Astmerea koonduvusraadiuse R leidmiseks võib kasutada järgmisi valemeid: 1 a 1 = lim n +1 ja = lim a n , R n a n R n kui a n 0 ja need piirväärtused eksisteerivad. Omadus 1. Astmerida (1) koondub ühtlaselt igas lõigus [- r ; r ] (- R; R ) ja tema summa S (x ) on pidev funktsioon koonduvusvahemikus (- R; R ) . Omadus 2. Astmerida (1) võib igas lõigus [0, x ] , kus x (- R; R ) liikmeti integreerida, kusjuures x a n n +1 S (x )dx = 0 n =0 n + 1
arctan x = x − + −... = (−1)k (x ∈ (−1, 1)) 3 5 k=0 2k + 1 (selgitada!)z. 6.9 Mõned astmeridadega seotud klassikalised tulemused 6.9.1 Abeli piirväärtusteoreem ∞ ak xk summa omadusi kirjeldavad teoreemid 6.38 ja 6.39 kehtivad koonduvusraadiusega r P Astmerea k=0 määratud koonduvusvahemikus (−r, r) . Paljudel juhtudel koondub see astmerida ka selle vahemiku ühes või mõlemas otspunktis. Seoses sellega kerkib üles küsimus astmerea summa analüütilistest omadustest sellistes otspunktides. Summa pidevust koonduvusvahemiku otspunktis kirjeldab järgmine teoreem. Teoreem 6.53 (Abeli teoreem astmerea summa pidevusest koonduvusvahemiku otspunktis). ∞ Olgu r ∈ (0, ∞) astmerea ak xk koonduvusraadius
annaabi.ee 
