Kompleksarvu z n -astme juureks (n ∈ N ) nimetatakse kompleksarvu ω , mille korral ω n=z , s.o. √n z=w ⟺ w n=z cos φ 1+isin φ 1 Olgu z=ρ ( cosφ+isinφ ) ω=ρ1 ¿ z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρn1 ( cos ( n φ1 ) +isin ( n φ 1) )=ωn Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui kompleksarvude moodulid on võrdsed ρn1= ρ , n φ1−φ=2 kπ , kus k ∈Z n φ+ 2 kπ kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne ρ 1=√ ρ , φ1 = ,
Otsitakse võimalikult Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud, nimetatakse distributiivsus vektorite liitmise suhtes lihtsat kuju. F= moodustatud mingi konkreetne järjestus Pn=n! Öeldakse, et kui kompleksarvude hulgaks, ning tema elemente nimetatakse Kõik ruutvormid on muutujate regulaarse tisenduse väiksem indeks asetseb suurema indeksi ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse. Vastasel juhul räägitalse, et kompleksarvudeks.
telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori OA pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos .avaldist z=r(cos +isin ) ongi trigonomeetriline kuju. Arvutamine z1*z2=r1r2 [ cos ( 1+ 2 ) +isin( 1+ 2) ] , z1 r1 = [ cos ( 1- 2 )+isin ( 1- 2) ] z2 r2 3) Kompleksarvude juurimine. astendamine On võimalik kui k-arv on esitatud trig.kujul z=r(cos +isin ), astendamise kasutatakse korrutamise reeglit z1*z2=r1r2 [ cos ( 1+ 2 ) +isin( 1+ 2) ] juurimine Igal k-arvul z=r(cos +isin ) 0 on parajasti n juurt + 2 k +2 k cos + isin n n ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) n n z= r ¿
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist
suunas Polaar- ja ristkoordinaatide vaheline seos: {xy==ρcosφ ρsinφ Kompleksarvu trigonomeetriline kuju: z=x +iy= ρcosφ+iρsinφ=ρ(cosφ+isinφ) Järeldus: Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui Kompleksarvude moodulid on võrdsed Kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne Kompleksarvule z=ρ(cosφ−isinφ) vastav kaaskompleksarv on ´z =ρ ( cosφ−isinφ )= ρ(cos (−φ ) +isin(−φ)) . TEHTED TRIGONOMEETRILISEL KUJUL Kompleksarvude z 1=ρ 1 (cos φ 1+isin φ2) ja z 2=ρ2 (cos φ2+ isin φ2) korrutis
x reaalosa yi immaginaarosa Juurimine: n z= nr (cos (+2k)/n+ i sin (+2k)/n) Komplesarvude liitmine: 1 Z2 x1 iy1 x2 iy2 Euleri valem: = r(cos + isin) = rei Kompleksarvude lahutamine: 1 2 x1 iy1) x2 iy2 ) Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Kompleksarvude kordamine: Liitmine:
võrrandil 2x = 3. Ratsionaalarvude hulgas  on sellel võrrandil lahend olemas. Teisel ja neljandal kompleksarvul on võrdsed nii reaalosa kui ka imaginaarosa. Seega Võrrandil x2 = 2 ei ole lahendeid ratsionaalarvude hulgas. Viimasel võrrandil on aga need arvud on omavahel võrdsed. Kas leiad veel võrdsete kompleksarvude paare ? olemas lahendid reaalarvude hulgas Ã. Reaalarvude hulga saame lisades ratsionaalarvude hulgale  irratsionaalarvude hulga Å: à = ½Å. Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Võrrandil x2 + 1 = 0 reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest ei leidu sellist reaalarvu, mille ruut on võrdne (-1)-ga (võrrandist x2 + 1 = 0 järeldub, et x2 = -1). Näide 2
Lineaaralgebra I kontrolltöö teooriaküsimused 1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest,
Arvhulkade vahel valitseb seos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . . imaginaar¨ uhik: i2 = −1 Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨ uhik, nimetatakse kompleksarvuks. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨ahistatakse Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨ahistatakse Im(z) = b. K˜oigi kompleksarvude hulk t¨ahistatakse s¨umboliga C. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvude ajaloost Itaalia matemaatikud Gerolamo Cardano (1501 - 1576) ja Niccolo Fontana Tartaglia (1499/1500 - 1557) uurisid kuupv˜orrandi ax3 + bx + c = 0 lahendamist. Teist ja kolmandat j¨
1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi, (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on nn. imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = - 1 või i 2 = -1 . Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste: Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende imaginaarosad ja reaalosad on vastavalt võrdsed a + bi = c + di <=> a = c ja b = d Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Näiteks 5+2i ja 5-2i. Kompleksarvu a + bi vastandarvuks nimetatakse kompleksarvu -a bi. Näiteks 7+5i ja -7- 5i. Tehted kompleksarvudega: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
mdalama järguga deti 4) Kordame punkte 1-3 kuni jõuame 2. või 3. järku detini, mida saab vahetult arvutada. Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist
vabaliikmete veeruga. Kompleksarvud X2 + 1 = 0 X2 = -1 x=i i2 = -1 i = sqrt(-1) = =a+b*i kui b 0, siis on imaginaararv (kompleksarv) kui a = 0, siis on puhtimaginaararv kui b = 0, siis on reaalarv DEF 1: Kui hulga H korral on määratud teatav tehe või arvutusop f ning kui siis selle hulga H elementide a ja b korral on nendega sooritatud tehte f(a;b) tulemus uuesti hulga H element, siis öeldakse, et hulk H on vaadeldava tehte suhtes kinnine kompleksarvude hulk on kinnine kõigi 4 aritmeetikatehte suhtes ( + ; - ; * ; / ) Hulgas C kehtivad järgmised arvutusseadused: [=a ja =b] · a+b=b+a · (a + b) + c = a + (b + c) · a + (nullmaatriks) = a · a + (-a) = (nullmaatriks) · (a * b) * c = a * (b * c) · a*b=b*a · a * (b + c) = a * b + a * c · E*a=a · Kui a ei ole nullmaatriks siis a-1 * a = E Lõpus olev tõestus võib tulle töösse EULERI VALEM: e i = cos + i * sin i on kaldsümmeetriline maatriks
kasutatakse indeksitena mitmekomponendiliste objektide (maatriksid, vektorid, tensorid etc.) juures ning arvuridade kirjapanekul (summeerimisindeksid). Kõikide täisarvude hulka tähistatakse tavaliselt sümboliga Z. Täisarvude hulgal on defineeritud liitmine, lahutamine ja korrutamine ning lineaarne järjestus. Täisarve ei saa jagada, sest siis pole tulemuseks enam täisarv. Ratsionalarv arv, mida saab esitada kujul a/b , kus a ja b on täisarvud ning b0 . Ratsionaalarvude tähis on Q. Kompleksarvude hulk- Kompleksarvud on algebraline süsteem, mis lubab kirja panna suvalise astme võrrandi lahendeid. Koosneb reaal- osast (tavaline reaalarv) ja imaginaar-osast (reaalarvu korrutis imaginaarühikuga i. Imaginaarühik defineeritakse seosega i²=-1 . Matemaatikud kasutavad kompleksarve II järku diferentsiaalvõrrandite teoorias, füüsikud ostsilleeruvate (võnkuvate) süsteemide kirjeldamisel, kus nad annavad tavaliste arvudega võrreldes märksa kompaktsema esituse
nullist erinevat elementi. Kronecker-Capelli teoreem - Lineaarne võrrndisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed, so rank( A) = rank( AL). 10.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Lineaarvõrrandite süsteemi esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Gaussi meetodi sisu. 11.Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise valemid. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi (1.3) kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik
Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku
· Hulk C osutub algebralise süsteemi mõttes kommutatiivseks korpuseks. · hulk C osutub ka vektor ruumiks (baasi temas moodustavad 1 ja i). · seega i on kaldsümmeetriline maatriks · Def2: Hulka C, mille elementideks on kõik sellised (2*2) järku ruutmaatriksid, kus iga maatriksi korral peadiogonaalil paiknevad arvud on omavahel võrdsed ning kõrvaldiagonaalil asuvad arvud on teineteisest märgi poolest erinevad nim kompleksarvude hulgaks ja tema elemente nim kompleksarvudeks. · Tehetes kompleksarvudega peame meeles pidama järgmisi omadusi: · Suurust // nim kompleksarvu mooduliks ja teda arvutame valemiga: · Kehtivad omadused (1-7) · Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada ja tõlgendada punktidena tasandil, kus on fikseeritud ristkoordinaadistik (Cartesiuse koordinaadistik) · Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele vastava kompleksarvu
X= 4 -2 2 6 V. Kompleksarvud 1 Kompleksarvu m~ oiste ja esitusi 1.1 Kompleksarvu m~ oiste Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvuliste elementidega teist j¨ ar- ku ruutmaatriksit, milles 1) peadiagonaali elemendid on v~ ordsed, 2) k~orvaldiagonaalil asetsevad teineteise vastandarvud. K~oigi kompleksarvude hulka t¨ ahistame C ja nimetame kompleks- arvude korpuseks. 1.2 T¨ ahistusi Seega maatriks z = ( zz11 21 z12 z22 ) C, kui 1) z11 = z22 R, 2) z12 = -z21 R. Mugav on t¨ahistada z11 = z22 = a R, z12 = -z21 = -b R Avaldist a -b z= C
1. Maatriksi definitsioon 2. Pöördmaatriksi definitsioon a) Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mille ridade ja veergude lõikekohtades Ruutmaatriksi A pöördmaatrksiks nimetatakse maatriksit A-1, mis rahuldab asuvad mingi fikseeritud hulga elemendid. Enamasti eeldatakse, et selle hulga võrdusi elemente saab liita ja korrutada. Kõige sagedamini on selleks hulgaks reaal- või AA-1=A-1A-E. kompleksarvude hulk. Üldisemalt võib selleks hulgaks olla suvaline korpus või Pöördmaatriks eksisteerib ainult siis, kui maatriks A on regulaarne (determinant isegi assotsiatiivne ühikelemendiga ring. A ei tohi võrduda 0ga) Maatriksi A=(aij) transporneeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT=(aij),
mille ruut on -1). Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene. Kaht kompleksarvu z = a + ib ja x = c + id nimetatakse võrdseteks, kui a = c ja b = d. · Püsikoma- ja ujukomaarv, nende võrdlemine. Püsikomaarvud kõik täisarvudest erinevad reaalarvud, nt. 65346,324. Ujukoma arv on kümne astmete kujul esitatud reaalarv, nt. 6,5346324 104. Ujukoma arve kasutatakse hästi suurte või hästi väikeste suursuste iseloomustamiseks, kui
S aktiivvõimsus P. Kui 0 siis S >P, mis tähendab, et osa näivvõimsusest peab eralduma mujal ning selleks osaks on reaktiivvõimsus Q = S sin Siinuse max väärtus on 1, mille korral on näiv- ja reaktiivvõimsus võrdsed Q=S, seega reaktiivvõimsus näivvõimsusest suurem olla ei saa. (loogiline oleks ju) 17. Kas vahelduvvooluahelate arvutamine on hõlpsam kompleksarvude või diagrammvektorite abil? Vahelduvvoolu ahelate arvutamine on hõlpsam diagrammvektorite abil, kuna kompleksarvude ABC on meelest läinud. 2 18. Millest lähtudes valitakse kolmefaasilise tarviti ühendusskeem? Kolmefaasilise tarviti ühendusskeem valitakse lähtudes pingesüsteemist. Süsteemi 3x220 [V] korral
Kui ei, siis miks, ja kui ja, siis millistel tingimustel? Ühefaasilise tarviti reaktiivvõimsus ei saa olla suurem kui näivvõimsus, sest võimsusi seob täisnurkne ehk võimsuskolnurk, millest S = P2 + Q2 ning reaktiivvõimsus on see osa näivvõimsusest, mis ei eraldu soojusena. Reaktiivvõimsus võib olla sama suur kui näivvõimsus, kui P = 0 ehk aktiivvõimsust ei ole. 17. Kas vahelduvvooluahelate arvutamine on hõlpsam kompleksarvude või diagrammvektorite abil? Vahelduvvooluahelate arvutamine on hõlpsam kompleksarvude abil, kuna diagrammvektorite abil peaks joonistama välja vektordiagrammi. Kompleksarvude puhul seda tegema ei pea ning seega läheb arvutamine kiiremini, saab arvut kohe asemele panna. 18. Millest lähtudes valitakse kolmefaasilise tarviti ühendusskeem? Kolmefaasilise tarviti ühendusskeem valitakse lähtuvalt vajadusest. Kas on tegu näiteks
Hulka, kus kehtivad nimetatud 8 arvutusseadust nimetatakse kommutatiivseks korpuseks. Samas moodustab antud hulk vektorruumi ja baasiks on arv 1, i. i = -1 = ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks. Arv i on sisu poolest ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks. Def2 Hulka C, mille elementideks on sellised ( 2 × 2) järku ruutmaatriksid, kus peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid on üksteise vastandarvud nimetatakse kompleksarvude hulgaks ja elemente kompleksarvudeks. Algebralistes tehetes kompleksarvudega tuleb arvestada järgmiste eeskirjadega: 1) = a + bi = : a = c; b = d = c + di 2) + = ( a + c) + ( b + d) i 3) - = ( a c) + ( b d) i 4) = (ac bd) + (ad + bc) i 5) / = ac + bd/ c2 + d2 + (bc ad) i / c2 + d2 Kompleksarvu = c di nimetatakse lähtekompleksarvu kaaskompleksarvuks = c + di = = (c + di ) (c di ) = c2 + d2
n =0 5 pöördekoefitsent mõtekas kohe välja arvutada, kuna tehteid tuleb korrata ja ei ole ratsionaalne seda koguaeg uuesti arvutada. Hea on esitada pöördekoefitsendid kahemõõtmelise massiivina WN(n,k) maatriksina. See annab meile hea ülevaate (on sümmeetriline algusest lähtuva peadiagonaali suhtes). Algoritmi miinuseks on ,et selle korral tuleb sooritada palju lisatehteid (kompleksarvude korrutamine). Komplekssignaali kiire Fourier teisendus(FFT) Kahese alusega FFT Selleks , et DFT algoritmi kiirendada peab teisenduse periood N olema esitatud kahe (või enama) täisarvu korrutisena. Näiteks (N=4=2x2). Algoritmid on realiseeritavad siis kui N=2c , c0. Sagedusala tükeldatakse kaheks. Paaris ja paarituteks spektrikomponentiteks. Saame valemid N -1 2 S N ( 2k ) = s ( n) exp(- j nk ),0 k N / 2 - 1 n =0 N /2
Tähistame g(t): = f( Olgu G funktsiooni g algfunktsiooniks. dG( (x))= g( = f( . Integreerides asendusega t = saamegi jällegi 5.Polünoomide jagamine. Horneri skeem. Olgu Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an n-astme polünoom, kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 0. Vastavalt algebra põhiteoreemile on polünoomil Pn(x) kompleksarvude hulgal täpselt n nullkohta, arvestades nullkohtade kordsust. Kui neiks nullkohtadeks on x1, x2, . . . , xr, vastavalt kordsustega k1, k2, . . . , kr, siis pol¨unoom Pn(x) avaldub kujul Pn(x) = a0 (x - x1)k1 (x - x2)k2 · · · (x - xr)kr , kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n. Horneri skeem. Polünoomi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn korral, kus a0, ..., an on arvud, tahame arvutada polünoomi kindlal x'l näiteks x0 selle saavutamiseks määrame uue konstantide rea: bn := an
vastasel korral a A.
4. Tühi hulk :hulk, milles pole ühtegi elementi
Põhilised arvuhulgad:
2
1. N naturaalarvude hulk N={0,1,2,...}
2. Z täisarvude hulk Z={...,-2,-1,0,1,2,...}
3. Q ratsionaalarvude hulk Q={q:q=m/n, m A, n{1,2,3...}}
4. R reaalarvude hulk
5. C kompleksarvude hulk C={z:z=x+iy, x, y R, i2=-1}
Intervallid:
1. Lõik [a,b]={x:xR, axb}
2. Vahemik (a,b)= {x:xR, a
z C korral 8. igal nullist erineval kompleksarvul z = (x;y) = x + yi leidub pöördarv w C, nii et wz=zw=1 9. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, st z 1(z2 + z3) = z1z2 + z1z2; (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 z1, z2, z3 C korral Kompleksarvu algebraline kuju: z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x;0) + (y; 0)(0; 1) = x + yi; C = {x + yi | x, y R} Tuletatavad tehted: 1. vahe: z1 - z2 = z1 + (-1)*z2 2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 0 Kompleksarvude vallas säiluvad reaalarvude vallast tuntud tehetega seotud omadused. 2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega. Moivre'i valem. Kompleksarvude juurimine (Tõestusega). r - arvu z moodul |z|; - arvu z argument; i - imaginaarühik r = sqrt(x2 + y2); cos = x/r; sin = y/r z = x + yi = r(x/r + yi/r) = r(cos + isin) Kompleksarvu z 0 avaldist nurga ja arvu r abil nimetatakse tema trigonomeetriliseks kujuks.
Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene. Kaht kompleksarvu z = a + ib ja x = c + id nimetatakse võrdseteks, kui a = c ja b = d. - Püsikomaarvud on kõik täisarvudest erinevad reaalarvud, nt 65346,324. Ujukomaarv on reaalarv, mis on esitatud üldjuhul 10-nd süsteemi kujul, nt. 6,5346325 * 104. Ujukomaarve kasutatakse hästi suurte või hästi väikeste suuruste iseloomustamiseks, kui ümardamisel on otstarbekas kas arvu alguse nullide või arvu lõpu kirjutamata jätmine
Kahjuks ei ole olemas üldist meetodit teist järku homogeense võrrandi lahendamiseks. Üldine meetod eksisteerib vaid konstantsete kordajatega võrrandi jaoks. 15. Konstantsete kordajatega lineaarne dif.võr Vaatleme võrrandit (15.1) kus p ja q on konstandid ja sellele vastavat homogeenset võrrandit (15.2) Otsime võrrandi (15.2) lahendit kujul , siis ja . Asendades (15.2) saame , et , siis (15.3) See on homogeense võrrandi karakteristiline võrrand. Olgu selle võrrandi lahendiks kompleksarvude hulgal k1 ja k2. 1. reaalarvulised Sel juhul on homogeense võrrandi üldlahendiks (15.4) Sest erilahendid ja on lineaarselt sõltumatu 2. Üks lahenditest on . Näitame, et ja on erilahend Asendades võrrandisse (15.2) saame k saab olla võrrandi (15.3) kahekordseks null lahendiks kui võrrandi diskriminant (D) on null, Seega ja võrrand (15.2) on rahuldatud. Et , siis on saadud erilahendid lineaarselt sõltumatud ja võrrandi (15.2) üldlahendid on (15.5) 3. , kus
kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene. Kaht kompleksarvu z = a + ib ja x = c + id nimetatakse võrdseteks, kui a = c ja b = d. - Püsikomaarvud on kõik täisarvudest erinevad reaalarvud, nt 65346,324. - Ujukomaarv on reaalarv, mis on esitatud üldjuhul 10-nd süsteemi kujul, nt. 6,5346325 * 4 10 . - Ujukomaarve kasutatakse hästi suurte või hästi väikeste suuruste iseloomustamiseks, kui ümardamisel on otstarbekas kas arvu alguse nullide või arvu lõpu kirjutamata jätmine
) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11. Kompleksarv- Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks z = 2 2 + 32 = 13 · Punktile P vastava kompleksarvu moodul · Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus-
kuid ei kuulu hulka B. Hulkade A ja B vahet tähistatakse AB, * Hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid mitte hulka B, või kuuluvad hulka B, kuid mitte hulka A. Hulkade A ja B sümmeetrilist vahet tähistatakse Arvuhulgad: N = - naturaalarvude hulk). Z = täisarvude hulk. Q = ratsionaalarvude hulk. I = irratsionaalarvude hulk. R = reaalarvude hulk. C = kompleksarvude hulk. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 tõestada. Oletame vastupidiselt, et sellinne arv on olemas ja tähistame sümboliga . Järelikult võib ta olla mingi taandumatu murd kujul , kus a ja b on ühistegurita. = ehk 2 = = . Et arvud a ja b on ühistegurita arvud (neil puuduvad ühised algtegurid ) ja arvu ruututõstmine ei lisa uusi algtegureid, siis on ka murd taandumatu ega saa võrduda arvuga 2. Tõkestatud hulgad
B koosnevad samadest elementidest: A = B x [x A x B] d. Tühjaks hulgaks e. tühihulgaks nimetatakse hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi. 13) a. Naturaalarvude hulk - = {1, 2,...} b. Täisarvude hulk - = {..., -2, -1, 0, 1,...} c. Ratsionaalarvude hulk - = {m/n | m, n , n > 0} d. Reaalarvude hulk - e. Kompleksarvude hulk - = {x + iy | x, y , i2 = -1} f. Reaalarvude intervallid: f.i. Lõik [a, b] = {x | x R & a x b} f.ii. Vahemik (a, b) = {x | x R & a < x < b} f.iii. Poollõik (a, b] = {x | x R & a < x b} f.iv. Poollõik [a, b) = {x | x R & a x < b} 14) a. Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A B, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A B x [x A
Mat. analüüsi eksami küs. vastused: OSA 1 1. Millisel tingimusel nimetatakse sümbolit x muutujaks mingis hulgas X? Kui sümbol x tähistab hulga X suvalist elementi, siis nimetatakse sümbolit x muutujaks hulgas X 2. Tooge hulkade kohta 2 näidet! y fx () Reaalarvude-, kompleksarvude-, vektorite-, maatriksite-, kaubahalli kauba hulk. 3. Mis on operaator? Tooge 2 näidet! Eeskirja f(f()fx()) , mis näitab kuidas leida muutuja x väärtusele hulgas X vastavat muutuja x hulgas Y, nimetatakse operaatoriks. väärtust f ( x)
Seega näitab funktsiooni f suunatuletis karakteristlikuks polünoomiks. punktis P funktsiooni f muutumise kiirust selles punktis vektori l suunas. Kui funktsioon f on diferentseeruv punktis (x,y,z) , siis Polünoomil Pn on vastavalt algebra põhiteoreemile kompleksarvude vallas (kordsust arvestades) täpselt n nullkohta. Reaalsele k- (+, + , + ) => (,,) =(,,) +(,,) + (,,) +, kusjuures lim 0+ / kordsele nullkohale a vastab k lineaarselt sõltumatut DV lahendit, mille saame esitada näiteks kujul: xk-1eax, ..., xeax ja eax. Kuna ()^2+()^2+()^2 = lim 0+ (/ ^^2+^2+^2 ) = 0, ja suunatuletis / avaldub kujul / (,,) reaalsete kordajatega polünoomi korral on kompleksarvulised nullkohad kaaskompleksarvude paarid, siis k-kordne nullkohtade
· A={x (x-1)( x+2)(x +3)=0 } on kõigi selliste reaalarvude x hulk, mis rahuldavad võrrandit ( x-1)(x+2)(x +3)=0 ehk A on selle võrrandi reaalarvuliste lahendite hulk. Me oleks võinud ka kirjutada, et A = {1, -2, -3} Tähtsamad arvuhulgad · Naturaalarvude hulk = {1, 2, 3, . . . }; · Täisarvude hulk = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . }; · Ratsionaalarvude hulk = {qq=m n , m Z , n N } ; · Reaalarvude hulk ; · Irratsionaalarvude hulk ; · Kompleksarvude hulk = {zz=x +iy , x , y R , i2=-1 } . Olgu a ja b reaalarvud, kus a b. · Lõik [a ,b ]={ x Ra x b } ; · Vahemik (a , b)={ x Ra< x
Definitsioon 15.1 Imaginaarühikuks nimetatakse arvu i, millel on omadus i2 = -1. Definitsioon 15.2 Kompleksarvuks nimetatakse avaldist z = a + b · i, (15.1) kus a ja b on reaalarvud ning i on imaginaarühik. Definitsioon 15.3 Seejuures nimetatakse arvu a kompleksarvu z = a + b i reaalosaks (a = Re(z)), arvu b kompleksarvu z imaginaarosaks (b = Im(z)). Arve b i nimetatakse imaginaararvudeks. Kõigi kompleksarvude hulka tähistame sümboliga C. Märkus 15.1 Igale kompleksarvule z = a + b i vastab üks-üheselt reaalarvude järjestatud paar (a, b), millele omakorda vastab üks-üheselt xy-tasandi punkt A = (a, b). Seega võime kõiki kompleksarve kujutada punktidena koordinaattasandil. Sellist tasandit nimetatakse komplekstasandiks ehk ka Argand'i tasandiks ja joonist selle peal Argand'i diagrammiks. Punkti A (ka tema kohavektorit OA) nimetatakse kompleksarvu z =
. .} naturaalarvuga k jaguvate naturaalarvude hulk; Z = {. . . ; -2; -1; 0; 1; 2; . . .} t¨ aisarvude hulk; Q = {x| x = m/n m Z n N } ratsionaalarvude hulk; I irratsionaalarvude hulk, s.o l~ opmatute mitteperioodiliste k¨umnendmurdude hulk; R = Q I reaalarvude hulk; R + positiivsete reaalarvude hulk; R- negatiivsete reaalarvude hulk; C = z | z = x + iy x R y R i2 = -1 kompleksarvude hulk; [a, b] = {x | a x b} l~ oik; (a, b) = {x | a < x < b} vahemik; (a, b] = {x | a < x b} pooll~ oik; [a, b) = {x | a x < b} pooll~ oik. 7 ¨ 1. Uhe muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus 1.1. Funktsioon Funktsiooni m~ oiste on u¨ks matemaatika p~ohim~oisteid. Selles punktis k¨asitletakse funktsionaalse s~ oltuvusega seonduvaid m~oisteid. Definitsioon 1
¨ integraal Ratsionaafunktsioonide integreerimine Polunoomi ¨ tegurdamine Olgu Pn (x) = a0 x n + a1 x n-1 + . . . + an-1 x + an n-astme polunoom, ¨ kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ~ ja a0 = 0. Vastavalt algebra pohiteoreemile on polunoomil ¨ Pn (x) kompleksarvude hulgal C tapselt ¨ n nullkohta, arvestades nullkohtade kordsust. Kui neiks nullkohtadeks on x1 , x2 , . . . , xr , vastavalt kordsustega k1 , k2 , . . . , kr , siis polunoom ¨ Pn (x) avaldub kujul Pn (x) = a0 (x - x1 )k1 (x - x2 )k2 · · · (x - xr )kr , kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n. Kui ak R k = 0, 1, . . . , n on reaalarvud, siis mittereaalarvulised nullkohad esinevad kompleksarvu
arvuhulgad Pythagorase teoreemi abil. Aga kompleksarve pole ju olemas! Nagu ennist rääkisime, oli matemaatikutel ja kogu inimkonnal suuri raskusi nega- tiivsete arvudega – alles paarsada aastat tagasi lepiti, et tegemist on ikkagi täiesti mõistlike ja loomulike arvudega, millega tegelemine ei ole sugugi jumalateotus. Selles valguses on kompleksarvude mõistlikkuse ja loomupärasuse kahtlustamine igati mõistetav. Järgnev tabel, kus võrdleme negatiivseid arve ja imaginaararve, võiks siiski veenda, et ka kompleksarve pole mõtet karta. Küsimusele, kas arv eksisteerib, on muidugi raske vastata, kuid sama raske on öelda, kas arv 4 või 5 eksisteerib. Siiski on kompleksarvud leidnud reaalarvude
annaabi.ee 
