r r u = v X 1 = X 2 , Y1 = Y2 , Z1 = Z 2 , r r u + v = ( X 1 + X 2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z 2 ) , r r u - v = ( X 1 - X 2 ; Y1 - Y2 ; Z1 - Z 2 ) , r ku = ( kX 1 ; kY1 ; kZ1 ) . 7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = = k (kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide X 2 Y2 Z 2 suhted on võrdsed). Vektorid on komplanaarsed, kui nad kuuluvad ühe ja sama tasandi rihti. r r r Olgu u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) , v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) ja t = ( X 3 ; Y3 ; Z 3 ) . Need vektorid on komplanaarsed parajasti siis, kui X 1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z 2 = 0 .
Nullvektoriks nim vektorit mille alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Vektorite võrdsus Kaht vektorit nim võrdseteks kui nad on võrdse pikkusega ja samasuunalised ja vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vabavektor- see on veektorid mille alguspunkti valik ei ole millegagi kitsendatud. Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal sirgel. Kollineaarsete vektorite definitsioonist järeldub et nad on kas sama- või vastassuunalised. Vektoreid nim komplanaarseteks kui pärast ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal tasandil. Vektorite summa ja vahe Vektorite summaks nim niisugust vektorit, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Mõnikord võib kasutada vektorite liitmisel
cos = = = BA BC 30 18 5 ning 3 = arccos 39°14 5 Kollineaarsed vektorid Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks. Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund võib neil olla ka vastupidine. Vektorite a ja b kollineaarsust tähistatakse sümboliga a || b Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. kui a = ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ) X 1 Y1 Z 1 siis = = b = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) X 2 Y2 Z 2 Kollineaarsed vektorid Näide1 Vektorid a = (4;8;1) b = (12;24;3) 4 8 1 on kollineaarsed, sest 12 24 = 3 = Näide2 Vektorid a = (4;6;1)
cos BA BC 30 18 5 ning 3 arccos 3914 5 Kollineaarsed vektorid Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks. Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund võib neil olla ka vastupidine. Vektorite a ja b kollineaarsust tähistatakse sümboliga a || b Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. kui a ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ) X 1 Y1 Z 1 siis b ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) X 2 Y2 Z 2 Kollineaarsed vektorid Näide1 Vektorid a (4;8;1) b (12;24;3) 4 8 1 on kollineaarsed, sest 12 24 3 Näide2 Vektorid a (4;6;1)
cos BA BC 30 18 5 ning 3 arccos 3914 5 Kollineaarsed vektorid Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks. Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund võib neil olla ka vastupidine. Vektorite a ja b kollineaarsust tähistatakse sümboliga a || b Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. kui a ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ) X 1 Y1 Z 1 siis b ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) X 2 Y2 Z 2 Kollineaarsed vektorid Näide1 Vektorid a (4;8;1) b (12;24;3) 4 8 1 on kollineaarsed, sest 12 24 3 Näide2 Vektorid a (4;6;1)
kordaja absoluutväärtus, seda tugevam on uuritavate nähtuste vaheline lineaarne seos. Kor.kordaja ruut ehk determinatsioonikordaja näitab kui suure osa ühe tunnuse hajuvusest saab kirjeldada teise tunnuse abil. Kui H0 on õige, siis 2 juhusliku suuruse vahel seost ei ole. 18. Korrelatsioonianalüüs võimaldab selgitada nähtuste (muutujad X1 ja X2) vahelise lineaarse seose olemasolu, suunda ja tugevust. 19. Kollineaarsus vektorid on samasihilised, kollineaarsete vastavad koordinaardid on võrdsed. 20. Konsistentne hinnang hinnang konvergeerub parameetri tegelikuks väärtuseks kui valimi maht kasvab lõpmatult. 21. Lineaarne joon, sirgjooneline, pikiulatuseline. 22. Lineaarne mudel kõige tavalisem mudel. Y=a0+a1x1+a2x2+...+akxk. Tähendab, et reg.võrrand on lineaarne parameetrite (ei pruugi olla lineaarne muutujate) suhtes.
Nullvektoriks nim vektorit mille alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Vektorite võrdsus Kaht vektorit nim võrdseteks kui nad on võrdse pikkusega ja samasuunalised ja vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vabavektor- see on veektorid mille alguspunkti valik ei ole millegagi kitsendatud. Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal sirgel. Kollineaarsete vektorite definitsioonist järeldub et nad on kas sama- või vastassuunalised. Vektoreid nim komplanaarseteks kui pärast ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal tasandil. Vektorite summa ja vahe Vektorite summaks nim niisugust vektorit, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Mõnikord võib kasutada
Panin tähele, et õpilastele osutuvad raskemaks geomeetrilised tehted. Soovitan kõigepealt tegelda vektorite liitmise, lahutamise ja arvuga korrutamisega geomeetriliselt. 1 2 4 3 Joonis 1 Rääkides vektoritest (joonis 1), mis on samasuunalised või vastassuunalised, jõuame kollineaarsete vektoriteni ning vektori korrutamiseni arvuga. Vektorite liitmisel on kõige olulisemaks kolmnurga reegel (1), mida mitu korda järjest rakendades jõuame hulknurga reeglini. Kasulik on näidata ka rööpküliku reeglit (2). See töötab hästi, kui vektorid on juba ühisesse punkti rakendatud. Oluline on ka fakt, et rööpküliku teine diagonaal on nende vektorite vaheks (3). Geomeetriliste tehete juures vektoritega on oluline, et igal korral
koordinaadid on võrdsed, siis on ka vektorid võrdsed. · Vektorite summa koordinaatideks on liidetavate vektorite vastavate koordinaatide summad. · Vektorite vahe koordinaatideks on lahutavate vektorite vastavate koordinaatide vahed · Vektori korrutamiseks mingi arvuga tuleb selle arvuga korrutada vektori koordinaate. · Vektori vastandvektori koordinaadid on esialgse vektori vastandarvud · Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised · Kui kahe vektori vastavad koordinaadid on võrdelised, siis on vektorid kollineaarsed. 6.9 Otspunktidega määratud vektori koordinaadid Vektori koordinaadid avalduvad vektori lõpp-punkti ja alguspunkti samanimeliste koordinaatide vahedena. 6.10 Vektori skalaarkorrutis Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a·b nimetatakse nende vektorite pikkuste ning vektorivahelise nurga koosinuse korrutist. 6
x abstsiss; y ordinaat. (x;y) koordinaadid. Sirge lõikab y-telge punktis (0;b). Kahe punktiga määratud sirge võrrand X(x;y) suvaline punkt uuur uuur uuur uuur AB = (x2 x1;y2 y1); XA = (x x1; y y1). AB ja XA on kollineaarsed. Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised. x - x1 y - y1 = x2 - x1 y2 - y1 Näide: Sirge läbib punkte A(-5;3) ja B(4;-7). Koosta sirge võrrand. x+5 y -3 x +5 y -3 = = . 4 + 5 -7 - 3 9 -10 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand
Kahe ruumivektori a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse sellist vektorit c, mille: siht on risti vektoritega a ja b ; suund ühtib parema käe kruvi kulgeva liikumisega, kui pöörata vektorit a vektori b poole; pikkus on arvuliselt võrdne vektorite a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga. vektorite a ja b vektorkorrutist tähistatakse a × b. omadused: samasihiliste/paralleesete (vektorite vaheline nurk = 0° või 180° ehk sin = 0) ehk kollineaarsete vektorite vektorkorrutis on null. × = - ( × ) iga kahe vektori ja korral r(a × b) = (ra) × b = a × (rb) iga kahe vektori a ja b ning mis tahes arvu r R korral c × (a +b) = (c × a) + (c × b) ja (a +b) × c = (a × c) + (b × c) iga kolme vektori a, b ja c korral. avaldis koordinaatides: vektorkorrutist saab esitada ka kolmandat järku determinandina: 19. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused).
r r u = v X 1 = X 2 , Y1 = Y2 , Z1 = Z 2 , r r u + v = ( X 1 + X 2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z 2 ) , r r u - v = ( X 1 - X 2 ; Y1 - Y2 ; Z1 - Z 2 ) , r ku = ( kX 1 ; kY1 ; kZ1 ) . 7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = = k (kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide X 2 Y2 Z 2 suhted on võrdsed). Vektorid on komplanaarsed, kui nad kuuluvad ühe ja sama tasandi rihti. r r r Olgu u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) , v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) ja t = ( X 3 ; Y3 ; Z 3 ) . Need vektorid on komplanaarsed parajasti siis, kui X 1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z 2 = 0 .
r r u v ( X 1 X 2 ; Y1 Y2 ; Z1 Z 2 ) , r r u v ( X 1 X 2 ; Y1 Y2 ; Z1 Z 2 ) , r ku kX 1 ; kY1 ; kZ1 . 7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r Kui u X 1 ; Y1 ; Z1 ja v X 2 ; Y2 ; Z 2 , siis r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u kv k (kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide X 2 Y2 Z 2 suhted on võrdsed). Vektorid on komplanaarsed, kui nad kuuluvad ühe ja sama tasandi rihti. r r r Olgu u X 1 ; Y1 ; Z1 , v X 2 ; Y2 ; Z 2 ja t X 3 ; Y3 ; Z 3 . Need vektorid on komplanaarsed parajasti siis, kui X 1 Y1 Z1
annaabi.ee 
