talle tema eksitus selgeks. Enne vajaliku ranguse sissetoomist oli matemaatiline analüüs nagu terve Pantheon täis valejumalaid . Nende vääramises sai Cauchy, Gaussi ja Abeli kõrval üheks suurtest pioneeridest. Gauss oleks võinud siin juhtiv olla ammu enne Cauchyd. Ta ei taotlenud aga seda ja nii aitasid just cauchy artiklid ja õppetegevus rangusel matemaatilises analüüsis võimule pääseda. Teine põhjapanev teene, millega cauchy matemaatikat rikastas, on kompleksmuutuja funktsioonide teooria rajamine, elastsusteooria ja valguse dispersiooniteooria matemaatilise käsitluse loomine. Lähtudes langrange'i töödest võrranditeooria alal, hakkas ta süstemaatiliselt arendama rühmateooriat. Vastupidiselt paljudele eelkäijatele, kes said innustust matemaatika praktilistest rakendustest, arendas Cauchy oma teooriaid nende eneste pärast, küsimata, kas tema poolt väljamõeldu on üldse kuskil rakendatav
1833. a. hakkas ta õpetama ja ka kasvatama Charles X kolmeteistkümne aastast pärijat Bordeaux' hertsogi, hilisemat krahvi. 1838. a. naases Cauchy Pariisi, ning hakkas taas tööle Teaduste Akadeemias. Ta töötas mingi aja ka Prantsuse Kollezis.(lahkus sealt üsna pea, sest ei tahtnud anda truudusvannet;see oli religiooni vastane) Üsna kiiresti sai ta tööd Pikkuste Büroos Andis mitteametlikult loenguid Sorbonne'is. Cauchy suurimad saavutused · Cauchyle kompleksmuutuja funktsioonide teooria · Rangus matemaatilises analüüsis · elastsusteooria ja valguse dispersiooniteooria matemaatilise käsitluse loomine · Alates 29. detsembrist 1831 oli Cauchy Peterburi Teaduste Akadeemia välismaine auliige. · Pikk traktaat valguse dispersioonist. Cauchy teosed ja ka tööd/kirjutised, mis jäid välja ilmumata ,,Memuaar imaginaarsete radadega määratud integraalidest" (Memoire sur les integrales
koordinaadid on x ja y, ja vastupidi, xy-tasandi iga punkti M x; ysaab vaadelda Liitmine: kompleksarvu x iy geomeetrilise kujutisena. m × n- maatriksite A = (aij) ja B = (bij) summaks nimetatakse m×n- Tasandit, millel kujutatakse kompleksarve, nimetatakse A+B= (cij), kus cij = aij + bij kompleksmuutuja z tasandiks maatriksit kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. (joonisel on sümbol z ringi sees). Selle tasandi nendele Aritmeetiline vektor punktidele, mis asetsevad x-teljel, vastavad reaalarvud (y 0). Skalaarkorrutis: n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu
4.1Lineaarsete statsionaarsete pidevajasüsteemide analüüs- vaadeldakse süsteemi täielikult juhitavat ja ja jälgitavat osa. Kasutades olekumudelit tehakse ülekandemudel, mille abil leidakse süsteemi väljundsignaali kujutis ja sellest saadakse Laplace'i teisendusega väljundsignaali väärtus. 4.2L- teisendus- Loob üks- ühese vastavuse originaalfunktsioonide hulga x(t) ja kujutisfunktsioonide hulga X(s) vahel x(t) (laplace'i teisendus) X(s) kusjuures kujutiste argument on kompleksmuutuja s=+j e. Operaatorimuutuja. Ax1(t)+ bx 2(t) laplace'i teisendus aX1(s)+bX2(s) mis tähendab ,et laplace'i teisendus on lineaarne integraalteisendus ,mis arvestab x(t) hetkväärtusi kogu aja intervallis [0, lõpmatus] Laplace'i teisendusi tehakse spetsiaalse tabeli abil. 4.3 Piirväärtusteoreemid- fikseerivad vastavuste asemel piirväärtuste võrdsused lim x(t) t läheneb 0 =limsX(s) s läheneb lõpmatusele ; limx(t) t läheneb lõpmatusele =limsx(s) s läheneb 0
valemist asendusega z = esT (2.1.1). Sellega jouame Z-teisenduse põhivalemini Z-teisendusega luuakse üks-ühene vastavus diskreetse originaali x[kT] ja kujutise x(z) vahel, mida tähistame x[kT]< z >X(x). Z-teisenduse kasutamise iseärasused: ·Teisendus on rakendatav diskreetaja funktsioonidele, mis kõigi ajaargumendi negatiivsete väärtuste puhul omavad nullise väärtuse. · Teisendus on lineaarne. ·Kujutise argument z on kompleksmuutuja z = p + jv = zMeJ¥, mis on Laplace'i teisenduse argumendiga sa+jco seostatud valemiga 2.1.1. Sellest tulenevad seosed p = eTcosT; = eaTsinT; zM =eT; =T (2.1.2) · ning =1/TIn zM; = r = 0,1,2... (2.1.3) Seejuures Iihtsaimad on seosed z muutuja mooduli ja faasi ning s-muutuja reaal ja imaginaarosa vahel. · Igale pidevaja funktsiooni Laplace'i kujutisele vastab ühene diskreetaja funktsiooni z-kujutis ahelana pidev diskreetne
juhitavat ja jälgitavat osa. Kasutades olekumudelit tehakse ülekandemudel, mille abil leitakse süsteemi väljundsignaali kujutis ja sellest saadakse L"1 teisendusega väljundsignaali väärtus. L–teisendus- LapIace'I teisendus on integraalne teisenduvalem, mis loob üks-ühese vastavuse originaalfunktsioonide hulga (x(t)) ja kujutisfunktsioonide hulga (X(S)) vahel, kusjuures kujutise argumendiks on kompleksmuutuja S = a + jo. Vastavus on üks-ühene tingimusel, et kõik originaalfunktsioonide rahuldavad tingimust, et kõik t < 0 => x(t) = 0. LapIace'I teisendus on lineaarne integraalteisendus, mis arvestab x(t) hetkeväärtusi kogu ajaintervallis [0,oo). Piirväärtusteoreemid- fikseerivad vastavuste asemel piirväärtuste võrdsused lim x(t) t läheneb 0 =limsX(s) s läheneb lõpmatusele ; limx(t) t läheneb lõpmatusele =limsx(s) s läheneb 0
ja jälgitavat osa. Kasutades olekumudelit tehakse ülekandemudel, mille abil leitakse süsteemi väljundsignaali kujutis ja sellest saadakse Laplace’i teisendusega väljundsignaali väärtus. L–teisendus: Selleks, et ei peaks differentsiaalvõrrandeid lahendama, kasutame Laplace'i teisendusi. Igale funktsioonile (muutjuale) ehk originaalile pannakse vastavusse kujutis x(t) <->X(s), kusjuures kujutiste argument on kompleksmuutuja s = σ + jω ehk operaatorimuutuja.. Laplace'i integraalne teisendusvalem loob üksühese vastavuse originaalfunktsioonide ja kujutisfunktsioonide vahel. Ax1(t)+ bx2(t) <-> aX1(s)+bX2(s) mis tähendab,et Laplace’i teisendus on lineaarne integraalteisendus, mis arvestab x(t) hetkväärtusi kogu aja intervallis [0, lõpmatus]. Laplace’i teisendusi tehakse spetsiaalse tabeli abil. Piirväärtusteoreemid: Piirväärtusteoreemid fikseerivad vastavuste asemel piirväärtuste võrdsused
eksponentkuju (eksponentesitus) 12.1 Euleri funktsioon Funktsiooni ei := cos + i sin , R V. Kompleksarvud 17 nimetame Euleri1 funktsiooniks. Maatriksesituses ilmselt cos - sin ei = sin cos Euleri funktsiooni seost eksponentfunktsiooniga selgitatakse mate- maatilises anal¨ uu¨sis, kompleksmuutuja funktsioonide teoorias. 12.2 Kompleksarvu eksponentkuju Avaldist z = |z|ei kus on kompleksarvu z polaarnurk, nimetatakse kompleksarvu z eksponentkujuks (eksponentesituseks). N¨ aide i 1+i= 2e 4 , i = ei 2 , -1 = ei jne. 12.3 Euleri valemid 1 1 i cos = (ei + e-i ), sin = (e - e-i )
Antud näites saab osakest kirjeldada lainepaketina. Järelikult dispersioon kirjeldab siin osakese asukoha määramatust x . Kui me f(x) funktsiooni esitame fourier´i integraalina, siis avaldub f(x) siinuseliste lainete eikx superpositsioonina. k on lainearv ja on lainepikkus Lainepaketi lainearvu ja amplituudi komponente näitabki eespool väljatoodud g(k) funktsioon. Kui me g(k) funktsioonis asendame f(x) funktsiooniga saame järgmise integraali Arvestades kompleksmuutuja funktsioonide teooriat saame integraali arvutada niimoodi: 92 kus ja . Integraal võtab kuju Viimane seos näitab, et ka Fourier´i pööre on Gaussi jaotus, kuid lainearvu funktsioonina. näitab dispersiooni. Lainearvu määramatus avaldub . Kui me määramatusi korrutame, saame xk=1
superpositsioonina. k on lainearv ja λ on lainepikkus = Lainepaketi lainearvu ja amplituudi komponente näitabki eespool väljatoodud g(k) funktsioon. Kui me g(k) funktsioonis asendame f(x) funktsiooniga ( = saame järgmise integraali ( = = = Arvestades kompleksmuutuja funktsioonide teooriat saame integraali arvutada niimoodi: = kus = ja = . Integraal võtab kuju ( = Viimane seos näitab, et ka Fourier´i pööre on Gaussi jaotus, kuid lainearvu funktsioonina. näitab dispersiooni. Lainearvu määramatus avaldub △ = .
annaabi.ee 
