Variatsioonid n-elemendist k-kaupa Kombinatsioonid n-elemendist k-kaupa (järjekord pole oluline) Newtoni valem Funktsiooni keskmine Kahe funktsiooniga väärtus vahemikus [a ; b] piiratud kujundi pindala Lineaarne 1. järku DV DIFERENTSIAALVÕRRANDID Homogeensed 1. järku DV Konstantsete kordajatega lineaarne homogeenne 2. järku DV Konstantsete kordajatega lineaarne mittehomogeenne 2. järku DV otsides: kuju kuju Vektorid ja tasandid Skalaarkorrutis Vektori pikkus Punkti P(x0 ; y0 ; z0) kaugus tasandist Vektorkorrutis Segakorrutis
õppevahenditeks jne. Teatavasti tõestas saksa matemaatik J. H. Lambert 1767. aastal, et on irratsionaalarv, kuid tema tõestus ei olnud päris korrektne. Prantsuse matemaatik A. M. Legendre tõestas 1794. aastal lõplikult arvu irratsionaalsuse ja ühtlasi ka arvu ruudus irratsionaalsuse. Ent ikkagi jätkusid otsingud ringjoone sirgestumise probleemi lahendamiseks. Nimelt polnud teada, kas irratsionaalarvude hulk piirdub algebraliste arvudega, s.t. arvudega, mis on ratsionaalarvuliste kordajatega algebraliste võrrandite lahenditeks, või on olemas veel teisi, mittealgebralisi irratsionaalarve. Viimase puhul võiks oletada, et kui on irratsionaalne algebraline arv, siis võiksid esined algebralised võrrandid irratsionaalarvuliste kordajatega. See omakorda tähendaks, et sirkli ja joonlaua abil saab ringjoont sirgestada. Alles 1844. aastal näitas prantsuse matemaatik J. Liouville, et on olemas irratsionaalarve, mis pole ühegi
Eksaktsuse tingimus Kui teadaolevad funktsioonid M ja N ning nende osatuletised M' y ja N'x on pidevad muutujate x,y mingis piirkonnas D, siis iga (x,y)D korral M'y=N'x Euleri ligikaudne yi=yi-1+hf(xi-1,yi-1), kus h=xi-xi-1 arvutusmeetod Teist järku y''=f(x), mis on lahendatav järgu alandamise teel muutuja vahetusega y'=u, diferentsiaalvõrrandi y''=u' üldkuju Lineaarne Teist järku konstantsete kordajatega lineaarne homogeenne homogeenne diferentsiaalvõrrand omab kuju y''+ay'+by=0, kus a ja b on konstandid konstantsete kordajatega teist järku dif.võrrand II järku Kõigepealt tuleb lahendada karakteristlik võrrand k2+ak+b=0. Saadud kons.kordajatega lahendid k1,k2 ja suurus D=a2-4b määravad üldlahendi kuju: lineaarne hom. dif. D>0, y=C1ek1xC2ek2x võrrandi üldlahend D=0, y=ekx(C1+C2x)
36. Murdlineaarset avaldist sisaldava diferentsiaalvõrrandi taandamine homogeenseks võrrandiks. 37. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine muutuja vahetusega ja konstantide varieerimise meetodil. Bernoulli diferentsiaalvõrrandi kuju, teisendamine lineaarseks võrrandiks. 38. Eksaktse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, eksaktsuse tingimus, lahendusmeetod. 39. Euleri ligikaudse lahendusmeetodi arvutusvalem. 40. Lineaarsed konstantsete kordajatega homogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Võrrandi üldkuju, lahendusvalemid kõigil juhtudel. 41. Lineaarsed konstantsete kordajatega mittehomogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Erilahendi leidmine. 42. Lineaarsed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Homogeense ja mittehomogeense võrrandi kuju, üldlahend mõlemal juhul. 43. Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid, üldlahend, erilahend. Cauchy ülesanne. 44
..Cn(x)yn(x)]=f(x). Seega p0(x)[C1’(x)y1(n-1)(x)+...Cn’(x)yn(n-1)(x)]=f(x)/:p0(x) C1’(x)y1(n-1)(x)+...Cn’(x)yn(n-1)(x)=f(x)/p0(x). Need tingimused kujutavad endast lin vs C1’(x)...Cn’(x) määramiseks. [WD] = W(x) ≠ 0 Xє(a,b) Süsteemi lahendamisel saame Ci(x) = fi(x), i=1...n Ci(x) = ∫φidx + Ci, i=1..n, võib valida Ci = 0. 8. Konstantsete kordajatega lineaarne homogeenne võrrand: üldiselt lahendatakse kõrgemat järku lineaarseid DV-d järgu alandamisega. Kasutatakse asendust y’=yz, 2 siis y’’=y(z’+z ) jne. Saadav võrrand ei pruugi olla lineaarne ning pole alati lahendatav. Kui on teada teist järku homogense DV p0(x)y’’+p1(x)y’+p2(x)y=0 üks lahend y1≠0 saab leida veel teise laendi y2(x), nii et
............................................................................... 5 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand..................................................................................................6 9.Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand.......................................................................... 7 10.Lineaarne diferentsiaalvõrrand...............................................................................................7 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid................................................ 7 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D
x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi integreerimine u=u(x), v=v(x), xX. d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv. L. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) ja u(x)*v(x) on diferentseeruvad hulgal xX, siis peab paika väide N. N. 2.5 Polünoomi lahutamine teguriteks Olgu .Kõik arvulised kordajad. Olgu polünoomi kompleksarvuline nullkoht. Seega Pn()=0. Ja kui see on nii, siis kehtib ka võrdus .Summa kompleks . Kui see polünoom on reaalsete kordajatega ja võrrandil Pn(x)=0 on lahendiks , siis tema lahendiks on ka . Kui on Pn(x)=0 m kordne kompleksne lahend, siis ka on selle sama Pn(x)=0 m kordne lahend. Järeldus: Kui meil on reaalsete kordajatega Pn(x), siis on see kirja pandav nii: Kui võrrandil Pn(x)=0 on reaalne lahend kordusega x1 jne x, siis k1...k+2(l1+l2+...+l)=n Pn(x)=0 P3(x)=x3-8 P3(x)=0 x3-8=0 (x-2)(x2+2x+4)=0 x1=2 x2+2x+4=0 V: 3 lahendit. Üks reaalne ja kaks kompleksset 2
Võttes , saame, et Olgu , siis saame algtingimusteks. Eelduse kohaselt saab määrata üldlahendis konstandid C1 ja C2 nii, et oleks täidetud ka need algtingimused ja . 14. Funktsioonide lineaarne sõltumatus. Wronski determinant ja selle omadused. Def 14.1 Funktsioonid on lineaarselt sõltumatud kui leiduvad sellised kordajad , mis ei ole üheaegselt nullid, et kehtib võrdus (14.1) Need funktsioonid on lineaarselt sõltumatud kui võrdus (14.1) on võimalik vaid nulliliste kordajatega. Kahe funktsiooni korral saame põhivõrduseks (14.1)' Kui ja on lineaarselt sõltuvad, siis peab üks kordajatest olema nullist erinev. Olgu siis leiame, et (14.2) Või Seega kui kaks funktsiooni on lineaarselt sõltuvad, siis nad on võrdelised või nende suhe on konstantne. Märkus: Kui süsteemis üks funktsioon on nullfunktsioon, siis see süsteem on lineaarselt sõltuv. Def 14.2 kahe funktsiooni Wronski determinandiks ehk Vronskiaaniks nim determinanti : (14.3)
y’+p(x)y=q(x) nimetame lineaarseks mittehomogeenseks diferentsiaalvõrrandiks. Kui q(x)≡0, siis nimetame vastavat võrrandit lineaarseks homogeenseks diferentsiaalvõrrandiks.) kus Yk on vastava homogeense võrrandi üldlahend (2) ja Yo on võrrandi (4) mingi erilahend. Erilahendi leidmiseks võib kasutada konstantide varieerimise meetodit või määramata kordajate meetodit. 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku diferentsiaalvõrrand on esitatav kuju y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ … + pn-1y’+ pny = 0.
Kui M ja N on astme monotoonsed funktsioonid, siis saame asendusega y =ux : M(x,y)dx + N(x,y)dy = M(x,ux)dx + N(x,ux) (xdu + udx) = x((M(1,u) + uN(1,u))dx + xN(1,u)du) = x+1(M(1,u) + uN(1,u))((dx/x) + (N(1,u)/(M(1,u) + uN(1,u))du) Kui funktsioonid x = x(u,v) ja y = y(u,v) on diferentseeruvad punktis P(u,v) ning funktsioon z = z(x,y) on diferentseeruv punktis Homogeenseks taanduv DV : Reaalarvuliste kordajatega ak, bk, ck, kus c12 + c22 <> 0 ja a1/a2 <> b1/b2, võrrand dy f((a1x + b1y + (x(P),y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P),y(P)) = z(u,v) osatuletised avalduvad kujul zu = zxxu + zyyu, zv = zxxv + zyyv. c1)/(a2x + b2y + c2))dx = 0 on võimalik taandada homogeenseks võrrandiks asendustega x = u + , y = v + . Tõestus: Me peame leidma tuletise du(t)/dt = = lim 0 ((+ )-()) / . Kuna vastavalt eeldusele u = f(x) on
.. Cn’(x)yn(n-1)(x)+ C1(x)y1(n)(x)+... Cn(x)yn(n)(x)]+p1(x) [ C1(x)y1(n-1)(x)+... Cn(x)yn(n-1) (x)]+pn(x) [ C1(x)y1(x)+... Cn(x)yn(x)]=f(x). Seega p0(x)[ C1’(x)y1(n-1)(x)+... Cn’(x)yn(n-1)(x)]=f(x) /: p0(x). C1’(x)y1(n-1)(x)+... Cn’(x)yn(n-1)(x)=f(x)/ p0(x). Need tingimused kujutavad endast lin vs C 1’(x)...Cn’(x) määramiseks. [WD]=W(x)≠0. Xє(a,b). Süsteemi lahendamisel saame C i(x)=fi(x), i=1...n Ci(x)=∫φidx+Ci, i=1..n, võib valida Ci=0. Konstantsete kordajatega lineaarne homogeenne võrrand üldiselt lahendatakse kõrgemat järk lin DV-eid järgu alandamisega. Kasutatakse asendust y’=yz, siis y’’=y(z’+z 2) jne. Saadav võrrand ei pruugi olla lineaarne ning pole alati lahendatav. Kui on teada 2. Järku hom DV p 0(x)y’’+p1(x)y’+p2(x)y=0 üks lahend y1≠0 saab leida veel teise laendi y 2(x), nii et y1 ja y2 moodustavad võrrandi lahendite fs. y 2 saab võrrandist y’y1- yy1’=C1e∫p1(x)/p0(x)dx
Eralduvate muutujatega DV klass dy/dx=ky. Näited selle kasutamisest. NT: radioaktiivse lagunemise arvutamine; bakterite koloonia suurenemise arvutamine 36. Newtoni seadus kehade jahtumise kohta. dT =−λ( T− K) dt 37. Lineaarne esimest järku DV (definitsioon). Definitsioon: Lineaarseks esimest järku DV-ks nimetatakse DV-t, mis on lineaarne tundmatu funktioonis y ning selle esimese tuletise y’ suhtes 38. Konstantsete kordajatega lineaarsed homogeensed DV (definitsioon). Definitsioon: DV-t kujul a0y(n) + a1y(n -1)+...+ an-1y’ + any = 0 nimetatakse konstatntsete kordajatega homogeenseks n- järku DV-ks 39. Näiteid DV-i rakendustest. 1) eksponetsiaalne kasvamine ja kahanemine 2)kehade jahtumine 3)elektriahelad 4)keemiliste ainete reaktsioonid 5)harmooniline võnkumine 6)vabavõnkumine 7)sundvõnkumne
berberi rahvaid, kellest paljud on rändeluviisiga. Islami järgijaid on 90%, ülejäänud- välja arvatud väike kristlastekogukond- tunnistab animistlikke hõimusuundeid. 30% rahvastikust elab linnades, ent see protsent kasvab praegu kiiresti, sest põud on viimastel aastatel maad vaevanud ja hävitanud peaaegu kogu põllumajanduse. Andmeliiklu: telefonid: pealiinid kasutusel: 45,000, mobiilid:40,000 Televisiooni lähetus jaami: 1(koos kordajatega) Transport:lennujaami:26, raudteed 729 km, kiirteid 15,100 km. Mali impordib: Naftat ja naftasaadusi, autosid, toiduaineid, keemiatooteid, tehnikat. Mali ekspordib: puuvilla, eluskarja, maapähklit, kala. Mali lipp:
Kuju + P ( x ) y=Q ( x) dx 37. Olgu a0 , a1 ,…. an reaalarvud. Diferentsiaalvõrrandit kujul F( x , y , y ´ , y ´ ´ … y(n) =0 nimetatakse n-järkus DV-ks. N-järku DV-ks on ka võrrand y(n) = f(x) (n ) (n−1) 38. DV-t kujul a0 y + a1 y +...+ an−1 y ´ + an y=0 nimetatakse konstantsete kordajatega homogeenseks lineaarseks n-järku DV-ks. 39. Lineaarse konstantsete kordajatega mittehomogeense teist järku DV erilahend: a. y ü= y h + y e 40. . Diferentsaalvõrrandite rekendused: a. 1. Kehade jahtumine d. 4. Keemiliste ainete reaktsioonid b. 2. Elektriahelad e. 5. Vabavõnkumine c. 3.Eksponentsiaalne kasvamine ja f. 6
(võrdsed kaasa arvatud). Kui reas on paaritu arv liikmeid, siis mediaaniks on kõige keskmine liige. Kui reas on paaris arv liikmeid, siis mediaaniks on kahe keskmine. Sarnaste liidetavate koondamine: Tähte nimetatakse matemaatikas kas muutuja või tundmatu või otsitav. Liidetavaid nimetatakse sarnasteks, kui nende muutuja osad on võrdsed ja nad erinevad ainult kordaja poolest. Sarnaseid liidetavaid saab liita ja lahutada, seljuhul tehe tuleb teha kordajatega, muutuja osa jääb samaks. Sarnaste liidetavate liitmist, lahutamist nimetatakse koondamiseks. Korrutise lihtsustamine: Korrutise lihtsustamisel korrutatakse kõigepealt kordajad (arvud), seejärel muutujad tähestikulises järjekorras. Kahe muutuja ning arvu ja muutuja vahele ei pea korrutusmärki kirjutama. Sulgude avamine: Sulu ees või järel oleva arvuga või avaldisega tuleb sulus kõik liikmed korrutada. Miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees.
1767. aastal tõestas saksa matemaatik J. H. Lambert, et on irratsionaalarv, kuid tema tõestus ei olnud päris korrektne. Arvu irratsionaalsuse tõestas 1794. aastal lõplikult prantsuse matemaatik A. M. Legendre, ühtlasi tõestas ta ka arvu 2 irratsionaalsuse. See ei lõpetanud aga sugugi otsinguid ringjoone sirgestamise probleemi lahendamiseks. Nimelt ei olnud teada, kas irratsionaalarvude hulk piirdub algebraliste arvudega, s.t. arvudega, mis on ratsionaalarvuliste kordajatega algebraliste võrrandite lahenditeks, või on olemas veel teisi, mittealgebralisi irratsionaalarve. Kui oletada, et on irratsionaalne algebraline arv, siis võiksid esineda algebralised võrrandid irratsionaalarvuliste kordajatega, mis aga tähendaks, et sirkli ja joonlaua abil saaks ringjoont sirgestada. Alles 1844. aastal näitas prantsuse matemaatik J. Liouville, et on olemas irratsionaalarve, mis pole ühegi ratsionaalarvuliste kordajatega algebralise võrrandi lahendeiks
p=p(x) määramiseks. Arvestades, et y´=p(x), on saadud eralduvate muutujatega võrrand y=y(x) määramiseks. 3. y´´= f(y,y´) Tähistades y´=p, p=p(y) ja arvestades, et y´´=p p´y , tekib esimest järku võrrand p p´y=f(y,p) funktsiooni p=p(y) määramiseks. Arvestades, et y´=p(y), on saadud eralduvate muutujatega võrrand y=y(x) määramiseks. 18 TEIST JÄRKU LINEAARSED KONSTANTSETE KORDAJATEGA DIFERENTSIAALVÕRRANDID Teist järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks, kui ta sisaldab y, y´ ja y´´ esimeses astmes ja ei sisalda nende korrutist. Iga selline võrrand on esitatav kujul y´´+ p(x)y´+ q(x)y = f(x). Kui kordajad p(x)=p ja q(x)=q on konstandid, siis on tegemist konstantsete kordajatega lineaarse teist järku võrrandiga y´´+ py´+ qy =f(x). Kui f(x)0, siis on võrrand mittehomogeenne, kui f(x)=0, siis on võrrand homogeenne
arvuline tegur normaalkujulises üksliikmes 3.Sarnased üksliikmed - üksliikmed, mis ja on sarnased, sest täheline osa on erinevad ainult kordaja poolest või ei erine üldse samasugune 4.Üksliikme teisendamine normaalkujule - kirjutame arvuliste tegurite korrutise esimesele kohale ning asendame samade muutujate korrutised astmetega astmealuste tähestikulises järjekorras 5.Üksliikmete koondamine - tuleb teha vastav Õ ül.161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täheline osa jääb muutmata NB koondada saab sarnaseid üksliikmeid selgitus: sarnased on esimene ja teine liidetav, neid saab koondada (täheline osa ei muutu), viimane liidetav jääb nii nagu antud 6.Astmete korrutamine - ühe ja sama alusega astmete korrutamisel astendatakse alus antud
* Iga polünoom anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 on ühel viisil esitatav korrutisena C(x-d1)v1(x-
dk)vk(x2+b1x+c1)1...(x2+b1x+c1)1 Nullist erineva polünoomi f(x)= anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 (an0)
astmeks loetakse naturaalarvu n ja tähistatakse deg(f).
* Iga kahe polünoomi f ja g0 korral leiduvad polünoomid q ja r, et f=qg+r, kus r on kas
nullpolünoom(r=0) või r0 ja deg(r)
IAPB21 ÜLESANNE 1. $ - 2 0 (J 11) Toon x-i sulgude ette. ( - 2) 0 (J 11) Siit järeldub, et kas 11É või 11É( - 2), sest vastasel juhul ei saaks jäägiks 0-i. Seega on võrrandil kaks lahendit: # 0 (J 11) ja $ 2 (J 11), sest jäägi null annab - 2, seega peab $ ise andma jäägiks 2-e. Vastus: # 0 (J 11); $ 2 (J 11) ÜLESANNE 2. 25 + 41 = 1 Täisarvuliste kordajatega võrrandil I + I = I leiduvad täisarvulised lahendid parajasti siis, kui gcd(I, I)ÉI. Seega leian alguses kordajad u ja v nii, et 25 + 41 = gcd(25,41) Kasutan selleks Eukleidese algoritmi. gcd(25,41) = gcd(16,25) = gcd(9,16) = gcd(7,9) = gcd(2,7) = gcd(1,2) = 1 Kirjutan välja, kuidas jäägiga jagamine täpselt toimub. 41 = 25 1 + 16 16 = 41 - 25 1 25 = 16 1 + 9 9 = 25 - 16 1 = 25 - (41 - 25 1) = 25 - 41 + 25 1 = 2 25 - 41
hetkväärtus ja ε (t ) pooli omainduktsiooni elektromotoorjõu hetkväärtus. Asendades , saame võrrandi kus q(t) on kondensaatoril oleva laengu hetkväärtus. Jagades viimase läbi L-iga ja tehes asendused i(t)=q(t) ning , saame võrrandi kondensaatori laengu jaoks: Tähistades anname valemile (1) kuju See on konstantsete kordajatega teist järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab võnkumisi nii mehaanilistes kui elektrilistes võnkesüsteemides. Vastavalt diferentsiaalvõrrandite teooriale sõltub võrrandi (2) lahend β märgist ning β ja ω0 omavahelisest seosest. Kuna meie juhul siis on võimalikud kolm varianti: 1) β < ω0 , 2) β = ω0 3) ) β > ω0 1)Juhul kui β < ω0 on võrrandi (2) lahendiks kus qm (0) ja on
diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju f1(y)dy=f2(x)dx. Niisuguse võrrandi kumbki pool on ühest muutujast sõltuva avaldise korrutis selle muutuja diferentsiaaliga. Võrrandi teisendamist sellisele kujule nimetatakse muutujate eraldamiseks. Et lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandit, on vaja eraldada muutujad ja pärast seda võtta võrrandi mõlemast poolest integraal. 26. Lineaarne esimest järku DV 27. Lineaarne konstantsete kordajatega homogrnne teist järku DV 28. Mittehomogeenne lineaarne konstantsete kordajatega teist järku DV.
1.2 Elementaarfunktsioonid
1.Konstantne funktsioon y=c
2.Astmefunktsioon y=x
3.Eksponentfunktsioon y=ax
4.Logaritmfunktsioon y=logax
5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx
DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste
elementaarfunktsioonide kaudu.
DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk
täisratsionaalseks funktsiooniks.
Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
keskmisest (millal on mõistlik kasutada?). Aretusväärtuse hindamine selektsiooniindeksi näol (mida see eelnevale juurde annab? millal on mõistlik kasutada?). Juhul kui kogu selektsioonialune populatsioon paikneb sarnastes keskkonnatingimustes, piisab geneetiliselt parimate indiviidide välja valimiseks iga indiviidi (ja/või tema sugulaste) fenotüübiväärtuste võrdlemisest populatsiooni keskmisega1 Kõik need fenotüübil mõõdetud erinevused koondatakse sobivalt valitud kordajatega kaalutuna ühte võrrandisse. Sellist looma aretusväärtuse (või geneetilise väärtuse) määramiseks konstrueeritud võrrandit nimetatakse selektsiooniindeksiks. BLUP – mis asi see on. BLUP (parim lineaarne tõepärane) -meetod -- põllumajandusloomade geneetilise aretusväärtuse hindamise rahvusvaheline lineaarse võrrandsüsteemi lahendamise standardmeetod, kus hinnatavate tunnuste kõrval arvutatakse samaaegselt ka seda tunnust mõjutanud keskkonnategurite väärtused.
!!"#$%&% ; !!!"#$%&% ; ... . Maksimumile vastav veerg võetakse juhtveeruks ja seal olev muutuja tuuakse baasi. Juhtelement on alati negatiivne. Vastuolulisuse krit: Kõik juhtrea elemendid on mittenegatiivsed 14. Duaalülesande koostamine Duaalülesanne koostatakse tavalise LP ülesande põhjal. Sihifunkts kordajad võrduvad lähteülesande paremate pooltega, duaalülesande paremad pooled sihifunkts kordajatega. Kitsenduste maatriks transponeeritakse read lähevad veergudeks. Lühidalt öeldes keeratakse ülesannet 900. Klassikalises optimiseerimisteoorias nim duaalmuutujaid Lagrange'I kordajateks. Standardsel kujul: kitsendused muutuvad à, y0. Kanoonilisel, muutuvad =à, Y kitsendused puuduvad. SKEEM: Lähteülesanne Duaalülesanne Kitsendus Muutuja Muutuja Kitsendus
Erilahendi sin 𝜓 ≠ 0. y1 leidmiseks võib kasutada konstantide varieerimise meetodit või määramata kordajate meetodit. 14. Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku pn 1 x y2 pn x y1 pn x y2 0
Elementaarfunktsiooniks nim funkts, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel.: konstantne, astme-,eksponent-, logaritm-,trigo-,arkus-, hüperbppolsed-, areafunktsioonid. n-astme polünoom e täisratsionaalne funkts: Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...an-1x+an( a00), a-d on const, n-N, x-muutuja Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil on n kompleksset 0-kohta x1.. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x) Ratsionaalfunktsiooni nim lihtmurruks , kui mn, vastasel korral aga liigmurruks Murdlineaarseks funkts nim funkts kujul a0x+a1/b0x+b1, b00 Algebraliseks funkts nim funkts y=f(x), mis rahuldab võrrandit P ( x ) y n + Q ( x ) y n -1 + ... + R ( x ) y + S ( x ) = 0 ( n N ) , kus R(x), Q(x), ... , R(x), S(x) on mingid polünoomid
dx dy mille lahend avaldub homogeense võrrandi + p ( x ) y = 0 üldlahendi ja vastava dx mittehomogeense võrrandi mingi erilahendi summana. Homogeenset võrrandit saab teisendada kujule dy dy = -p ( x ) dx , siis lahendamisel saame = ln y = p ( x ) dx + C . y y Konstantsete kordajatega lineaarne diferentsiaalvõrrand (KKLD) Teist järku homogeense KKLD d2y dy a0 2 + a1 + a2 y = 0 dx dx üldlahend avaldub lineaarselt sõltumatute erilahendite lineaarse kombinatsioonina y = C1 y1 + C 2 y 2 . Lineaarselt sõltumatute erilahendite korral on y 0 ainult juhul, kui C1 = C 2 0 . Üldlahendi kordajad C1 ja C 2 määratakse alg- ja/või rajatingimuste abil. Otsime ühte erilahendit kujul y = e x , siis saame (a 0 2
Tooge 2 näidet! n-astme polünoomil on n reaal- või kompleksarvulist juurt. Näited: 1. kui kahel n-astme polünoomil on argumendi x n + 1 erineva väärtuse korral võrdsed väärtused, siis need polünoomid on võrdsed iga x väärtuse korral, 2. kui polünoom võrdub nulliga argumendi x iga väärtuse korral, siis selle kordajad on võrdsed nulliga, 3. kui kaks polünoomi on võrdsed argumendi x iga väärtuse korral, siis ühe polünoomi kordajad on võrdsed teise polünoomi vastavate kordajatega. Mathcadis on polünoomi juurte leidmiseks funktsioon "polyroots v 5. Koostage üks 4-nda astme polünoom ja üks 3 astme polünoom ! - 4-nda astme polünoom - 3-nda astme polünoom 6. Koostage polünoom, mille juured on 20, 15, 7 ! 7. Millal kaks polünoomi on võrdsed? Tooge 2 näidet!
rakendamine on lõppenud. 2. Juhtveeru valimine. Juhtveeruks valida veerg, milles sihifunktsiooni kordaja on negatiivne. Kui selliseid veerge on mitu, siis juhtveeruks valitakse see veerg, milles sihifunktsiooni kordaja on väikseim negatiivne arv. 3. Juhtrea valimine. Juhtrea kindlaksmääramiseks jagatakse tingimustesüsteemi vabaliikmed bi väljavalitud juhtveeru positiivsete nullist erinevate kordajatega aij ja saadud jagatistest valitakse väikseim, millele vastav rida osutubki juhtreaks 4. Juhtelemendi leidmine. Juhtelement asub juhtrea ja juhtveeru ristumiskohal. 5. Uue tabeli väärtuste arvutamine ehk uue lubatava lahendi leidmine toimub simpleksteisendustega, mille aluseks on Gauss-Jordani elimineerimisvõte. Selleks: * kõik juhtrea elemendid jagatakse juhtelemendiga, mille tulemusena uues tabelis
kasutama riski arvestavat diskontomäära. 2 võimalust riski arvestamiseks projektides: 1) kindlustusekvivalendi meetod 2) riski arvestav diskontomäär KINDLUSTUSEKVIVALENT RISKI ARVESTAV DISKONTOMÄÄR · Kohandame oodatavad rahavood · Suurendame vastavalt riskile kooskõlas riskiga väiksemaks, diskonteerimismäära korrutades need kindlustusekvivalendi kordajatega. · Taandame kindlustusekvivalentsed · Taandame rahavood praegusesse rahavood praegusesse hetke hetkesse riskiga kohandatud riskivaba intressimääraga diskonteerimismäära järgi · Kasutame NPV otsustamise · Kasutame otsustamiseks tavalise kriteeriumit, kus tulunormi asemel on NPV kriteeriumi,kus tõkkenormiks on tõkkenormiks riskivaba intressimäär
9) Riski arvestavad diskontomäärad Põhineb eeldusel, et investeerijad nõuavad riskantsematelt projektidelt suuremat tulu. Kui mingi projekti riskitase erineb ettevõtte tüüpiliste projektide omast, peab kasutama riski arvestavat diskontomäära. Kaks võimalust riski arvestamiseks projektides: kindlustusekvivalendi meetod, riski arvestav diskontomäär Kindlustusekvivalent - *Kohandame oodatavad rahavood kooskõlas riskiga väiksemaks, korrutades need kindlustusekvivalendi kordajatega. *Taandame kindlustusekvivalentsed rahavood praegusesse hetke riskivaba intressimääraga. * Kasutama NPV otsustamise kriteeriumit, kus tulunormi asemel on tõkkenormiks riskivaba intressimäär. Riski arvestav diskontomäär - *Suurendame vastavalt riskile diskonteerimismäära. *Taandame rahavood praegusesse hetkesse riskiga kohandatud diskonteerimismäära järgi. *Kasutame otsustamiseks tavalise NPV kriteeriumi, kus tõkkenormiks on riski arvestav diskoneetimismäär. 10) Bilansiskeem
milline riigimaantee vajab remonti. Otsuse langetab MKM. Samuti võimaldab HDM-4 ennustada kulude sõltuvust seisukorra näitajatest. EPMS töötab IRI, inventeeritud defektide, kandevõime, roopa sügavuse ja liiklussageduse alusel. Augud ja murenemised annavad suurema %. igal KOV-l peab olema teedest register, ainult selle olemasolul saab raha 25. Defektisumma Defektitüüpide alusel arvutatakse 100m lõigule vastavate kordajatega summa = % vigastatud katte osa inventeeritud teekatte pinnast 100m lõigul. =(5*0,5*POIKPR+0,5*KPIKIPR+LPIKIPR+0,1*KVUUK+0,5*LVUUK+VORK+AUK+MUREN+0,2*SERV)*100/ (SLAI*100))+DEFOSA kus muutujad on: AUK - Augud; DEFOSA - Defektide osa %; KPIKIPR - Kitsad pikipraod; KVUUK - Kitsad vuugipraod; LPIKIPR - Laiad pikipraod; LVUUK - Laiad vuugipraod; MUREN - Murenemine; POIKPR - Põikpraod; SERV - Katte serva defektid; VORK - Võrkpragunemine; SLAI - Sõiduosa laius tabelis "Katte laius"
tasub leida lahendid y1 ja y2: (MHLII) f(x) 0=> yMHÜ=? *Lause yMHÜ=yMHE+yHÜ=> yMHE=? Mittehom võrrandi üldlah on võrdne mhom erilah ja hom üldlah summaga *Eeldused: *YMHE: y''MHE +p(x)y' MHE +g(x)yMHE =f(x) *y1: y1''+p(x)y1'+g(x)y1=0 *y2: y2''+p(x)y2'+g(x)y2=0. *Arvutame: yMHÜ=yMHE+C1y1+C2y2, y'MHÜ=y'MHE+C1y1'+C2y2', y''MHÜ=y''MHE+C1y1''+C2y2'' *AS: (y''MHE+C1y1''+C2y2'')+p(x)(y'MHE+C1y1'+C2y2')+ g(x)( yMHE+C1y1+C2y2)= f(x) 48. Lin konstantsete kordajatega (H) II järku DV Def.y''+py'+qy=f(x), p,q IR, Hom II järku lin konst kord DV: y''+py'+qy=0, selle hom võrr üldlah avaldub kujul yHÜ=C1y1+C2y2, kusjuures y1/y2 const, ehk sõltumatud erilahendid; y1=?, y2=?, Oletame, et y=ekx, see on lah=> y'=kekx, y''=k2ekx *As (HL) k2ekx+pkekx+qekx=0; ekx(k2+pk+q)=0=> on selline lah kui teine tegur on 0: k2+pk+q=0 so (HL)karakteristlik võrrand 1)k1 k2: y1=ek1x, y2=ek2x=> y1/y2=ek1x/ek2x=e(k1-k2)x 0; yHÜ= C1ek1x+C2ek2x 2)k1=k2= ; y1=e x,
6 S¨umbolit kasutatakse s~ onade "iga" v~oi "suvaline" ehk "mis tahes" asemel. N¨aiteks v¨aites x > 1 x2 > x, st iga u¨hest suurema arvu x korral on x2 suurem kui x, r~ohutatakse, et see j¨areldus kehtib iga x > 1 korral. S¨umbolit kasutatakse s~ ona "eksisteerib" v~oi s~onapaari "on olemas" asemel. N¨aiteks v¨aidet "kui f (x) = x3 +ax2 +bx+c on reaalsete kordajatega kolmandat j¨arku pol¨ unoom, siis tal leidub reaalne nullkoht x1 " saame esitada kujul a, b, c R f (x) = x3 + ax2 + bx + c x1 R : f (x1 ) = 0. ~ Oppevahendist [17] leiate t¨ aiendavat informatsiooni eeltoodud l¨uhikirjapiltide kasu- tamisv~ oimaluste kohta. S¨ umbolit kasutatakse t~ umbolit n¨aite¨ oestuse l~opu t¨ahisena ja s¨ ulesande lahen-
3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Determinant-lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari. Determinandi järk tähistab determinandi môôtmeid (read = veerud). Tähistused: Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|. Miinor rittaarendamise meetodit kasutades leitavad determinandid (alamdeterminandi osa) Alamdeterminant miinor, koos nende positsiooni kirjeldavate kordajatega algdeterminandis 4. Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku determinandi arvutuseeskiri: peadiagonaali elementide ja teise diagonaali elementide korrutiste vahe. Kolmandat järku determinandi arvutuseeskiri: Sarruse reegli järgi. 5. Kõrgemat järku determinantide arvutuseeskiri. Kôrgemat järku determinantide arvutuseeskiri: rittaarendamise meetodiga. 6. Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri.
mida on vaja põhi ainevahetuseks. Valem on selline: Mehed - 66.5 + (13.75 x kg) + (5.003 x cm) (6.775 x vanus aastates) = kcal ööpäevas; Naised - 655.1 + (9.563 x kg) + (1.850 x cm) (4.676 x vanus aastates) = kcal ööpäevas. Valem annab energiahulga, mida on inimesel vaja selleks, et lihtsalt ellu jääda, ilma, et ta tegeleks millegiga, mis vajaks füüsilist pingutust vms. Saamaks inimese kehalisele aktiivususele vastav energiavajadus, tuleb saadu korrutada vastavate kordajatega. Väga vähese kehalise aktiivsuse puhul, kus on istuv töö ning vähene või puuduv kehaline aktiivsus, on koefitsendks 1,4-1,5. Vähese kehalise koormuse puhul, kus on samuti istuv töö, aga kaasneb vähene või mõninagne kehaline aktiivsus, on kordajaks 1,6- 1,7. Töö puhul, kus on liikumine ja istumine tasakaalus on see 1,8-1,9. Juhul, kui on tegemist väga aktiivse inimesega, sportlase või raske füüsilise tööga, võib kordajaks olla isegi 2,0-2,2 (Toitumissoovitused).
6. Mõõteseadme diferentsiaalvõrrand, ülekandefunktsioon Igal mõõtemuunduril on olemas nn ideaalne või teoreetiline sisend-väljundsignaalide seos. See funktsioon kirjeldab mõõtemuunduri väljundsignaali qv sõltuvust sisendsignaalist qs: qv = f (qs). Ülekandefunktsiooni graafikut nimetatakse ka muunduri või mõõteseadme teoreetiliseks tunnusjooneks. Tavaliste (ühest argumendist sõltuvate) konstantsete kordajatega lineaarsete või lineariseeritud diferentsiaalvõrrandite (ingl ordinary differential equation ODE) kasutamisel saame sisendsuurustest sõltuva funktsiooni f (t) ja mõõtesüsteemi väljundi vahelise suhte kirjeldamiseks koostada võrrandi kus qv on väljundsuurus ning a väärtused moodustavad süsteemi parameetrite kombinatsiooni, mida loeme konstantseks. 7. Esimest järku integreeriva süsteemi tunnusjooned Kui valemites (1.29) ja (1
Kui süsteemi sageduskarakteristikud on teada, saab süsteemi stabiilsust kontrollida. Kui summaarne logaritmiline amplituudkarakteristik on kriitilisel sagedusel f 0 ühest väiksem, siis on süsteem stabiilne. Kriitilisel sagedusel langeb faasikarakteristik () 180°-ni. Reguleerimissüsteemi stabiilsuse ja reguleerimisprotsesside iseloomu matemaatiline analüüs seisneb süsteemi vabaliikumise võrrandi uurimises. Selleks, et lineaarse ja konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandiga kirjelduv automaatreguleerimissüsteem oleks stabiilne, on tarvilik ja piisav, kui selle süsteemi diferentsiaalvõrrandile vastava karakteristliku võrrandi reaaljuured on negatiivsed ja kompleksjuurte reaalosad samuti negatiivsed H. Nyquisti kriteerium (1932): automaatreguleerimissüsteem (ARS), mis on avatud olekus stabiilne, on stabiilne ka suletuna, kui avatud süsteemi amplituudi- ja faasikarakteristik sageduse muutumisel 0 ei haara komplekstasapinnal punkti
Peatumisprobleem: me ei saa ehitada Turingi masinat, mis ütleks, kas masin peatub või ei. Me saaksime sellisele rakendada külge lisaosad, mis “jah, peatub” korral viiksid masina lõpmatusse tsüklisse ja “ei peatu” korral viiksid ta lõppolekusse. uSellise masina saaksime ühendada selle sama masina sisendisse. Nüüd oleks paradoks: kui masin ei peatu, siis ta peatub, kui peatub, siis ei peatu jne. Hilberti 10. probleem: Kas täisarvuliste kordajatega polünoomi P(x1,...,xn) korral on võrrandil P(x1,...,xn)=0 täisarvulisi lahendeid? Seda lahendati 21 aastat. Sellest on film tehtud. Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Hilary Putnam and Julia Robinson. Ja ei ole lahendeid. Posti vastavuse probleem: Olgu antud sõnede järjendid α = ⟨α1,...,αn⟩ ja β = ⟨β1,...,βn⟩. Kas leidub selline indeksite lõplik jada i1,...,ik, et αi1...αik =βi1…βik? nt α = ⟨aa, bb, abb⟩ ja β = ⟨aab, ba, b⟩ Kui
kõrvaldatakse lubatust suuremas koguses; saasteaineid heidetakse merevette; saasteaineid või jäätmeid viiakse keskkonda jäätmete transportimise käigus; saasteaineid heidetakse või jäätmeid viiakse keskkonda ilma loata; loodusvara kasutatakse lubatust suuremas mahus või ilma loata. Kui saasteaineid või jäätmeid tekib rohkem kui saasteloas lubatud või saastatakse üldse ilma loata, korrutatakse saastetasu määr erinevate kordajatega. Osa omavalitsuste piires asuvatest paiksetest saasteallikatest õhku paisatud saasteainete eest maksta alati 1,2–2,5 korda kõrgemat saastetasu Kuhu kantakse saastetasu näiteks jäätmete kõrvaldamise või õhu saastamise eest? Saastetasu kantakse riigieelarvesse, välja arvatud olmejäätmete kõrvaldamise eest kantakse sätestatud saastetasumäärade järgi arvutatud saastetasust 75 protsenti jäätmete päritolukoha kohaliku omavalitsuse eelarvesse ja 25 protsenti riigieelarvesse. 38
Tabel 3: legeerelementide sisalduse kordajad Legeerelement Kordaja Cr, Co, Mn, Ni, Si W 4 Al, Cu, Mo, Ti, V, Nb 10 S, P, N 100 B 1000 Seega on kordajaga 4 näidatud elemendi Cr, Co, Mn jne sisaldust 1%, st elemendi sisaldus näidatakse 0,25% kaupa. Elementidel kordajaga 10 (Al, Cu jt) on sisaldus näidatud 0,1% kaupa. Kordajatega näidatakse kõigi nende elementide sisaldust, mille kordaja oleks vähemalt 2 st Cr 0,5% ja enam, Mo 0,2% ja enam. Kui elemendi sisaldus on väiksem, siis seda kordaja numbriga ei näidata, elemendi sisaldust legeerterastes näitab üksnes elemendi sümbol. Näiteks tähis 18 Ni Cr 5-4 näitab süsiniku sisaldust 0,18% (18:100), nikli sisaldust 5 : 4 = 1,25% (1,2-1,5%). Kroomi sisaldust 4 : 4 = 1% (0,6-1%).
Mittelahenduvate ülesannete näited. A = {x1,..,xn} f: A A on ühskohaline kõikjal määrat' naturaalarvuline f.-n. f on Nn tükki. Kõigi ühekohaliste naturaalarvuliste f.-nide arv aga on |N| |N| - kontiinumi võimsus. Kõigil arvutatavatel f.-nidel on Gödeli numbrid need aga on naturaalarvud seega ei saa kõik f.-nid olla lahenduvad. · Turingi masina peatumine (kas A(x) = lõpmatus?) · Hiberti kümnes probleem kas täisarvuliste kordajatega polünoomi P(x1,..,xn) korral on võrrandil P(x1,..,xn) = 0 naturaalarvulisi lahendeid? · Posti vastavuse probleem Posti vastavuse probleem: korteezhid tähestikus : = (1,..,n) = (1,..,n) Kas leidub indeksite jada i1,..,ik nii, et 1i1i2..ik = 1i2..in See ei ole lahenduv. Kui see oleks lahenduv, leiduks predikaat 1, kui leidub P(,) = 0, kui ei leidu Teatud juhul on lahenduv. = {a,b} = {aa,bb,abb}
Pöördume tagasi silmuse algusesse või kui a on 0, siis väljastame b gcd'na. *Lisaks: Eukleidese algoritm on äärmiselt laia kasutust leidnud ka arvuteooria erinvates rakendustes, kuna ta võimaldab näiteks leida lineaarsetele diofantilistele võrranditele täisarvulisi lahendeid või siis lahendada kongruentseid võrrandeid moodulil m. [27].Lineaarsed diofantilised võrrandid. *Lineaarsed diofantilised võrrandid e. Diophantose võrrandid on mitme tundmatuga ning täisarvuliste kordajatega algebralised võrrandid, millele otsitakse täisarvulisi lahendeid. *Lineaarsele diofantilisele võrrandile leiduvad täisarvulised lahendid parajasti siis, kui gcd(a,b)|c. Kui viimane tingimus pole täidetud, siis täisarvulisi lahendeid võrrandil ei leidu. *Lahendamiseks kasutatakse harilikult laiendatud Eukleidese algoritmi iteratiivset meetodit. (Teiste meetoditena leiduvad veel näiteks rekursiivne meetod ning tabeli meetod)
(r) 2) Pn (x0 ) = 0 N¨ aide unoomi p(x) = x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 2-kordne Arv x0 = 1 on pol¨ juur, sest 1) p(1) = p (1) = 0 2) p (1) = 2 = 0 Teoreem 8. Kui pol¨ unoomi kordajad on reaalsed ning x0 C unoomi r-kordne juur, siis ka x0 on sama pol¨ on selle pol¨ unoomi r-kordne juur. 13.3 Algebra p~ ohiteoreem Teoreem 9. Igal kompleksarvuliste kordajatega n-astme pol¨ unoo- mil leidub parajasti n kompleksarvulist juurt (kordsused kaasa ar- vatud). 13.4 ¨ Uhejuured unoomi xn - 1 kompleksarvulisi juuri nimetatakse Pol¨ n-j¨ arku u ¨he- juurteks. K~oigi n-j¨arku u ahistatakse n 1. ¨hejuurte hulka t¨ 13
x3 + 2x2 - 16 = 0 lahend ning u ¨htlasi on x - 2 kuupliikme x3 + 2x2 - 16 tegur. Jagame pol¨ unoomi x + 2x - 16 teguriga x - 2. Saame x2 + 4x + 8. Seega 3 2 x3 + 2x2 - 16 = (x - 2)(x2 + 4x + 8) . 114 Ruutfunktsiooni x2 + 4x + 8 ei saa reaalarvude hulgas enam rohkem teguriteks lahutada, sest tema diskriminant on negatiivne: D = 42 - 4 · 8 < 0. Moodustame osamurrud m¨a¨ aramata kordajatega: 4x2 + 11x + 22 4x2 + 11x + 22 = = x + 2x - 16 3 2 (x - 2)(x2 + 4x + 8) A Mx + N = + 2 . x-2 x + 4x + 8 Kordajate A, M ja N m¨a¨ aramiseks l¨aheme selle v~orduse paremal poolel u
x3 + 2x2 - 16 = 0 lahend ning u ¨htlasi on x - 2 kuupliikme x3 + 2x2 - 16 tegur. Jagame pol¨ unoomi x + 2x - 16 teguriga x - 2. Saame x2 + 4x + 8. Seega 3 2 x3 + 2x2 - 16 = (x - 2)(x2 + 4x + 8) . 114 Ruutfunktsiooni x2 + 4x + 8 ei saa reaalarvude hulgas enam rohkem teguriteks lahutada, sest tema diskriminant on negatiivne: D = 42 - 4 · 8 < 0. Moodustame osamurrud m¨a¨aramata kordajatega: 4x2 + 11x + 22 4x2 + 11x + 22 3 2 = = x + 2x - 16 (x - 2)(x2 + 4x + 8) A Mx + N = + 2 . x-2 x + 4x + 8 Kordajate A, M ja N m¨a¨aramiseks l¨aheme selle v~orduse paremal poolel u
Saehamba Fourier’ esitus ehk lahtikirjutus võnkumiste summana on järgmine kee- ruline moodustis: . Nagu näeme, peab aeglaseid võnkumisi võtma suuremal määral kui kiiremaid – kordaja siinusfunktsioonide ees ju aina kahaneb. Järgmisel joonisel näitame kõige- pealt viit esimest siinusfunktsiooni oma kordajatega. Seejärel liidame nad kokku, paneme veel juurde pool ning saamegi midagi üsna saehamba sarnast: 256 Mida rohkem siinusfunktsioone kokku liidame, seda sarnasem on tulemus ka sae- hambaga. Nagu näeme, ei tea ka meie lihtne lähendus saehambale, kas olla juu- res väärtusega üks või null. Fourier’ esitus ja spekter kõik võngub
annaabi.ee 
