Geomeetriline rida- ∑ a qn kui q on suurem või võrdne 1ga siis n →0 hajub ja kui on väiksem 1st siis koondub ∞ Harmooniline rida- ∑ n1k kui k on väiksem või võrdne 1ga siis n →0 hajub, kui k on suurem kui üks koondub. 29.Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alambert, võrdlustunnus, integraaltunnus) lim √n u n=C Cauchy tunnus: n →∞ kui C on väiksem 1 siis koondub, kui C on suurem 1 siis hajub. Kui C=1 siis jääb küsimus lahtiseks u n+1 D’Alamberti tunnus: lim =D kui D on väikesm 1 siis koondub
Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. 11. Sirge võrrandid. Punkti kaugus sirgeni. Kahe sirge vaheline nurk. 12. Tasandi võrrandid. Punkti kaugus tasandist. Kahe tasandi vaheline nurk. II osa Matemaatiline analüüs (12 punkti) 13. Arvrea mõiste, arvrea summa ja koondumise tarvilik tingimus. 14. Geomeetriline ja harmooniline rida. 15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline tõlgendus, määramispiirkond. 20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21
Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32. Taylori ja Maclaureni read (definitsioon, leidmine). 33. Astmerida (definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall – kuidas neid leida?). 34. Fourier rea rakendusalasid. 35
Joonintegraali sõltumatus integreerimisteest (tuletada vastav valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
.. nim. arvreaks i =1 Lim a i = 0. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida ai koondub, siis i =1 i 32. Arvridade koonduvustunnused (majorant- d'Alamberti, integraal- ja Leibnitzi tunnused) Olgu antud positiivsete liidetavatega read a i=1 i ja b
(1) hajub. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida (1) koondub, siis nlim u n = 0. See tingimus pole piisav rea (1) koonduvuseks. 1 1 Näiteks rida (harmooniline rida ) hajub, kuigi lim u n = lim = 0. n =1 n n n n 23. Arvridade tähtsamad koonduvustunnused (esimene võrdlustunnus, d´Alembert´i tunnus, Cauchy tunnus, Leibnizi tunnus). Arvridade tähtsamad koonduvustunnused. Rida u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse positiivseks reaks, kui un 0, n=1,2,... Positiivsete ridade koonduvust saab kindlaks teha järgmiste tunnuste abil: · Võrdluslause. Kui positiivsete ridade (1) ja
1 n 1 1 Näide Rida (-1) = 1 - + - ... koondub tingimisi ( koondub eelmise n =0 n +1 2 3 1 1 1 näite põhjal), samas rida u n = = 1 + + + ... hajub (harmooniline rida). n =1 n =0 n + 1 2 3 2.4. Arvridade tähtsamad koonduvustunnused. Rida u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse positiivseks reaks, kui un 0, n=1,2,.... Positiivsete ridade koonduvust saab kindlaks teha järgmiste tunnuste abil. Võrdluslause. Kui positiivsete ridade (1) ja v1 + v 2 + ... + v n +
13): Olgu rida absoluutselt koonduv, s.t. rida koondub. Meie eesmärgiks on veenduda, et ka rida koondub. Tähistame iga k ∈ IN korral vk := |uk| − uk, siis 0 ≤ vk ≤ 2 |uk|. Esimese võrdluslause kohaselt on rida koonduv ja kuna uk = |uk| − vk iga k ∈ IN korral, siis lause põhjal koondub ka rida Tuua näide reast, mis koondub, kuid ei koondu absoluutselt. 40. Cauchy, D’Alemberti ja Leibnizi koonduvustunnused (*) Tõestada Cauchy koonduvustunnus (lause 10.1): Rida koondub absoluutselt, kui eksisteerib piirväärtus Eeldame, et c < 1. Valime arvu q omadusega c < q < 1, olgu ε := q − c, siis ε > 0 ning q = c + ε. Kuna → c, siis leidub niisugune indeks N, et kõikide k ≥ N puhul. Seega ehk Ridade rakendame esimest võrdluslauset. Kuna 0 < q < 1, siis geomeetriline rida koondub, seega koondub ka rida . Teisisõnu, rida
. . . . . 136 6.1.4 Dini teoreem funktsionaaljada ühtlasest koonduvusest . . . . . . . . . . . . 139 6.2 Arvread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.1 Arvrea mõiste, tema koonduvus ja hajuvus . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.2 Mittenegatiivsete liikmetega read. Absoluutne koonduvus . . . . . . . 143 6.3 Ridade koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.1 Võrdluslaused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.2 Cauchy ja d’Alembert’i koonduvustunnus . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3.3 Leibnizi koonduvustunnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3.4 Integraaltunnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sest u Tuleb r~ohutada, et tingimus (8.5) on rea koonduvuseks tarvilik, aga mitte piisav, st selle t¨aidetusest ei j¨areldu rea koonduvus. N¨aiteks harmoonilise rea (8.3) korral on koonduvuseks tarvilik tingimus 1 lim =0 k k t¨aidetud, kuid ometi on v~oimalik t~oestada, et harmooniline rida on hajuv. 8.3 Positiivsete liikmetega ridade koonduvustunnused K¨aesolevas punktis vaatleme positiivsete liikmetega arvridu, st ridu (8.1), mille liikmed uk > 0, k = 1, 2, . . . Olgu lisaks reale (8.1) antud veel teine positiivsete liikmetega arvrida vk (8.6) k=1 Matemaatiline anal¨ uu¨s I kursuses esines teoreem, millest j¨areldub, et mo-
annaabi.ee 
