa 200 võrra vähem, kui 1990. aastal. 1.4 Suremus
DEFINITSIOON 2. Kui on antud nullist erinevate vektorite süsteem e1, e2, . . . , en ja arvude süsteem 1 , 2 , . . . , n , siis avaldist 1e1 + 2e2 + . . . +nen , (A) mis määrab mingi vektori, nimetatakse vektorite e1, e2, . . . ,en LINEAARSEKS KOMBINATSIOONIKS. Kui selles avaldises kõik kordajad võrduvad üheaegselt nulliga, st 1 = 2 = . . . = n = 0, siis öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on TRIVIAALNE. Vastasel korral, kui kas või üks kordajatest i , i = 1, 2 , . . . , n, on nullist erinev, öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on MITTETRIVIAALNE. DEFINITSIOON 3. Kui avaldis (A) võrdub nullvektoriga ainult siis, kui kõik kordajad on nullid, st ainult siis, kui avaldis (A) on triviaalne lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . .
x1 = 1 x = 2 2 ........... x = n Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi n , mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on
DEFINITSIOON 2. Kui on antud nullist erinevate vektorite süsteem e1, e2, . . . , en ja arvude süsteem 1 , 2 , . . . , n , siis avaldist 1e1 + 2e2 + . . . +nen , (A) mis määrab mingi vektori, nimetatakse vektorite e1, e2, . . . ,en LINEAARSEKS KOMBINATSIOONIKS. Kui selles avaldises kõik kordajad võrduvad üheaegselt nulliga, st 1 = 2 = . . . = n = 0, siis öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on TRIVIAALNE. Vastasel korral, kui kas või üks kordajatest i , i = 1, 2 , . . . , n, on nullist erinev, öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on MITTETRIVIAALNE. DEFINITSIOON 3. Kui avaldis (A) võrdub nullvektoriga ainult siis, kui kõik kordajad on nullid, st ainult siis, kui avaldis (A) on triviaalne lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . .
x = 2 2 Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi , ........... x n =n mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on
Telglõikude abil on võimalik anda teatud ettekujutus tasandi orientatsioonist ruumis, kui tasandi ja koordinaattelgede lõikepunktid ühendada sirglõikudega, mis eraldavad tasandist ühe kolmnurga. Sirge ja tasandi lõikepunkt Sirge ja tasandi lõike punkt asub nii sirgel kui tasandil. Seega peavad tema koordinadid rahuldama üheaegselt nii sirge kui ka tasandi võrrandeid. Teist järku jooned Teist järku joone üldine võrrand Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 Siin vähemalt üks kordajatest peab A, B või C peab olema nullist erinev. X²+y²+Dx+Ey+F=0 võrrand on teist järku algebralise joone võrrand. Siinjuures ruutliikmete kordajad on võrdsed ühega ja tundmatute x ja y korrutisega liige puudub. Ellips Ellipsiks nim tasandi nende punktide hulka, milliste kauguste summa kahest antud punktist, mida nim fookusteks, on konstantne. Ellipse kanoonilise võrrand on x²/a²+y²/b²=1. Ellipsi omadused: 1.ellips on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes
vähemalt üks lahend Vastuoluline LVS - Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse vastuoluliseks ehk vasturääkivaks, kui süsteemil (1) ei ole lahendeid. Elementaarteisendused: nim. 1) tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga 2) tema mingile võrrandile teise mistahes arvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist Gaussi meetodi kirjeldus - Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest.(A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule:(E/ ). Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: Maatriksi ridade vahetamine. · Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. · Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased maatriksid, mis
14. Funktsioonide lineaarne sõltumatus. Wronski determinant ja selle omadused. Def 14.1 Funktsioonid on lineaarselt sõltumatud kui leiduvad sellised kordajad , mis ei ole üheaegselt nullid, et kehtib võrdus (14.1) Need funktsioonid on lineaarselt sõltumatud kui võrdus (14.1) on võimalik vaid nulliliste kordajatega. Kahe funktsiooni korral saame põhivõrduseks (14.1)' Kui ja on lineaarselt sõltuvad, siis peab üks kordajatest olema nullist erinev. Olgu siis leiame, et (14.2) Või Seega kui kaks funktsiooni on lineaarselt sõltuvad, siis nad on võrdelised või nende suhe on konstantne. Märkus: Kui süsteemis üks funktsioon on nullfunktsioon, siis see süsteem on lineaarselt sõltuv. Def 14.2 kahe funktsiooni Wronski determinandiks ehk Vronskiaaniks nim determinanti : (14.3) n-funktsiooni Vronskiaan on (14.3)' Teoreem 14.1 Kahe funktsiooni Wronski determinant on null, siis ja ainult siis kui need funktsioonid on
Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale. Kirjutame välja lineaarse võrrandisüsteemi, milles on m võrrandit ja m tundmatut, mida lahendades saame A1 , , Am . Kaks võimalust, kas anda x-le m erinevat väärtust või koostada iga x erineva astme (0 kuni m-1) kordajatest võrrand. Kui nimetaja tegurid on lineaarsed ja esimeses astmes, saame lahutada murru kaheks osamurruks. Näide 1: 2 x -1 A B = + , kus A ja B on konstandid ( x -1)( x - 2) x -1 x - 2 Kui nimetajas oleks tegureid rohkem, saaksime osamurde rohkem vastavalt igale tegurile ühe. 2 x -1 A B = + ( x -1)( x - 2 ) ( x -1)( x - 2) x -1 x - 2 2 x -1 = A( x - 2 ) + B ( x -1)
( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale. 5 Kirjutame välja lineaarse võrrandisüsteemi, milles on m võrrandit ja m tundmatut, mida lahendades saame A1 , , Am . Kaks võimalust, kas anda x-le m erinevat väärtust või koostada iga x erineva astme (0 kuni m-1) kordajatest võrrand. Kui nimetaja tegurid on lineaarsed ja esimeses astmes, saame lahutada murru kaheks osamurruks. Näide 1: 2 x -1 A B = + ( x -1)( x - 2) x -1 x - 2 , kus A ja B on konstandid Kui nimetajas oleks tegureid rohkem, saaksime osamurde rohkem vastavalt igale tegurile ühe. 2 x -1 A B = + ( x -1)( x - 2 ) ( x -1)( x - 2) x -1 x - 2 2 x -1 = A( x - 2 ) + B( x -1)
Näide 3: Olgu vaja lahendada lineaarvõrrandisüsteem a2 b2 a2 b2 ¦ a1 x b1 y c1 Murru nimetajas olev determinant koosneb tundmatute ees olevatest § ¨a2 x b2 y c2 , kordajatest. Seda determinanti nimetatakse võrrandisüsteemi determinandiks kus a1, b1, c1, a2, b2 ja c2 on antud arvud ja x ning y on tundmatud. ja tähistatakse tähega D. Murru lugejas olevate determinantide elemendid on aga saadud süsteemi determinandist vastava tundmatu kordajate asendamisel a 2 ab b 2 ab u v u v u 2 v 2
.. + amn xn = bm Arve aij nimetatakse võrrandisüsteemi (3) kordajateks, arve b1 , b2 , ... , bm aga süsteemi (3) vabaliikmeteks. Def. 3. Arve c1 , c2 , ... , cn , mis rahuldavad süsteemi (3) kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi (3) lahendiks. Ka süsteemi (3) lahendit vaadeldakse aritmeetilise vektorina ( c1 ; c2 ; ... ; cn ) , aga teda kirjutatakse ka kujul (2). Def. 4. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit a11 a12 K a1n a a22 K a2 n A = ( aij ) = 21
Uusx=By a11=0,2=uusx11/uusx1=uusx11/440, uusx11=0,2*440=88 Esimese toote kogutoodang peab selle võrra suurenema, et saaks teist toodet müüa ühe ühiku võrra rohkem. Staatilise Leontjevi mudeli puuduseks on investeeringute arvestamine lõpptoodangu hulka. Dünaamilises Leontevi mudelis arvestatakse investeeringuid eraldi maatriksina. 3. Vähimruutude meetod Meetodit kasutatakse ligikaudse sõltuvuse leidmiseks. Näiteks süsteemi puhul: Süsteemi kordajatest ning vabaliikmetest tuleb välja kirjutada veerummatriksid A1, A2, ... , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi.
..,m; j = 1,...,n). Süsteem (1) on m võrrandist ja n tundmatust koosnev lineaarvõrrandite süsteem. Arve c1,..., cn , mis rahuldavad süsteemi (6.1) kõik võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi (6.1) lahendiks : x1 = c1 x = c 2 2 x n = c n (6.2) LVS (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi maatriksiks : a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a am2 ... a mn A = (aij) = m1 . (6.3) Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi
..xn tundmatuteks (aij, bi, x j R, i = 1,...,m; j = 1,...,n). Süsteem (1) on m võrrandist ja n tundmatust koosnev lineaarvõrrandite süsteem. Arve c1,..., cn , mis rahuldavad süsteemi (6.1) kõik võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi (6.1) lahendiks : x1 = c1 x = c 2 2 (6.2) xn = cn LVS (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi maatriksiks : a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A = (aij) = . (6.3) ... ... ... ... a am2 ... a mn m1 Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi
.. + ancn = b Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetataksse lõplikust arvust lineaarset võrrandist koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1; ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm. aij - kordajad; b1,...,bm - vabaliikmed Arve c1,...,cn, mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks Lineaarne võrrandisüsteem on maatrikskujul antav võrdusega Ax = b. A = || aij|| - lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriks (süsteemi maatriks). x - maatriks x1 xn-ni üksteise alla paigutatult. b - maatriks b1 bm-ni üksteise alla paigutatult. B = ||A, b|| - maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriks (süsteemi laiendatud maatriks) 10. Gaussi meetod. Teisendatakse süsteem Ax = b uuele kujule, millel on samad lahendid ning mille lahendeid on lihtne välja lugeda. Kasutatavad teisendused: 1. süsteemi mis tahes võrrandit võib korrutada nullist erineva skalaariga 2
Olgu V vektorruum üle reaalarvude hulka ning 1, 2,..., m Definitsioon. Mistahes avaldist, millel on kuju kus 1,..., m , nimetatakse vektorite 1, 2,..., m lineaarkombinatsiooniks. Skalaare 1,..., m nimetatakse antud lineaarkombinatsiooni kordajateks. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui kõik tema kordajad võrduvad nulliga, s.t 1= 2 = ...= m = 0. Lineaarkombinatsioon on mittetriviaalne, kui vähemalt üks tema kordajatest on nullist erinev, s.t. kui i i = 1, 2, ..., m. Näide: Olgu V geomeetriliste vektorite hulk tasandil ja olgu antud kaks vektorit 1, 2 , mis ei ole paralleelsed. Siis avaldub iga vektor sellel tasandil vektorite 1 ja 2 lineaarse kombinatsioonina. Definitsioon. Vektorite süsteemi 1, 2,..., m nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui vektorite 1, 2,..., m mingi mittetriviaalne lineaarkombinatsioon võrdub nulliga, s.t., leiduvad arvud k1, k2, ..., km , ning mingi kordaja
teisest eemal. Kui süsteemil on Märkus 2.4 lõpmata palju lahendeid, siis on tasanditel üks ühine lõikesirge Olenevalt võrrandite ja tundmatute arvust ning kordajatest võib li- või vähemalt kaks tasandit üh- neaarvõrrandisüsteem (2.5) omada üheainsa lahendi, mitte ühtegi la- tivad. hendit või lõpmata palju lahendeid. 19 PEATÜKK 2. PÖÖRDMAATRIKS. LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMID Definitsioon 2
siis, kui v~ ordusest 1 v 1 + · · · + n v n = o j¨ areldub 1 = · · · = n = 0 T~oestus. = : Olgu VS {v1 , . . . , vn } lineaarselt s~ oltumatu. Peame n¨aitama, et v~ordusest 1 v1 + · · · + n vn = o j¨ areldub 1 = · · · = n = 0 Oletame vastuv¨aiteliselt, et v¨ ahemalt u ¨ks kordajatest tuleb nullist erinev. Siis oleks VS {v1 , . . . , vn } lineaarselt s~ oltuv, mis on vastu- olus eeldusega. J¨arelikult peab 1 = · · · = n = 0. 14 V. Vektorruumid = : Kui v~ordusest 1 v1 + · · · + n vn = o j¨ areldub 1 = · · · = n = 0 siis ei leidu nullvektoriga v~ orduvat mittetriviaalset lineaarkombi- natsiooni. Seega VS {v1 , . .
Maatriksite kasutamine lihtsustab lineaarvõrrandsüsteemide lahendamist. Olgu meil näiteks kolmest võrrandist koosnev lineaarne võrrandsüsteem MAJANDUSMATEMAATIKA I Maatriksid 73 x1 % x2 & 5 x3 ' 8 &2 x1 % 3 x2 % x3 ' 12 3 x1 & x2 % 4 x3 ' 5 Moodustame kolm maatriksit: kordajatest 3 × 3 maatriks, tundmatutest ja vabaliikmetest 3 × 1 maatriksid: 1 1 &5 x1 8 A ' &2 3 1 X ' x2 B ' 12 3 &1 4 x3 5 Nüüd võime võrrandsüsteemi kirja panna maatriksite korrutisena A X ' B . Üldjuhul: n tundmatut sisaldava ja n võrrandist koosneva lineaarvõrrandsüsteemi
annaabi.ee 
