· Eeldame, et lisaks vaadeldav arvutusoperatsioon rahuldab nn assotsiatiivsuse seadust. Kehtivad järgmised: (a+b)+c= a+(b+c) (a*b)c= a(b*c) · Def3: Algebralist süsteemi M, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks. Kehtib: (a+b)+c=a+(b+c) - aditiivne poolrühm, liitmise assotsiatiivsus, lubatud liita (a*b)c= a*(b*c) multiplikatiivne poolrühm, korrutamise assotsiatiivsus · Öeldakse, et tegemist on kommutatiivsuse seadusega. Kehtivad järgmised: a+b=b+a - liitmise kommutatiivsus a*b=b*a korrutamise kommutatiivsus · Def4: Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks. Seega on olemas: 1. aditiivne kommutatiivne poolrühm (a+b)+c=a+(b+c) liitmise assotsiatiivsus a+b=b+a liitmise kommutatiivsus 2. multiplikatiivne kommutatiivne poolrühm
seadust: a + (b + c) = (a + b) + c. Def3 Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nimetatakse poolrühmaks. Aditiivne poolrühm- hulgas on defineeritud liitmine. a + (b + c) = (a + b) + c Multiplikatiivne poolrühm - hulgas on defineeritud korrutamine. ( a b ) c = a ( b c) Def4 Algebralises süsteemis, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadusi nimetatakse kommutatiivseks poolrühmaks. Aditiivne kommutatiivne poolrühm (a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a Multiplikatiivne kommutatiivne poolrühm ( a b ) c = a ( b c) a b = b a Sellist elementi c, mis kuulub hulka M, mis iga a korral hulgast M rahuldab tingimust a e = a ja e a = a nimetatakse hulga M ühikelemendiks. Osutub, et multiplikatiivses
Eksisteerib vähemalt üks punkt 5. Kui determinandis mingi rea/veeru iga Multiplikatiivne poolrühm: kehtib ainult (a*b)*c=a*(b*c) Algebralist süsteemi M, millest defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadust, nim. 2. Igale kahele kindlas järjekorras võetud punktile A ja B on seatud vastavusse
seatud vastavusse mingi eeskirja f alusel teatav element f( a ; b ), siis öeldakse, et selles hulgas M on määratud arvutusoperatsioon e tehe DEF 2: hulka M milles on def vähemalt 1 arvutusop/tehe nim algebraliseks süsteemiks DEF 3: alg süst M milles def a.o. rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks · + adiktiivne poolrühm · * multiplikatiivne poolrühm DEF 4: alg süst M milles def a.o. rahuldab nii assotsiatiivsuse kui ka kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks DEF 5: elementi e hulgast M mis iga a hulgast M korral rahuldab tingimust e * a = a ja a * e = a nim hulga M ühikelemendiks Kui süsteemis M leidub ühikelement, siis sellist elementi a -1 hulgast M, mis teatava a hulgast M korral rahuldab tingimusi a * a-1 = e ja a-1 * a = e nim elemendi a pöödelemendiks a-1 käitub korrutamisel neutraliseeriva elemendina
36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga. Arvu standarskuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegurist ja kümne mingist astmest. Arvu tegurid - kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. Arvu tegurid on ühtlasi ka arvu jagajad. Näide 1. Arvu 10 tegurid on 1, 2, 5 ja 10, sest arv 10 jagub nende arvudega. 10 : 1 = 10 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1 Näide 2. Arvude ühistegur : Arvutamisseadused : Liitmise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Liitmise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Korrutamise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise jaotuvusseadus (distributiivsuse seadus) , Korrutise jagamise seadus, Summa jagamise seadus, Jagatise põhiomadus . Nt. 1 Liitmise vahetuvusseadus : Summa ei muutu, kui muudame liidetavate järjekorda. 2+3=3+2=5 a+b=b+a Nt. 2 Korrutamise jaotuvusseadus : Summa korrutamiseks mingi arvuga võib korrutada selle
............................................................................................... 30 Lahutamine .......................................................................................... 32 Liitmise ja lahutamise seos ............................................................... 33 Liitmine ja lahutamine 10 piires ....................................................... 35 Tutvumine arvuga 0 ........................................................................... 35 Liitmise kommutatiivsuse seadus .................................................... 36 Kordamine ........................................................................................... 37 Arvutuskett ......................................................................................... 37 4 Sissejuhatav tund Tööraamat lk 3 Õppetunni alguses võib mängida nimemängu. See mäng aitab õpe- tajal lastega tuttavaks saada ja ka õpilased saavad mängu käigus üksteise nimed paremini selgeks. Nimemäng
ühel väärtusel tõene. · Iga samaselt tõene valem on kehtestatav · Kui valem ei ole kehtestatav, siis on ta samaselt väär Samaväärsed valemid - Valemeid F ja G nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neis valemeid esinevate muutujate väärtustel. Lausearvutuse põhisamaväärsused: 1. Idempotentsuse seadused a. F&FF FvFF 2. Kommutatiivsuse omadused a. F&GG&F FvGGvF 3. Assotsiatiivsuse seadused a. (F&G)&HF&(G&H) (FvG)vHFv(GvH) 4. Distributiivsuse seadused a. F&(GvH)F&GvF&H FvG&H(FvG)&(FvH) 5. Neelamisseadused a. F&(FvG)F FvF&GF 1 6. De Morgani seadused a
Rohkem kui kahe vektori liitmisel kasutatakse hulknurgareeglit. Selleks, et liita mitut vektorit, tuleb esimese vektori ( a ) lõpust tõmmata teine vektor ( b ), vektori b lõpust kolmas vektor ( c ) jne. Liitmise tulemuseks on vektor, mis on tõmmatud vektori a algusest viimase vektori lõppu. Vektorite liitmisel pole liidetavate järjekord oluline (kommutatiivsuse seadus ). Kui vektoreid on rohkem kui kaks, võime neid rühmitada suvalisel moel (assotsiatiivsuse seadus) Oluline on vektorite jaotamine komponentideks. Vektori komponent on selle vektori projektsioon teljele. Projektsiooni leidmiseks kasutatakse täisnurkset kolmnurka ax = a cos α ay = a sinα Praktikas kasutatakse sageli jõu vektori ( F ) jaotamist komponentideks. Näiteks
antud vektoriga määratud sihis ja suunas selle vektori pikkuse võrra, siis on antud kujundi lüke e paralleellüke. Lükke tulemusena saadakse võrdne kujund. · Kui esimese vektori lõpppunktis asub teise vektori alguspunkt, siis nende vektorite summaks nimetatakse vektorit, mis on suunatud esimese vektori alguspunktist teise vektori lõpppunkti. Seda vektorite liitmise reeglit nimetatakse kolmnurgareegliks. · Liitmisel kehtib kommutatiivsuse seadus. · Võttes rööpküliku lähiskülgedeks ühise alguspunktiga liidetavad vektorid, on summaks rööpküliku diagonaal kui vektor, mille alguspunktiks on liidetavte vektorite ühine alguspunkti. · Vektori esitamist kahe erisihilise vektori summana nimetatakse vektori lahutamiseks komponentideks. · Mitme vektori korraga liitmiseks moodustame liidetavatest vektoritest murdjooni nii, et eelmise vektori lõpppunkt
otsekorrutis iga Ri korteež on ühendatud iga Si korteežiga, jagamine nt leida töötajate ja osakondade vastavuse tabelist töötajad, kes töötavad osakondades 2 ja 3. • Relatsioonialgebra operatsioonide kommutatiivsuse ja assotsiatiivsuse omadus. (Hulgateoreetilise vahe operatsioon ei ole kommutatiivne ja assotsiatiivne, kõik teised on mõlemat) • Unaarsed ja binaarsed relatsioonialgebra operatsioonid. Unaarsed spetsiaaloperatsioonid: Piirang ja Projektsioon Binaarsed spetsiaaloperatsioonid: Ühendamine ja Jagamine Unaarsed hulgateoreetilised operatsioonid: Ümbernimetamine Binaarsed hulgateoreetilised operatsioonid: Hulgateoreetiline summa, Hulgateoreetiline
Rakendame võrduse vasakule poolele kaks korda liitmise teist aksioomi. Saame: + ( + ) = + ( + ) = ( + ( + )) Sulgude sees rakendame implikatsiooni eeldust ja edasi viime teist liitmise aksioomi paremalt vasakule rakendades funktsiooni ' summa teisele liikmele: ( + ( + ))' = (( + ) + )' = ( + ) + . Seega on vasak ja parem pool tõesti võrdsed. Liitmise kommutatiivsus Naturaalarvude liitmine on kommutatiivne: [ + = + ] Tõestus: Liitmise kommutatiivsuse tõestamiseks kasutame kõigepealt induktsiooni muutuja järgi ja selle induktsiooniga tekkivas kummaski lemmas veel induktsiooni järgi. Induktsioonis muutuja järgi on aksioomis P7 oleva valemi A(x) rollis on [ + = + ] . Tuleb tõestada kaks lemmat: Lemma 2.1 (induktsiooni baas). [0 + = + 0] Lemma 2.2 (induktsiooni samm) [[ + = + ] [ + = + ]] Baaslemma [0 + = + 0] tõestus Tõestame induktsiooniga y järgi: Lemma 2.1.1. 0 + 0 = 0 + 0
t kompleksarvude korrutis on ka kompleksarv. Korrutamine on kommutatiivne. V. Kompleksarvud 7 T~ oestus. Kasutades maatrikstehete omadusi, arvutame korrutise z2 z1 = (a2 + b2 i)(a1 + b1 i) = a2 a1 + a2 (b1 i) + (b2 i)a1 ) + (b2 i)(b1 i) = a2 a1 + (a2 b1 )i + (b2 a1 )i + (b2 b1 )i2 = (a2 a1 - b2 b1 ) + (a2 b1 + b2 a1 )i C Muutes tegurite j¨arjekorda, saame kommutatiivsuse z1 z2 = (a1 a2 - b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i = z2 z1 See on ka korrutise z1 z2 u ¨ldvalem. 5 Kaaskompleksarv ja konjugeerimine 5.1 Kaaskompleksarvu m~ oiste Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarv on z := a - bi. Funkt- siooni z z , s.t kaaskompleksarvu leidmist nimetatakse (komp- leksseks) konjugeerimiseks. N¨ aide (2 + 3i) = 2 - 3i, (-2 - 3i) = -2 + 3i jne. 5.2 T~
Eeldame nüüd ümberpöördult, et valem F ↔G on samaselt tõene. Valime selles valemis esinevatele muutujatele suvalise väärtustuse. Etekvivalents on tõene, siis kas F = 1, G = 1 või F = 0, G = 0. See tähendab, valemite F ja G tõeväärtused on suvalisel väärtustusel samad. Vastavalt definitsioonile on valemid F ja G samaväärsed. Lausearvutuse põhisamaväärused o Idempotentsuse seadused: F&F≡F, F∨F≡F. o Kommutatiivsuse seadused: F&G≡G&F, F∨G≡G∨F. o Assotsiatiivsuse seadused: 5 (F & G) & H ≡ F & (G & H ), (F ∨ G) ∨ H ≡ F ∨ (G ∨ H ). o Distributiivsuse seadused: F & (G ∨ H ) ≡ F & G ∨ F & H , F ∨ G & H ≡ (F ∨ G) & (F ∨ H ). o Neelamisseadused: F & (F ∨ G) ≡ F , F∨F&G≡F. o De Morgani seadused: ¬(F & G) ≡ ¬F ∨ ¬G, ¬(F ∨ G) ≡ ¬F & ¬G.
Siis pole tajumine enam nii täpne. Rohkem tekib vigu ka siis, kui esimene liidetav on väiksem kui teine. 3+2 on alati lihtsam 2+3. Enam vigu põhjustab see, kui on vaja liita 3 või enam liidetavat või lahutada 3 või enam vähendajat. Puuduva tehte komponendi leidmine põhjustab eraldi raskusi sellised ülesanded püütakse lahendada proovimise teel. Neil ei jää meelde, kas nad peavad liitma või lahutama. Tõsiseid probleeme esineb kommutatiivsuse seaduse (ehk vahetatavuse seadus ehk 3+2on 5, 2+3 on 5) rakendamisel. Liitmise ja lahutamise tehete aluseks on operatsioonid esemeliste hulkade ja teatud arvutamise võtted. Reeglina esimesse klassi tulevad lapsed ei oma ettekujutust liitmisest ja lahutamisest ja nende võtetest. Tööd tuleb alustada eelkursuse raames liitmise ja lahutamise tehte sisu õpetamisest. Selle juures tuleb toetuda esemelistele hulkadele.
kirjete hulka relatsioonist R, mis vastavad kõikidele kirjetele relatsioonis S. Kõige põhilisemad relatsiooni operatsioonid on: - piirang; - projektsioon; - otsekorrutis; - hulgateoreetiline summa; - hulgateoreetiline vahe. Nende kaudu saab avaldada kõik teised relatsioonioperatsioonid. 8 Relatsioonialgebra operatsioonide kommutatiivsuse ja assotsiatiivsuse omadus. Vahe leidmise operatsioon ei ole kommutatiivne ja assotsiatiivne. Unaarsed ja binaarsed relatsioonialgebra operatsioonid 1.Unaarsed spetsiaaloperatsioonid Piirang (ingl. k. restriction või selection) Projektsioon (ingl. k. projection) 2.Binaarsed hulgateoreetilised operatsioonid Hulgateoreetiline summa (ingl. k. union) Hulgateoreetiline vahe (ingl. k. difference)
puudub selleks vajaduski. Hoolimata spetsialistide korduma kippuvast kurjustamisest sel teemal („te kasutate meie eriala termineid valesti”) ei ole mõistete arbitraarsus tegelikult kuidagi ei kahjulik ega välditav. Kõiki erialasid peensusteni tunda ei saa keegi, mis ju ometi ei takista meid igapäevatasemel võõraste alade tulemusi kasutamast ja ka neist mõtlemast ja rääkimast. Väike mõttepaus tekib abstraktsete mõistete juures. Kas demo- kraatia või armastus või korrutise kommutatiivsuse seadus on olemas ka „päriselt” või ainult inimeste peades, või paigutuvad nimetatud näh- tused koguni mingile inimsõltumatuse skaalale (nt et jalgpallireeglid sõltuvad inimese suvast rohkem kui loogikareeglid), on filosoofiliselt huvitav, kuid praktilise oskuskeeletöö seisukohalt ükskõikne. Kui lähtuda valitsevast kombest lugeda ka abstraktsed nähtused kõige tajutava või kujuteldava hulka, siis on nad kirjeldatavad tavalisel viisil:
tuletussamm läbi seda teisendusreeglit kasutades. Nt 1. E & D→ P & R (eeldus); 2. D & E (eeldus); ∴ R & P (postuleeritud järeldus). See kehtib, sest: 3. E & D (2. põhjal; Com) teisendusreeglit kasutatakse tuletusreeglina; 4. E & D→ R & P (1. põhjal; Com) reeglit kasutatakse eelduse osa kohta, tuletusreegli puhul pole see lubatud. Siin võinuks seda korraga kasutada ka esimeses konjunktsioonis; 5. R & P (4. ja 3. põhjal; MP). Kommutatiivsuse reeglit on siin kolmandas sammus kasutatud terve tuletussammu läbiviimiseks. Ent kuna see reegel on asendusreegel, siis saab seda kasutada ka esimeses eelduses eraldi ja kahes kohas korraga. Eeltoodud näites võib esimese eelduse sees kohe teostada asendused E & D→ P & R ≡ D & E → R & P. Tuletusreeglite puhul pole see lubatud. Teisendusreegli mõlemad pooled on samaväärsed ja vastastikku teineteisest tuletatavad: p & q ≡ q & p. Tuletusreegel aga toimib vaid ühes suunas. Nt 7
R&P (postuleeritud järeldus). See kehtib, sest: 3. E & D (2. põhjal; Com) teisendusreeglit kasutatakse tuletusreeglina; 4. E & D R & P (1. põhjal; Com) reeglit kasutatakse eelduse osa kohta, tuletusreegli puhul pole see lubatud. Siin võinuks seda korraga kasutada ka esimeses konjunktsioonis; 5. R & P (4. ja 3. põhjal; MP). Kommutatiivsuse reeglit on siin kolmandas sammus kasutatud terve tuletussammu läbiviimiseks. Ent kuna see reegel on asendusreegel, siis saab seda kasutada ka esimeses eelduses eraldi ja kahes kohas korraga. Eeltoodud näites võib esimese eelduse sees kohe teostada asendused E & D P & R D & E R & P. Tuletusreeglite puhul pole see lubatud. Teisendusreegli mõlemad pooled on samaväärsed ja vastastikku teineteisest tuletatavad: p & q q & p. Tuletusreegel aga toimib vaid ühes suunas. Nt 7
annaabi.ee 
